Cinemática_retilíneo

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Física Teórica e Experimental
FIS0311 – Mecânica Clássica
Prof. Matthieu Castro
Cinemática da partícula
Movimento retilíneo
No Universo, tudo está em movimento em todas as escalas: o movimento dos átomos em um 
material determina sua temperatura, os fluídos escorregam, a Terra gira no seu eixo e em torno do 
Sol, o Sol gira em torno do centro galáctico, as galáxias giram em torno do centro do Grupo Local, 
etc.
A cinemática é o estudo, a classificação e a comparação dos movimentos. Neste capítulo, 
estudaremos o tipo mais simples do movimento: uma partícula se deslocando ao longo de uma linha 
reta. Uma partícula é um modelo de corpo, considerando que a estrutura interna do corpo pode ser 
omitida, e o corpo pode ser tratado como se sua massa estivesse concentrada em um ponto do 
espaço. Podemos também falar de massa pontual. O movimento da partícula é então caracterizada 
pela variação da sua posição, ou deslocamento, sua velocidade e sua aceleração. Essas grandezas 
físicas possuem módulo, direção e sentido e são então grandezas vetoriais. No movimento retilíneo, 
em uma linha reta, não necessitamos do tratamento matemático completo dos vetores, que será 
essencial no estudo do movimento em duas e três dimensões, e consideramos, por enquanto, o 
deslocamento, a velocidade e a aceleração como grandezas escalares.
1. Posição e deslocamento
A posição de uma partícula é dada pela coordenada x a partir de uma origem O de um eixo 
Ox. Na esquerda da origem, a posição é considerada negativa, e na direita, positiva.
O deslocamento é a variação de uma posição x1 para outra posição x2: 
Δ x=x2−x1
Como a partícula se move apenas pelo eixo Ox, logo as componentes y e z dos vetores posição e 
deslocamento são iguais a zero, e consideramos simplesmente a variação da coordenada x.
Se Δx > 0, o deslocamento se faz no sentido positivo do eixo Ox, e se Δx < 0, o 
deslocamento se faz no sentido negativo.
xO
positivonegativo
2. Velocidade
O posicionamento de uma partícula no tempo pode ser representado pelo gráfico da posição 
x em função do tempo t:
• no caso do repouso temos:
• no caso de um movimento no sentido positivo de Ox, temos:
A velocidade média é definida pela variação de posição de uma partícula dividido pelo 
intervalo de tempo que demorou esse deslocamento:
v̄ x=
Δ x
Δ t
=
x2−x1
t 2−t 1
Assim, vx é a inclinação da reta que liga os dois pontos (x1,t1) e (x2,t2) da curva x(t). Quando x é 
positivo e crescente ou negativo e se torna menos negativo, a partícula se move no sentido positivo 
do eixo Ox e vx é positiva. Quando x é positivo e decrescente ou negativo e se torna mais negativo, a 
partícula se move no sentido negativo do eixo Ox e vx é negativa. A velocidade média depende 
apenas do deslocamento Δx = x2 - x1, que ocorre durante o intervalo de tempo Δt = t2 - t1, e não da 
trajetória percorrida durante esse intervalo.
Exemplo:
Um motorista dirige um veículo numa rodovia retilínea a 70 km/h. Após rodar 8,0 km, ele 
para por falta de gasolina. Ele caminha 2,0 km adiante até o posto em 27 min. Qual é a velocidade 
média?
A velocidade escalar média é apenas função da distância total percorrida, independente do 
sentido:
∣̄vx∣=
distância total percorrida
Δ t
>0
t (s)
x (m)
t (s)
x (m)
x1
x2
x(t)
t1 t2
Δx = x2 - x1
Δt = t2 - t1
A velocidade instantânea define a velocidade de um corpo em um instante e um ponto 
específico ao longo da trajetória. Em física, um instante não possui nenhuma duração, ele se refere a 
um único ponto no tempo. Assim, a velocidade instantânea de um corpo em movimento, é o limite 
de Δx/Δt quando Δt tende a zero, matematicamente denominada a derivada de x em relação a t. A 
velocidade instantânea é a taxa de variação da posição com o tempo:
v x=lim
Δ t→0
Δ x
Δ t
=dx
dt
Sempre supomos o intervalo de tempo Δt positivo, assim vx possui o mesmo sinal de Δx. Um 
valor positivo de vx indica que x é crescente, um valor negativo de vx indica que x é decrescente. 
