Slides Gerenciamento de Filas

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Gestão de Serviços Agregados
Modelagem de Sistemas
Ao efetuarmos estudos de planejamento, é comum encontrarmos problemas de dimensionamento ou fluxo cuja as soluções são mais ou menos complexas.
 Quantidade de caixas em um banco
 Trânsito numa perimetral
 O melhor layout ou fluxo numa fábrica
 A operação de um terminal portuário
 A ampliação de uma fábrica
Desejamos que o sistema apresente um funcionamento eficiente, se possível otimizado. Para dimensionar os sistemas é necessário dedicar especial atenção aos gargalos, ou seja, pontos onde ocorrem filas. Entre as técnicas disponíveis temos:
TEORIA DAS FILAS ou SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Introdução à Teoria das Filas
Filas
Múltiplas
06
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Sistema de
Senhas
Fila Única
(Tipo Cobra)
 Atravessamento
 Filas Expressas
 Finita ou não
‹nº›
‹nº›
Uma fila é uma linha de clientes esperando no momento em que necessitam de serviços de um ou mais prestadores. Contudo, a fila não é necessariamente uma linha física de pessoas na frente de um ou mais servidores.
 Espera de clientes num banco
 Espera para acessar um site
 Espera de peças por processamento numa máquina
 Espera por um semáforo
 Espera por um elevador
 Etc, etc.
Os servidores não precisam estar limitados a atender um cliente por vez (um avião, um ônibus, um elevador)
Nem sempre o cliente vai até o local do serviço (segurança, bombeiros).
Os processos podem consistir de estágios com filas em série (atendimento médico num hospital).
Gestão de Serviços Agregados
Introdução à Teoria das Filas
‹nº›
‹nº›
Algumas considerações sobre as filas:
 Não são simpáticas;
 São dispendiosas para quem espera (peças fabrica, pessoas, etc);
 Um cliente esperando na fila é potencialmente um cliente perdido;
 As primeiras impressões influenciam todo o resto do serviço (experiência);
- As filas são interessantes sob o aspecto de produtividade dos servidores.
Gestão de Serviços Agregados
Introdução à Teoria das Filas
‹nº›
‹nº›
S1
S2
S3
População (Infinita ou finita)
Fila
Servidores
(Atendimento)
 Quando a poupulação é muito grande é definida como infinita para efeitos práticos. A chegada de um novo cliente não afeta a taxa de chegada dos clientes subseqüentes. Por exemplo: emergência hospital, metrô, etc.
- Quando a população é pequena o efeito existe e é considerável. Por exemplo: 3 caminhões numa pedreira. Se todos estão aguardando para carregar, então não chegará nenhum outro
Gestão de Serviços Agregados
Elementos Básicos das Filas
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Introdução à Teoria das Filas - Variáveis
l 
= Taxa Média de Chegada = 20 Carros por minuto
IC = Intervalo Médio entre Chegadas = 3 segundos
- As chegadas vão variar a cada minuto: 10, 15, 25 ou 30 automóveis, conseqüentemente, os valores de e IC não são rígidos. Raramente não sofrem variações.
l 
- Então, não basta fornecer os valores médios, é necessário mostrar como os valores se distribuem em torno da média. Devemos lançar mão de uma distribuição freqüência, tal como a Normal, Poisson, Exponencial, etc.
PEDÁGIO
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Introdução à Teoria das Filas - Variáveis
 Também é rara a existência prática de atendimentos regulares, portanto, para melhor descrevê-los também devemos lançar mão de distribuição de probabilidades. 
m
= Taxa Média de Atendimento = 06 Carros por minuto
TA = Duração do Serviço ou do Atendimento = 10 segundos/veículo
PEDÁGIO
‹nº›
‹nº›
Outras considerações sobre as filas:
 O Número de Servidores pode variar conforme a oscilação do ritmo (taxa) de chegadas. O sistema mais simples contempla uma fila e apenas um servidor.
 Disciplina da Fila é a regra que define qual será o próximo cliente a ser atendido.
	a) FIFO;
	b) Prioridade;
	c) Peça com data de entrega mais próxima;
	d) Outras.
