Métodos para Resolução de Equações Algébricas

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UERJ - CTC - IME - Departamento de Informática e Ciência da Computação 
Cálculo Numérico — Professora Mariluci Ferreira Portes
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UERJ - CTC - IME - Departamento de Informática e Ciência da Computação 
Cálculo Numérico — Professora Mariluci Ferreira Portes
�
 Unidade III - Resolução de Equações Algébricas Transcendentes
III.1 - Introdução
Existem fórmulas para resolução de equações algébricas em que f (x) é uma expressão quadrática, cúbica ou biquadrática. No entanto, para equações em que f (x) é um polinômio de grau superior a 4 ou uma função em que a incógnita figura em expressões logarítmicas, trigonométricas, etc., podendo aparecer em expressões elementares, não existem fórmulas para resolver tais equações. 
Neste caso empregamos métodos gráficos ou numéricos.
III.2 - Métodos Gráficos
Seja a equação f (x) = 0 da qual se deseja determinar a raiz.
Graficamente existem 2 métodos
III.2.1 - Interseção da curva com o eixo das abcissas.
Neste caso, tabela-se a função e esboça-se o gráfico.
Exemplo: f (x) = x2 - 5x + 6 = 0 , nos pontos 0, 1, 2, 3, 4, 5.
III.2.2 - Interseção de duas curvas.
Neste caso, desdobramos f (x) em duas funções h (x) e g (x), de tal modo que:
f (x) = h (x) - g (x) = 0
O ponto de interseção de h (x) com g (x) fornece a raiz de f (x) = 0.
Exemplo: f (x) = sen x - cos x 
	
�
�
III.3 - Métodos Numéricos
III.3.1 - Determinação do intervalo onde se encontra a raiz real
Suponha que a função f (x) seja continua em [a , b].
Admitindo-se que:
A. Se f (x) tem sinais diferentes em dois pontos de abcissas a e b, então a função se anula pelo menos uma vez em [a , b] ou em geral um número ímpar de vezes.
B. Se f (x) tem sinal igual em dois pontos de abcissas a e b, ou f (x) não se anula em [a , b], ou se anula um número par de vezes.
C. Se f (x) é constantemente crescente (decrescente) em [a , b], e se f '(x) tem sinal determinado, e além disso o sinal de :
a) 
�, com certeza existe uma única raiz em [a , b].
b) 
�, não existe raiz em [a , b].
(a) (b)
Exemplo:
Analise a existência de raízes da equação f (x) = x - cos = 0 , nos quatro quadrantes.
Solução:
f (x) = h (x) - g (x) 
h (x) = x ( contínua
g (x) = cos x ( contínua
f (x) é contínua em todo (
f '(x) = 1 + sen x 
�
A. 
�
�
f (x) é contínua em 
�
f '(x) > 0 em 
� ( ( uma raiz em 
�
_______________________________________
B. 
�
�
f (x) é contínua em 
�
f '(x) > 0 em 
� ( não existe uma raiz em 
��C. 
�
�
f (x) é contínua em 
�
f '(x) > 0 em 
� ( não existe uma raiz em 
_______________________________________
D. 
�
�
�
f (x) é contínua em 
�
f '(x) > 0 em 
� ( não existe uma raiz em 
�
�
III.3.2 - Método de Newton-Raphson (método das tangentes)
III.3.2.1 - Introdução
Seja a equação f (x) = 0 que possua uma raiz real em [a , b] .
O método consiste em traçar a tangente à curva f (x) em uma de suas extremidades e determinar a interseção da tangente com o eixo das abcissas.
Se o ponto for a raiz, o problema está resolvido!
Caso contrário, determina-se o valor da f (x) nesse ponto e repete-se o procedimento anterior.
O critério de parada desse procedimento é quando se encontra a raiz com a precisão desejada.
 ( (
 
III.3.2.2 – Dedução da fórmula de iteração do Método
�
Do triângulo retângulo temos:
��De modo análogo:
��Generalizando:
		