A velocidade instantânea como a velocidade média é uma grandeza vetorial. Aqui definimos 
seu componente x. No movimento retilíneo, os demais componentes são nulos. A velocidade 
escalar é o módulo da velocidade instantânea. Ela indica se o movimento é rápido ou lento, 
enquanto o vetor velocidade instantânea indica se o movimento é rápido ou lento e em qual direção 
e sentido ele ocorre.
Exemplos:
1) Seja o movimento de um elevador descrito pelo gráfico seguinte:
Faça o gráfica de vx(t).
2) Seja a posição x de uma partícula determinada pela equação: x = 7,8 + 9,2t – 2,1t³.
Qual é a velocidade em t=3,5 s?
3. Aceleração
Quando a velocidade de uma partícula varia, ela está sob uma aceleração, ou está acelerada. 
Como a velocidade, a aceleração também é uma grandeza vetorial. No movimento retilíneo, seu 
único componente não nulo está sobre o eixo ao longo do qual a partícula se desloca. A acelaração 
pode referir-se tanto ao aumento da velocidade quanto a sua redução. Definimos:
Aceleração média: āx=
v2x−v1x
t2−t 1
=
Δ v x
Δ t
Aceleração instantânea: ax= lim
Δ t→0
Δ v x
Δ t
=
dv x
dt
=d²x
dt²
Po
si
çã
o 
(m
)
Tempo (s)
b (x=4,0 m, t=3,0 s)
c (x=24 m, t=8,0 s)
a
d
A aceleração de uma partícula, em um determinado instante, é a taxa de variação da 
velocidade da partícula naquele instante. A aceleração pode ter um valor positivo ou negativo, 
dependendo da variação da velocidade (se aumenta ou diminui), mas também do sinal da 
velocidade. Por exemplo, se a velocidade de um corpo se movendo no sentido negativo do eixo Ox 
(velocidade com sinal negativo) diminui, então o corpo terá aceleração positiva.
Exemplo: 
1) Faça o gráfico da aceleração em função do tempo do elevador do exemplo anterior.
2) Seja a posição de uma partícula definida pela equação: x = 4 – 27t + t³.
a. Quais as equações de vx(t) e ax(t)?
b. Em que instante vx = 0?
c. Descreva o movimento para t ≥ 0.
4. Movimento com aceleração constante
O movimento acelerado mais simples é o movimento retilíneo com aceleração constante, ou 
movimento retilíneo uniformemente acelerado. A velocidade varia com a mesma taxa durante o 
movimento. Esse tipo de movimento é frequente na natureza: queda livre desprezando os efeitos da 
resistência do ar, corpo escorregando ao longo de um plano inclinado ou ao longo de uma superfície 
horizontal com atrito.
Quando a aceleração é constante, a aceleração média é igual à aceleração instantânea. 
Assim, podemos escrever:
ax=
v2x−v1x
t2−t 1
Consideramos que em t1 = 0, v1x = v0x, e suponhamos que t2 seja um instante posterior arbitrário t no 
qual a partícula tem a velocidade v2x = vx. A equação torna-se:
ax=
v x−v0x
t−0
ou seja 
v x=v0x+ax t (1)
(somente para aceleração constante)
Derivando vx, temos 
dvx
dt
=ax .
Podemos reescrever a equação da velocidade média da partícula desde t = 0 até um instante 
posterior t, com x0 a posição inicial e x a posição no instante t, da seguinte forma:
v̄ x=
x−x0
t
No caso da aceleração constante, a velocidade varia com uma taxa constante. Nesse caso, a 
velocidade média durante qualquer intervalo de tempo é simplesmente a média aritmética desde o 
instante inicial t = 0 até o instante final t:
v̄ x=
v0x+vx
2
(somente para aceleração constante)
Injetando nessa equação, a equação (1) de vx em função de ax e igualando com a equação de vx em 
função de x, temos:
x−x0
t
=1
2
(v0x+v0x+ax t)=v0x+
1
2
ax t ou seja
x−x0=v0x t+
1
2
ax t² (2)
Derivando essa expressão, temos: dx
dt
=v0x+ax t=vx .
