Unidade II

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 UERJ – CTC – IME – Departamento de Informática e Ciência da Computação
 Cálculo Numérico – Professora Mariluci Ferreira Portes
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Unidade II - Séries de Potências
II.1 - Introdução
As linguagens de programação de computadores fornecem certas funções tais como seno, cosseno, logaritmo, exponencial, etc.
No entanto, muitas vezes não temos a função pré-definida e recorremos ao desenvolvimento em série de potências para fazer nossos cálculos.
II.2 - Série de Taylor e MacLaurin
Definição 1 : Uma série da forma 
�, onde “a” e ci (0 ( i < () são constantes, é classificada de série de potências em (x - a).
Se a = 0, temos uma série de potências em x.
Obs: Toda série de potências em (x - a) é convergente, pelo menos para x = a.
Ex.: 
�
II.2.1 - Descrição do método de calcular funções por série de potências:
Seja y = f(x) uma função contínua e que todas as suas derivadas existam no domínio que nos interessa. 
Suponha que se conheça tudo da função no ponto x = 0, ou seja:
f (0) ( valor da f (x) em x = 0
f ’(0) ( inclinação da curva f (x) em x = 0
f ”(0) ( curvatura da f (x) em x = 0
(
(
(
f n(0) ( n-ésima derivada da f (x) em x = 0 
 	 y
 0 x1 x2 x3 x
 
Se x1 está bem próximo de x0, podemos fazer: f (x1) ( f(x0) ; e o erro será bem pequeno.
Para x2 um pouco afastado da origem, a melhor aproximação será dada pela tangente à curva f (x) . A inclinação da tangente é dada por f ’(0).
A equação da reta é y = mx + b ( f (x) = f ’(0)( x + b
Para x = 0, tem-se b = f(0)
Logo, se x ( [0 , x2] ( f (x) ( f(0) + f ’(0) ( x
Para x3 bem afastado da origem, uma melhor aproximação será dada pela parábola:
f (x) ( a0 + a1x + a2 x2 ; de tal forma que a0 = f(0) a1 = f ’(0)
Precisamos determinar a2 .
f ’(x) = a1 + 2 a2 x
f ”(x) = 2 a2 ( 
�
Então: 
�
De um modo geral, para x afastado da origem o valor exato da f (x) será dado por um polinômio de grau infinito, ou seja:
�
Para se determinar 
�, apliquemos a derivação sucessiva de f (x) em x = 0:
�
Dai, vem que:
�
Então:
� , que é o desenvolvimento da f (x) em série de MacLaurin.
Como muitas vezes é inconveniente, ou mesmo impossível, desenvolver uma função em torno de x = 0 (caso do log. neperiano), então temos a generalização da série de MacLaurin que é chamada Série de Taylor.
Consideremos f (x) satisfazendo a condição de continuidade e possuindo derivadas de todas as ordens em um certo domínio de nosso interesse.
Suponha que se conheça o valor desta função e de suas derivadas no ponto x = a.
Formemos a seguinte série de potências:
f (x) = 
�
Diferenciando f (x) e calculando x = a , determinamos 
�.
Dai, vem:
�; que é o desenvolvimento da f (x) em Série de Taylor.
Exemplo 1 : Desenvolver f (x) = sen x , em Série de MacLaurin.
�
�
Exemplo 2: Desenvolver f (x) = ln x , em torno de x = 1.
Pergunta: para que valores de x este desenvolvimento do ln x é bom?
Caso 1 ( x = 0
� não converge, ou melhor, tende a - ( .
Caso 2 ( x = 1
ln 1 = 0
Caso 3 ( x = 2
�
A convergência é garantida pelo Teorema de Leibnitz, que cujo enunciado é:
“Se um série alternada 
� satisfaz as condições:
Cada termo é, em módulo, menor que o anterior.
O limite dos termos é zero.
Então a série possui uma soma finita e, além disso, o erro que se comete ao tomarmos n termos está entre zero e o termo de ordem (n + 1) não nulo .”
 