Gestão de Serviços Agregados
Introdução à Teoria das Filas
‹nº›
‹nº›
Outras considerações sobre as filas:
 Tamanho Médio da Fila é uma variável importante. O valor ideal seria igual a zero, mas isso pode significar ociosidade excessiva do(s) servidor(res). Não é constante porque e variam.
 Tamanho Máximo da Fila é importante porque determina, por exemplo, o número de cadeiras de espera numa barbearia. Também pode significar a recusa do cliente no momento (linha telefônica ocupada). Nesse caso ele pode tentar ligar mais tarde.
 Tempo Médio de Espera na Fila é outra variável importante também determinada pelas taxas de chegada e de atendimento.
m
l 
Gestão de Serviços Agregados
Introdução à Teoria das Filas
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Introdução à Teoria das Filas
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Introdução à Teoria das Filas
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Observando a Dinâmica de Uma Fila
‹nº›
‹nº›
Mais considerações sobre as filas:
 Sistemas Estáveis: A teoria das filas exige que os processos de chegada e de atendimentos se mantenham estáveis (não fixos). Por exemplo, os bancos podem apresentar variações no fluxo de chegadas.
 Em um determinado instante podem chegar mais clientes que a capacidade de atendimento, gerando filas temporárias.
 O atendimento de um cliente pode ser muito mais demorado do que a média, obrigando os clientes que chegam em seguida a ficarem em fila.
 A solução para aplicação da Teoria das Filas é dividir o tempo global em períodos parciais.
m
l 
<
m
l 
>
Gestão de Serviços Agregados
Introdução à Teoria das Filas
‹nº›
‹nº›
Prepare o gráfico de funcionamento do sistema !
 Calcule o tamanho médio da fila;
 Calcule o Tempo Médio de Espera na Fila.
Tempos dos Atendimentos (Valores em Minutos)
 
 
Navios
1
2
3
4
5
6
7
MÉDIA
Tempos Carga
5
5
3
3
6
7
6
5,00
Intervalos entre Chegadas (Valores em Minutos)
 
 
Navios
1
2
3
4
5
6
7
MÉDIA
Intervalos (h)
7
2
11
7
2
8
6
6,14
Gestão de Serviços Agregados
Introdução à Teoria das Filas
‹nº›
‹nº›
Gráfico para a solução do problema.
Gestão de Serviços Agregados
Introdução à Teoria das Filas
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Filas: Variáveis Randômicas Fundamentais
1 – VARIÁVEIS REFERENTES AO SISTEMA
 TS – Tempo Médio de Permanência no Sistema
 NS – Número Médio de Clientes no Sistema
2 – VARIÁVEIS REFERENTES AO PROCESSO DE CHEGADA
 – Taxa ou Ritmo Médio de Chegadas
 IC – Intervalo Médio entre Chegadas
		IC = 1 / 
l 
l 
3 – VARIÁVEIS REFERENTES À FILA
 TF – Tempo Médio de Permanência na Fila
 NF – Número Médio de Clientes na Fila
‹nº›
‹nº›
m
4 – VARIÁVEIS REFERENTES AO PROCESSO DE ATENDIMENTO
 TA – Tempo Médio de Atendimento ou de Serviço
 M – Quantidade de Atendentes
 NA – Número Médio de Clientes que Estão Sendo Atendidos
 - Taxa ou Ritmo Médio de Atendimento de Cada Atendente
 TA = 1 / 
m
Gestão de Serviços Agregados
Filas: Variáveis Randômicas Fundamentais
‹nº›
‹nº›
Visualização das Variáveis Randômicas Fundamentais
S1
S2
S3
Chegada
Fila
Atendimento
Saída
IC e
m
l 
TF e NF
M,TA,NA e
Sistema
TS e NS
Gestão de Serviços Agregados
Filas: Variáveis Randômicas Fundamentais
‹nº›
‹nº›
Relações Básicas entre as Variáveis
NS = NF + NA
TS = TF + TA
NA = / = TA / IC, portanto:
NS = NF + NA = NF + / = NF + TA / IC
m
l 
m
l 
Taxa de Utilização dos Atendentes
r
= / 
m
l 
(Para uma fila e um atendente)
r
= / M
m
l 
(Para uma fila e “M” atendentes)
Gestão de Serviços Agregados
Filas: Variáveis Randômicas Fundamentais
‹nº›
‹nº›
Taxa de Utilização dos Atendentes (Exemplo)
r
= / 
m
l 
(Para uma fila e um atendente)
r
= / M
m
l 
(Para uma fila e “M” atendentes)
Se chegam 4 clientes por hora e a capacidade de atendimento do servidor for de 10 clientes por hora, temos:
r
= / 
m
l 
l 
= 4 clientes por hora
m
= 10 clientes por hora
r
= 4 / 10 = 0,4 = 40% ocupado
Podemos afirmar que que o atendente fica 40% ocupado 60% ocioso!