Elevando ao quadradoa equação (1) e utilizando a equação (2), obtemos:
v x
2=v0x
2 +ax
2 t 2+2a x v 0x t=v0x
2 +2ax (v0x t+
1
2
ax t² ) ou seja
v x
2=v0x
2 +2ax (x−x0) (3)
A partir da equação (1), temos: v0x=v x−ax t . Injetando na equação (2), podemos escrever:
x−x0x=(v x−ax t )t+
1
2
ax t²=v x t−ax t² +
1
2
ax t² ou seja
x−x0=vx t−
1
2
ax t² (4)
Finalmente, ainda a partir da equação (1), temos: ax t=vx−v0x e injetando na equação (2):
x−x0=(v0x+ 12 ax t)t=(v0x+ 12 (vx−v0x))t ou seja
x−x0=
1
2
(v0x+vx) t (5)
Temos cinco equações descrevendo o movimento retilíneo de uma partícula com aceleração 
constante. Cada equação relaciona apenas quatro dos cinco parâmetros (x – x0, v0x, vx, ax, t).
Traçamos os gráficos x(t), vx(t) e ax(t) no caso da aceleração constante:
Exemplo:
Um carro freia, reduzindo a velocidade de 75 km/h para 45 km/h, num espaço de 88 m.
a. Qual é a aceleração, considerando-a constante?
b. Qual é o tempo de freagem?
c. Quanto tempo demora o carro para parar com essa aceleração?
d. Qual é a distância de freagem para parar?
e. Consideramos uma velocidade inicial diferente e desconhecida e a mesma aceleração. O 
carro para após 200m de freagem. Qual é o tempo de freagem?
5. A queda livre
Um exemplo de movimento com aceleração (aproximadamente) constante é a queda livre de 
um corpo atraído pela força gravitacional da Terra. Quando os efeitos do ar sobre o corpo podem ser 
desprezados, todos os corpos em um dado local caem com a mesma aceleração, independentemente 
das suas formas e dos seus respectivos pesos. Quando a distância da queda livre é pequena em 
comparação com o raio da Terra, e que podemos ignorar os efeitos exercidos pela rotação da Terra, 
a aceleração é constante. Essa aceleração se chama aceleração gravitacional ou aceleração de 
queda livre e seu módulo é designado por g. O valor exato de g varia com a altura e a latitude, de 
modo que consideramos seu valor a latitudes médias e ao nível do mar, com apenas dois algarismos 
significativos, g = 9,8 m/s².
Considerando um referencial no espaço com o eixo vertical Oy orientado para cima, então a 
aceleração de queda livre é um vetor com módulo g, com direção o eixo Oy e sentido para baixo. 
Assim, sua componente ao longo do eixo Oy é ay = -g. O movimento de queda libre ocorrendo ao 
longo do eixo Oy, a posição, a velocidade e a aceleração do corpo em queda livre têm componentes 
não nulas y, vy e ay. Reescrevemos as cinco equações do movimento com aceleração constante da 
seguinte maneira:
v y=v0y−g t
y− y0=v0y t−
1
2
g t²
v y
2=v0y
2 −2g( y− y0)
y− y0=v y t+
1
2
g t²
y− y0=
1
2
(v0y+v y) t
x
t
vx
t
ax
t
v0x
inc
lina
ção
 = a x
x0
Exemplo:
1) Uma chave inglesa cai do alto de um edifício em construção no poço do elevador.
a. De que distância caiu a chave 1,5 s após o início da queda?
b. Com que velocidade a chave está caindo em t = 1,5 s?
2) Uma bola é atirada para cima, em linha reta, com uma velocidade inicial de 12 m/s.
a. Quanto tempo a bola levou para alcançar a altura máxima?
b. Qual é a altura máxima?
c. Em quanto tempo a bola atinge um ponto 5 m acima do ponto de lançamento?