Fis 1-Doc 3A-Unidade 1-parte A (revisão 21-07-2012)

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Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 1
UNIDADE 1- Metrologia 
 
1.1 - Introdução 
 
 A Metrologia é a ciência das medições e medidas, abrangendo todos os aspectos 
teóricos e práticos relativos às medições, em quaisquer campos da ciência ou da tecno-
logia. Ela engloba todos os aspectos teóricos e práticos que asseguram a precisão exi-
gida no processo produtivo, procurando garantir a qualidade de produtos e serviços 
através da calibração e da ajustagem de instrumentos de medição, sejam eles analógi-
cos ou eletrônicos (digitais), e da realização de ensaios, sendo a base fundamental para 
a competitividade das empresas. Ela trata dos métodos de medição, dos erros e sua pró-
pagação, das unidades e dos padrões envolvidos na representação de uma grandeza físi-
ca, tanto do passado quanto do presente, bem como da caracterização e do comporta-
mento tanto estático quanto dinâmico dos sistemas de medição. 
A ISO1 série 9000 define explicitamente a relação entre garantia da qualidade e 
metrologia, estabelecendo diretrizes para que se mantenha um controle sobre os ins-
trumentos de medição da empresa, tornando assim necessária, a implantação de um 
processo metrológico naquelas que buscam ou que já possuem uma certificação. O fator 
globalização dos mercados também põe em prática um de seus principais objetivos, 
que é traduzir a confiabilidade nos sistemas de medição e garantir que especificações 
técnicas, regulamentos e normas existentes, proporcionem as mesmas condições de per-
feita aceitabilidade na montagem e encaixe de partes de produtos finais, independente 
de onde sejam produzidas. Uma outra meta, não menos importante, está na melhoria do 
nível de vida das populações por meio do consumo de produtos de qualidade, da preser-
vação da segurança, da saúde e do meio ambiente. 
A produção em série requer medições precisas e exatas. Todos os componentes 
integrantes de um produto genérico têm que ser substituíveis. A uniformidade é garan-
tida e controlada durante todo o processo de fabricação não só pela utilização de instru-
mentos perfeitamente calibrados e ajustados como também pelos ensaios de controle 
de qualidade. 
Do projeto ao produto final, a medição de precisão é o guia da perfeição. Para me-
dições de precisão, os profissionais (engenheiros, técnicos, ferramenteiros e inspetores) 
experientes devem ter à disposição instrumentos precisos, produzidos com materiais de 
qualidade, cuidadosamente manufaturados e rigorosamente inspecionados para garantir 
confiança duradoura. Conforme bem apregoa a equipe da Starrett, em sua “Apostila 
para Treinamento de Metrologia”: 
�“Instrumentos de precisão nas mãos de profissionais experientes resultam em traba-
lhos próximos da perfeição”. 
Dentro do terreno das imaginações e hipóteses, um determinado comerciante foi 
multado porque sua balança indicava sempre uma leitura errada para mais, relativamen-
te às mercadorias que ele vendia. Tendo em vista que já era a quarta vez que ele recebia 
uma multa considerável pela mesma razão, resolveu ajustar a balança. Muito chateado, 
disse ao técnico que realizava o serviço: 
 
1
 Sigla para International Organization for Standardization (Organização Internacional para Pa-
dronização). 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 2
– Não sei a razão para eu estar sendo perseguido desta forma. Tanta gente aqui nas ime-
diações tem balanças iguais a minha e só eu sou fiscalizado. Além do mais, o que im-
porta “umas gramas a mais ou a menos”? 
Talvez fosse melhor tal “cidadão” se informar não só a respeito dos direitos e 
deveres de cada um como também quanto à língua pátria e convenções metrológicas. 
Primeiramente, o correto não é “a grama”, mas sim “o grama”. Grama, no feminino, é 
aquela espécie vegetal encontrada em jardins e em campos de futebol. A expressão ade-
quada seria “uns gramas a mais ou a menos”. Depois, tem também o fato de que o com-
sumidor estaria sendo sempre prejudicado. Dá para imaginar o que aconteceria se todos 
pensassem semelhantemente a tal indivíduo despreparado? Tal tipo de ocorrência só 
vem a corroborar a importância da Metrologia que, basicamente, está dividida em três 
grandes áreas: 
a) A Metrologia Científica, que utiliza instrumentos laboratoriais, pesquisas e metodo-
logias científicas, que têm por base padrões de medição nacionais e internacionais, para 
o alcance de altos níveis de qualidade metrológica. 
b) A Metrologia Industrial, cujos sistemas de medição controlam processos produtivos 
industriais e são responsáveis pela garantia da qualidade dos produtos acabados. 
c) A Metrologia Legal, que controla e fiscaliza todos aqueles instrumentos e medidas 
que estão relacionadas com o consumidor. 
1.2 - Calibração, Ajustagem e Ensaios 
 
O termo aferição não é mais utilizado pelo INMETRO (Instituto Nacional de 
Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial) e sua rede de laboratórios de ca-
libração. Para facilitar a comunicação com os demais países, emprega-se o termo cali-
bração ao invés de aferição. 
Até 1995 eram utilizados os termos aferição e calibração com sentidos diferen-
tes. Por aferição entendia-se a comparação entre valores gerados por um padrão de re-
ferência e o valor efetivamente medido pelo instrumento sob análise. Por outro lado, a 
calibração era o ato de abrir o instrumento e proceder a uma possível manutenção, co-
locando o mesmo em condições metrológicas adequadas, isto é, dentro dos parâmetros 
estabelecidos pelo fabricante, e posteriormente, era realizada a aferição em laboratório, 
por um técnico qualificado. A partir de 1993, houve uma adequação dos termos, que 
passaram por uma revisão no International Vocabulary of Basic and General Terms 
in Metrology International Vocabulary of Metrology2 (em português: Vocabulário 
Internacional de Termos Fundamentais e Gerais em Metrologia). Atualmente, onde 
usava-se aferição passou-se a utilizar o termo calibração, e consequentemente o termo 
calibração foi substituído por ajustagem. 
Resumindo, em se tratando de uma calibração, estamos nos referindo ao ato de 
comparação entre as leituras e valores gerados pelo instrumento padrão3 (VVC) com o 
 
2
 Em 2004 ocorreu a publicação da 3ª edição original deste trabalho. Vide referências bibliográficas nº 26 
e 27. 
 
3
 VVC-Valor verdadeiro convencional. 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 3
instrumento sob teste4 (VI), ao passo que uma ajustagem corresponde a intervenção 
corretiva ou manutenção do instrumento que apresentou erros de amplitudes elevadas, 
observadas durante o processo de calibração. Resumindo: a calibração é a comparação 
entre os valores indicados por um instrumento de medição e os indicados por um padrão 
(equipamento de classe superior), e a ajustagem é a tarefa de regular um instrumento de 
medição com vistas a diminuir os erros de medição. 
Tanto a calibração quanto a ajustagem dos equipamentos de medição, são fun-
ções importantes para a qualidade no processo produtivo e devem ser atividades nor-
mais de produção, as quais proporcionam uma série de vantagens, tais como: 
a) garantir a rastreabilidade das medições; 
b) permitir a confiança nos resultados medidos; 
c) reduzir a variação das especificações técnicas dos produtos; 
d) prevenir defeitos; 
e) compatibilizar as medições. 
Através dos ensaios é possível verificar se os produtos ou processos de fabricação 
estão de acordo com determinadas normas e especificações técnicas para, em casos de 
falhas, as empresas procederem às correções que irão beneficiá-las, pelo aumento da 
competitividade, e aos consumidores, pelo acesso a produtos ou serviços que atendem a 
padrões mínimos de qualidade. 
1.3 - Medição ou Mensuração, Medida, Grandeza, Mensurando, Uni-
dade de Medida e Padrão Metrológico 
 
Medir é uma atividade mais corriqueira do que parece. Aoolharmos no relógio, 
por exemplo, estamos vendo no mostrador o resultado de uma medição de tempo. Ao 
tomarmos um táxi, comprarmos um quilograma de carne no açougue ou abastecermos o 
carro no posto de gasolina, presenciamos medições. Mas afinal, o que é uma medição? 
Existe uma imensa variedade de coisas diferentes que podem ser medidas sob vá-
rios aspectos. Imagine uma lata, dessas que são usadas para refrigerantes. Podemos me-
dir a sua altura, podemos medir quanto ela “pesa” e podemos medir quanto líquido ela 
pode comportar. Cada um desses aspectos (comprimento, massa, volume) implica numa 
grandeza física diferente. 
Medir é comparar uma grandeza com uma outra, de mesma natureza, tomada co-
mo padrão. Medição ou mensuração é, portanto, o conjunto de operações que tem por 
objetivo determinar o valor de uma grandeza. 
Neste ponto fica óbvio que o conceito de grandeza é fundamental para que rea-
lizemos qualquer medição. Grandeza pode ser definida, resumidamente, como sendo o 
atributo físico de um corpo que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativa-
mente determinado. Também podemos dizer que uma grandeza física é um elemento 
 
