Aula08-Integrais Duplas sobre retangulos

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Aula 08 
 
Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares 
 
Revisão da Integral Definida 
 definida para 
Subdividimos em subintervalos 
 de comprimento 
 
Escolha 
 
Soma de Riemann 
 
( )f x ,a x b 
[ , ]a b n
1[ , ]i ix x ( ) /x b a n  
*
1[ , ]i i ix x x
*
1
( )
n
i
i
f x x


*
1
lim ( )
n
i
n
i
f x x




( )
b
a
f x dx
Caso Especial 
( ) 0f x 
( ) 
b
a
f x dx
 área sob a curva ( ) de até . y f x a b
Integrais Múltiplas 
Volumes e Integrais Duplas 
 definida em um retângulo 
 
 
 
 
Suponhamos 
 
Seja o sólido que está contido na região 
 
 acima de e abaixo do gráfico de 
( , )z f x y
  2
[ , ] [ , ]
( , ) | ,
R a b c d
x y a x b c x d
 
     
( , ) 0f x y 
S
R
.f
R 
Volumes e Integrais Duplas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivo: determinar o volume de 
 
 
 3( , , ) | 0 ( , ),( , )S x y z z f x y x y R    
.S
R 
Procedimentos 
1) Dividir o retângulo em sub-retângulos. 
 Para isso dividimos em 
 subintervalos de comprimento 
 
 
e dividimos em subintervalos 
de comprimento 
 
 
 
 
R
[ , ]a b m
1[ , ]i ix x
( ) /x b a m  
[ , ]c d 1[ , ]i iy y
( ) /y d c n  
Procedimentos 
2) Traçando retas paralelas aos eixos 
coordenados, passando pelos extremos 
dos subintervalos, formamos os sub-
retângulos 
 
 
 
 
Cada um dos quais com área 
 
 
1 1
1 1
[ , ] [ , ]
( , ) | ,
ij i i j j
i i j j
R x x y y
x y x x x y x y
 
 
 
    
.A x y   
Procedimentos 
* *( , ) - ponto amostraij ijx y
Aproximação do Volume 
* *
volume da caixa retangular é dado por
( , )ij ijf x y A
Aproximação do Volume 
* *
1 1
( , )
(Soma Dupla de Riemann)
m n
ij ij
i j
V f x y A
 
 
Aproximação do Volume 
 Intuitivamente percebemos que a 
aproximação dada melhora quando 
aumentarmos os valores de 
portanto devemos concluir que 
* *
,
1 1
lim ( , )
m n
ij ij
m n
i j
V f x y A

 
 
 e ,m n
 
Integral Dupla sobre o Retângulo 
Definição: 
 
 
 
se esse limite existir. 
 
 Se então 
* *
,
1 1
( , ) lim ( , )
m n
ij ij
m n
i jR
f x y dA f x y A

 
 
( , ) 0,f x y 
( , )
R
V f x y dA 
 
Exemplo 1 
Estime o volume do sólido que está acima 
do quadrado e abaixo do 
parabolóide elíptico 
 
 
 
 
 
 
[0,2] [0,2]R  
2 216 2 .z x y  
Volume das caixas 
aproximadoras 
Melhor aproximação do volume 
v 
 
Exemplo 2 
Se 
calcule a integral 
 
 
 
 
 
 
2{( , ) | 1 1, 2 2},R x y x y       
21
R
x dA
2 211 (1) 4 2
2
R
V x dA      
2
2 2
Se 1
1 e 0
z x
x z z
 
   
R 
Regra do Ponto Médio 
 
Regra do Ponto Médio 
 
 
 
 
 
 
1
1
 é o ponto médio de [ , ] e 
 é o ponto méido de [ , ]
i i i
j j j
x x x
y x x


 
Exemplo 3 
 
Use a Regra do Ponto Médio com 
 
 
para estimar o valor da integral 
 
 
onde 
 
 
 
 
 
 
2m n 
 2( , ) | 0 2,1 2 .R x y x y     
2( 3 ) ,
R
x y dA
R 
 
Exemplo 3 
 
Solução: Usando a Regra do Ponto Médio 
com 
calcularemos no centro de 
 
 quatro sub-retângulos de acordo com a 
 
figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
2,m n 
2( , ) 3f x y x y 
 
Exemplo 3 
 
Então temos 
 
 
A área de cada sub-retângulo é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 1 2
1 3 5 7
, , e .
2 2 4 4
x x y y   
1
.
2
A 
 
