Integração Numérica: Regra do Trapézio

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UERJ - CTC - IME - Departamento de Informática e Ciência da Computação 
Cálculo Numérico — Professora Mariluci Ferreira Portes
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UERJ - CTC - IME - Departamento de Informática e Ciência da Computação 
Cálculo Numérico — Professora Mariluci Ferreira Portes
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 Unidade VII - Integração Numérica
VII.1 - Introdução
A integração numérica é mais bem comportada que a derivação numérica.
Considere
 (1) 
�		 
	onde a, b são finitos e f (x) é uma função contínua em [a , b] .
A integral definida em (1) representa a área sob a curva f (x) entre x = a e x = b.
Podemos calcular I dividindo o intervalo [a , b] em intervalos menores, encontrando a área aproximada em cada uma das faixas formadas e somá-las.
As técnicas utilizadas são:
1. Os intervalos são escolhidos previamente (isso se a computação for feita à mão) de modo que os pontos no final de cada intervalo recaíam em valores facilmente computáveis de x. Neste caso, os métodos utilizados são: a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson.
2. Os intervalos são definidos analiticamente de modo que haja uma melhor exatidão no cálculo. O método utilizado neste caso é a Quadratura Gaussiana.
VII.2 - Regra do Trapézio
 Seja f(x) uma função contínua num intervalo (a, b), e considere o gráfico abaixo 
Considere a integral 
�. Dividamos o intervalo [a , b] em n sub-intervalos de amplitude h , onde 
�.
Considere o sub-intervalo [x i , x i + 1 ] e calculemos a área sob a curva neste intervalo:
�
	Para h suficientemente pequeno, I i pode ser aproximado pela regra do trapézio, ou seja:
 (3). 
�
Logo 
�, com x 0 = a e x n = b: 
(4) 
�	
VII.2.1. Erro de Truncamento
O erro de truncamento é a soma das áreas compreendidas entrea curva f (x) e as cordas que contém x i , x i + 1 (
�).
Para estimar o erro, façamos a expansão de f (x) em série de Taylor em torno de x i :
�
A expansão em torno de x i + 1 é:
	
Calculando a média aritmética das expressões (5) e (6):
Por outro lado, calculando-se 
�, vem:
(7) 
�	
A equação (7) dá o verdadeiro valor da integral.
A regra do trapézio despreza os termos contendo os termos de ordem h com potências maiores ou iguais à 2.
Sendo assim, o erro de truncamento é dado por:
�
	Para h pequeno o primeiro termo é dominante, porém o erro de truncamento não é dado somente por esse termo.
Podemos escrever:
�	, onde k é uma constante a ser determinada.
Observe que (7) é verdadeira para qualquer função.
 Para exemplificar, determinamos k para f (x) = x 2 (obs: não se escolhe f (x) linear pois nesse caso a regra do trapézio é exata).
(9) 
�	
Pela regra do trapézio no intervalo [ x i , x i + 1 ], temos:
�
(10) 
	
Subtraindo (10) de (9), temos:
�
Como f ’(x) = 2x e estamos trabalhando com 
�, chegamos ao seguinte resultado:
�
O erro total de truncamento é :
(11)	
�	
Essa não é a forma de erro mais encontrada.
A forma mais usual de encontrá-la é baseada no teorema do velor médio, ou seja:
( 
� tal que 
�		
Voltando em (11), vem:
�
Se f ”(x) limitada ( ( M tal que 
�, e daí segue que:
(12) 
 
Obs: Se não tivermos a fórmula fechada da função, a estimativa de M pode ser calculada pela tabela das diferenças divididas, onde f”(x) é igual ao maior valor, em módulo, na coluna da diferença de segunda ordem.
		
VII.2 - Método de Simpson
É o método similar a regra do trapézio, porém melhor que esta. 
No método de Simpson calculamos a área do trapézio sob uma parábola entre x i e x i + 1 . O intervalo [a , b] tem que ser dividido num número par de subintervalos.
Dedução do Método
Seja f(x) uma função contínua e considere 
�, onde n é um número par.
Entre x i e x i + 1 , escolhamos 
�.
Pelos pontos A
�, B
�, C
�, vamos construir uma parábola utilizando a interpolação de Lagrange.
O polinômio interpolador de Lagrange é dado por:
Mas, 
 
 
Então
Daí se tem que:
Calculando-se cada uma das integrais de (13), vem:
A área da curva y = f(x) entre x = a e x= b é aproximada por:
 Esta é a fórmula de Simpson de 1/3.
A forma mais simples de lembrar desta fórmula é :
�� EMBED Equation.3 
Obs: Não podemos esquecer de que n tem que ser par!
VII.3.1 Erro de Truncamento
 De modo análogo ao que foi feito na seção VII.2.1, podemos deduzir o erro de truncmento para regra de Simpson de 1/3 que é:
 ( ( (a, b)
Obs: Nesse caso o erro é proporcional a 
, e o método é exato para um polinômio de grau inferior ou igual a 3.
Exemplo:
Calcular a 
, aplicando:
a regra do trapézio;
a regra de Simpson de 1/3.
(sugestão: faça n=6)
Solução:
Construção da tabela de valores da f(x)
	i
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	
	0
	(/12
	2(/12
	3(/12
	4(/12
	5(/12
	6(/12
	f(xi)
	0
	0,2588
	0,5
	0,7071
	0,8660
	0,9659
	1
Cálculo da integral
Regra do Trapézio
 
= 0,9943
Regra de Simpson de 1/3
 
�� EMBED Equation.3 =1,0000038
Obs: O valor mais próximo para a integral acima, com a mesma quantidade de pontos tabelados, é dado pela regra de Simpson.
Lista de Exercícios - Unidade VII
Dada a tabela abaixo, calcule 
:
a)pela Regra do Trapézio 
 b) pela Regra de Simpson de1/3;
	X
	100
	102
	104
	106
	108
	F (x)
	2, 0000000
	2, 0086002
	2,0170333
	2, 0253059
	2, 0334238
Calcule o valor de I = 
 de 0 a 2:
Pela definição;
Pela Regra do Trapézio (n = 8);
Pela Regra de Simpson de 
;
Pela Quadratura Gaussiana para 5 Pontos.
Calcule as integrais abaixo pela regra do Trapézio e por Simpson:
dx 
 de 0 a 2 (n = 4)
 de 2 a 8 (n = 6)
 de 
dx
 de 0 a 4 (h = 0,25)
4) Um terreno está limitado por uma cerca reta e por um rio. As diferentes distâncias X (em metros) de uma extremidade da cerca ao rio, que é a largura Y do terreno (em metros) foram medidas,e os valores encontram-se na tabela abaixo:
	X
	0
	20
	40
	60
	80
	100
	120
	Y
	0
	22
	41
	53
	38
	17
	0
Determine a área aproximada do terreno utilizando:
a) a Regra do Trapézio 
b) a Regra de Simpson de 1/3, se possível.
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