�
III.3.2.3 - Critério de Fourrier ( condição de convergência
Se aplicarmos o mesmo critério no extremo b, o intervalo para determinar a raiz aumentaria.
Neste caso, para escolhermos adequadamente o extremo, aplicamos o critério de Fourrier, que é:
a) f '(x) tem que ter sinal determinado em [a , b] .
b) f "(x) não pode se anular em [a , b] .
c) Escolhe-se o extremo em que f (x) · f "(x) > 0
Exemplo: Determine a raiz da equação f (x) = x + ln x = 0 , com 2 decimais exatas.
Solução:
A. Método Gráfico: 
f (x) = h (x) - g (x) 
h (x) = ln x
g (x) = - x
f (0 , 5) < 0
f (0 , 6) > 0
Logo a raiz ( [0,5 ; 0,6]
B. Método numérico de Newton-Raphson
B.1 - Critério de Fourrier
a) 
� em [0,5 ; 0,6] ( sinal determinado
b) 
� não se anula em [0,5 ; 0,6]
c) 
�
Extremo escolhido 0,5 (x0 = 0,5)
B.2 - Newton-Raphson
1o. Iteração:
�
2o. Iteração:
�
3o. Iteração:
Resp: x = 0,56 + 0,01
III.3.3 - Erro de truncamento
Desenvolvendo-se f (x) em Série de Taylor e considerando até o termo que envolve a segunda derivada, temos:
�, onde (1 ( [a , x]
Seja 
� a raiz de f (x) = 0 ( f (
�) = 0
0 = f (a) + f ’(a)·( 
�- a) + 
�
Supondo f ’(a) ( 0 , vamos dividir a expressão acima por f ’(a).
Os dois primeiros termos do segundo membro da igualdade acima é a aproximação de 
�, segundo Newton-Raphson.
O erro que se comete no método de Newton-Raphson é: 
Como não se conhece (1 e 
�, então avaliamos o erro por meio de cotas superiores. Seja:
� ( Observação: a convergência do método de Newton-Raphson é quadrática. 
Exemplo:
Resolva a equação: f (x) = x · (log x) - 5 = 0, sabendo que a raiz pertence ao intervalo [6,7]. Após 2 iterações qual é a precisão do resultado?
Solução:
A. Critério de Fourrier
A.1 - f '(x) tem que ter sinal determinado em [6,7].
�
A.2 - f "(x) não pode se anular em [6,7]. De fato 
�.
A.3 - Escolha do extremo
�
B. Método de Newton-Raphson
1o. Iteração:
�
Análise do erro: 
� ( 6 < 6,28 < 7
h = 7 - 6,2842804
k = máx |f "(x)| em [6,28 ; 7] = 
�
a = 7 ( f ’(7)
; Temos 1 significativo exato.
2o. Iteração:
�
Análise do erro: ( 6 < 6,27 < 6,28 < 7
h = 6,2842804 - 6,2709245
k = máx |f "(x)| em [6,27 ; 6,28]
a = 6,2842804
E T< 0,00000501137 ( 5 decimais exatas.
III.3.4 - Método das Partes Proporcionais
O método consiste em determinar a raiz da equação f (x) = 0, sabendo que a mesma pertence ao intervalo [a , b], no qual f (a) · f (b) < 0.
Substituímos o arco AB ( ponto A (a , f (a) ) e ponto B (b , f (b) ) ( pela corda AB, que determina um ponto P (x , 0) no eixo das abcissas. Se x1 for a raiz, já se alcançou o objetivo. Caso contrário, repete-se o processo acima descrito.
O critério de parada é dado pela condição: | xn+1 - xn | < (, onde ( é a precisão desejada para a raiz.
 