4
 VI-Valor das leituras obtidas no instrumento sob teste. 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 4
convencionalmente introduzido com o objetivo puro e simples de facilitar o estudo e a 
descrição de um fenômeno ou de um grupo de fenômenos, sendo tal elemento suscetível 
de definição quantitativa e determinação quantitativa. 
O resultado da medição de uma grandeza é a medida da mesma, sendo, pois, o 
valor atribuído a um mensurando obtido através da medição. O mensurando é o obje-
to da medição, isto é, a grandeza específica submetida à medição. 
Entretanto, para determinar o valor numérico de uma grandeza, é necessário que 
se disponha de uma outra grandeza de mesma natureza, definida e adotada por conven-
ção, para fazer a comparação com a primeira. Assim sendo, a unidade de medida é 
uma grandeza específica, definida e adotada por convenção, com a qual outras grande-
zas de mesma natureza são comparadas a fim de expressar seu tamanho relativamente 
àquela grandeza de referência ou padrão. 
Para saber a altura daquela lata, por exemplo, é preciso adotar um comprimento 
definido para ser usado como unidade. O comprimento definido como unidade de medi-
da pelo Sistema Internacional de Unidades - SI, é o metro, seus múltiplos e submúlti-
plos. Desde 1983, o metro é definido como sendo o comprimento do trajeto percorrido 
pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo, mas 
ainda voltaremos a tal assunto. 
Seria bem complicado medir a altura de uma lata usando apenas a definição do 
metro. Para isso existem os padrões metrológicos. Um padrão metrológico é, em resu-
mo, um instrumento de medição ou uma medida materializada, destinado a reproduzir 
uma unidade de medida para servir como referência. 
O padrão (de qualquer grandeza) reconhecido como tendo a mais alta qualidade 
metrológica e cujo valor é aceito sem referência a outro padrão, é chamado de padrão 
primário. Um padrão cujo valor é estabelecido pela comparação direta com o padrão 
primário é chamado padrão secundário, e assim sucessivamente, criando uma cadeia 
de padrões onde um padrão de maior qualidade metrológica é usado como referência 
para o de menor qualidade metrológica. Pode-se, por exemplo, a partir de um padrão 
de trabalho, percorrer toda a cadeia de rastreabilidade desse padrão, chegando ao pa-
drão primário. 
A fim de não perder nossa linha de raciocínio, resolvemos incluir muito mais ma-
terial sobre padrões no anexo 3, cujo título é “Os Padrões e a História”. Também pelo 
mesmo motivo, deixamos o Sistema Internacional de Unidades para o anexo 4 e as con-
versões entre medidas de comprimento para o anexo 5. 
Trocando em miúdos tudo o que já foi dito até agora na presente seção, podemos 
dizer que medir uma grandeza é compará-la com outra da mesma espécie e verificar 
quantas vezes essa outra é menor ou maior que aquela. Assim, por exemplo, medir a 
área A, de um terreno nada mais é do que verificar quantas vezes essa área é maior (ou 
menor) do que a área de um quadrado de 1 m de lado. Escolhemos então, em tal caso, a 
área do quadrado de 1 m de lado para termo de comparação. Suponhamos, somente para 
fixar idéias, que a área do terreno seja 400 vezes maior que a do quadrado de 1 m de 
lado. De forma sintética ou concisa, dizemos então que a área do terreno é de 400 me-
tros quadrados (simbolicamente 400 m2) e escrevemos 
 
2400 mA = 
 
convencionando que a expressão 2400 m significa 400 vezes a área de um quadrado de 1 
m de lado. 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 5
Conforme já foi explanado, a parte de uma grandeza que é escolhida para termo 
de comparação das grandezas de sua espécie é chamada unidade da grandeza, ou uni-
dade de medida da grandeza. No caso em questão, a unidade de área escolhida foi a 
área de um quadrado de 1 m de lado, ou seja, o 2m . 
O número que exprime a razão entre uma certa grandeza e sua unidade, isto é, o 
número que exprime quantas vezes uma certa grandeza é maior (ou menor) que a 
unidade escolhida, é denominada medida relativa da grandeza, obviamente relativa à 
unidade considerada. No caso analisado, a medida da área do terreno é 400. Observando 
a relação 
 
 
2400 m ,A = 
 
concluímos que a expressão completa de uma grandeza é constituída por dois fato-
res; um deles é a unidade de medida ( 2m , no caso em questão), e o outro a medida 
relativa da grandeza (400, no presente caso). A fim de sedimentar tal conceito, vamos 
apresentar, em seguida, a tradução de um trecho de um dos livros que mais impulsionou 
o desenvolvimento da Física: 
�“Cada expressão de uma grandeza consta de dois fatores ou componentes. Um deles é 
o nome da grandeza de mesma espécie que a grandeza considerada, e que é tomada co-
mo padrão de referência. O outro fator é o número de vezes que o padrão deve ser to-
mado a fim de reproduzir a grandeza em apreço. O padrão de referência é tecnicamente 
chamado unidade, enquanto que ao número se dá o nome de medida da grandeza con-
siderada.”[J.C.Maxwell5, A Treatise on Electricity and Magnetism, vol 1, Dover, New 
York, 1954. (Reprodução inalterada da 3ª edição inglesa, de 1891]. 
Bem, agora que já falamos em padrões de referência, temos também que ressaltar 
que, antes de fazer qualquer medição, precisamos saber qual a grandeza que pretende-
mos medir e o grau de exatidão que pretendemos obter como resultado dessa medição, 
para então podermos escolher o instrumento de medir adequado. Além disso, é neces-
sário que o instrumento ou medida materializada em questão tenha sido calibrado. 
A calibração já foi abordada, mas é mister definir a exatidão de medição como 
sendo o grau de concordância entre o resultado de uma medição e o seu valor verda-
deiro convencional. Quando se diz que um instrumento ou aparelho tem boa exatidão 
de medição, significa que o mesmo acarreta pequenos erros de medição quando utiliza-
do adequadamente. 
Também não é demais introduzir a incerteza de medição, como sendo o parâme-
tro associado ao resultado de uma medição que caracteriza a dispersão de valores que 
podem ser atribuídos a um mensurando. Sobre a dispersão trataremos mais adiante, po-
rém, a incerteza de medição é a dúvida quanto ao resultado ao efetuar uma medição. 
Nenhuma medição pode ser realizada sem que existam erros associados, devidos a im-
perfeições do instrumento, ao operador e ao processo utilizado. Portanto, alguma dúvi-
da ainda existe quando efetuamos uma medição. Nas medições críticas, que são aque-
las nas quais existem grande preocupações associadas aos resultados, é necessário ava-
liar a incerteza de medição. Para tal finalidade, devemos utilizar um documento in-
ternacional denominado “Guide to theExpression of Uncertainty in Measurement”, que 
 
5
 Maxwell [James Clerk Maxwell (1831-1879)] - físico escocês que deu grandes contribuições ao 
Eletromagnetismo e à Termodinâmica. 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 6
foi traduzido para o Português, pelo INMETRO, e é distribuído para todo o nosso país 
por este instituto com o título “Guia para a Expressão da Incerteza de Medição”. 
Vamos agora supor que queiramos saber quanto “pesamos”. A grandeza a ser me-
dida é a massa – neste ponto é interessante revisar a diferença conceitual entre massa e 
peso. Neste caso, não é necessário um resultado com grande exatidão de medição e a 
balança antropométrica da drogaria resolve o nosso caso. 
Agora, vamos supor que você trabalhe numa farmácia de manipulação e precise 
determinar a massa do componente de um medicamento para aviar uma receita. É 
aconselhável que você obtenha um resultado com grande exatidão de medição. Uma 
balança analítica compatível com a exatidão requerida é o instrumento mais adequado. 
Mesmo na medição mais corriqueira adotamos, de maneira consciente ou incons-
ciente, um método de medição e um procedimento de medição. 
Como nos exemplos anteriores, métodos e procedimentos de medição são adota-
dos em razão da grandeza a ser medida, da exatidão requerida e de outros condicionan-
tes que envolvem uma série de variáveis. 
Vamos supor que queiramos determinar o volume de 200 ml de óleo comestível. 
Se não necessitamos de grande exatidão (vamos usar o óleo para fazer uma receita culi-
nária) então o método escolhido pode ser, simplesmente, verter o óleo em uma medida 
de volume graduada (uma proveta, por exemplo). Porém, se o resultado exigir maior 
exatidão (um ensaio em laboratório), será necessário utilizar outro método, que leve em 
consideração outras variáveis, como a temperatura do óleo, sua massa, sua massa espe-
cífica e por ai vai, uma vez que o volume do óleo varia em função da temperatura que 
este apresenta no momento da medição. 
Após medir uma grandeza, devemos enunciar o resultado da medição. Parece coi-
sa simples, mas não é! Em primeiro lugar, ao realizar uma medição, é impossível de-
terminar um valor verdadeiro para a grandeza medida. 
Vamos supor que medimos a massa de um corpo em uma balança eletrônica e a 
indicação numérica que apareceu no visor foi 342 g (trezentos e quarenta e dois gra-
mas). Na verdade, um possível valor verdadeiro da massa daquele corpo estaria próxi-
mo da indicação obtida, embora este seja, por definição, indeterminável. Os parâmetros 
dessa aproximação são dados pela incerteza da medição. 
Como nos exemplos anteriores, se essa medição destina-se a fins domésticos, não 
é necessário qualquer rigor ao expressar o seu resultado. Entretanto, quando se trata de 
medições para fins científicos ou tecnológicos, será preciso deixar claro se o resultado 
apresentado refere-se àquela indicação, ou ao resultado corrigido, ou ainda à média de 
várias medições. Deve conter ainda informações sobre a incerteza de medição, ser ex-
presso utilizando-se o nome e a simbologia da grandeza de forma correta e levar em 
consideração os algarismos significativos que compõem o valor numérico. 
No texto acima, se referimos a exemplos de medição doméstica comparados a 
exemplos de medição de cunho científico ou tecnológico, foi apenas por acreditar que 
tais comparações facilitam a compreensão. Na verdade, a maior parte das medições que 
observamos no dia a dia são, de fato, de cunho comercial, e são reguladas por uma parte 
específica da Metrologia, já citada anteriormente, que é denominada Metrologia Legal. 
Uma medição ou mensuração também pode ser entendida como sendo a utiliza-
ção de um sentido físico que é a visão e, em alguns casos, também um instrumento, dis-
positivo ou aparelho, com a finalidade de determinação do valor de uma grandeza. Tra-
ta-se, portanto, de uma observação feita para determinar uma quantidade desconhecida. 
 Existem três tipos de medição, que serão detalhados a seguir: 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 7
direta simples
direta
Tipos de medições instrumental
indireta
indireta simples



 


 
 
(a) A medição direta simples é a comparação da grandeza a ser medida com uma gran-
deza de mesma natureza adotada como unidade ou como padrão, ou seja, quantas vezes 
esta cabe naquela. 
Exemplos de medições diretas simples: 
 
1º) A medição de um terreno a passo. 
 