De acordo com o Teorema, a série converge:
O erro,
 se aproximarmos 
= 0,78333 , está entre zero e 
�.
0,617 < ln 2 < 0,78333
ln 2 = 0,6931
�
Caso 4 ( x = 3 
� não converge, pois cada termo, em módulo, é maior que o anterior.
Obs: 
Para x = 0 , o ln não existe e esse ponto é chamado de ponto singular.
O desenvolvimento em Série de Taylor só é válido para uma região conhecida como região de convergência.
A região de converg6encia estende-se em todas as direções com um raio igual a distância ao mais próximo ponto singular.
No desenvolvimento acima, o raio de convergência é igual a 1.
II.3 - Raio de Convergência:
Teorema: Seja 
�uma série de potências em (x - a). Se 
� , então R é raio de convergência da série de potências.
No desenvolvimento da Série de Taylor,
�
Aplicação: (no cálculo de ln x )
�
II.4 - Erro de truncamento no desenvolvimento em série.
Considere a função f (x) desenvolvida em Série de Taylor em torno de x = a, ou seja:
�
Sejam Rn os termos da série após o termo que envolve a n-ésima derivada. Queremos uma expressão para Rn. 
Se f (x) é contínua e suas derivadas existem em [a , x] , então: 
�
Comparando com o desenvolvimento em Série de Taylor, vem: 
�
Integremos R0 por partes: 
	 u = f ’(t) ( du = f ”(t) dt
	dv = dt ( v = t - x
�
Logo:
f (x) = f (a) + R0
f (x) = f (a) + 
�
R1 = 
�
Integrando R1 por partes: 
	 u = f ”(t) ( du = f ’”(t) dt
	dv = (x - t) dt ( v = 
�
�
Logo: 
�
R2 = 
�
Dai concluímos que:
�
Vamos transformar Rn na forma Lagrangiana.
Para t ( [a , x], f n + 1 (t) possuí distintos valores. Seja m o menor desses valores e M o maior deles.
�
Existe (1 ( [a , x] tal que o resto sob a Forma Lagrangiana é
 
OBS: Na prática, trabalhamos com uma cota superior para f n + 1 (t).,ou seja
 
� , onde M = máx | f n + 1 (t)| em [a , x]
Exemplo: Determine o valor da constante exponencial , com erro inferior a 10-6.
A. Desenvolver f (x) = ex em série de MacLaurin
Para x = 1 , temos:
B. Raio de Convergência
� ( Para x ( Reais temos a convergência garantida.
C. Erro de Truncamento
�
Então:
�
Obs: Pela calculadora o valor e = 2,718281828
�
Lista de exercícios sobre a Unidade II
1) Desenvolva as funções abaixo em Série de MacLaurin:
a) f(x) = sen x 
b) f(x) = cos x 
c) f(x) = ex 
2)
a) Desenvolva f(x) = ln x em Série de Taylor em torno de a = 1 .
b) Calcule o raio de convergência da Série acima.
c) Calcule ln 1,2 com 2 decimais exatas.
3) Calcule o raio de convergência do desenvolvimento em série das funções do exercício 1.
4)
a) Desenvolva f(x) = 1/ ex em serie de Taylor em torno do ponto a = 1.
b) Calcule o raio de convergência.
c) Calcule 1/ e1,3 com 3 decimais exatas.
5) Desenvolva f(x) = sen x em torno de a = (/2 , e determine o seno de 93o (graus) com 3 decimais exatas.
6) Desenvolva f(x) = 
� em torno de a = 1 e determine o valor e 
�com 3 decimais exatas.
Trabalho Computacional: Desenvolver a função f (x) = sen (x) em Série de Taylor em torno do ponto a = 1, e calcular f (1) com 30 termos, 60 termos e 100 termos que aparecem no desenvolvimento. Compare os resultados obtidos com o valor obtido quando utilizamos a função “ sen (x) ” pré-definida.
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