Problemas_resolvidos_de_CN_2

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Questão 1 – Desenvolver a integração numérica pelos métodos dos retângulos 
inferiores, retângulos superiores e retângulos pelo valor médio (retângulo) a 
seguinte integral f(X) = X2 no intervalo de 0 a 1 com quatro intervalos. 
Solução: 
Considerando os quatro intervalos os valores de X são 0 , 0.25, 0.50, 0.75 e 1.00, note 
que no intervalo são considerados 5 valores de x, e que h é 0,25. 
Fórmula para os retângulos inferiores é h*(y0+y1+..........+yn-1) 
Índice Xi Yi = X2 Fator Yi*fator 
 
A = h*∑ 
A = 0,25*0,8750 
A = 0,21875 
0 0,00 0,0000 1 0,0000 
1 0,25 0,0625 1 0,0625 
2 0,50 0,2500 1 0,2500 
 3 0,75 0,5625 1 0,5625 
4 1,00 1,0000 1 -------- 
 ∑ 0,8750 
 
Fórmula para os retângulos superiores é h*(y1+y2+...........+yn) 
Índice Xi Yi = X2 Fator Yi*fator 
 
A = h*∑ 
A = 0,25*1,8750 
A = 0,46875 
0 0,00 0,0000 1 ---------- 
1 0,25 0,0625 1 0,0625 
2 0,50 0,2500 1 0,2500 
 3 0,75 0,5625 1 0,5625 
4 1,00 1,0000 1 1,0000 
 ∑ 1,8750 
 
Fórmula para os retângulos médios é h*[f((x1+x2)/2)+f((x2+x3)/2)+......+f((yn-
1+yn)/2)] 
Índice Xi Xim Yi = X2 Fator Yi*fator 
 
A = h*∑ 
A = 0,25* 1,312500 
A = 0,328125 
0 0,00 0,125 0,015625 1 0,015625 
1 0,25 0,375 0,140625 1 0,140625 
2 0,50 0,625 0,390625 1 0,390625 
 3 0,75 0,875 0,765625 1 0,765625 
4 1,00 
 ∑ 1,312500 
 
 
Questão 2 – Desenvolver a integração numérica pelos métodos dos retângulos 
inferiores, retângulos superiores e retângulos pelo valor médio (retângulo) a 
seguinte integral f(X) = X3 no intervalo de 0 a 1 com quatro intervalos. 
Solução: 
Considerando os quatro intervalos os valores de X são 0 , 0.25, 0.50, 0.75 e 1.00, note 
que no intervalo são considerados 5 valores de x, e que h é 0,25. 
Fórmula para os retângulos inferiores é h*(y0+y1+..........+yn-1) 
Índice Xi Yi = X3 Fator Yi*fator 
 
A = h*∑ 
A = 0,25*0,562500 
A = 0,140625 
0 0,00 0,000000 1 0,000000 
1 0,25 0,015625 1 0,015625 
2 0,50 0,125000 1 0,125000 
 3 0,75 0,421875 1 0,421875 
4 1,00 1,000000 1 -------- 
 ∑ 0,562500 
 
Fórmula para os retângulos superiores é h*(y1+y2+...........+yn) 
Índice Xi Yi = X3 Fator Yi*fator 
 
A = h*∑ 
A = 0,25*1,562500 
A = 0,390625 
0 0,00 0,000000 1 ---------- 
1 0,25 0,015625 1 0,015625 
2 0,50 0,125000 1 0,125000 
 3 0,75 0,421875 1 0,421875 
4 1,00 1,000000 1 1,000000 
 ∑ 1,562500 
 
Fórmula para os retângulos médios é h*[f((x1+x2)/2)+f((x2+x3)/2)+......+f((yn-
1+yn)/2)] 
Índice Xi Xim Yi = X3 Fator Yi*fator 
 
A = h*∑ 
A = 0,25* 0,96875 
A = 0,2421875 
0 0,00 0,125 0,001953125 1 0,001953125 
1 0,25 0,375 0,052734375 1 0,052734375 
2 0,50 0,625 0,244140625 1 0,244140625 
 3 0,75 0,875 0,669921875 1 0,669921875 
4 1,00 
 ∑ 
 
 
 
Questão 3 - A raiz de uma função f(x) deve ser calculada empregando o Método das 
Secantes, empregando como dois pontos iniciais X0 e X1. Com base na fórmula de 
cálculo das iterações seguintes, tem-se que X0 e X1 devem respeitar a que 
propriedade? 
Solução: f(X0) e f(X1) devem ser diferentes 
Questão 4 – Em uma aplicação do método das secantes foram informados os valores 
X0 e X1 e a função f(X), quais seriam as equações para a aplicação do método das 
secantes para quatro iterações. 
Solução: 
Primeira X2 = (X0*f(X1) – X1*f(X0))/(f(X1)-f(X0)) 
Segunda X3 = (X1*f(X2) – X2*f(X1))/(f(X2)-f(X1)) 
Terceira X4 = (X2*f(X3) – X3*f(X2))/(f(X3)-f(X2)) 
Quarta X5 = (X3*f(X4) – X4*f(X3))/(f(X4)-f(X3)) 
 
Questão 5 – Aplicar o método das secantes em f(X) = X2 + X – 6, considerar X0 = 1,5 e 
X1 = 1,7. Fazer 3 iterações. 
Solução: 
X2 = (X0*f(X1) – X1*f(X0))/2 X2 = (1,5*(-1,41) – (1,7*(-2,25))/(-1,41+2,25) 
X2 = 2,03571 
X3 = (X1*f(X2) – X2*f(X1))/2 X3 = (1,7*(0,17983) – 2,03571*(-1,41))/(0,17983+1,41) 
X3 = 1,99774 
X4 = (X2*f(X3) – X3*f(X2))/2 X4 = (2,03571*(-0,01131) – 1,99774*(0,17983))/(-0,01131- 0,17983) 
X4 = 1,99999 
 
Questão 6 – Escrever os números reais x1 = 0.45; x2 = - 7.172; x2 =0.0124; x3 = 0.0004 
e x4 = 7391.3; onde estão todos na base β = 10 em notação de um sistema de 
aritmética de ponto flutuante. 
Solução: 
0.45 = (4×10−1 + 5×10−2)x100 = 0.45×100 
−7.172 = −(7×10−1 +1×10−2 + 7×10−3 + 2×10−4)×101 = −0.7172×101 
0.0124 = (1×10−1 + 2×10−2 + 4×10−3) ×10−1 = 0.124×10−1 
7391.3 = (7×10−1 + 3×10−2 + 9×10−3 +1×10−4 + 3×10−5) ×104 = 0.73913×104 
0.0004 = (4×10−1) ×10−3 = 0.4×10−3 
 
Questão 7 – Os métodos de integração numérica em regra não são exatos. 
Suponhamos que um método de Integração em sua apresentação mais simples 
mostrado na figura a seguir. Se considerarmos sua integral o valor encontrado 
equivale ao que? 
 
 
 
 
 
 
Solução: Se for o método dos trapézios como sugere a figura, equivale à área do 
trapézio.