2º) A contagem do número de dias de duração de um determinado fenômeno. 
 
3º) A determinação da massa de um corpo utilizando uma balança mecânica de pratos e 
massas de referência. Pode parecer que se trata de uma medição instrumental, mas não 
é! O instrumento, que no caso é a balança, é só uma interface no processo comparativo 
entre a massa do corpo e as massas de referência; ela não fornece o valor da massa em 
uma escala ou mostrador. Tal valor é determinado quando o peso das massas colocadas 
em um prato equilibram o peso do corpo situado no outro prato. 
 
 
 
Fig. 1.1 - O passo humano é variável Fig. 1.2 - Balança mecânica de pratos 
 
Em Física, são poucas as grandezas suscetíveis de medição direta simples e são 
aquelas que envolvem comprimentos, massas e tempos. Este tipo de medição, normal-
mente, não fornece resultados muito precisões e fornecem, no mais das vezes, uma no-
ção da ordem de grandeza dos valores pesquisados. Repare, no primeiro exemplo, que 
além do passo humano ser variável, um comprimento pode não ser um múltiplo inteiro 
do passo empregado como padrão de medição, não sendo, portanto, possível a estima-
tiva precisa de frações do mesmo. No segundo exemplo, embora a duração de um dia 
seja um tempo conhecido, também existe o problema do fracionamento, a menos que 
empreguemos os conceitos de horas, minutos, segundos, décimos de segundo, etc., o 
que, no entanto, já seria uma medição instrumental. 
 
(b) A medição instrumental é a mensuração de uma grandeza por intermédio de um 
efeito produzido, sob condições controladas, em um instrumento ou aparelho de medi-
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 8
ção. Em sua esmagadora maioria, as grandezas físicas são medidas desta forma. Na 
classe dos instrumentos de medição temos, por exemplo, a régua graduada, a fita me-
trica e a trena, para medidas de comprimento, o paquímetro e o micrômetro para me-
didas de precisão envolvendo distâncias (espessuras, diâmetros, alturas de ressaltos, 
profundidade de depressões e de furos cegos, etc.), o cronômetro, para medidas de tem-
po, o termômetro, para medidas de temperatura, o goniômetro6, para as medidas e tra-
çados de ângulos planos, sendo que o transferidor é um tipo simples de goniômetro, e 
o dinamômetro de mola, para medir forças. Nesta classe podemos ainda incluir o esfe-
rômetro, para medidas de raio de curvatura, o calibrador traçador de altura, para me-
didas da distância vertical entre planos horizontais, o barômetro, para medidas da pres-
são atmosférica, o pressostato, para medidas da pressão em geral, o altímetro, para as 
determinações de altitudes e o teodolito7, para as medidas de ângulos verticais e hori-
zontais. Já como aparelhos, podemos citar o dinamômetro para testes automotivos, 
também para medir forças, o gravímetro, para as medições da aceleração da gravidade, 
o amperímetro, para as medidas da intensidade de corrente elétrica, o voltímetro, para 
as medidas de tensão, diferença de potencial (d.d.p.) ou voltagem elétrica, o ohmíme-
tro, para as medidas de resistência elétrica, o terrômetro ou megger de terra, para as 
medições da resistividade do solo e da resistência de aterramento, o multímetro ou 
multiteste (multimeter ou MM – multimeter em inglês, se for analógico, ou DMM - 
digitalmultimeter, se for digital – funciona, de forma selecionada, como amperímetro, 
voltímetro, ohmímetro, capacímetro, indutímetro ou termômetro8.), o capacímetro, pa-
ra as medidas da capacitância elétrica, o indutímetro, para as medições da indutância 
elétrica, decibelímetro, para as medidas da intensidade sonora, o wattímetro ou vatí-
metro, para as medições da potência ativa, expressa em watt - W, o varímetro, para as 
medidas da potência reativa, expressa em volt-ampère-reativo - VAr, o medidor de 
kWh, para as medições da energia elétrica ativa consumida (usado em residências), o 
medidor de kVArh, para medições da energia reativa trocada entre a concessionária e o 
 
6
 Um goniômetro é um instrumento de medida em forma semicircular ou circular graduada em 180º ou 
360º, utilizado para medir ou construir ângulos. Entre os goniômetros está o transferidor, um semicírculo 
de plástico transparente ou um círculo graduado utilizado para medir ou construir ângulos. Mais 
especificamente, um goniômetro é um instrumento que mede o ângulo entre as superfícies refletoras de 
um cristal ou prisma.Os dois raios de luz provenientes de um colimador (um sistema de lentes e fendas 
projetado para criar feixes paralelos de luz) são dirigidos sobre duas superfícies adjacentes do cristal: os 
feixes são refletidos pelas duas faces e o ângulo entre os dois feixes refletidos (duas vezes o ângulo entre 
a superfície do cristal ou prisma) é medido. Um goniômetro é também um dispositivo utilizado 
juntamente com transmissores de rádio ou radar. Ele permite que um sinal seja emitido em qualquer 
direção ou que a direção de um sinal que chega ao receptor seja determinada sem o apoio de uma antena 
fisicamente giratória. É também um instrumento utilizado por fisioterapeutas para medir a amplitude 
articular. 
7
 O teodolito é um instrumento óptico utilizado na Topografia e na Agrimensura para realizar medidas 
de ângulos verticais e horizontais, sendo usado em redes de triangulação. Basicamente é um telescópio 
com movimentos graduados na vertical e na horizontal, e montado sobre um tripé, podendo possuir ou 
não uma bússola incorporada. 
8
 Nem todos os multímetros, e existem vários tipos deles, possuem todas estas funções, mas existe um 
modelo da IMPAC, que será apresentado nas figuras 1.50 e 1.51, e que tem todas elas. 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 9
consumidor (usado em fábricas, indústrias e grandes condomínios), o medidor de 
kWh/kVArh, para medições tanto da energia elétrica ativa quanto da reativa (também 
com as mesmas aplicações do anterior), o frequencímetro, para medidas da frequência 
de uma vibração periódica, o sequencímetro ou fasímetro9, para indicações da sequên-
cia de fases e também para indicações de falta de fase (fase aberta), o medidor de fator 
de potência e o medidor de pressão arterial. 
 A medição instrumental só tem sentido se houver correspondência biunívoca 
entre a grandeza do efeito que o instrumento faz aparecer (leitura da escala), e a gran-
deza do ente físico que produz aquele efeito (força, temperatura, campo magnético, etc.) 
 Geralmente, a graduação do instrumento dá diretamente a grandeza à qual ele 
responde e que está medindo. O traçado da escala e a verificação da condição inicial do 
instrumento, fazem parte da calibração do mesmo. Ela é feita com base em leis físicas 
ou por comparação com algum instrumento padrão. 
 
 
 
Fig. 1.3 - LEDs. 
 
Os instrumentos e aparelhos atuais são apresentados em duas versões: analógicos, 
que têm ponteiros e escalas de leitura, e digitais, que têm visores ou mostradores (dis-
plays), nos quais, através de circuitos eletrônicos, são acesos os LEDs10 que formam os 
números indicadores das leituras. 
 