 
III.3.4.1 - Fórmula de iteração para calcular a raiz:
�
De modo análogo:
�
Generalizando:
Observações:
Se a função for constantemente crescente, o extremo fixo é o B (b , f (b) ), 
 e a fórmula de iteração será:
		
2) Para se escolher o extremo fixo, basta aplicar a condição:
		f (x) · f "(x) > 0
3) Este método também é conhecido como “Regula Falsi” ou Falsa Posição.
4) A convergência do método não é quadrática e nem linear.
III.3.5 - Método das Aproximações Sucessivas
Queremos determinar a raiz de f (x) = 0 e f (x) de tal forma que pode ser escrita como h (x) - g (x) , onde g (x) = x e consequentemente , x = h ( x)
Representação gráfica do método.
 h(x)
 
 x0
Seja x0 uma aproximação inicial para solução de x = h (x).
		x1 = h (x0) 
Como aproximação seguinte, toma-se x2 = h (x1). E assim sucessivamente até determinar a solução. 
De um modo geral: xn = h ( xn-1 ), onde xn é a raiz procurada.
O método das aproximações sucessivas só converge no caso em que | h '(x) < 1 |.
Se | h '(x) | > 1 , acontece que a cada iteração nos afastamos mais da raiz.
Convergência do Método
A conclusão da convergência do método pode ser provada por um raciocínio elementar. Note que: 
� = h (
�) ( xn = h (xn - 1) ( xn - 
� = h (xn-1) - h (
�).
Multiplicando-se à direita por� e utilizando o teorema do valor médio temos: 
.
Seja M o valor máximo absoluto de h (x) no intervalo [a , b] :
	|
| ( M |
�| 
Mas, (
�| ( M (
(, então
 
 |
( ( M2 (
(
E assim sucessivamente:
	|
( ( M n |
|
Se M< 1 em todo intervalo [a , b] seja qual for a escolha de x0, quando n aumentar, o membro à direita tornar-se-á menor e xn se aproximará de 
� .
O critério de parada é quando duas iterações sucessivas diferirem por um dado (.
Exemplo:
Determinar a raiz da equação f (x) = x2 – sen x = 0, com 4 casas decimais e x0 = 0,9
Solução:
Há vários modos de se escolher h(x), vejamos:
h1(x) = x2 + x– sen x e g (x) = x
h2 (x) = senx e g (x) = x
h3 (x) = arc sen x e g (x) = x
Analisando, as primeiras derivadas das 3 funções, temos:
 
