Equações Diferenciais - AOL01 (10 - 10)

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Equações Diferenciais – AOL01 
 
1) A circulação de um vetor v (conhecida como integral de linha), ao longo de uma curva c, 
corresponde à soma dos produtos escalares de v por dr ao longo da curva c, sendo dr um 
vetor elementar que tem as seguintes características: o módulo corresponde ao valor do 
arco da curva, a direção é tangente à curva e o sentido é o mesmo sentido da curva. 
Dada a superfície S: x2 + y2 + z2 = 9, z ≥ 0, sua respectiva circunferência de borda C: x2 + 
y2 = 9, z = 0 e o campo correspondente F = yI. xj, calcule o valor da circulação no sentido 
anti-horário ao redor da curva C. Considerando essas informações e o conteúdo estudado 
sobre teorema de Stokes, pode-se afirmar que o valor da circulação corresponde a: 
 
( ) 20π 
( x ) -18π 
( ) 10π 
( ) 18π 
( ) 12π 
 
2) O raio de convergência, em séries de potências, indica o raio da circunferência em torno 
do centro da série dentro da qual a série converge. Ou seja, pode-se garantir a 
convergência no intervalo aberto (a − R, a + R), onde a é o centro da série. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, 
analise as afirmativas a seguir. 
 
I) Se R é o raio de convergência de ∑cn.xn, então (R) 1/2 é o raio de convergência de 
∑cn.x2n. 
II) O teste da razão determina a convergência nas extremidades do intervalo de 
convergência. 
III) Se limite de (Cn) 1/n = L>0, então a série ∑cn(x − a)n tem raio de convergência 1/L. 
IV) Se uma série de potências é convergente para valores de |x| < R com R > 0, então 
R é chamado de raio de convergência. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
( ) I e IV 
( x ) I, III e IV 
( ) II, III e IV 
( ) I, II e IV 
( ) II e III 
 
3) O raio de convergência indica o raio em torno do centro da série no qual a série converge 
para algum valor. Valores superiores ao raio indicam que a série diverge, ou seja, existe 
um número R tal que a série converge se |x−a| < R, e diverge se |x−a| > R. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada 
a série ∑(x−2)n / n, pode-se afirmar que o raio de convergência é igual a: 
 
( ) R = 2 
( ) R = 1/2 
( x ) R = 1 
( ) R = 4 
( ) R = 3 
 
4) Analise a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
O teorema de Green é extremamente útil na aplicação de 
cálculo de área de figuras planas. O teorema tem esse nome, 
pois foi desenvolvido por George Green, em 1828, e seu 
princípio é utilizado em outros teoremas como, por exemplo, 
os teoremas de Gauss e de Stokes. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado 
sobre o tópico, dada a região D, D=(1≤ x2 + y2≤4, x>0, y>0), 
calcule a área da região D, sendo a curva C correspondente à 
fronteira da região D. Considerando esses dados, pode-se 
afirmar que a área da região D corresponde a: 
 
( ) 7/3 
( ) 19/3 
( x ) 14/3 
( ) 10/3 
( ) 5/3 
 
5) Leia o excerto a seguir: 
 
“O trabalho mecânico é uma grandeza vetorial que permite calcular a variação de energia 
sofrida por um corpo ou a quantidade de energia que um corpo possui. Ele pode ser 
calculado pelo produto entre a força e o deslocamento. “Fonte: TEIXEIRA, M. M. “O que é 
trabalho mecânico?”; Brasil Escola. Disponível em: <https://brasilescola.uol.com.br/o-que-
e/fisica/o-que-e-trabalho-mecanico.htm>. Acesso em: 1 set. 2019. 
O teorema de Green é usado para calcular o trabalho realizado por campos de força, que 
movimentam partículas, por exemplo. De acordo com essas informações e o conteúdo 
estudado sobre o teorema de Green, calcule o trabalho realizado sobre uma partícula que 
está sob ação do campo de força F(x,y) = (−3y, 3x) e se movimenta ao longo de uma 
elipse equivalente a 4x2 + 25y²= 100, no sentido anti-horário. Considerando esses dados, 
pode-se afirmar que o trabalho equivale a: 
 
