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* TEORIA DA DUALIDADE O PROBLEMA DUAL Uma das mais importantes descobertas no início do desenvolvimento da Programação Linear foi o conceito de dualidade e suas muitas ramificações importantes. Esta descoberta revelou que todo o problema de Programação Linear tem associado a ele outro problema de Programação Linear chamado dual. As relações entre o problema dual e o problema original (chamado de primal) provam ser úteis de diversas maneiras. O problema dual é um modelo associado ao original, que traz a interpretabilidade econômica para os valores de recursos e para os coeficientes da função objetivo. Esta interpretabilidade serve para amenizar essas dúvidas impostas pela hipótese de certeza do problema de programação linear. * TEORIA DA DUALIDADE COMPARAÇÃO DA FORMA DOS PROBLEMAS PRIMAL E DUAL A cada modelo de Programação Linear, corresponde um outro modelo, denominado dual, formado por esses mesmos coeficientes, porém dispostos de maneira diferente, utilizando-se o conceito de matriz transposta. Seja o problema primal assim definido: a 11 x 1 + a 12 x 2 + .......... + a 1n x n b 1 (y 1) a 21 x 1 + a22 x 2 + .......... + a n2 x n b 2 (y 2) ................................................................................ a m1 x 1 + a m2 x 2 + ......... + a mn x n b m (y m) Z Max = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ......... + c n x n * TEORIA DA DUALIDADE COMPARAÇÃO DA FORMA DOS PROBLEMAS PRIMAL E DUAL Associando-se a cada restrição i do primal uma variável y 1, conforme o indicado acima, o problema dual é assim definido: a 11 y 1 + a2 1 y 2 + .......... + am 1 y m c 1 a 12 y 1 + a 2 2y 2 + .......... + a m 2 y m c 2 ................................................................................ a 1n y 1 + a2n y 2 + ......... + a mn x m c n Z Mín = b 1 y 1 + b 2 y 2 + ......... + bn x m * TEORIA DA DUALIDADE Para ilustrar a teoria, vejamos agora um exemplo numérico: - Modelo matemático primal: 2 X1 + X2 16 X1 + 2X2 11 X1 + 3X2 15 ZMáx. = 300 X1 + 500 X2 - O modelo matemático dual associado ao modelo matemático primal: 2 Y 1 + Y 2 + Y 3 300 Y 1 + 2Y 2 + 3Y 3 500 Z Min = 16 Y 1 + 11Y 2 + 15 Y 3 * TEORIA DA DUALIDADE Comparando os modelos primal e dual, verificamos que: - As restrições do dual são do tipo , ao passo que as do primal são do tipo ; - O número de incógnitas do dual (m valores de yi) é igual ao número de restrições do primal; - O número de restrições do dual é igual ao numero de incógnitas do primal (n valores de xj); - A matriz dos coeficientes do dual é a transposta da matriz dos coeficientes do primal; - A função objetivo do dual é de minimização, ao passo que a do primal é de maximização; - Os termos constantes das restrições do dual são os coeficientes da função objetivo do primal; e - Os coeficientes da função objetivo do dual são os termos constantes das restrições do primal. * TEORIA DA DUALIDADE EXEMPLO DA SOLUÇÃO GRÁFICA DO PRIMAL E DUAL Para facilitar o entendimento, vamos utilizar um exemplo de modelo matemático primal com duas variáveis (X1 e X2), com apenas duas inequações: - Primal - Dual X1 + 2 X 2 3 (3; 1,5) Y1 + Y 2 5 (5; 5) X1 + X 2 2 (2; 2) 2 Y1 + Y 2 7 (3,5; 7) Zmáx = 5 X 1 + 7 X 2 Zmín = 3 Y 1 + 2 Y 2 2 * TEORIA DA DUALIDADE MÉTODO DUAL-SIMPLEX O método Dual-Simplex lida diretamente com soluções básicas incompatíveis, porém “melhores que a ótima”, e procura achar a compatibilidade do problema. Ele lida com o problema exatamente como se o método simplex estivesse sendo, simultaneamente aplicado ao seu problema dual. O método Dual-Simplex é bastante empregado em análise de sensibilidade, quando são feitas pequenas modificações no modelo. Além disso, algumas vezes é mais fácil começar com uma solução básica incompatível, porém “melhor que a ótima” e procurar a compatibilidade, do que obter uma solução compatível básica inicial e depois otimizá-la, como se faz no método simplex. * TEORIA DA DUALIDADE Para exemplificar o método Dual-Simplex, vamos utilizar o mesmo exemplo: X1 + 2 X 2 3 X1 + X 2 2 Zmáx o lucro= 5 X 1 + 7 X 2 Colocando as variáveis de folga nas inequações do modelo matemático primal e multiplicando a função objetivo por (-1): X1 + 2 X 2 + X3 = 3 X1 + X 2 + X4 = 2 - Zmáx o lucro = -5 X 1 - 7 X 2 * TEORIA DA DUALIDADE Construindo o primeiro quadro do simplex: BASE X1 X2 X3 X4 b __________________________________ X3 1 2 1 0 3 X4 1 1 0 1 2 _________________________________ -Z -5 -7 0 0 0 * TEORIA DA DUALIDADE Aplicando as regras do simplex, chegamos ao 2º quadro do simplex: BASE X1 X2 X3 X4 b __________________________________ X2 ½ 1 ½ 0 3/2 X4 ½ 0 -1/2 1 1/2 _________________________________ -Z -3/2 0 7/2 0 21/2 * TEORIA DA DUALIDADE Aplicando as regras do simplex, chegamos ao 3º quadro do simplex: BASE X1 X2 X3 X4 b __________________________________ X2 0 1 1 -1/2 1 X1 1 0 - 2 1 _________________________________ -Z 0 0 2 3 12 * TEORIA DA DUALIDADE Colocando as variáveis de folga nas inequações do modelo matemático dual e multiplicando a função objetivo por (-1): Y1 + Y 2 - Y3 = 5 2 Y1 + Y 2 - Y4 = 7 - Zmín o custo = -3 Y 1 - 2 Y 2 Para identificarmos a solução do dual, basta colocar no último quadro do simplex primal, onde temos as variáveis originais do modelo primal, as variáveis de folga do dual e onde ficam as variáveis de folga do primal, as variáveis originais do dual. * TEORIA DA DUALIDADE Y3 Y4 Y1 Y2 BASE X1 X2 X3 X4 b __________________________________ X2 0 1 1 -1/2 1 X1 1 0 -1 2 1 _________________________________ -Z 0 0 2 3 12 * TEORIA DA DUALIDADE A identificação da solução no quadro do simplex é feita da seguinte maneira: - Primal: é a relação das variáveis da linha da base com os valores da coluna b, sendo portanto X1 = 1, X2 = 1, X3 = 0 e X4 = 0, e o valor máximo de lucro igual a 12. - Dual: é a relação das variáveis que estão na primeira linha, com os valores que estão na linha –Z, sendo portanto Y1 = 2, Y2 = 3, Y3 = 0 e Y4 = 0, e o valor mínimo de custo igual a 12. Em resumo, quando trocamos a visão de maximização do lucro (diferença entre receita e custo) na fase primal, pela minimização de custos na fase dual, estamos considerando o benefício da produção.
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