Exemplo 3 
 
Logo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, temos 
 
 
 
 
Valor Médio 
 
O valor médio de uma função de uma 
variável definida em é 
 
 
 
Analogamente, o valor médio de uma 
função de duas variáveis definida em 
um retângulo contido em seu domínio é 
dado por 
 
 
 
 
méd
1
( )
b
a
f f x dx
b a

 
f
[ , ]a b
f
méd
1
( , )
( )
R
f f x y dA
A R
 
onde ( ) é a área de .A R R
R
 
Valor Médio 
 
Se , a equação 
 
 
 
diz que a caixa com base e altura 
tem o mesmo volume que o sólido 
delimitado pelo gráfico de 
 
 
 
 
 
 
( , ) 0f x y 
R
.f
méd( ) ( , )
R
A R f f x y dA  
médf
 
Observação 
 
Se descreve uma região 
 
montanhosa e vc corta os topos dos morros 
 
na altura então pode usá-los para 
 
encher os vales de forma a tornar plana a 
 
Região. 
 
 
 
 
( , )z f x y
médf
 
Observação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4 
 
O mapa do contorno na figura a seguir 
mostra a quantidade da precipitação de 
neve, em polegadas, no Estado do 
Colorado, em 20-21 de dezembro de 2006 
(O Estado tem formato retangular com 
medidas 388 milhas na direção leste-oeste 
e 276 milhas na direção norte-sul). Utilize 
o mapa de contornos para estimar a 
precipitação média no Colorado nesses 
dias. 
 
 
 
Mapa de Contornos 
Mapa de Contornos 
 
Exemplo 4 
 
Logo e 
 
 é a queda de neve, em polegadas 
 
 
 
 onde 
 
Usando a Regra do Ponto Médio com 
(dividimos em 16 sub-retângulos de 
tamanhos iguais) 
 
 
( , )f x y
4m n 
 
Exemplo 4 
 
Logo a área de cada sub-retângulo é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades das Integrais 
Duplas 
1) 
 
 
 
2) 
 
3) Se 
( , ) ( , ) ( , ) em , entãof x y g x y x y R 
( cte.)c 
Integrais Iteradas 
 contínua em 
 
A notação irá significar que 
 
 é mantido fixo e é integrado em 
 
relação a de e 
 
Esse procedimento é chamado integração 
 
parcial emrelação a 
 
 
( , )z f x y
x ( , )f x y
[ , ] [ , ]R a b c d 
( , )
d
c
f x y dy
y y c .y d
.y
Integrais Iteradas 
( ) ( , )
d
c
A x f x y dy 
 
( , ) ( , )
b d b d
a c a c
f x y dydx f x y dy dx 
     
( , ) ( , )
d b d b
c a c a
f x y dxdy f x y dx dy 
     
Exemplo 1 
Calcule o valor das integrais 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 2 2 3
2 2
0 1 1 0
( ) ( )a x ydydx b x ydxdy   
Solução a) 
Solução b) 
Teorema de Fubini 
Se for contínua no retângulo 
 
 
Então 
 
 
 
 
 
 
 ( , ) | ,R x y a x b c y d    
( , ) ( , )
b d
a c
R
f x y dA f x y dydx  
f
( , )
d b
c a
f x y dxdy  
Teorema de Fubini 
Justificativa razoável de sua validade! 
( , ) 0f x y 
Aproximação do Volume 
 
Analogamente 
( )
d
c
V A y dy 
( ) ( , )
b
a
A y f x y dx 
( , ) ( ) ( , )
d d b
c c a
R
f x y dA V A y dy f x y dxdy     
Exemplo 2 
Calcule a integral dupla 
 
onde 
 
{( , ) | 0 2, 1 2}R x y x y    
2( 3 ) ,
R
x y dA
Solução 1 
Solução 2 
Integral Dupla sobre o Retângulo 
 
Exemplo 3 
Calcule onde 
 
 
 
[1,2] [0, ].R  
sen( ) ,
R
y xy dA
Solução 1 
Solução 2 
Solução 2 
 
Exemplo 1 
 
Integral Dupla sobre o Retângulo 
 
Exemplo 4 
Determine o volume do sólido que é 
delimitado pelo parabolóide elíptico 
 os planos 
e os três planos coordenados. 
 
 
2 22 16,x y z  
S
2 e 2, x y 
Solução