Cálculo 2 - Lista

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Unversidade Federal de Pernambuco
Área II-UFPE
Departamento de Matemática
Cálculo II-2021.2 Presencial
6a Lista de Exercício
12 de abril de 2022
1. Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
(a)
!
D
e−x2
−y2dA, onde D é a região limitada pelo semicírculo x =
√
4 − y2 e o eixo y
(b)
!
D
cos
√
x2 + y2dA, onde D é o disco com centro na origem e raio 2
(c)
!
R
arctg(y/x)dA, onde R =
{
(x, y) | 1 6 x2 + y2 6 4, 0 6 y 6 x
}
(d)
!
D
xdA, onde D é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os
círculos x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 2x.
2. Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
(a) Um laço da rosácea r = cos 3θ
(b) A região limitada por ambos os cardioides r = 1 + cosθ e r = 1 − cosθ
(b) A região dentro do círculo (x − 1)2 + y2 = 1 e fora do círculo x2 + y2 = 1
3. Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao
longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade
sul para dois metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.
4. Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50 m de raio.
Ele fornece água até uma profundidade de e−r metros por hora a uma distância de r
metros do pulverizador.
5. Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apro-
priada.
(a) Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z =√
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 1
(b) Determine o volume da menor cunha esférica cortada de uma es- fera de raio a
por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo
de π/6
1
(c) Calcule
#
E
zdV, onde E está acima do paraboloide z = x2 + y2 e abaixo do plano
z = 2y.
(d) Determine o volume limitado pelo toro ρ = senφ. Esboce o toro.
6. Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.
(a) 2 6 ρ 6 4, 0 6 φ 6 π/3, 0 6 θ 6 π
(b) 1 6 ρ 6 2, 0 6 φ 6 π/2, π/2 6 θ 6 3π/2
(c) ρ 6 1, 3π/4 6 φ 6 π
(d) ρ 6 2, ρ 6 cossecφ
7. Utilize coordenadas adequadas para mostrar que o volume do sólido limitado por
cima pela esfera r2 + z2 = a2 e por baixo pelo cone z = r cotgφ0 (ou φ = φ0
)
, onde
0 0, b > 0, c > 0
corta o elipsoide sólido
x2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2 6 1
em dois pedaços. Encontre o volume do pedaço menor.
9. (a) Calcule
!
D
1
(x2+y2)n/2 dA, onde n é um inteiro e D é a região limitada pelos círculos
com centro na origem e raios r e R, 0