Prova_3_Calculo_1_2012_2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - A´REA II
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 - 2012.2
3o Exerc´ıcio Escolar - 10/04/2013
Justifique as suas afirmac¸o˜es!
1. Calcule as seguintes integrais:
a) (1,0 ponto)
∫
arctg(x) dx b)(0,75 ponto)
∫ √
x + 2
x + 2
dx
c) (0,75 ponto)
∫
x3e−2x
4
dx d)(1,0 ponto)
∫ √
1− x2
x
dx
2. a) (1,0 ponto) Esboce a regia˜o do plano R delimitada pela para´bola y = x2, pela
reta y = 4x− 4 e pelo eixo Ox.
b) (1,0 ponto) Calcule o valor da a´rea da regia˜o R.
3. (2,5 pontos) Obtenha uma primitiva G(x) (integral indefinida) para a funca˜o racional
f(x) =
2 + 2x− x2
x2(x2 − 2x + 2) , x 6= 0, que satisfaz a` condic¸a˜o G(1) = 0.
Sugesta˜o: Escreva f(x) =
2 + 2x− x2
x2(x2 − 2x + 2) na forma
A
x
+
B
x2
+
Cx + D
x2 − 2x + 2 .
4. Considere a func¸a˜o f : R→ R dada por f(x) =
∫ 2x3+x
3
2t3 dt√
t2 + 16
·
a) (1,0 ponto) Determine f(1) e f(−1).
b) (1,0 ponto) Calcule f ′(x), utilizando o Teorema Fundamental do Ca´lculo.