Se = 1, o atendente trabalhará 100% do tempo. 
r
Gestão de Serviços Agregados
Filas: Variáveis Randômicas Fundamentais
‹nº›
‹nº›
Número Mínimo de Atendentes
i = / 
m
l 
= TA / IC
Por exemplo: se = 10 clientes / h e TA = 3 minutos ou 
 = 20 clientes / h, temos
m
l 
(Próximo valor inteiro)
i = / = 10 / 20 = 0,5 = 1 atendente
m
l 
Por exemplo: se = 50 clientes / h e TA = 3 minutos ou 
 = 20 clientes / h, temos
m
l 
i = / = 50 / 20 = 2,5 = 3 atendentes
m
l 
Gestão de Serviços Agregados
Filas: Variáveis Randômicas Fundamentais
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Fórmulas de Little – Filas Exercícios
NF = . TF
l 
NS = . TS
l 
Exercício 01
Em uma fábrica, observou-se o funcionamento de um setor em que = 20 peças / hora, = 25 peças / hora e TS = 0,3 horas. Calcular;
a) O tamanho médio da fila (NF) ?
b) O número de peças no sistema (NS) ?
c) O número de peças em processamento (NA) ?
m
l 
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Filas Exercícios 01
Exercício 02
Em uma mineração, verificou-se que o tempo médio (TS) dos caminhões junto às carregadeiras é de 3 minutos e que, em média, existem 6 caminhões (NS) no setor. Qual a taxa de chegada de caminhões ( )?
l 
24 Caminhões em
processo de descarga 
06 Caminhões em
processo de carga 
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Filas Exercícios 01
Exercício 03
Na mesma mineração do exercício 02, existe um total de 30 caminhões em serviço. Qual a duração do ciclo? O ciclo é o tempo gasto para que todos os caminhões passem pela carregadeira uma vez. Ao final do ciclo, o sistema terá atendido uma vez a cada um dos caminhões que estão no circuito. 
Duração do Ciclo = Tam.População / 
l 
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Filas Exercícios 01
Exercício 04
Ainda na mesma mineração, qual o tempo médio para o processo completo de descarregamento (ou TFS: Tempo Fora do Sistema)
Duração do Ciclo = TS + TFS 
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Resumo das Fórmulas
Nome
Fórmula
Intervalo entre Chegadas
IC = 1 /
Tempo de Atendimento
TA = 1 /
Taxa de Utilização dos Atendentes
Intensidade de Tráfego
I = | / | = | TA / IC |
Relações entre Fila, Sistema e Atendimento
NS = NF + NA
NA = /
NS = NF + / = NF + TA / IC
TS = TF + TA
NA =
Fórmulas de Little
NF = . TF
NS = . TS
Duração do Ciclo
Ciclo = TS + TFS
Ciclo = Tamanho População /
m
l 
= / M
m
l 
m
l 
m
l 
m
l 
r
= / M
m
l 
l 
l 
l 
r
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Postulados Básicos
A seguir, alguns postulados básicos que se aplicam aos sistemas de filas nos quais existe estabilidade, ou seja, < em todas as estações de traballho (o ritmo médio de chegada é menor que o ritmo médio de atendimento).
m
l 
l 
l 
a) Em qualquer sistema estável, o fluxo que entra é igual ao fluxo que sai !