( ) 30 
( ) 30π 
( ) 60 
( ) 120π 
( x ) 60π 
 
6) A expansão de uma série corresponde a atribuir valores aos termos da série, ou seja, 
variar o termo n de zero ao termo que deseja na expansão da série. Tal operação é 
fundamental para a análise das propriedades de uma função, já que permite a visualização 
prática de seus termos. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada 
a função f(x) = 1/ x2 −1, pode-se afirmar que a expansão em série de potências em torno 
de x0 = 0 corresponde a: 
 
( x ) −∑ x2n. 
( ) −∑ an.x2n. 
( ) ∑ nxn−1. 
( ) ∑ (n−1)x2. 
( ) ∑ xn. 
 
7) Leia o excerto e analise a figura a seguir: 
“Vamos pensar em uma roda de carro que apresenta um ponto fixo para observação. 
Agora, pensando nessa roda em movimento, sobre uma rua lisa, vamos observar a 
trajetória desse ponto fixo. A curva descrita por esse ponto é a curva cicloide.”Fonte: 
CORDEIRO, A. C. F. O que é a curva cicloide: ideias centrais no ensino da matemática. 
Trabalho de conclusão de curso (Licenciatura em matemática) – Instituto Federal de 
Educação, Ciência e Tecnologia, IFSP. São Paulo, p. 88. 2013. 
 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, 
calcule a área da figura, descrita pelas curvas C1 e C2, dada a cicloide abaixo x= t − 
sen(t), y = 1 − cos(t). Considerando esses dados, pode-se afirmar que a área da cicloide 
corresponde a: 
 
( x ) 3π 
( ) 9π 
( ) 12π 
( ) –3π 
( ) 6π 
 
8) Analise a figura a seguir: 
 
 
Figuras geométricas podem ser geradas a partir do 
modelamento baseado em equações matemáticas. Na figura 
apresentada, é possível observar um vaso de manjerico. Tal 
sólido limita o volume da forma, V= (x2 + y2 < z, 1 < z < 4), 
considerando o campo vetorial F(x, y, z) = (xz2, yz2, z3). 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado 
sobre o teorema de Stokes, calcule o fluxo do rotacional F por 
meio da parede lateral do vaso, referente à superfície S = (x2 
+ y2 = z, 1 < z < 4). Considerando esses dados, pode-se 
afirmar que o fluxo do rotacional corresponde a: 
 
 
( ) 1 
( x ) 0 
( ) π/2 
( ) π 
( ) 2 
 
9) O desenvolvimento de funções em séries de potências tem diversas aplicações, tal como a 
resolução de equações diferenciais. Pode-se também aplicar tal recurso para realizar 
aproximações de funções com a utilização de séries de Taylor e Maclaurin. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada 
a expansão da função f(x) = (1+x)−1/2 em uma série de Taylor, pode-se afirmar que o 4º 
termo da série, em torno de a = 0, corresponde a: 
 
( ) 15x2 / 48. 
( ) 10x3 / 24. 
( x ) 15x3 / 48. 
( ) 5x3 / 48. 
( ) 15x2 / 12. 
 
10) Leia o excerto a seguir: 
 
“Campos vetoriais representam o fluxo de um fluído (entre muitas outras coisas). Eles 
também representam uma maneira de visualizar funções cujo espaço de entrada e espaço 
de saída têm a mesma dimensão. Além disso, um campo vetorial associa um vetor a cada 
ponto no espaço.” Fonte: KHAN ACADEMY. Campos vetoriais. Disponível em: 
<https://bit.ly/2kSojV5>. Acesso em: 1 set. 2019. (Adaptado). 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, 
dado o campo F (x, y) = (y3, −x3), calcule a integral do campo vetorial sob a curva C que 
corresponde a um círculo igual a x2 + y2 = 4. Considerando que a orientação da curva é 
positiva, pode-se afirmar que a integral do campo vetorial equivale a: 
 
( ) 30π 
( ) 16π 
( x ) –24π 
( ) –25π 
( ) –32π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
1-B / 2-B / 3-C / 4-C / 5-E / 6-A / 7-A / 8-B / 9-C / 10-C