 
 Fig 1.4 - Régua graduada Fig 1.5 - Fita métrica 
 
9
 Em um sistema elétrico trifásico, o sequencímetro ou fasímetro serve para determinar a sequência das 
fases - abc (sequência direta) ou acb (sequência inversa), bem como verificar se existe fase aberta. Este 
aparelho nada mais do que um pequeno motor trifásico acoplado a um disco no painel, que indica se esta 
sequência de fase irá fazer o motor girar em sentido horário ou anti-horário. No aparelho do tipo digital, 
são detectadas as passagens por zero de cada fase que sãoaplicadas num circuito sequencial feito com 
flip-flop e indicam se a sequência é horária ou anti-horária. 
10
 O diodo emissor de luz também é conhecido em inglês pela sigla LED (Light Emitting Diode). Sua 
funcionalidade básica é a emissão de luz em locais e instrumentos onde se torna mais conveniente a sua 
utilização ao invés de uma lâmpada. Especialmente utilizado em produtos de microeletrônica como sinali-
zador de avisos, também pode ser encontrado em tamanho maior, como em alguns modelos de sinais de 
trânsito (semáforos). 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 10
 
 
 
 Fig 1.6 - Trena Fig 1.7 - Trena digital 
 
 
Fig 1.8 - Paquímetro universal 
 
 
 
Fig 1.9 - Paquímetro universal com relógio 
 
 
 
Fig 1.10 - Paquímetro digital 
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Fig 1.11 - Micrômetro externo Fig 1.12 - Micrômetro externo digital 
 
 
 
 
 
 Fig 1.13 - Micrômetro interno Fig 1.14 - Micrômetro interno digital 
 
 
 
 Fig 1.15 - Cronômetro Fig 1.16 - Cronômetro digital 
 
 
 
 Fig 1.17 - Termômetro Fig 1.18 - Termômetro 
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 Fig 1.19 - Termômetro digital Fig 1.20 - Termômetro digital 
 
 
 Fig 1.21 - Goniômetro Fig 1.22 - Goniômetro de precisão 
 
 
 
 Fig 1.23 - Goniômetro digital 
 
 
 
 Fig 1.24 - Transferidor Fig 1.25 - Dinamômetros 
 
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 Fig 1.26 - Dinamômetro digital Fig 1.27 – Esferômetro 
 
 
 Fig 1.28 - Esferômetro com relógio Fig 1.29 - Calibrador traçador de altura 
 
 
 
Fig 1.30 - Calibrador traçador de altura Fig 1.31 - Calibrador traçador de altura 
 com relógio digital 
 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 14
 
 
 Fig 1.32 – Barômetro Fig 1.33 - Barômetro de Torricelli 
 
 
 
 Fig 1.34 - Barômetro digital Fig 1.35 - Pressostato 
 
 
 
 Fig 1.36 - Pressostato digital Fig 1.37 - Altímetro 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 15Fig 1.38 – Altímetro digital Fig 1.39 - Teodolito 
 
 
 
 Fig 1.40 - Teodolito no tripé Fig 1.41 - Dinamômetro para testes 
 automotivos 
 
 
 
 Fig 1.42 - Dinamômetro para testes automotivos Fig 1.43 - Gravímetro 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 16
 
 
 Fig. 1.44 - Amperímetro analógico Fig. 1.45 - Amperímetro analógico do tipo alicate 
 
 
 
 Fig. 1.46 - Funcionamento do amperímetro 
 
 
 
Fig. 1.47 - Amperímetro digital Fig. 1.48 - Carregador de baterias (20 AH) com 
 amperímetro digital acoplado 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 17
 
 
Fig. 1.49 - Amperímetro automotivo Fig. 1.50 - Amperímetro automotivo 
 analógico digital 
 
 
 
 Fig. 1.51 - Voltímetro analógico Fig. 1.52 - Fonte CC com amperímetro e 
 voltímetro digitais 
 
 
 
Fig. 1.53 - Funcionamento do voltímetro 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 18
 
 
 Fig. 1.54 - Voltímetro digital Fig. 1.55 - Voltímetro digital para verifica- 
 ção de baterias de automóveis 
 
 
 
 Fig. 1.56 - Voltímetro automotivo Fig. 1.57 - Voltímetro automotivo 
 analógico digital 
 
 
 
 
 Fig. 1.58 - Ohmímetro analógico Fig. 1.59 - Ohmímetro digital 
 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 19
 
 
Fig. 1.60 - Funcionamento do ohmímetro 
 
 
 
 Fig. 1.61 - Terrômetro analógico Fig. 1.62 - Terrômetro digital 
 
 
 
Fig. 1.63 - Multímetro analógico Fig. 1.64 - Multímetro digital 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 20
 
 
 Fig. 1.65 - Multímetro digital11 Fig. 1.66 - Painel do multímetro digital 
 
 
 
 Fig. 1.67 - Capacímetro digital Fig. 1.68 - Indutímetro digital 
 
 
11
 O principal diferencial deste produto é a medição de indutância e de capacitância, bem como o 
mostrador LCD grande que indica onde ligar as pontas de prova ajudando a evitar erros de opera-
ção. Outro ponto bastante interessante é a possibilidade de calibrar o instrumento pelo próprio pai-
nel, sem a necessidade de abrir o aparelho. O mesmo é entregue totalmente calibrado de fabrica. 
Teste de continuidade sonoro com bipe. Características: Mostrador de cristal líquido (LCD) de 3 
½ dígitos c/ Iluminação e indicação ligação dos bornes; Tensão CC: 200mV, 20V, 200V, 1000V, 
Precisão: ± 0,5% a ± 0,8% da leitura ± 5 dígitos; Tensão CA: 2V, 200V, 700V, Precisão: ± 0,8% 
a ± 1,2% da leitura ± 7 dígitos; Corrente CC: (2,200 )mA, 10A, Precisão básica: ± 0,8% a ± 2% da 
leitura ± 5 dígito; Corrente AC: 200mA, 10A, Precisão básica: ± 1,8% a ± 3% da leitura ± 5 dígi-
tos; Resistência: 200, 2K, 200K, 2M, 20M, Precisão básica: ± 0,8% a ± 1% da leitura ±5 dígitos; 
Capacitância: 20nF-200µF, Precisão: ±3% a 5% ±5 dígitos; Frequência: 2k, 20k,200 kHz, Preci-
são: ±0.5% ±3 dígitos; Teste de hfe transistor e diodo: Sim NPN e PNP; Congelamento de leitura: 
Sim; Temperatura de Operação: 0 a 40ºC; Alimentação: 1 Bateria de 9 V. 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 21
 
 
 Fig. 1.69 - Capacímetro e indutímetro digital Fig. 1.70 - Medidor RLC 
 
 
 
 
 Fig. 1.71 - Medidor RL Fig. 1.72 - Medidor RC 
 
 
 
 
 Fig. 1.73 - Decibelímetro analógico Fig. 1.74 - Decibelímetro digital 
 
 
 
 Fig. 1.75 - Decibelímetro digital Fig. 1.76 - Decibelímetro digital 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 22
 
 
 Fig. 1.77 - Watímetro analógico Fig. 1.78 - Watímetro analógico 
 
 
 
 Fig. 1.79 - Watímetro digital Fig. 1.80- Watímetro digital 
 
 
 Fig. 1.81 - Varímetro analógico Fig. 1.82 - Varímetro digital 
 
 
 
 Fig. 1.83 - Medidor de energia ativa Fig. 1.84 - Medidor digital de energia ativa 
 
Devemos também mencionar que, em breve, todo o sistema que faz com que a 
energia elétrica chegue até a sua casa deve mudar. A tecnologia analógica que temos 
hoje deve ser substituída por outra conhecida pelo adjetivo inteligente. A ponta da ca-
deia dessa nova rede é o medidor eletrônico, o smart grid, que já começa a ser instala-
do para teste em algumas regiões do Brasil. 
Com o uso de microprocessadores e memória semelhante à de computadores, os 
novos medidores trazem a ideia de tempo real para a distribuição e para o uso de ener-
gia, o que aproxima a ligação entre clientes e concessionárias. Quedas poderão ser dia-
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 23
gnosticadas de forma automática, e a área atingida, reduzida, já que será possível con-
trolar o fluxo da energia. 
O sistema une tecnologia da informação (TI), sensoriamento remoto e telecomu-
nicações para permitir uma série de novas funções. Bem desenvolvida nos países nórdi-
cos e nos E.U.A., o grande objetivo da rede inteligente é o controle da energia consu-
mida, partindo do princípio de que o maior domínio da cadeia possibilita a redução do 
desperdício. 
 
 
 Fig. 1.85 - Sistema smart grid Fig. 1.86 - Tecnologia do sistema smart grid 
 
 
 
Fig. 1.87 - Medidor digital de energia reativa Fig. 1.88 - Medidor digital de energias 
 ativa e reativa 
 
 
 
Fig. 1.89 - Medidor de Energias e Controle de Demanda PWR 3200 plus: é um medidor 
de energia trifásico e controlador de demanda e fator de potência, com 32 saídas de con-
trole que podem compartilhar as funções de controle de demanda, controle de fator de 
potência e programações horárias. Além disso, possibilitaa medição das tensões e cor-
rentes nas 3 fases, o cálculo das energias e das potências ativa, reativa e aparente (trifá-
sicas e monofásicas), assim como dos fatores de potência e a integração da potência ins-
tantânea trifásica em períodos de 15 minutos para controle de demanda. Possui memória 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 24
interna (datalogger) com capacidade de até 8 Mb. Possui comunicação serial para cone-
xão com o Sitrad12. 
 
 
 
 Fig. 1.90 - Frequencímetro Fig. 1.91 - Frequencímetro digital 
 
 
 
 Fig. 1.92 - Frequencímetro digital 
 
 
 
 Fig. 1.93 - Fasímetro digital para Fig. 1.94 - Fasímetro digital para 
 indicação da sequência indicação da sequência 
 de fases e de falta de fase de fases e de falta de fase 
 
 
 
 Fig. 1.95 - Medidor analógico Fig. 1.96 - Medidor digital 
 de fator de potência de fator de potência 
 
 
12
 É um sistema, desenvolvido pela Full Gauge Controls, que permite a administração local ou remota 
de sistemas de energia elétrica, refrigeração, aquecimento, climatização e aquecimento solar entre outros. 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 25
 
 
 Fig. 1.97 - Medidor de pressão arterial Fig. 1.98 - Medidor digital 
 de pressão arterial 
 
Conforme já ressaltado, a medição instrumental pode ser feita de forma direta 
ou indireta. Na forma direta é quando o processo envolve apenas o aparelho e o siste-
ma a ser analisado. Na forma indireta, são envolvidos outros aparelhos ou dispositivos, 
que fazem a interface entre o sistema sob análise e o aparelho de medição, isto é, quan-
do este último não é diretamente sensibilizado pelo efeito da grandeza a ser medida. 
Exemplos de medições instrumentais diretas: 
 
1º) A temperatura pode ser medida com um termômetro de mercúrio ou de álcool, isto 
é, pela dilatação do mercúrio ou do álcool encapsulado no termômetro de vidro (efeito 
visível) é que se mede a temperatura. Nas figuras 1.17 e 1.18 aparecem as imagens de 
termômetros. 
 
