Programação Linear: Método Gráfico

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MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO
Aula 04: PROGRAMAÇÃO LINEAR (PL): MÉTODO GRÁFICO
OBJETIVOS DA AULA:
Nesta aula será abordado o seguinte assunto:
- A utilização do método gráfico para a solução de problemas de Programação Linear.
MÉTODO GRÁFICO
O método gráfico consiste em um sistema de coordenadas ortogonais, onde se mostra um polígono convexo, que contém os pontos representativos das possibilidades.
Essas possibilidades são determinadas a partir do sistema de coordenadas ortogonais das inequações que representam as restrições, de maneira que a sua solução venha a dar o conjunto convexo, que é a solução do sistema de inequações. 
ESTRUTURA DE MODELOS MATEMÁTICOS
Na aula anterior, verificamos que no modelo matemático, existem três conjuntos de elementos:
- Variáveis de decisão e parâmetros; 
- Restrições; 
- Função Objetivo.
Exemplo 1- (LACHTERMACHER, 2009, p. 26)
A indústria Alumilânias S. A. iniciou suas operações há um mês e vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, com contratos fechados de fornecimento para três tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média e grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilânias S. A., há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. 
A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diário da fábrica de 100 mil reais para uma capacidade produtiva de 8 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 2 de lâminas grossas por dia. O custo de produção da fábrica do Rio de Janeiro é de 200 mil reais para uma capacidade produtiva de 2 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 7 de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível? 
Variáveis de decisão:
- X1 = nº de dias de operação da fábrica de São Paulo
- X2 = nº de dias de operação da fábrica do Rio de Janeiro
Parâmetros:
- Lâminas fina, média e grossa
Restrições: 
- Necessidade mínima de cada uma das lâminas: 16 fina; 6 média e 28 grossa
Função Objetivo:
- Função objetivo a ser minimizada: 
		ZMin. = 100000 X1 + 200000 X2 
Para facilitar a construção do modelo matemático primal é recomendável, a construção de um quadro resumo das informações do problema:
	PARÂMETROS 
	VARIÁVEIS 
	RESTRIÇÕES 
	  
	X1 
	X 2 
	  
	Lâmina fina 
	8 
	2 
	16 
	  
	  
	  
	  
	Lâmina média 
	1 
	1 
	6 
	  
	  
	  
	  
	Lâmina grossa 
	2 
	7 
	28 
	  
	  
	  
	  
	Custo 
	100 
	200 
	
	
	
	
	
Restrições técnicas:
 	8 X1 + 2 X2 16 
	 X1 + X2 6 
	 2 X1 + 7 X2 28 
 
- Restrições de não negatividade: X1 0 e X2 0 
 As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de minimizar o custo, para cada solução apresentada.
DETERMINAÇÃO DOS PONTOS DE CADA INEQUAÇÃO
Dividir a restrição da inequação pelos coeficientes de cada variável:
 - lâmina fina 8 X1 + 2 X2 16 (2; 8) 
 - lâmina média X1 + X2 6 (6; 6) 
 - lâmina grossa 2 X1 + 7 X2 28 (14; 4) 
ZMin. = 100000 X1 + 200000 X2 
Para obtenção de maior precisão nos problemas de Programação Linear, utilizando o método gráfico, recomenda-se o uso de papel milimetrado.
 SOLUÇÃO PELO MÉTODO GRÁFICO
IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
Os pontos solução do problema, correspondem aos pontos onde as retas se cruzam entre si e com as retas de X1 e X2. No problema em estudo, temos quatro possíveis pontos solução: 
 A (0; 8)
 B (0,8; 5,4)
 C (2,8; 3,2) 
 D (14; 0) 
Para sabermos qual dos quatro pontos irá minimizar a função objetivo, basta substituir os valores de cada ponto na função objetivo, da seguinte maneira:
- A (0; 8) ZMín. = 100.000 (0) + 200.000 (8) = 1.600.000, esta solução indica que a indústria Alumilânias não utilizará a fábrica de São Paulo e utilizará 8 dias a fábrica do Rio de Janeiro na produção dos laminados de alumínio, a um custo de R$ 1.600.000,00.
- B (0,8; 5,4) ZMín. = 100.000 (0,8) + 200.000 (5,4) = 1.160.000, esta solução indica que a indústria Alumilânias utilizará 0,8 dia a fábrica de São Paulo e utilizará 5,4 dias a fábrica do Rio de Janeiro na produção dos laminados de alumínio, a um custo de R$ 1.160.000,00. 
- C (2,8; 3,2) ZMín. = 100.000 (2,8) + 200.000 (3,2) = 920.000, esta solução indica que a indústria Alumilânias utilizará 2,8 dias a fábrica de São Paulo e utilizará 5,4 dias a fábrica do Rio de Janeiro na produção dos laminados de alumínio, a um custo de R$ 920.000,00.
- D (14; 0) ZMín. = 100.000 (14) + 200.000 (0) = 1.400.000, esta solução indica que a indústria Alumilânias utilizará 14 dias a fábrica de São Paulo e não utilizará a fábrica do Rio de Janeiro na produção dos laminados de alumínio, a um custo de R$ 1.400.000,00.
Exemplo 2 - (LACHTERMACHER, 2009, p. 26) 
Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por dia se fizer somente calzones. Ele gasta 40 g de queijo para preparar uma pizza e 60 g de queijo para fazer um calzone. Sabendo que o total disponível de queijo é de 5 kg por dia, e que a pizza é vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$ 22,00, pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria deve vender diariamente para maximizar a sua receita, considerando que ela tem um pizzaiolo? 
Variáveis de decisão:
- X1 = Qtd. de horas que serão utilizadas no preparo das pizzas
- X2 = Qtd. de horas que serão utilizadas no preparo dos calzones 
Parâmetros:
Pizza, calzone e queijo
Restrições: 
capacidade diária de produção de pizzas e calzones e a quantidade de queijo disponível
Função Objetivo:
	 Função objetivo a ser maximizada: 
		ZMáx. = 18 X1 + 22 X2 
SOLUÇÃO
Exemplo 3:
Uma empresa executa dois tipos de serviço A e B. Deseja programar as quantidades ótimas de cada serviço, para um certo período de tempo. Os serviços são extremamente divisíveis, valendo os cálculos dos resultados para as partes possíveis de executar. Sabe-se que os parâmetros técnicos admitidos na empresa são:
- Usam-se dois tipos de recursos I e II. Cada unidade de serviço A consome 4 unidades do recurso I e 4 unidades do recurso II. Cada serviço B consome 6 unidades do recurso I e 2 unidades do recurso II. No período citado, as quantidades dos recursos não serão menores do que 36 unidades do recurso I e 20 unidades do recurso II.
- O custo na elaboração de cada unidade do serviço A é de R$ 800,00 e do tipo B R$ 900,00. No período de tempo citado, a empresa não tem condições de tolerar custo superior a R$ 7.200,00.
O lucro líquido na venda de cada unidade do serviço A é de R$ 70,00 e de B R$ 160,00.
Determine as quantidades de cada serviço que deve ser executado, para que tenhamos um lucro máximo.
SOLUÇÃO
EXERCÍCIOS 2.1 – pág. 26
 
6) X1 = 2,8	X2 = 3,2 Z = 920
 
7) X1 = 125	X2 = 0 Z = 2.250
 
8) X1 = 10	X2 = 0 Z = 600
 
9) X1 = 2,4	X2 = 4,8 Z = 0,528
 
10) X1 = 0	X2 = 70.000 Z = 24.500