Introdução à Função Logarítmica

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FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
1 . INTRODUÇÃO 
Considere a função exponencial y = 2x tabelando alguns valores temos: 
x 2 
x
 y 
-3 
8
1
2
1
2
3
3 
8
1 
-2 
4
1
2
1
2
2
2 
4
1 
-1 
2
1
2
1
2
1
1 
2
1 
0 20 = 1 1 
1 21 = 2 2 
2 22 = 4 4 
 
Observe que na função exponencial y = 2x, para cada valor de”x” é fácil 
achar “y” correspondente. 
Agora, vamos supor que se pretende encontrar o valor do expoente “x” 
quando y é igual a 32, isto é, 32 = 2x . 
O valor de “x” que satisfaz a esta expressão é 5. Ao expoente 5 chamamos 
de logaritmo de 32 na base 2 e indicamos log2 32, portanto: 
 
532log232
2
5 
 
Os logaritmos servem para determinar o expoente, conhecida a base (2) e 
a potência (32). 
 
 
 
Como exemplos temos: 
 
 
225log525
5
2 
 
 
327log327
3
3 
Em geral: 
 xab xb
a
log
 
 forma forma 
 exponencial logarítmica 
 
A operação por meio da qual obtemos “x” é chamada de logaritmação 
 
2 . NOMENCLATURA 
 
 Operação 
Elementos 
Potenciação 
 
Logaritmação 
a base base do logaritmo 
b potência logaritmando ou antilogaritmo 
x expoente logaritmo 
 
3 . DEFINIÇÃO: 
 
 O logaritmo de um número “b” (b 0), na base “a” 
(a 0 e a 1), é o número “x” ao qual se deve elevar “a” para 
se obter “b”. 
 
Exercícios de aprendizagem: 
1. Complete o quadro, sabendo que: 
 
481log813
3
4 
2. Complete as sentenças, conforme o exemplo: 
 a) 
327log273
3
3
 ; b) 
225log255
5
2 
 c) 7
....
 = 49 log...49 = 2 
 
3. Observando o exemplo e considerando a definição dada calcule o valor 
do logaritmo: 
26663636log
2
6
xx
xx, 
Observe que a base muda de membro e carrega o “x” como expoente. 
 
CONSEQUÊNCIA DA DEFINIÇÃO 
 
1. Observando o exemplo e considerando a definição dada, calcule: 
a) 
022211log
0
2
xx
xx 
 
b) 
055511log
0
5
xx
xx
 
01log
a
 
 
c) 
011log
0
xaaax
xx
a
 
 
2. Observando o exemplo e considerando a definição dada, calcule: 
a) 
1222log
1
2
xx
x 
b) 
1333log
1
3
xx
x 
1log a
a
 
c) 
1log
1
xaaxa
x
a
 
3. Observando o exemplo e considerando a definição dada, calcule: 
a) 
3222log
33
2
xx
x 
b) 
2555log
22
5
xx
x 
ma
m
a
log
 
c) 
mxaaxa
xmm
a
log
 
 
4. Observando o exemplo e considerando a definição dada, calcule: 
 
a) x4log 22 Fazendo-se y4log
2
, tem-se que: xy2 (A) 
como 
y4log
2
 vem que: 
22224
2
y
yy , 
substituindo-se em (A), temos: 42 2 xx 
 
b) x9log 33 Fazendo-se y9log
3
, tem-se que: xy3 (B) 
como 
y9log
3
 vem que: 
23339
2
y
yy , 
substituindo-se em (B), temos: 93 2 xx 
 
c) xa balog Fazendo-se yb
a
log
, tem-se que: xa y (C) 
como 
yb
a
log
 vem que: yab , substituindo-se em (C), temos: 
bxxa
y 
 
 Dos exemplos acima a, b e c conclui que: ba balog 
 
 
Finalmente, calcule o valor do logaritmando: 
 
a) 
4loglog
22
x
, fazendo-se
y4log
2
, tem-se que 
yx
2
log
 
como o 
y4log
2
vem que: 
22224
2
y
yy , 
substituindo-se vem que 
422log
2
2
xxx
 
 
Daí se conclui que: 
cbcb
aa
loglog
 
 
 
 
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS: 
 
Logritmo de um produto de fatores 
 
Considerando os logaritmos: 
)1(log
x
b
baxa
 
)2(log
y
b
bcyc
 
)3(..log
z
b
bcazca
] 
Substituindo (1) e (2)em (3) vem: 
 
yxzbbbbbcab
yxzyxzz
.. 
 
daí vem que: caca
bbb
loglog.log 
 
Isto é: 
 “O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos 
fatores tomados na mesma base” 
 
Exemplos: 
1) aa
222
log5log.5log ” 
2) yxyx
222
loglog.log 
3) 
cbacba
2222
logloglog)..(log
 
 
 
 
 
 
Logritmo de um quociente de fatores 
 
Considerando os logaritmos: 
)1(log
x
b
baxa
 
)2(log
y
b
bcyc
 
)3(log
z
b
b
c
a
z
c
a 
Substituindo (1) e (2)em (3) vem: 
yxzbb
b
b
b
c
a
b
yxz
y
x
zz 
 
daí vem que: ca
c
a
bbb
logloglog 
 
Isto é: 
 “O logaritmo de um quociente é igual à diferença dos logaritmos 
dos fatores tomados na mesma base” 
 
Exemplos: 
1) a
a
222
log5log
5
log 
2) yx
y
x
222
logloglog 
 
 
 
 
LOGARIMO DE UMA POTÊNCIA 
 
Considere a expressão: 
 
annaaaaaaaa
bbbbb
n
b
log.log...loglog.....loglog
 
daí segue que: 
ana
b
n
b
log.log
 
 
isto é: 
 
 “O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo 
logaritmo da base da potência” 
 
 CASO PARTICULAR: a
n
aa
b
n
b
n
b
log.
1
loglog
1 
 
Exemplos: 
1) 5log35log
2
3
2
 
2) 3log23log
4
2
4
 
3) 3log
2
1
3log3log
2
2
1
22