2º) Uma força pode ser medida com um aparelho denominado dinamômetro, no qual, 
pela distensão da mola (efeito visível), mede-se a força (ente abstrato). Um dinamôme-
tro de mola está representado na figura 1.24. 
 
3º) A corrente elétrica pode ser medida com um amperímetro analógico, onde o desloca-
mento do ponteiro (efeito visível) resulta do efeito da corrente elétrica (torque sobre 
uma bobina situada em um campo magnético). Um aparelho deste tipo aparece na figu-
ra 1.44. Entretanto, neste ponto é interessante ressaltar que o amperímetro, o voltímetro 
e o ohmímetro analógicos, baseiam-se no mesmo princípio de funcionamento do galva-
nômetro de bobina móvel, também conhecido como galvanômetro d’Arsonval: uma bo-
bina consistindo de várias centenas de espiras de fio muito fino é girada sobre um eixo 
num campo magnético gerado por um imã permanente. A rotação da bobina é restrin-
gida por uma pequena mola em espiral, tipo um fino “balancim de relógio mecânico”, 
de modo que, quando uma corrente percorre a bobina, esta última experimenta a ação de 
um torque devido ao campo magnético, e gira até que o torque magnético seja contraba-
lançado por um torque oposto exercido pela mola, até que o equilíbrio seja novamente 
atingido. Neste novo estado de equilíbrio, a bobina e o ponteiro que lhe é solidário, gi-
ram de um ângulo que é proporcional à corrente na bobina, o que serve para que seja es-
tabelecida uma escala de leitura, a fim de que se possam efetuar as medidas com o apa-
relho. 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 26
 
 
Fig. 1.99 - Rudimentos de um galvanômetro 
 
Exemplos de medições instrumentais indiretas: 
 
1º) Nas subestações elétricas existem os painéis de supervisão se elas possuem opera-
dores locais, ou então estes painéis estão situados em centros de supervisão remota (dis-
tante). Consideremos uma subestação abaixadora, da classe 138 kV/13,8 kV, usual na 
Light Serviços de Eletricidade S.A., no Estado do Rio de Janeiro. Vamos imaginar, 
por simplicidade os painéis de supervisão local, no que respeita tanto a alta tensão quan-
to a baixa, por exemplo. Então questionamos: seria possível que uma tensão da ordem 
de ( )3kilovolt V kV= 10 atuasse diretamente sobre um voltímetro? Obviamente que 
não, pois tais aparelhos não possuem isolamento para suportar tal classe de tensão. A 
solução é utilizar transformadores de potencial (TPs), a fim de abaixar a tensão que vai 
efetivamente atuar sobre o voltímetro. Deste modo, verificamos que o voltímetro não 
enxerga a tensão que ele está medindo, mas tão somente uma imagem da mesma. A 
mesma coisa ocorre com os amperímetros, e aí devemos utilizar os transformadores de 
corrente (TCs). Algo muito semelhante também acontece com os relés de proteção, quer 
sejam convencionais quer sejam estáticos (eletrônicos). Em muitos casos, eles enxergam 
apenas imagens de tensão e de corrente. Estes são exemplos de medições indiretas, em-
bora estejam envolvidos aparelhos. 
 
2º) As Centrais Elétricas de Santa Catarina S.A. (CELESC) utilizam os seguintes 
padrões para medição das energias associadas a consumidores especiais (fornecimentos 
em alta tensão): 
 
� Medição direta: 
 
Os consumidores atendidos em tensão inferior a 2,3 kV (carga instalada até 
75 kW), normalmente apresentam uma medição direta, ou seja, a energia 
consumida pela instalação passa integralmente pelo medidor, e é determina-
da por um medidor de kWh ou por um medidor de kWh/kVArh. 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 27
 
 Fig. 1.100 - Medição direta 
� Medição Indireta: para os consumidores atendidos em alta tensão supe-
rior a 2,3 kV (carga instalada superior a 75 kW), é usada a medição indi-
reta, isto é, somente uma parcela da energia consumida passa através dos 
equipamentos de medição. 
 
• Medição Indireta em Baixa Tensão - BT: este tipo de medição é usa-
do para os consumidores do Grupo A, quando a potência for igual ou 
inferior a 300 kVA nos sistemas de 380/220 V e menor que 225 kVA 
nos sistemas de 220/127 V ou de 220 V. Em tais situações, são usa-
dos transformadores de corrente (TCs), a fim de adequar a corrente 
aos medidores de potência ativa, de potência reativa, de energia ativa 
e de energia reativa. 
 
Fig. 1.101 - Medição Indireta em BT 
• Medição Indireta em Alta Tensão - AT: este tipo de medição é usa-
do para os consumidores do Grupo A, quando a potência ultrapassar 
os limites estabelecidos no item anterior. São, então, utilizados trans-
formadores de corrente (TCs) e transformadores de potencial, para 
adequar, respectivamente, a corrente e a tensão aos medidores já 
mencionados. 
 
 
Fig. 1.102 - Medição Indireta em AT 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 28
Nota: a bem da verdade, devemos ressaltar que todas as medições instrumentais feitas 
com instrumentos ou aparelhos digitais são indiretas, uma vez que os efeitos das gran-
dezas a serem medidas não agem diretamente em uma escala. Não, existem circuitos 
eletronicos fazendo as interfaces entre os efeitos e as leituras através dos LEDs que 
compõem os mostradores (displays). 
(c) A medição indireta simples é a que resulta da aplicaçãode uma relação matemática 
que vincula a grandeza a ser medida com outras grandezas obtidas por medição, quer de 
forma direta simples quer instrumental. Exemplos de medições indiretas simples: 
 
1º) A área desta página se obtém multiplicando a base pela altura ( )A bh= , que devem, 
no entanto, ser previamente determinadas. 
 
2º) A velocidade média de um veículo é obtida através da razão entre a distância per-
corrida e o intervalo de tempo gasto no percurso ( )mv .s t= ∆ ∆ 
 
3º) A determinação do valor da resistência de um resistor através da razão entre a tensão 
entre seus terminais e a corrente que percorre o componente eletroeletrônico ( )R V i= . 
 
4º) A aceleração local da gravidade é calculada a partir do comprimento de um pêndulo 
simples e do respectivo período de oscilação aplicando-se a fórmula e sua decorrência 
 
2 22 4T l g g l Tpi pi= =� 
 
1.4 - Incerteza de Medição, Erros e Classificação dos Erros13 
 
1.4.1- Definição de Incerteza de Medição 
 
É o parâmetro associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão 
dos valores que podem ser fundamentalmente atribuídos a um mensurando. Também 
pode ser entendido como sendo uma estimativa caracterizando a faixa dos valores den-
tro da qual se encontra o valor verdadeiro da grandeza medida. 
 
1.4.2- Fontes de Incerteza 
 
São vários os fatores que geram a incerteza de medição que está presente, em maior 
ou menor grau, em todas as medições: 
 
• Os aspectos tecnológicos do próprio sistema de medição fazem o mesmo re-
sulte imperfeito: suas dimensões, forma geométrica, material, propriedades 
elétricas, ópticas e pneumáticas não correspondem exatamente às ideais. 
 
13
 Diversos assuntos desta seção, tais como conceitos, exemplos, exemplos resolvidos e problemas pro-
postos relacionados, são originários do artigo “Incerteza e Resultado de Medição U e RM”, de autoria 
do engenheiro e professor Cid Vicentini Silveira, que nos autorizou a utilização dos mesmos e a quem 
somos imensamente gratos. 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 29
 
• As leis e princípios físicos que regem o funcionamento de alguns sistemas 
de medição nem sempre são perfeitamente lineares como uma análise 
simplista poderia supor. O desgaste e a deterioração dos componentes 
agravam ainda mais esta condição. 
 
• As perturbações externas como, por exemplo, as condições ambientais, po-
dem provocar erros, alterando diretamente o sistema de medição ou agindo 
sobre o mensurando, fazendo com que o comportamento do sistema de 
medição se afaste ainda mais do ideal. Por exemplo: as variações de tem-
peratura (que provocam dilatações nas escalas de um sistema de medição de 
comprimento), as variações nas propriedades de componentes e circuitos 
elétricos (que alteram o valor indicado por um sistema de medição), as vi-
brações ambientais, os campos eletromagnéticos, a excessiva umidade do ar 
e as diferentes pressões atmosféricas podem, em maior ou menor grau, afe-
tar um sistema de medição. 
 
• O operador e a técnica empregada, o uso de força de medição irregular ou 
excessiva, os vícios de má utilização, um sistema de medição inadequado, a 
forma, tamanho ou faixa de medição do sistema de medição também são 
fontes de erros que contribuem na formação da incerteza. 
 
• Outro fator de grande influência é a variação do mensurando. Exemplos: a 
temperatura de um objeto tomada em regiões diferentes do mesmo, o diâ-
metro de um eixo medido em pontos diferentes, etc. 
 
