APRESENTACAO_TAYLOR_AULA_2

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APROXIMAÇÕES DE FUNÇOES - SÉRIES DE TAYLOR
As expansões em Séries de Taylor têm por objetivo representar 
uma função qualquer através de uma soma de polinômios.


4
04
3
03
2
02010
xxaxxa
1xxaxxaaxF
)()(
)()()()(



0
n
0n )xx(a)x(F , onde são os
coeficientes constantes a determinar
na
CEFET-RJ Cálculo Numérico Profª Natália Pujol
Determinação dos Coeficientes
Coeficiente
:
 3003
2
00200100 xxaxxaxxaaxF )()()()(
na
1a
1º) Fazer em (1):0xx 
00 axF )( )( 00 xfa 
)()(.)(.)(.)(.)( 2xxa5xxa4xxa3xxa2a
dx
xdF 4
05
3
04
2
03021 
1º) Derivar (1) em relação a x:
1
0 a
dx
xdF

)(
)( 01 xfa 
Coeficiente
: 0a
2º) Substituir em (2) :0xx 
CEFET-RJ Cálculo Numérico Profª Natália Pujol
Determinação dos Coeficientes (continuação):
Coeficiente
:
na
3a
)()(...)(...)(.....)( 4xxa456xxa345xxa234a23
dx
xFd 3
06
2
050433
3

1º) Derivar (3) em relação a x:
33
0
3
a23
dx
xFd
..
)(

Coeficiente
: 2a
2º) Substituir em (4) :0xx 
0xx 
22
0
2
a2
dx
xFd
.
)(

2
xf
a 02
)(''

2º) Substituir em (3) :
)()(..)(..)(..)(...)( 3xxa56xxa45xxa34xxa23a2
dx
xFd 4
06
3
05
2
040322
2

1º) Derivar (2) em relação a x:
23
xf
a 03 .
)('''

CEFET-RJ Cálculo Numérico Profª Natália Pujol
Determinação dos Coeficientes (continuação):na
Reescrevendo os coeficientes:
Coeficiente :4a
0xx 
44
0
4
a234
dx
xFd
...
)(

234
xf
a 04
IV
..
)(

2º) Substituir em (3) :
)()(....)(....)(.......)( 5xxa4567xxa3456xxa2345a234
dx
xFd 3
07
2
060544
4

1º) Derivar (4) em relação a x:
234
xf
a 04
IV
..
)(

2
xf
a 02
)(''

23
xf
a 03 .
)('''
)( 00 xfa  )( 01 xfa 
CEFET-RJ Cálculo Numérico Profª Natália Pujol
 
!n
)x(fa 0
n
n  
)x(f)x(f
1!0
1!1
0 


 
Generalizando:
, onde
 
!20
)x(fa 020
xx
 Exemplo:
Determinação dos Coeficientes (continuação):
Portanto, vem:


5
0
0
4
0
03
0
02
0
0
000
xx
5
xf
xx
4
xf
xx
3
xf
xx
2
xf
xxxfxfxF
V
IV
).(
!
)(
).(
!
)(
).(
!
)(
).(
!
)(
)).(()()(
'''''
'
Generalizando:




0n
n
0
0
n
xx
n
xf
xF ).(
!
)(
)(
CEFET-RJ Cálculo Numérico Profª Natália Pujol
na
CEFET-RJ Cálculo Numérico Profª Natália Pujol
Exemplos: 
1)Expandir )x(sen)x(f  , em Série de Taylor, em torno do ponto 0x0  e determinar o erro 
percentual na tabela abaixo: 
CEFET-RJ Cálculo Numérico Profª Natália Pujol
x f(x) F(x) 





Exemplos: 
2) Expandir )x(sen)x(f  em Série de Taylor, em torno do ponto 4x0 / adotando 6 
termos. Em seguida, calcule o erro percentual nas abscissas apresentadas na tabela abaixo: 
CEFET-RJ Cálculo Numérico Profª Natália Pujol
x f(x) F(x) 





Solução: 
1)Expandir )x(sen)x(f  , em Série de Taylor, em torno do ponto 0x0  e determinar o erro 
percentual na tabela abaixo: 
CEFET-RJ Cálculo Numérico Profª Natália Pujol
362880
x
5040
x
120
x
6
xx)x(F
9753

x f(x) F(x) 
 -1.000000 -1.000004 3.5426E-04
 -0.707107 -0.707107 2.4753E-07
 0.000000 0.000000 -
 0.707107 0.707107 2.4753E-07
 1.000000 1.000004 3.5426E-04
Solução: 
2) Expandir )x(sen)x(f  em Série de Taylor, em torno do ponto 4x0 / adotando 6 
termos. Em seguida, calcule o erro percentual nas abscissas apresentadas na tabela abaixo: 
CEFET-RJ Cálculo Numérico Profª Natália Pujol
x f(x) F(x) 
 -0.707107 -0.695186 1.5444E+00
 0.000000 0.000202 -
 0.707107 0.707107 1.5701E-14
 1.000000 1.000254 2.5363E-02
 0.707107 0.724427 2.4494E+00







 







120
4x
24
4x
6
4x
2
4x4x1
2
2xF
5432 )/()/()/()/()/()(
Solução - Exemplo 2 (continuação): 
CEFET-RJ Cálculo Numérico Profª Natália Pujol