LD e LI

Prévia do material em texto

Combinações lineares 
Os  i→1=(1,0) e i→2=(0,1) e o  j=(1,1) pertencem todos ao ℝ2. Pode-se ver facilmente que j→=i→1+i→2. Desse modo, num determinado conjunto de vetores alguns deles podem ser obtidos através de outros por meio de somas de múltiplos escalares. A definição que segue formaliza essa operação e é de importância fundamental.
Seja S um  de vetores de um  V. Um vetor v→, obtido através de v→=k1⋅v→1+k2⋅v→2+...+kn⋅v→n, sendo, para i∈1:n, v→ivetores de S e ki , é dito ser uma combinação linear dos vetores de S.
Forma vetorial de um sistema de equações lineares
Num  com m equações e n incógnitas, os coeficientes da incógnita xj podem ser escritos como os respectivos componentes do vetor:
a→j=(a1j,a2j,...,aij,...,amj)
e as constantes do segundo membro como os componentes do vetor b→
b→=(b1,...,bi,...,bm)
Assim, utilizando-se as operações de soma, produto por escalar e igualdade de vetores no espaço euclidiano, o sistema pode ser escrito (colocando cada vetor de coeficientes como uma coluna para facilitar a escrita) como:
[a11a21⋮ai1⋮am1]⋅x1+...+[a1ja2j⋮aij⋮amj]⋅xj+...+[a1na2n⋮ain⋮amn]⋅xn=[b1b2⋮bi...bm].
Essa forma é muito útil por expressar o vetor b→ como uma  dos vetores a→, de modo que o sistema terá  se, e somente se, existir um vetor x→ que permita expressar b→ como uma combinação linear de a→j,j∈1:n
Dependência e independência linear 
Por meio dessa definição é possível ver que nem todos os vetores de um conjunto necessitam ser conhecidos, uma vez que podem ser obtidos por meio de combinações lineares de outros. Assim, saber se um ou mais vetores de um conjunto podem ou não ser obtidos por meio de combinações lineares é um dos aspectos mais importantes da álgebra linear. Assim:
Um  S de vetores de um espaço vetorial V é dito ser um conjunto linearmente dependente (LD) se pelo menos um vetor de S pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de S.
Um conjunto com um vetor é LD se, e somente se, for o conjunto {0→}.
O conjunto S será denominado linearmente independente (LI) se, e somente se, não for um conjunto linearmente dependente.
A partir dessa definição é possível estabelecer critérios para verificação da dependência ou independência linear através das seguintes proposições.
Seja S um  de vetores de um espaço vetorial V. O conjunto S é LD se, e somente se, existirem escalares k1,k2,...,kn, não todos nulos, e um número finito de vetores v→1,...,v→n∈S tais que k1⋅v→1+k2⋅v→2+...+kn⋅v→n=0→.
O conjunto S é LI se, e somente se, k1⋅v→1+k2⋅v→2+...+kn⋅v→n=0→ implicar que k1=0,k2=0,...,kn=0.
Se S é um conjunto ordenado de (mais do que um) vetores então o conjunto é LD se, e somente se, existe pelo menos um vetor de S que é combinação linear dos vetores anteriores.
Como se pode ver, a condição (2) consiste no sistema homogêneo:
k1⋅v→1+k2⋅v→2+...+kn⋅v→n=0→
Assim, se esse sistema tiver somente a  então o conjunto é LI; caso contrário será um conjunto LD.
Outras proposições sobre tais conjuntos são importantes:
Um  não vazio S de vetores de um espaço vetorial V é LI se, e somente se, qualquer subconjunto finito de S é LI.
Um subconjunto não vazio S de vetores de um espaço vetorial V é LD se, e somente se, S={0→} ou existem vetores distintos v→,v→1,v→2,...,v→n em Stais que v→ é combinação linear de v→1,v→2,...,v→n.