Fig. 1.103 
 
1.4.3- Erros e Classificação dos Erros 
 
Nunca é possível afirmar-se que o número que exprime o resultado de uma me-
dida é inteiramente exato. A razão disso reside no fato de, ao efetuar-se uma medida 
qualquer, existir sempre a possibilidade de se cometer erros de várias espécies, quer 
devidos à falta de atenção e cuidado do pesquisador, quer às imperfeições sensoriais do 
mesmo, quer à imperfeições dos instrumentos de medida, quer, ainda, por influírem na 
medida em questão fatores ambientais e outros fatores que não são ou não podem ser 
considerados. Os erros podem ser classificados em diversas categorias: 
 
1ª) Erros Sistemáticos ( sE ) - são os que aparecem em uma série de medidas, com um 
certa constância e um sentido determinado, ou seja, sistematicamente para mais ou 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 30
para menos. Temos, então, valores que orbitam em torno de uma média defasada ou 
afastada de um valor padrão ou esperado. Apesar dos resultados estarem distribuídos em 
torno da média, devidos aos erros aleatórios, esta média não corresponde ao valor mais 
provável. Esta é a parcela de erro sempre presente nas medições realizadas em idênticas 
condições de medição. Tal ocorrência pode ser reduzida a um mínimo desprezível na 
calibração, pois normalmente ocorre em função de uma causa constante. Os erros siste-
maticos fazem a média de um conjunto de medições se afastar de um valor verdadeiro 
aceitável e afetam a exatidão dos resultados. Tais erros são: 
 
• de construção ou de ajustagem (caracterizando por um dispositivo de medição 
com um ponteiro torto, por exemplo, ou pela má qualidade do material empre-
gado, como aqueles que implicam em histereses em elementos magnéticos e fol-
gas em engrenagens); 
 
• de imperfeição do observador (erro de leitura da escala, erro de paralaxe14 –
vide figura 1.89); 
 
• de imperfeição dos métodos de medida (erro devido a aplicação de uma fór-
mula aproximada, como, por exemplo, no caso do pêndulo simples, quando é 
desprezada a influência da amplitude de oscilação no período do pêndulo, erro 
devido a correções relativísticas que não foram efetuadas, erro devido ao empre-
go de um diagrama imperfeito, erro devido a não consideração da variação local 
no valor da gravidade, da variação da pressão atmosférica com a altitude, etc.) 
 
Como exemplo de ajustagem, todas as medidas efetuadas com um multímetro 
analógico funcionando como ohmímetro, e cujo ponteiro não coincida com o zero da es-
cala com o aparelho ligado mas sem carga, serão afetadas por um determinado erro, que 
terá sempre o mesmo sentido, isto é, o valor indicado para a resistência elétrica será 
sempre maior (ou menor) que o apresentado por um outro multímetro que tenha sido 
“zerado” corretamente15. 
Para cada um dos três casos acima citados deve haver um estudo do instrumento, 
do observador ou do método de medida, respectivamente. 
Os erros sistemáticos não podem ser reduzidos pela reiteração das medidas 
e, por vezes, são difíceis de serem detectados na prática. 
 
14
 Paralaxe é a medida da aparente mudança de posição de um objeto em relação a um segundo plano 
mais distante, quando esse objeto é visto a partir de um ângulo p que o raio visual do observador forma 
com o plano normal à escala no ponto visado. No caso de um aparelho analógico, ou seja, com ponteiro, a 
visada incorreta conduz ao erro de paralaxe, isto é, de leitura incorreta. O professor Mathusalécio 
Padilha, Coordenador Pedagógico Nacional das Engenharias Elétricas da UNESA, forneceu um exce-
lente exemplo de paralaxe. Ele disse: 
─ Eu gosto de dirigir em alta velocidade, mas minha esposa não gosta que eu o faça. Entretanto, como ela 
ocupa sempre o banco do ‘carona’, às vezes eu estou a 100 km/h e ela pensa que eu estou a 80, devido a 
posição da qual ela consegue enxergar o ponteiro do velocímetro. Isto é um erro de paralaxe, que me tem 
poupado de ouvir certas ‘reprimendas’.” 
 
15
 O multímetro analógico só precisa ser zerado antes de ser utilizado como ohmímetro; não há necessida-
de de fazê-lo quando ele for ser empregado como voltímetro ou como amperímetro. 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 31
O único modo de detectá-los, é realizando medições por métodos independentes 
e alternativos ou então utilizando padrões confiáveis calibradosindependentemente (pe-
lo fabricante, por exemplo) e determinando, por comparação, o fator de correção a ser 
introduzido nos resultados das medições. Na prática, sempre que a calibração de um 
instrumento for tida como suspeita, deveremos substituí-lo por um outro sabidamente 
correto. 
 
 
Fig. 1.104 - (a) e (b) Erro de paralaxe na leitura de um multímetro analógico. (c) Erro de 
paralaxe na calibração e utilização de vidraria volumétrica. O ajuste e a leitura do me-
nisco são considerados os maiores erros na calibração e na utilização de vidraria volu-
métrica e ambos são erros de paralaxe. O erro de paralaxe é um erro causado por um 
desvio do ângulo de visão do observador. 
 
2ª) Erros Acidentais ( aE ), Aleatórios, Estatísticos, Estocásticos ou Casuais - são os 
que ocorrem inevitavelmente e são motivadas por fatores ou causas acidentais ou ir-
regulares e de difícil eliminação, não tendo predileção de sentido (sinal), ocasionando 
resultados espalhados de forma relativamente simétrica em torno do valor médio. Esta 
distribuição em torno da média segue, geralmente, uma lei matemática (curva de dis-
tribuição) bem definida e que é normalmente gaussiana. Tais erros são provocados por 
alterações não perceptíveis ou muito difíceis de registrar com os recursos da técnica de 
medição dos aparelhos (atrito, por exemplo). Tais erros são também causados por va-
riações (flutuações) casuais de condições ambientais (temperatura, pressão e ventos, por 
exemplo), da rede de distribuição de energia elétrica, de ruídos e vibrações mecânicas 
que perturbem os instrumentos e ou aparelhos, de deficiências ocasionais dos próprios 
instrumentos e ou aparelhos (ruídos internos de componentes, instabilidade de zero e de 
ganho, atritos nas suspensões mecânicas, variações nas pilhas ou baterias, etc.). Devido 
a estes erros, medições repetidas da mesma peça com o mesmo aparelho de medição e 
operador, e nas mesmas condições, não fornecem resultados idênticos, mas conduzem a 
uma divergência maior ou menor entre os diferentes valores medidos (dispersão). Os 
erros acidentais, então, tornam o resultado inseguro. 
 
3ª) Erros Grosseiros ( gE ) ou Enganos Pessoais – são os erros acidentais cuja inten-
sidade ultrapassa um determinado valor, conhecido com erro máximo tolerável. Eles são 
aqueles devidos à falta de atenção ou imperícia do operador e são considerados 
inadmissíveis. Portanto, se o trabalho de medição for efetuado com atenção e critério, o 
erro grosseiro não ocorrerá. O erro grosseiro é aquele cujo valor encontrado em conjun-
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 32
tos de medições difere sobremaneira dos outros, sendo que tal valor quando identifica-
do deve ser descartado e não deve ser estatisticamente tratado. Um erro grosseiro pode 
ser causado, por exemplo, por um defeito no sistema de medição ou uma leitura equi-
vocada. Esses erros são, portanto: 
 
• puramente fortuitos (erro devido a um defeito no sistema de medição, erro de-
vido a uma conexão elétrica que se abre, resultando em falsa ligação, etc.); 
 
• ou devidos às deficiências pessoais (erros devidos a calibrações e ou ajustagens 
erradas, erros de leituras erradas por engano de escala (escala não linear, por 
exemplo) ou por paralaxe, erro devido ao emprego de um diagrama imperfeito, 
etc.). 
 
Exemplo: consideremos os seguintes valores correspondentes às medições efetuadas 
para uma determinada grandeza: 
 
• 12,5 
 
• 12,3 
 
• 123 (erro grosseiro) 
 
• 12,4 
 
São também erros grosseiros ou enganos pessoais os erros frequentemente co-
metidos em operação simples, tais como multiplicações, somas, etc. É muito comum ao 
copiar números, cometer-se erros tais como escrever 7248 ou 7428 ao invés de 7482; é 
comum também ao consultar uma tabela registrar o valor anterior ou posterior da linha 
considerada. 
Esses erros não são considerados pela respectiva teoria, porque uma revisão na 
medida ou a reeducação do operador permite evitá-los. 
Os erros grosseiros e os sistemáticos podem ser evitados ou corrigidos com fa-
cilidade; atenção, muita atenção e manejo frequente do instrumental diminuem a possi-
bilidade de erros grosseiros; o estudo do instrumental e dos processos empregados nas 
medidas permitem a correção dos erros sistemáticos. A compensação dos aleatórios, 
entretanto, só é possível mediante a teoria dos erros, que permite calcular o valor mais 
provável de uma grandeza depois de serem efetuadas várias medidas da mesma e ins-
tituindo o fator de correção para as medidas antes de apresentação de seus resultados. 
O mais importante a mencionar, é que os erros acidentais podem também ser 
reduzidos pela reiteração das medidas, decrescendo, em geral, de forma proporcional a 
1 n , sendo n o número de medidas. Também é importante dizer que este erro é apre-
sentado com o valor da grandeza, sendo normalmente obtido e dado como o valor do 
desvio da média. 
 
