Formulário P3

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Disciplina de Geometria Analítica
Folha de consulta para provas
No que segue, os pontos são A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) e P (x, y, z), os vetores são ~u = (u1, u2, u3), ~v =
(v1, v2, v3), e ~w = (w1, w2, w3), os escalares são α, β, t, h ∈ R, a base canônica de R3 é {~i,~j,~k} onde~i = (1, 0, 0),
~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1) de modo que ~u = (u1, u2, u3) = u1~i + u2~j + u3~k e θ o ângulo formado entre dois
vetores.
1 SOBRE VETORES
Vetor definido por dois pontos:
~v =
−−→
AB = B −A = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
Operações: α~u = (αu1, αu2, αu3) e
~u+ ~v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) = ~v + ~u
Módulo: ‖~v‖ =
√
v21 + v
2
2 + v
2
3
Versor de ~u:
~u
‖~u‖
Paralelismo entre ~u e ~v:
u1
v1
=
u2
v2
=
u3
v3
Ponto médio entre A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2):
M
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
,
z1 + z2
2
)
1.1 Produto escalar
Produto escalar entre ~u e ~v: ~u · ~v = ‖~u‖‖~v‖ cos θ,
onde θ é o ângulo formado entre os vetores.
Calcula-se: ~u · ~v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Algumas propriedades
i) α(~u · ~v) = (α~v) · ~u = ~u · (α~v)
ii) ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w
iii) ~u · ~u = ‖~u‖2
Projeção ortogonal de ~v sobre ~u:
proj~u~v =
(
~v · ~u
~u · ~u
)
~u
O comprimento do vetor projeção de ~v sobre
~u, sendo ~u unitário, é igual ao módulo do produto
escalar de ~v por ~u.
1.2 Produto vetorial
Produto vetorial entre ~u e ~v:
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣∣∣=~i
∣∣∣∣∣∣ u2 u3v2 v3
∣∣∣∣∣∣−~j
∣∣∣∣∣∣ u1 u3v1 v3
∣∣∣∣∣∣+~k
∣∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2
∣∣∣∣∣∣
Comprimento de ~u×~v é numericamente a área
do paralelogramo determinado pelos vetores:
‖~u× ~v‖ = ‖~u‖‖~v‖ · sen θ
Algumas propriedades:
i) (~u× ~v)× ~w 6= ~u× (~v × ~w)
ii) ~u× (~v + ~w) = ~u× ~v + ~u× ~w
iii) α(~u× ~v) = (α~u)× ~v = ~u× (α~v)
1.3 Produto misto
Produto misto: (~u,~v, ~w) = ~u · (~v× ~w) = (~u×~v) · ~w
Calcula-se: (~u,~v, ~w) =
∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣
Volume do paralelepípedo de arestas determi-
nadas pelos vetores não coplanares:
V = |(~w, ~u,~v)|
2 SOBRE RETAS
Reta r com vetor diretor ~v = (a, b, c) e ponto
A(x1, y1, z1)
2.1 Equação vetorial
P = A+ t~v
2.2 Equações paramétricas
r :

x = x1 + at
y = y1 + bt
z = z1 + ct
t ∈ R
2.3 Equações simétricas
x− x1
a
=
y − y1
b
=
z − z1
c
2.4 Equações reduzidas em x
r :
{
y = mx+ n
z = px+ q
2.5 Ângulo entre retas
Examinar o ângulo entre duas retas é analisar o
menor ângulo formado pelos vetores diretores.
3 SOBRE PLANOS
3.1 Equação geral
Plano com vetor normal ~n = (a, b, c).
pi : ax+ by + cz + d = 0
3.2 Equações paramétricas
Plano paralelo aos vetores ~u e ~v
pi : P = A+ h~u+ t~v
3.3 Ângulo entre planos
Examinar o ângulo entre dois planos é analisar o
menor ângulo formado pelos vetores normais.
4 SOBRE DISTÂNCIAS
4.1 Entre dois pontos
Dois pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2)
d(A,B) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
4.2 Entre ponto e reta
Reta r de vetor diretor ~v e um ponto A sobre ela.
Distância entre um ponto P e a reta r:
d(P, r) =
‖~v ×−→AP‖
‖~v‖
4.3 Entre ponto e plano
Ponto P0(x0, y0, z0) e plano pi : ax+by+cz+d = 0
d(P0, pi) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
4.4 Entre duas retas reversas
Reta r com vetor diretor ~vr e ponto P sobre ela.
Reta s com vetor diretor ~vs e ponto Q sobre ela.
d(r, s) =
|(~vr, ~vs,−−→PQ)|
‖~vr × ~vs‖
5 SOBRE CÔNICAS
Veja as equações reduzidas das cônicas.
5.1 Circunferência
Com centro C(h, k) e raio r
(x− h)2 + (y − k)2 = r2
5.2 Parábola
Com eixo paralelo a Oy e vértice V (h, k)
(x− h)2 = 2p(y − k)
‖p‖ é a distância entre o foco e a reta diretriz
5.3 Elipse
Com centro C(h, k) e eixo maior paralelo a Ox
(x− h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1
a2 = b2 + c2
Excentricidade: e =
c
a
5.4 Hipérbole
Com centro C(h, k), eixo real paralelo a Ox
(x− h)2
a2
− (y − k)
2
b2
= 1
c2 = a2 + b2
Excentricidade: e =
c
a
Quem não sabe o que procura, não entende o que encontra.