6 Probabilidade

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Introdução - Probabilidade 
–A palavra probabilidade deriva do latim probare (provar ou testar). 
–Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto. 
–A teoria das probabilidades é um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios (Dante, 2010). 
–A teoria das probabilidades tenta quantificar a noção de provável. 
•Probabilidade 
–Embora o cálculo das probabilidades pertença ao campo da Matemática, o seu uso na Estatística se justifica pelo fato de a maioria dos fenômenos estatísticos são de natureza aleatória ou probabilística. 
–O conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo de probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferencial. 
•Experimento aleatório 
–Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas vezes sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. 
Exemplos: 
1) No lançamento de uma moeda perfeita, o resultado é imprevisível; não se pode determiná-lo antes de ser realizado. Não sabemos se sairá cara ou coroa em cada lançamento; 
2) Lançamento de um dado “não viciado”; 
3) Resultado de um jogo de roleta; 
4) Número de pessoas que ganharão na loteria; 
5) Qual time sairá vencedor da partida. 
•Experimento aleatório 
–Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos os resultados prováveis, as chances, as probabilidades de determinado resultado ocorrer. 
–Definição: Experimentos ou Fenômenos Aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. 
•Espaço Amostral 
–Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos os resultados possíveis é chamado espaço amostral ou conjunto universo e é representado por S. 
–O espaço amostral depende do experimento. 
–A cada evento correspondem, em geral, vários resultados possíveis 
•Espaço Amostral 
Exemplos: 
1)Ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa, ou seja, o espaço amostral é S = {cara, coroa} 
2)Ao efetuarmos dois lançamentos sucessivos de uma moeda, podemos obter cara e cara, coroa e coroa, cara e coroa ou coroa e cara, logo S = {(Ca, Ca), (Co, Co), (Ca, Co), (Co, Ca)} 
3)Ao lançarmos um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
•Espaço Amostral 
–Cada um dos elementos de S que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. Assim: 2 ϵ S => 2 é um ponto amostral de S. 
•Eventos 
–Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório. 
–Assim, qualquer que seja o evento E: 
•Se E ϲ S (E está contido em S), então E é um evento de S; 
•Se E = S, E é chamado evento certo pois coincide com o espaço amostral; 
•Se E ϲ S e E é um conjunto unitário, E é chamado evento elementar. 
•Se E = ᴓ, E é chamado evento impossível, pois é vazio. 
•Eventos 
Exemplos: 
1) No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos: 
Evento A. Obter um número par na face superior: A = {2, 4, 6} 
Evento B. Obter um nº menor ou igual a 6 na face superior: 
B={1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Evento C: Obter o número 1 na face superior: C = {1} 
Evento D: Obter um número maior que 6 na face superior: D = ᴓ. 
•Eventos 
Exemplos: 
2) No lançamento de uma moeda, vamos determinar o espaço amostral e o evento “sair cara”. 
S = {Cara, Coroa} 
Evento A = {Cara} 
•Probabilidade 
–Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável. 
•Chamamos de probabilidade de um evento A (A ϲ S) o número real P(A), tal que: 
P(A) = n(A) 
 n(S) 
Onde: n(A) é número de elementos de A 
 n(S) é o número de elementos de S 
•Probabilidade 
P(A) = número de resultados favoráveis 
 número total de resultados possíveis 
Exemplos: 
1) Qual é a probabilidade de se obter cara no lançamento de uma moeda? 
S = {Ca, Co} => n(S) = 2 
A = {Ca} => n(A) = 1 
P(A) = n(A)/n(S) => P(A) = 1/2 => P(A) = 0,5 
R: Ao lançarmos uma moeda equilibrada, a chance de sair cara na face superior é de 50% 
•Probabilidade 
Exemplos: 
2) Considerando o lançamento de um dado, calcule: 
a. A probabilidade de obter um número par na face superior. 
b. A probabilidade de obter um número menor ou igual a 6 na face superior. 
c. A probabilidade de obter um número 4 na face superior. 
d. A probabilidade de obter um número maior que 6 na face superior. 
•Probabilidade 
2) a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} => n(S) = 6 
A = {2, 4, 6} => n(A) = 3 
P(A) = 3/6 => P(A) = 1/2 
b. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} => n(B) = 6 
P(B) = 6/6 => P(B) = 1 
c. C = {4 } => n(C) = 1 
P(C) = 1/6 
d. D = ᴓ => n(D) = 0 
P(D) = 0/6 => P(D) = 0 
–Conclusões: 
•A probabilidade do evento certo é igual a 1: P(S) = 1 
•A probabilidade do evento impossível é zero: P(ᴓ) = 0 
•A probabilidade de um evento E qualquer (E ϲ S) é tal que: 
0 ≤ P(E) ≤ 1 
•Eventos Complementares 
–Sabendo-se que um evento pode ocorrer ou não, sendo p a probabilidade que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso): 
p + q = 1 => p = 1 - q 
–Logo, se a probabilidade de se realizar um evento é p = 1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é: 
q = 1 - 1/5 => q = 4/5 
•Eventos Complementares 
–Ex: Qual é a probabilidade de não tirar o número 4 no lançamento de um dado? 
Probabilidade de tirar o 4: p = 1/6 
Probabilidade de não tirar o 4: q = 1 - 1/6 => q = 5/6 
•Eventos Independentes 
–Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. 
Ex: Ao lançarmos dois dados, o resultado obtido em um dos lançamentos não interfere no resultado do outro, ou seja, são independentes. 
•Eventos Independentes 
–Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. 
–Seja p1a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a probabilidade de realização do segundo evento, a Probabilidade de realização dos eventos simultaneamente é: 
p = p1 x p2 
•Eventos Independentes 
–Ex: No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no primeiro lançamento e 5 no segundo? 
p1 = 1/6 
p2 = 1/6 
p = 1/6 x 1/6 => p = 1/36 
A probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no primeiro lançamento e 5 no segundo é de 1/36 
•Eventos Mutuamente Exclusivos 
–Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). 
Ex: No lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza. 
–Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um OU outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize. 
p = p1 + p2 
•Eventos Mutuamente Exclusivos 
Ex: Qual é a probabilidade de se tirar 3 ou 5 no lançamento de um dado? 
p = 1/6 + 1/6 
p = 2/6 
p = 1/3 
R: A probabilidade de se tirar 3 ou 5 no lançamento de um dado é de 1/3 
•Exercícios: 
1) Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? 
2) Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? 
3) Em um lote de 12 peças, quatro são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule: 
a. A probabilidade dessa peça ser defeituosa 
b. A probabilidade de essa peça não ser defeituosa 
4) No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5. 
5) De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente,uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus? 
6) Uma urna A contém: três bolas brancas, quatro pretas, duas verdes; uma urna B contém: cinco bolas brancas, duas pretas, uma verde; uma urna C contém: duas bolas brancas, três pretas e quatro verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde? 
7) De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus? 
8) Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? 
9) Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? 
10) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não inferior a 5? 
11) São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual é a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente nessa ordem? 
12) Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou maior que 10. 
13) As probabilidades de três vendedores, A, B e C, que trabalham independentemente, efetivarem uma venda quando abordam um cliente são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um abordar um cliente, qual a probabilidade de que pelo menos um efetive a venda?