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Postulados Básicos
b) Em um sistema estável, o fluxo de entrada se mantém nas diversas seções do sistema.
l 
l 
A
B
C
l 
l 
l 3 
A
B
l 2 
l 3 
C
l 1 
c) Em um sistema estável, a junção de fluxos equivale às suas somas: 
l 3 =
l 1 + 
l 2 
‹nº›
‹nº›
d) Em um sistema estável, o fluxo se desdobra aritmeticamente.
l 3 = 4 
A
C
l 2 = 16 
l 2 = 16
l 1 
B
l 3 = 4 
80%
20%
Gestão de Serviços Agregados
Postulados Básicos
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Filas Exercícios 02
Exercício 01
Em uma pizzaria que faz entregas em casa, chegam, em média, 4 entregadores por minuto para apanhar o produto a ser entregue. Sabe-se, ainda, que o número médio de entregadores dentro da pizzaria é de 6 (NS). Qual o tempo médio no sistema?
Exercício 02
No mesmo sistema anterior, existem 40 entregadores. Qual o tempo médio da entrega (TFS)?
Exercício 03
Em uma mineração existem 12 caminhões efetuando um ciclo no qual consomem 4 minutos entre fila e carregamento pela escavadeira (TS) e, a seguir, gastam 8 minutos para levar a carga até o britador e voltar (TFS). Calcular e NS.
l 
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Filas Exercícios 02
Exercício 04
No desenho abaixo, representando o fluxo de peças em um setor de uma fábrica, calcule o fluxo de chegada em cada equipamento.
A
B
l = 10 
C
E
F
D
l = 20 
30%
70%
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Chegada
Os valores da tabela mostram quantos veículos chegaram a cada intervano de UM minuto, entre 07:00h e 08:00h da manhã. Por exemplo: no primeiro minuto chegarm DOIS veículos e no segundo minuto chegou UM veículo.
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Chegada
Nas 60 anotações (60 minutos ou uma hora de acompanhamento) da Tabela, chegaram 120 veículos, ou seja:
l = 120
Veículos/60 minutos = 2 veículos/minuto 
O valor de representa a chegada média de veículos por minuto 
l
 Se IC = 1 /
l
IC = 1 / 2 veículos/minuto = 0,5 minutos/veículo
O Intervalo médio entre as chegadas é de ½ minuto/veículo
O menor valor: ZERO chegadas por minuto ocorreu NOVE vezes.
O maior valor: OITO chegadas por minuto ocorreu UMA vez.
Para analisar corretamente os dados acima é necessário recorrer à ESTATÍSTICA, pois deseja-se conhecer não somente os valores médio, mínimo e máximo, mas também COMO OS VALORES SE DISTRIBUEM EM TORNO DA MÉDIA!
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Chegada
Qual a distribuição estatística que mais se aproxima dos dados acima?
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Chegada
Qual a distribuição estatística que mais se aproxima dos dados acima?
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Sem aprofundar desnecessariamente na teoria estatística, a distribuição que mais se aproxima é a de Poisson!
A fórmula da Distribuição de Poisson é:
f ( x ) = ___________
 X !
l
e
-l
x
l
e
Onde:
 X 
- representa o número de chegadas
 representa o ritmo médio de chegadas 
 por unidade de tempo
f ( x )
- representa a freqüência relativa ou probabilidade
- Constante = 2,7182818284590
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA!
VALORES INTEIROS DE “X”!
(CHEGADAS)
Os Processos de Chegada – Distrib. Poisson
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Chegada – Distrib. Poisson
Exemplo de aplicação da fórmula da Distribuição de Poisson:
f ( x ) = ___________
 X !
l
e
-l
x
f ( 2 ) = __________________________
 2 !
(2,7182818)
2
 (2 veic./min) x
-2
f ( 2 ) = 0,2707
A probabilidade de chegar DOIS veículos num intervalo de UM minuto, para um ritmo médio de chegadas ( ) de dois veículos por minuto é de 27,07%.
l 
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Sobrepondo a distribuição de chegada real de veículos no pedágio e a distribuição de Poisson com = chegadas/minuto, temos:
l 
Distrib. Poisson
Distrib. Real
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta: trabalha com valores inteiros (0,1,2,….).
Os pontos foram unidos por uma questão didática. Não existe curva; somente os pontos.
Os Processos de Chegada – Distrib. Poisson
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Chegada - Exercício
Exercício 01
	Numa fábrica chegam, em média, 7 pedidos por semana, segundo distribuição de Poisson. Qual a probabilidade de ocorrer a chegada das quantidades de pedidos abaixo, em uma mesma semana?
	a) Zero pedido;
	b) Sete Pedidos;
	c) Até Sete Pedidos;
	d) Acima de Sete Pedidos.