Logo: 
� = 0,7071 ( 0,0001
III.3.6 - Problema das Raízes Múltiplas
Suponha que f (x) = 0 admita várias raízes reais iguais.
Por exemplo: f (x) = x3 - 11x2 + 39x - 45 = 0 , admita a raiz dupla x = 3 e a raiz simples x = 5.
Podemos empregar um dos métodos vistos, ou especificamente o método de Newton-Raphson , e eliminar cada raiz encontrada. Isto é, se f (x) = an xn + an - 1 xn - 1 + ... + a0 é um polinômio de grau n e possuí n raízes, então f (x) = an (x - x1) (x - x2) (x - x3) ... (x - xn) , onde x1 , x2 , x3 , ... , xn são as raízes de f (x) = 0.
Quando as raízes são múltiplas, então vários xi são iguais entre si.
Para eliminarmos uma raiz da função f (x) basta dividir a função por (x - xi).
Obtemos uma f1 (x) que é um polinômio de grau n-1 e procuramos as raízes de f1 (x) = 0 .
A divisão sintética por uma raiz encontrada a fim de eliminá-la da função original dada é chamada deflação da função original e pode ser efetuada pelo computador usando o seguinte algoritmo:
Suponha que f (x) = am xm + ...+ a0 , é dividido por (x - xn). Obtemos :
Q (x) = bm xm - 1 + bm - 1 xm - 2 +...+ b0 
R (x) = f (xn)
Para se obter bi utilizamos a seguinte fórmula de recorrência.
bm = am 
bi = ai + bi + 1 xn i = (m - 1), (m - 2), ..., 2, 1.
Exemplo: 
Determinar as raízes de x3 - 11x2 + 39x - 45 = 0 , no intervalo [2 , 6], com 2 decimais exatas.
Solução:
f '(x) = 3x2 - 22x + 39 ( f "(x) = 6x - 22
�
Apliquemos Newton-Raphson no extremo 6 :
( x0 = 6 ( x1 = 6 - 
� = 6 - 
� = 5,4 ( (x1 - x0( = 0,6
( 
�
( 
�
( 
�
Logo 
�1 = 5,00
Façamos a divisão de f (x) por x -5.
Utilizamos a fórmula de recorrência.
R (x) = f (5) = 0
f1(x) = bm xm - 1 + bm - 1 xm - 2 + ... + b1 ( b3 x2 + b2x + b1
�
b3 = a3 = 1
b2 = -11 + (1(5) = -6
b1 = 39 + ((-6)(5) = 9 ( f1(x) = x2 - 6x + 9
Busquemos as raízes de f1(x) = 0 no intervalo [2 , 5]
f1’(x) = 2x - 6
f1’(2) = 1 ( f1”(2) = 2
f1’(5) = 4 ( f1”(5) = 2 f (5) ( f ”(5) > 0
Apliquemos o método de Newton-Raphson no extremo 5.
( x0 = 5
( x1 = 5 - 
�
( 
�
( 
�
( 
�
( 
�
( 
�
( 
�
( 
�
( 
�
Logo 
�2 = 3,00
Partamos em busca da outra raiz. Façamos a divisão de f1 (x) por (x - 3):
R (x) = f1 (3) = 0
f2 (x) = b2 x + b1
�
Mas a raiz de f2 (x) é 3. Logo as raízes são 3, 3 e 5.
III.3.7 - Raízes Complexas - Método de Newton-Raphson 
Seja f (x) = 0 uma equação em os coeficientes são reais, mas que admita raízes complexas.
Neste caso a equação admitirá um número par de raízes complexas e se x1 = ( + (i for raiz de f (x) = 0 então x2 = ( - (i também será raiz de f (x) = 0.
Podemos empregar o método de Newton-Raphson: 
�, sendo que a estimativa inicial x0 é complexa.
Exemplo : f (x) = x2 + x + 1
Solução: 
Como todos os coeficientes são reais, a equação é do 2o. grau e ( < 0, então deve admitir 2 raízes complexas.
Façamos x0 = 1 + i ( f ’(x) = 2x + 1
�
�
�
�
�
�
�
�
Logo 
� = 
�
Observação: Estes resultados foram retirados do livro do Stark, página 122.
Lista de exercícios sobre a Unidade III
1) Dada a equação f(x) = x3 - 3x - 1 = 0, determine os intervalos de amplitude 1, onde se encontram as suas raízes. 
2) Determine a raiz da equação f(x) = x ex - 2 = 0, com duas decimais exatas, usando o método de Newton-Raphson. 
3) Determine as raízes de f(x) = x2 - 2 = 0, com 4 decimais exatas, usando o método das partes proporcionais. 
4) Determine as raízes de f(x) = (5 - x) ex - 5 = 0, com 3 decimais exatas.
5) Determine as raízes de f(x) = x3 - 0,2 x2 - 0,2 x - 1,2 = 0, com 4 decimais exatas.
6) Determine as raízes de f(x) = x3 - 4 x + 2 = 0, com 3 decimais exatas.
7) Dada f(x) = tg x - x = 0, determine :
a) o intervalo onde se encontram as raízes reais;
b) a menor raiz positiva, com 3 decimais exatas, pelo método de Newton-Raphson.
8) Idem para a equação f(x) = x2 - sen x = 0. 
Trabalho Computacional: Programar o método de Newton-Raphson para determinar a raiz da equação : f (x) = x3 - 0,2x2 - 0,2x -1,2 = 0 , com 8 decimais exatas. Imprima cada iteração e o erro cometido em cada uma.
� EMBED Equation.2 ���
A(a,f(a))
B(b,f(b))
� EMBED Equation.2 ���
� EMBED Equation.2 ���
� EMBED Equation.2 ���
P2
P1
P
B2
B1
R
C2
C1
C(b, f(a))
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