Falando de outra forma, uma coleção de vetores de um espaço vetorial é LI quando nenhuma combinação linear de seus vetores produz um  sem que todos os coeficientes sejam nulos; se existir, ou seja, quando pelo menos um vetor do conjunto puder ser escrito como uma combinação linear dos demais, o conjunto é LD
Um conjunto é dito linearmente independente se não for possível a existência de um vetor que compõe esta conjunto ser escrito como combinação linear dos demais. É importante reconhecer esta característica em um conjunto, a fim de poder definir bases de espaços e subespaços vetoriais. A definição de um conjunto linearmente independente é a seguinte: dado um conjunto A = {v1; v2; v3; ... ; vk}, este conjunto é linearmente independente se a única combinação linear dos vetores de A (av1 + bv2 + cv3 + ... + nvk) quando esta é igual ao vetor nulo, ocorre quando a=b=c=...=n=0.
Exemplos:
1 – A={(1  2  4), (2  5  0)} é LI (Linearmente independente)?
Pela definição, somente se a=b=0, para a(1  2  4) +b(2  5  0) = (0  0  0). Assim, (a  2a  4a) + (2b  5b  0) = (a + 2b   2a + 5b   4a) = (0  0  0). Para que a igualdade seja verdadeira, 4a = 0 Þ a =0; 2 ∙ 0 + 5b = 0, 5b = 0 Þ b = 0. Desta forma, o sistema admite somente a solução trivial, com todos os coeficientes iguais a zero.
2 -  C = {(1  2), (3  6), (5 7)} é LI?
Seguindo o mesmo raciocínio, a(1  2) + b(3  6) + c(5 7) = (0  0) = (a  2a) + (3b  6b) + (5c  7c) Þ a + 3b + 5c = 0, 2a + 6b + 7c = 0. Escalonando o sistema, a + 3b + 5c = 0, -3c =0 Þ c = 0, a = -3b. Como b, variável livre, admite infinitos valores, b E IR, não admitindo apenas a solução trivial, C é LD (Linearmente Dependente).
Há algumas regras (teoremas) que permitem facilitar a definição de um conjunto linearmente dependente ou independente, entre elas, o vetor nulo sempre compõe conjuntos linearmente dependentes, pois este vetor possui a propriedade de sempre poder ser escrito como combinação linear de outros vetores. Havendo um vetor que é múltiplo escalar de outro dentro de um mesmo conjunto, faz com que este seja LD.
Bases são conjuntos dos quais, feitas todas as combinações lineares de seus elementos (no caso, vetores), se obtém todos os vetores de um espaço ou subespaço vetorial. O número de vetores nestes conjuntos é fixo, de acordo com os espaços e subespaços gerados, e igual para todas as bases de um mesmo espaço vetorial. Este número é chamado dimensão, e é denotado por dimV. Todo conjunto de vetores, cujos elementos pertençam a um espaço V, somente é LI se possuir número de vetores menor ou igual à dimensão de V. Exemplo:
3 – D = {[1  0  0],  [0  1  0], [0  0  1]}, D E M1 x 3 (IR), (base canônica) é LI?
Sim, pois a[1  0  0] + b[0  1  0] + c[0  0  1] = [0  0  0], se, e somente se, a=b=c=0. Ademais, dimM1 x 3 (IR) = 3, o mesmo número de vetores deste espaço vetorial.
4 – E = {(3  4  0  0), (2  2  1  9), (4  6  8  9), (1  0  0  0), (0  0  1  2)}, E pertence aoIR3, é LI?
Não, pois dim IR3 = 3, e E possui 4 vetores sendo, obrigatoriamente, LD.
Um dispositivo prático para descobrir se um conjunto é linearmente independente é montar uma matriz em que cada linha é o vetor (ou seu vetor-coordenada, no caso de matrizes e polinômios). Após montada esta matriz, se deve escaloná-la, até que o número de zeros iniciais, antes do primeiro número não nulo, seja diferente em cada linha. Por exemplo:
1  1  2  0
0  2  1  3
0  0  4  5
0  0  8  10
O número de zeros iniciais se repete em duas linhas, logo, o escalonamento pede mais uma etapa. Assim:
1  1  2  0
0  2  1  3
0  0  4  5
0  0  0  0
Agora, encerrado o escalonamento, observamos duas características: 1ª: o número de zeros iniciais é diferente em todas as linhas? Sim. 2ª: Há linhas nulas nesta matriz? Há, o que indica que um vetor era combinação linear dos demais. Logo, o conjunto arbitrário deste exemplo é LD.