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Chegada
A distribuição de Poisson está relacionada com inúmeros processos de chegada. Por outro lado, quando o estudo trata dos ICs, a distribuição estatística é, normalmente, a mais adequada.
Geralmente, se o processo de chegada segue Poison, os intervalos
entre as chegadas segue a Distribuição Exponencial Negativa.
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Chegada
No exemplo anterior, no intervalo de UMA hora, chegaram 120 veículos, o que representa um IC médio de 30 segundos/veículo. 
A tabela acima mostra outro conjunto de dados coletados: os INTERVALOS DE CHEGADA para os 100 primeiros veículos no pedágio da RS 999.
‹nº›
‹nº›
Os Processos de Chegada – Distrib. Expo. Negativa
Gestão de Serviços Agregados
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Chegada – Distrib. Expo. Negativa
Exemplo de aplicação da fórmula da Distribuição Expo. Negativa:
A probabilidade de chegada de automóveis de ZERO até 0,8 minutos é de 0,798 ou de 79,8%.
f ( x ) = 1 - 
e
-l
x
f ( 0,8 ) = 1 - 
(2,7182818)
-2 x 0,8
l = 2
l
e
Onde:
 X 
- Representa o tempo de 0,8 minutos
 representa o ritmo médio de chegadas 
 por unidade de tempo = 2 automóveis/minuto
f ( x )
- representa a freqüência relativa ou probabilidade
- Constante = 2,7182818284590
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Distribuição Exp. Negativa (Acumulada)
A probabilidade de chegada de carros em até 0,4 minutos é de 0,551 ou 55,1 %.
Segundo a tabela do slide 19, temos:
0,00-0,20min = prob. 0,330;
0,21-0,49min = prob. 0,221.
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Distribuição Exp. Negativa (Densidade)
O valor de f(t+Dt) – f(t) representa a probabilidade de ocorrência de chegadas (fenômeno) no intervalo (t+Dt).
O valor de f(t+Dt) – f(t) é igual a f(0,8) – f(0,6) = 0,099 ou 9,9% de ocorrer chegadas nesse intervalo.
Distrib. Expon.Negativa
(Densidade)
Distrib. IC Real
A área é igual a probabilidade de ocorrer a chegada entre (t+Dt).
T e m p o
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Chegada - Exercício
Exercício 02
	No posto de pedágio estudado, onde = 2 chegadas por minuto, ou IC = 
30 segundos, Calcular:
	a) A probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas seje de 30 segundos, ou 0,5 minutos;
	b) A probabilidade de qeu o intervalo entre duas chegadas seja maior do que 30 segundos;
	c) A probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas esteja compreendido entre 12 e 24 segundos, isto é 0,2 e 0,4 segundos.
l 
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Atendimento
A tabela acima contém uma amostra de 100 valores do tempo de atendimento em segundos. TA = 20 seg./cliente ou 0,33 min./cliente, ou seja, m = 3 clientes por minuto.
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Atendimento
A distribuição acima não se parece com o traçado das anteriores. Para a distribuição de atendimento existem várias distribuições possíveis que podem representar o fenômeno. Como por exemplo Erlang, Lognormal, Normal, Weibull, etc.
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Atendimento
A distribuição acima também não se parece com o traçado das anteriores quando traçada com um gráfico de linhas.
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Chegada - Exercícios
Exercício 03
	Em uma fábrica, as máquinas estragam num ritmo de 4 falhas por semana, segundo a distribuição de Poisson. Quando uma máquina falha, é enviada uma ordem de conserto para a Manutenção. Qual a probabilidade de, em uma semana, chegarem as seguintes quantidades de ordens de conserto:
	a) Zero;
	b) Uma;
	c) Até Quatro;
	d) Mais que Quatro
	e) Doze ordens.
l = 4 falhas/semana
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Chegada - Exercícios
Exercício 04
	Em um dado sistema, o IC médio entre duas chegadas é de 10 minutos, ou seja l = 6 chegadas por hora, e segue a Distribuição Exp. Negativa. Qual a probabilidade que o intervalo entre chegadas seja:
	a) Até Seis minutos;
	b) Maior que Seis minutos;
	c) Entre Seis e Trinta minutos;
	d) Maior do que Trinta Minutos.
l = 6 chegadas/hora
‹nº›
‹nº›
Gestão de Serviços Agregados
Os Processos de Atendimento
Como resolver a questão de identificar qual a distribuição adequada para representar os processos de chegada e atendimento nas simulações do software PROMODEL?
a) Reconhecendo as principais distribuições que costumam aparecer nesses processos e seus parâmetros;
b) Aprendendo a usar o software StatFit2 que reconhece as melhores distribuições que representam um determinado fenômeno;
c) Entendendo como o StatFit testa quais as melhores distribuições.
