Cálculo 2 - Lista

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Unversidade Federal de Pernambuco
Área II-UFPE
Departamento de Matemática
Cálculo II-2020.2 Presencial
5a Lista de Exercício
28 de março de 2022
1. Um fio de comprimento L é cortado em três partes. Com a primeira parte se constroi
um quadrado, a segunda um círculo e a terceira um triângulo equilátero. Encontre a
maneira de cortar o fio que produzirá uma área total mínima do quadrado, círculo e
triângulo, e a maneira que produzirá a área total máxima.
2. Encontre os pontos sobre a superfície x2 + y2
− z2 = −2 de tal maneira que o plano
tangente seja paralelo ao plano x + y + 2z = 1.
3. Seja f (x, y, z) = 2ax + 2by + 2cz onde a. b.c , 0 e
a2 + b2 + c2 = 25.
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, encontre o máximo e o mí-
nimo absolutos de f sujeita à restrição
x2 + y2 + z2 = 1
Dê um argumento justificando a existência de máximo e mínimo absolutos!
4. Determine o volume do sólido dado.
1. Abaixo do plano x− 2y+ z = 1 e acima da região limitada por x+ y = 1 e x2 + y = 1
2. Abaixo da superfície z = 2x + y2 e acima da região limitada por x = y2 e x = y3
3. Abaixo da superfície z = xy e acima do triângulo e vértices (1, 1), (4, 1) e (1, 2)
4. Limitado pelo paraboloide z = x2 + 3y2 e pelos planos x = 0, y = 1, y = x, z = 0
5. Limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3x + 2y + z = 6
6. Limitado pelos planos z = x, y = x, x + y = 2ez = 0
5. Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
1.
∫ 1
0
∫ 1−x
0
(1 − x − y)dydx
2.
∫ 1
0
∫ 1−x2
0
(1 − x)dydx
1
6. Calcule a integral.
1.
∫ 1
0
∫ 3
3y
ex2dxdy
2.
∫ √π
0
∫ √π
y
cos
(
x2) dxdy
3.
∫ 4
0
∫ 2
√
x
1
y3+1dydx
4.
∫ 1
0
∫ 1
x
ex/ydydx
5.
∫ 1
0
∫ π/2
arcsen y
cos x
√
1 + cos2 xdxdy
6.
∫ 8
0
∫ 2
3√y
ex4dxdy
7. No cálculo de uma integral dupla sobre uma região D, obtivemos uma soma de inte-
grais iteradas como a que segue:
!
D
f (x, y)dA =
∫ 1
0
∫ 2y
0
f (x, y)dxdy+
∫ 3
1
∫ 3−y
0
f (x, y)dxdy
Esboce a região D e expresse a integral dupla como uma integral iterada com ordem
de integração contrária.
8. Calcule a integral ∫ 1
0
∫ π/2
arcsen y
cos x
√
1 + cos2 xdxdy
2