4ª) Erro Absoluto - este é, simplesmente, o erro aleatório citado anteriormente (erro 
quadrático médio), e é apresentado nas mesmas unidades da grandeza sob mensuração. 
Ele deve incluir também os erros instrumentais (inexatidão e imprecisão dos aparelhos). 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 33
 
5ª) Erro Relativo - é o resultado da divisão do erro absoluto pelo valor verdadeiro da 
grandeza ou, se este não for conhecido, pelo valor mais provável da mesma. Conforme 
será abordado na seção 1.7, dificilmente conhecemos o valor verdadeiro de uma grande-
za, exceto quando este valor é inicialmente convencionado ou até postulado e, depois, 
experimentalmente verificado. Ele expressa a proporção em que o erro afeta a medida e, 
com se trata de uma razão entre grandezas de mesma espécie, ele não tem unidade 
associada. Sua grande vantagem é permitir uma estimativa intuitiva da precisão da me-
dida – quanto menor é o erro percentual, mais precisa a medida é – mesmo que não 
conheçamos o seu valor. 
 
6ª) Erro Percentual – é o erro relativo expresso em porcentagem16. 
 
Exemplo: se uma medida dá ( )4, 27 0,01 sT = ± , segue-se: 
 
• Erro absoluto = 0,01s± 
 
• Erro relativo = 0,01s 4,27s 0,002± = ± 
 
• Erro percentual = 0,002 100% 2%± × = ± 0, 
 
Nota: na seção 1.7 os erros absoluto, relativo e percentual serão tratados mais detalha-
damente. Eles foram aqui introduzidos por serem fundamentais para o entendimento de 
alguns conceitos na seção 1.6. 
 
Nota: inicialmente foi cogitado apresentar em sequência os assuntos erro de medição, 
quantificação dos erros de medição, correção do erro sistemático, etc. Uma vez que na 
abordagem de tais tópicos aparecem conceitos que só serão abordados na próxima 
unidade, foi feita a opção de inclusão dos inicialmente mencionados na unidade 
subsequente. 
 
1.5 - Exatidão e Precisão 
 
É fato que existe uma certa confusão entre autores brasileiros, e mesmo entre os 
estrangeiros, no tocante aos conceitos exatidão e precisão, que, em inglês, são, respec-
tivamente, accuracy e precision. Em português, o termo exatidão é, às vezes, subs-
tituído por sinônimos, tais como: acurácia, corretidão, acuidade (impróprio), justeza, 
etc. Já a precisão é também, por vezes, denominada repetitividade. 
O conceito de exatidão deriva dos conceitos de erro sistemático e de erro 
aleatório; já o conceito de precisão está ligado ao conceito de erro aleatório. 
A precisão é medida pelo erro estatístico (desvio padrão de uma série de medidas 
de igual confiança17). Quanto maior for o espalhamento das medidas em torno do valor 
 
16
 Os termos porcentagem e percentagem são ambos corretos. 
 
17
 Valores obtidos pelo mesmo experimentador, através do mesmo método de medição, empregando o 
mesmo equipamento, e sem perturbações que afetem as condições ambientais e/ou do experimento , o que 
nos garante resultados de mesma precisão. 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 34
médio, maiorserá o desvio padrão, conforme veremos na unidade 2, e menor será a 
preci-são. A exatidão é medida pelo tanto que a medida difere de um padrão exato, ou 
seja, de um valor real. Podemos também dizer que a exatidão é a capacidade que um 
ins-trumento ou aparelho de medição tem de fornecer um resultado próximo ao correto, 
ou seja, um instrumento ou um aparelho exato é aquele que após uma série de medições 
nos fornece um valor médio que é próximo ao correto, mesmo que o desvio padrão seja 
elevado, ou seja, tenhamos pouca precisão. Obrigatoriamente, a exatidão é sempre me-
nor ou igual à precisão, pois inclui, além dos erros aleatórios, também os erros sistemá-
ticos. Por causa disto, o resultado de uma série de medições pode ter uma boa precisão, 
ou seja, apresentar resultados reprodutivos (valores muito próximos e alguns até repeti-
dos), que é equivalente a dizer que estão afetados de um pequeno erro estatístico, mas 
ser também altamente inexato, quer dizer, muito longe do valor real da grandeza, isto 
devido ao uso de padrões inexatos ou a utilização de aparelhos e ou instrumentos mal 
calibrados ou mal ajustados. Então, um equipamento preciso e inexato é capaz de forne-
cer resultados reprodutivos, mas incorretos, e um equipamento exato e impreciso, é ca-
paz de fornecer um valor médio muito próximo do valor correto, mas com uma grande 
variação entre as medidas. Isto significa que, neste caso, seria necessário um grande 
número de medições para se ter um resultado médio confiável e estatisticamente válido. 
Pelo que foi abordado, concluímos que um instrumento ou um aparelho deve ser preciso 
e exato. Podemos então resumir: 
 
• Exatidão é o grau de concordância entre o valor experimental ou valor 
mais provável de uma grandeza e o valor verdadeiro da mesma. Pode 
também ser definida como sendo a aptidão de um instrumento para dar 
respostas próximas ao valor verdadeiro da grandeza. 
 
• Precisão é o grau de concordância de resultados independentes obtidos sob 
condições determinadas, sendo também a qualidade que exprime o grau de 
dispersão dos resultados em torno do valor mais provável. 
 
Sintetizando, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para melhor ilustrar os conceitos em título, lancemos mão de um exemplo práti-
co. Seja então um alvo de papel, no qual estão desenhados anéis concêntricos com a 
mosca, colocado sobre uma folha de papel em branco. A uma distância de 50 m, seis 
atiradores (A, B, C, D, E e F), cada qual com sua própria pistola, disparam dez tiros 
cada um. 
Tal situação é análoga a da medição em Física: o atirador quer acertar na mosca, 
e talvez o consiga, talvez não; o físico procura a medida exata de uma grandeza, e talvez 
a encontre, talvez não. 
grande precisão (alta repetitividade)� espalhamento reduzido ou pequena dispersão 
e erro aleatório reduzido. 
grande exatidão (grande acurácia) � valor médio ≅ valor real e erro sistemático 
reduzido 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 35
A hipótese de todos os tiros passarem pelo mesmo furo é extremamente remota, 
pois não existe ninguém com tal perfeição ao atirar! Se os tiros forem bem dados eles se 
agrupam na mosca; talvez na mosca e no seu entorno, sem tendência de desvio para al-
gum lado. Porém, pode acontecer também dos tiros se agruparem em torno de um cen-
tro mais ou menos longe da mosca. 
Aqui vamos considerar que o atirador sempre mira o centro do alvo, que este 
centro é o valor verdadeiro e que o centro dos tiros, ou centro de fogo, é o valor mais 
provável dos eventos de cada atirador. Temos, pois, os seguintes resultados: 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 1.105 - Atirador A Fig. 1.106 - Atirador B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 1.107- Atirador C Fig. 1.108- Atirador D 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 36
 
 
 Fig. 1.109 - Atirador E Fig. 1.110 - Atirador F 
 
• A exatidão (acurácia) dos tiros é a qualidade que se refere à coincidência 
mais ou menos perfeita do centro dos tiros com a mosca. 
 
• A exatidão (acurácia) dos tiros é grande quando os tiros se distribuem em 
torno da mosca, sem tendência aparente para algum lado e o centro dos 
tiros está na mosca. 
 
• A exatidão (acurácia) é absoluta quando o centro dos tiros é o centro da 
mosca. 
• A precisão (repetitividade) dos tiros é a qualidade que se refere ao reduzido 
espalhamento dos mesmos. 
 
• A precisão (repetitividade) dos tiros é grande quando os mesmos se agru-
pam densamente em torno de um centro que pode não ser o centro da 
mosca. 
 
• A precisão (repetitividade) absoluta seria o caso de todos os tiros haverem 
passado por um só furo, que pode não estar no centro da mosca. 
 
• Na realidade, exatidão (acurácia) e precisão (repetitividade) absolutas não 
existem! 
 
Embora a exatidão (acurácia) e a precisão (repetitividade) dos tiros dependam 
tanto das condições ambientais (vento lateral, visibilidade do alvo, etc.) e da arma (regu-
lagem da mira, etc.) quanto da perícia do operador, é mister ressaltar que a exatidão 
(acurácia) dos tiros depende mais das condições e que a precisão (repetitividade) dos 
mesmos depende mais do operador. Em um tiro de grande distância, temos duas pes-
soas: uma manejando a arma e a outra verificando as condições ambientais. Quem as-
sistiu ao filme “O Atirador” sabe do que está sendo falado. 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 37
 
Vamos então analisar os resultados dos seis atiradores: 
 
• Atirador A: este atirador conseguiu acertar todos os tiros no centro do alvo. 
Temos então grande (muita) exatidão e grande (muita) precisão (alta repetitivi-
dade). Neste caso, o atirador apresenta erro sistemático e erro aleatório reduzi-
dos (baixos). 
 
• Atirador B: este atirador apresentou um espalhamento muito grande em torno 
do centro do alvo, mas os tiros estão aproximadamente equidistantes do centro. 
Assim sendo, temos grande (muita) exatidão (acurácia) e pouca precisão (repe-
titividade). Este atirador apresenta erro aleatório elevado e erro sistemático re-
duzido. 
 
• Atirador C: este atirador apresenta os tiros concentrados, com baixa (pequena) 
dispersão (espalhamento), porém bastante afastados do centro do alvo. Logo, 
decorre pequena (pouca) exatidão e grande (muita) precisão (repetitividade). 
Isto indica um pequeno erro aleatório e um grande erro sistemático. 
 