‹nº›
‹nº›
Gráf2
	0.15
	0.283
	0.283
	0.15
	0.066
	0.017
	0.017
	0.017
	0.017
	0
	0
Ritmo
Freq. Relativa
Ritmo X Freq. Relativa
Plan1
				Ritmo de Chega de Veículos
Pedágio RS 999											Ritmo	Freq. 
Absoluta	Freq. 
Relativa	Freq. 
Relativa
				2	1	2	1	0	2	1	0	1	2		0	9	9/60	0.150
				0	2	3	1	3	1	3	4	5	1		1	17	17/60	0.283
				2	0	1	2	1	0	1	1	0	2		2	17	17/61	0.283
				2	2	3	2	2	3	2	3	3	2		3	9	9/60	0.150
				1	6	0	2	3	7	0	2	2	0		4	4	4/60	0.066
				4	1	1	1	1	8	4	3	1	4		5	1	1/60	0.017
															6	1	1/60	0.017
				11	12	10	9	10	21	11	13	12	11	120	7	1	1/60	0.017
															8	1	1/60	0.017
															9	0	0/60	0.000
															10	0	0/60	0.000
	
																	Poisson
															0	0.150	0.1353
															1	0.283	0.2707		l	=	2
															2	0.283	0.2707			=	-2
															3	0.150	0.1804		X	=	2
															4	0.066	0.0902
															5	0.017	0.0361
															6	0.017	0.0120			=	4
															7	0.017	0.0034			=	0.1353352832
															8	0.017	0.0009		X !	=	2
															9	0.000	0.0002		f ( x )	=	0.2706705665
															10	0.000	0.0000
Plan1
	
Ritmo
Freq. Relativa
Ritmo X Freq. Relativa
Plan2
	
Ritmos
Freq. Relativas
Pedágio X Poisson
Plan3
	
	
Gráf1
	0.15	0.1353
	0.283	0.2707
	0.283	0.2707
	0.15	0.1804
	0.066	0.0902
	0.017	0.0361
	0.017	0.012
	0.017	0.0034
	0.017	0.0009
	0	0.0002
	0	0
Ritmos
Freq. Relativas
Pedágio X Poisson
Plan1
				Ritmo de Chega de Veículos
Pedágio RS 999											Ritmo	Freq. 
Absoluta	Freq. 
Relativa	Freq. 
Relativa
				2	1	2	1	0	2	1	0	1	2		0	9	9/60	0.150
				0	2	3	1	3	1	3	4	5	1		1	17	17/60	0.283
				2	0	1	2	1	0	1	1	0	2		2	17	17/61	0.283
				2	2	3	2	2	3	2	3	3	2		3	9	9/60	0.150
				1	6	0	2	3	7	0	2	2	0		4	4	4/60	0.066
				4	1	1	1	1	8	4	3	1	4		5	1	1/60	0.017
															6	1	1/60	0.017
				11	12	10	9	10	21	11	13	12	11	120	7	1	1/60	0.017
															8	1	1/60	0.017
															9	0	0/60	0.000
															10	0	0/60	0.000
	
																	Poisson
															0	0.150	0.1353
															1	0.283	0.2707		l	=	2
															2	0.283	0.2707			=	-2
															3	0.150	0.1804		X	=	2
															4	0.066	0.0902
															5	0.017	0.0361
															6	0.017	0.0120			=	4
															7	0.017	0.0034			=	0.1353352832
															8	0.017	0.0009		X !	=	2
															9	0.000	0.0002		f ( x )	=	0.2706705665
															10	0.000	0.0000
Plan1
	
Ritmo
Freq. Relativa
Ritmo X Freq. Relativa
Plan2
	
Ritmos
Freq. Relativas
Pedágio X Poisson
Plan3