Lista de Derivadas em Cálculo

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO - UFRPE
UNIDADE ACADEˆMICA DE SERRA TALHADA - UAST
PROFESSOR: Filipe Mendonc¸a de Lima
Lista sobre Derivadas
As derivadas mais simples sa˜o:
- (xn)′ = nxn−1
- ( sen (x))′ = cos(x)
- (cos(x))′ = − sen (x)
- (ax)′ = ax ln a
- (loga x)
′ = 1x ln a
As propriedades das derivadas sa˜o:
- (cf(x))′ = cf ′(x)
- (f(x)± g(x))′ = f ′(x)± g′(x)
- (f(x).g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)
-
(
f(x)
g(x)
)′
=
f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)
(g(x))2
- (f(g(x)))′ = f ′(g(x))g′(x)
1. Seja a func¸a˜o f(x) = 5x3 + 3x2 + 3x− 10. Calcule:
(a) f ′(1)
(b) f ′(−1)
(c) f ′(2)
(d) f ′(−2)
2. Seja f(x) =
1
x
.
(a) Calcule a derivada de f(x) no ponto x = 3 usando a definic¸a˜o de derivada atrave´s de limites.
(b) Calcule a derivada de f(x) no ponto x = 3 usando alguma propriedade da derivada de um polinoˆmio.
3. Suponha que f(x) e g(t) sa˜o as func¸o˜es abaixo. Indique as func¸o˜es compostas f(g(t)), g(f(x)) e calcule as derivadas.
(a) f(x) = 7x− 4 e g(t) = t2 − 3t
(b) f(x) = cos(x) e g(t) = 3t3 − 7t2 + 2t− 1
(c) f(x) = ex e g(t) = cos(t)
(d) f(x) = ln(x) e g(t) = 8t2
4. Dada uma func¸a˜o f(x), a Reta Tangente a f(x) no ponto x = x0 e´ dada por
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
Seja f(x) = 2x3 − 5x2 + 3x− 5. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto x = 1.
5. Seja f(x) =
1
1 + x2
. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto x = −1.
6. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo utilizando a regra da cadeia:
1
(a) a(x) = (2x + 3)
3
(b) b(t) = (t2 + 4t− 5)2
(c) c(x) = (x3 − 3x2 + 1)−3
(d) d(t) =
(
2t2 − 1
3t3 + 1
)2
(e) e(x) = e(ln(x))+1
(f) f(s) = (3s2 + 2s− 7)−
2
5
(g) g(x) =
√
1 + ln(1− x)
(h) h(t) =
1√
1− t2
(i) i(x) =
2x
ln(x)
(j) j(t) =
(t2 − 5)3
(t2 + 5)2
(k) k(s) = e(1+3s)
2
(l) f(x) = x4 ln(x)
(m) g(x) = ln(
√
x3 − 2x)
(n) f(x) = 2x log3(x)
(o) g(x) =
1
x2
+
1√
x
+
x
ln(x)
7. Uma aplicac¸a˜o da derivada a` F´ısica e´ com relac¸a˜o ao ca´lculo da velocidade instantaˆnea de um objeto dada uma
Func¸a˜o-Espac¸o S(t). A velocidade no instante t do objeto e´ dada pela derivada da func¸a˜o-espac¸o calculada no
instante t. Suponha que um corpo se movimento no espac¸o (em metros) atrave´s da func¸a˜o S(t) = 3t + 2t2 no
per´ıodo de 10 segundos.
(a) Quais sa˜o as velocidades nos instantes t = 5 e t = 10? (Calcule a derivada S′(t) nos pontos t = 5 e t = 10.)
(b) Em que instante t o corpo atinge a velocidade de 27 m/s? (Calcule a derivada, iguale a 27 e descubra o valor
de t)
(c) Qual a velocidade do corpo na metade do percurso?
(d) Qual a velocidade me´dia do corpo no movimento? (Obs: Calcule a a´rea da func¸a˜o velocidade entre t=0 e
t=10)
2