• Atirador D: este atirador, além de apresentar um espalhamento (dispersão) 
muito grande, tem também o centro dos tiros bastante afastado do centro do al-
vo. Por isso, temos pequena (pouca) exatidão (acurácia); pequena (pouca) preci-
são (baixa repetitividade). Isto implica em erro aleatório e erro sistemático redu-
zidos. 
 
• Atirador E: este atirador conseguiu concentrar bastantes seus tiros, com pouca 
dispersão, mas há um leve deslocamento do centro dos tiros com relação ao 
centro do alvo. Nesta situação temos boa exatidão (acurácia) e grande (muita) 
precisão (repetitividade). Isto acarreta erro sistemático e erro aleatório reduzi-
dos (baixos). 
 
• Atirador F: este atirador apresenta os tiros concentrados, com baixa (pequena) 
dispersão (espalhamento), porém com um razoável afastamento do centro do al-
vo, o que está ligado a razoável exatidão (acurácia) e grande (muita) precisão 
(repetitividade). Temos aqui um erro aleatório reduzido e um erro sistemático 
razoável. 
 
• O conjunto formado pelo atirador C é melhor do que o conjunto formado pelo 
atirador B e sua respectiva pistola,porque embora nenhum dos tiros disparados 
por C tenha se aproximado do centro do alvo, o seu espalhamento (dispersão) é 
muito menor. Um ajuste na mira da pistola utilizada por C a trará para uma con-
dição de resultados semelhante ao obtido pelo atirador A. Um ajuste um pouco 
menor na mira da pistola utilizada por F, também propiciará para este conjunto 
resultados semelhantes aos obtidos pelo atirador A. Um ajuste ainda menor a na 
mira da pistola E, também propiciará com que o seu utilizador obtenha resulta-
dos semelhantes aos do atirador A. 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 38
Aproveitemos o exemplo do tiro ao alvo para introduzir, por analogia, alguns 
conceitos úteis em medições físicas. Com relação às mesmas, temos: 
 
• A exatidão (acurácia) é absoluta quando todas as medidas coincidem com o 
valor exato da grandeza procurada. 
 
• A exatidão (acurácia) é grande quando as medidas se distribuem em torno 
do valor exato da grandeza, sem tendência aparente para mais ou para 
menos e a média das medidas coincide com o valor exato. A exatidão (acu-
rácia) é grande quando o erro sistemático é reduzido. 
 
• A precisão (repetitividade) é absoluta quando todas as medidas coincidem 
em um só valor, que pode não ser o valor exato. 
 
• A precisão (repetitividade) é grande (alta) quando as medidas se agrupam 
densamente em torno de uma média, que pode não ser o valor exato. A pre-
cisão (repetitividade) é grande (alta) quando os erros acidentais ou aleató-
rios são pequenos e o espalhamento é pequeno. 
 
Um outro exemplo é o de uma balança. A precisão define o quanto a balança é ca-
paz de reproduzir um valor obtido numa pesagem, mesmo que ele não seja o valor cor-
reto. A precisão é definida pelo desvio padrão de uma série de medidas de peso de uma 
mesma amostra e, conforme já ressaltado, quanto maior é o desvio padrão, menor é a 
precisão. 
 
1.6 - Dispersão das Medidas e Precisão Instrumental 
 
 Repetindo-se a medição da grandeza, pelo mesmo processo e com o auxílio dos 
mesmos instrumentos, obtêm-se em geral resultados não concordes. Esse fenômeno é 
denominado dispersão das medidas e cada resultado é uma medida da grandeza. 
Conforme já mencionado, o erro grosseiro e o erro sistemático podem ser evi-
tados e corrigidos. A dispersão da medida, no entanto, indica erros acidentais, que são 
discrepâncias que ocorrem mesmo com a aplicação de todos os cuidados. As causas da 
dispersão são muitas e nem sempre conhecidas! 
Mesmo após a correção de um eventual erro sistemático do instrumento de me- 
dição, ainda persiste um intervalo de incerteza no resultado da medição. A precisão 
limitada do instrumento é uma das causas da dispersão. 
Neste ponto é importante introduzir o conceito de resolução de um instrumento e 
ou aparelho: 
 
• Resolução é a menor diferença entre indicações de um dispositivo mos-
trador que pode ser significativamente percebida. Para um dispositivo 
mostrador digital, é a variação na indicação quando o dígito menos signifi-
cativo (sempre o último da direita no valor da medida e comumente cha-
mado de dígito ou algarismo duvidoso) varia de uma unidade. 
 
Exemplos: 
 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 39
• Um paquímetro universal cuja resolução do nônio de milímetros é 0,05 mm, 
está indicando 4,00 mm. Ele jamais vai indicar 4,03 mm, uma vez que a resolu-
ção é 0,05 mm. Sua leitura anterior, isto é, no sentido descendente foi 3,95 mm 
e sua próxima leitura ascendente será 4,05 mm. 
 
• Uma escala milimétrica tem uma resolução de 1 mm. 
 
• Um voltímetro analógico com escala de 0 a 100 V e 100 divisões tem resolução 
de 1 V. 
 
Os instrumentos e ou aparelhos, além dos erros de resolução, têm outros erros 
acoplados, tais como derivas (variações do valor de zero e do ganho), histerese (resul-
tante de atritos e deformações inelásticas ou folgas em engrenagens, que causam dife-
renças entre os valores de medidas crescentes e decrescentes), não-linearidades (resul-
tantes de imprecisão no desenho ou gravação das escalas, de imperfeições de partes tais 
como molas, da inomogeneidade de campo elétrico ou magnético), etc. 
A resolução da escala do medidor é a menor divisão da escala, no setor da mes-
ma em que se faz a leitura. 
A aproximação de leitura, a exceção dos instrumentos digitais, é a menor fra-
ção apreciável, admitindo-se que seja na hipótese mais conservativa (caso mais desfa-
vorável, com maior incidência de erro), 1/2 da menor divisão, a olho nu; 1/5 da menor 
divisão com lupa e a própria precisão da escala do nônio18, quando existir um acoplado 
ao instrumento. Voltaremos a este assunto na seção 1.9. 
A aproximação de leitura também é chamada erro instrumental ou desvio a-
valiado do instrumento. Num instrumento bem construído, a incerteza que lhe é ine-
rente é no máximo igual à aproximação da leitura (sem o que esta seria ilusória). 
A precisão do instrumento é definida por uns como sendo a precisão da escala 
e por outros como sendo a precisão de leitura. Em qualquer caso, a precisão do instru-
mento é fornecida em comparação com o valor da leitura efetuada. 
Os fabricantes costumam, geralmente, informar o erro percentual dos disposi-
tivos de medição analógicos em porcentos do fundo de escala (% f.e.), que é o erro má-
ximo a que o aparelho está sujeito. Nos aparelhos bem projetados a resolução do instru-
mento é compatível com sua precisão, e não se subdivide a escala além do necessário. 
Para se conseguir a melhor precisão do instrumento se ele tiver uma escala 
linear, devemos usar a maior deflexão possível, isto é, bem próxima ao fundo de escala, 
o que, geralmente, é possível pela mudança de escala ou das condições experimentais 
(tensão de alimentação, força aplicada, etc.). Exemplo: no voltímetro anteriormente 
citado, de resolução 1 V, supondo-se também que a mesma seja igual à precisão do 
mesmo, ou seja, que este é da classe de 1% do fundo de escala, segue-se: 
 
• Para uma leitura de 100 V, um erro percentual de 1%, quer dizer, um 
erro relativo de 0,01, que implica em uma incerteza de 1 V e ( )100 1 V± . 
Logo, temos: 99 V Leitura 101V≤ ≤ . 
 
 
18
 Vide experiência com o paquímetro. 
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 40
• Para uma leitura de 50 V, que corresponde à metade da escala, o erro 
percentual é de 2% e o relativo é 0,02, o que nos leva a uma incerteza de 
1 V e ( )50 1 V± . Assim sendo, temos: 49 V Leitura 51V≤ ≤ 
 
• Para uma leitura de 10 V, correspondente a 1 10 da escala, o erro percen-
tual é de 10% e o relativo é 0,10, o que nos conduz a uma incerteza de 1 
V e ( )10 1 V± . 
 
Para um amperímetro analógico, que também possui escala linear, valem as mes-
mas considerações feitas para o voltímetro. 
Uma vez que, conforme veremos na seção seguinte, quanto menor for o erro 
relativo maior será a precisão, constamos que a precisão decresce abruptamente 
para pequenas deflexões e devemos utilizar uma escala tão pequena quanto seja 
possível, sem, no entanto, exceder a deflexão máxima do aparelho. 
Já para o ohmímetro analógico, cuja escala é logarítmica, a melhor leitura é 
feita no segundo terço da escala. 
Um determinado instrumento pode ter sua precisão e exatidão melhoradas em re-
lação às especificações, seja por uma calibração precisa través de um padrão conhecido, 
seja por calibração por comparação com outro instrumento mais preciso. Com a finali-
dade de obter resultados melhores, podemos levantar uma curva de calibração, se hou-
ver não-linearidade na escala. Normalmente, uma simples ajustagem do zero e do valor 
do fundo de escala já são suficientes para uma significativa melhora na precisão do apa-
relho. Calibrações mais rígidas e criteriosas podem levar em conta fatores tais como 
temperatura, pressão e umidade ambientais, por exemplo, e indicarem os fatores de cor-
reção apropriados. De todo modo, os