Medidas_posicao_dispersao

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1
Medidas de posição (ou 
medidas de tendência central) 
e Medidas de dispersão
Disciplina: Estatística básica
Curso: Engenharia Ambiental 
Professor: Leandro Bordin
UNIVERSIDADE FEDERAL DA 
FRONTEIRA SUL
Campus Chapecó 
 
 2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MÉDIA
MODA
MEDIANA
 
 3
� Medidas de posição são medidas ou 
valores que tendem a se localizar em 
um ponto central dentro de um conjunto 
de dados ordenados 
� Medidas de posição
 
 4
� A média é a medida de tendência 
central mais comumente usada para 
descrever resumidamente um 
conjunto de dados; por isso, diz-se 
que ela é um valor típico ou 
representativo 
� Média x
 
 5
� A média aritmética simples de um 
conjunto de dados (números) é igual 
ao quociente entre a soma dos 
valores do conjunto e o número total 
de valores 
� Média x
� Média para dados isolados 
� Média aritmética simples 
n
xxxx
x n
++++
=
...321
n
x
x
n
i
i∑
=
=
1
 
 6
� Exemplo: Considerando o conjunto 
de dados A = {8, 3, 5, 12, 10}, 
determinar a média aritmética 
simples 
� Média x
� Média para dados isolados 
� Média aritmética simples 
 
 
 
 7
� Exemplo:
5
1012538 ++++
=x
5
38
=x
6,7=x
� Média x
� Média para dados isolados 
� Média aritmética simples 
 
 8
� A média aritmética é considerada 
ponderada quando os valores do 
conjunto tiverem pesos diferentes; 
obtém-se uma média aritmética 
pondera através do quociente entre 
o produto dos valores da variável 
pelos respectivos pesos e a soma 
dos pesos 
� Média x
� Média para dados isolados 
� Média aritmética ponderada 
 
 9
n
nn
pppp
pxpxpxpx
x
++++
++++
=
...
...
321
332211
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
p
px
x
1
1
� Média x
� Média para dados isolados 
� Média aritmética ponderada 
 
 10
� Exemplo: A prova final em um 
curso tem peso 3 e as provas 
parciais têm peso 1; um estudante 
tem nota 85 na prova final e 70 e 90 
nas provas parciais; determinar sua 
nota média final 
� Média x
� Média para dados isolados 
� Média aritmética ponderada 
 
 11
� Exemplo:
311
)3(85)1(90)1(70
++
++
=x
5
415
=x
83=x
� Média x
� Média para dados isolados 
� Média aritmética ponderada 
 
 12
� Média para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Se os números x1, x2, x3, ..., xn, 
ocorrerem f1, f2, f3, ..., fn vezes, isto 
é, ocorrerem com as freqüências f1, 
f2, f3, ..., fn, a média será: 
n
nn
ffff
fxfxfxfx
x
++++
++++
=
...
...
321
332211
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
f
fx
x
1
1
� Média x
 
 
 
 13
� Exemplo
Título:
Nº faltas ao 
trabalho
Nº de 
funcionários
0 12
1 16
2 13
3 4
4 3
5 2
∑ = 50
Fonte:
� Média para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Média x
 
 14
� Exemplo
Nº faltas ao 
trabalho (xi)
Nº de 
funcionários (fi)
xi . fi
0 12
1 16
2 13
3 4
4 3
5 2
∑ = 50
� Média para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Média x
 
 15
� Exemplo
Nº faltas ao 
trabalho (xi)
Nº de 
funcionários (fi)
xi . fi
0 12 0 
1 16 16 
2 13 26
3 4 12
4 3 12
5 2 10
∑ = 50 ∑ = 76
� Média para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Média x
 
 16
� Exemplo
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
f
fx
x
1
1
50
76
=x
5,1=x
� Média para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Média x
faltas ao trabalho
 
 17
� Quando os dados são apresentados 
em classes, todos os valores 
incluídos num certo intervalo de 
classe são coincidentes com o ponto 
médio do intervalo. Assim: 
n
nn
ffff
fxfxfxfx
x
++++
++++
=
...
...
321
332211
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
f
fx
x
1
1 xi = ponto médio 
de cada classe
� Média para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
� Média x
 
 18
� Exemplo
Título:
Nº de salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
0 |--- 2 30
2 |--- 4 40
4 |--- 6 10
6 |--- 8 15
 8 |--- 10 5
∑ = 100
Fonte:
� Média para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
� Média x
 
 
 
 19
� Exemplo
Média para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
Média 
Nº de 
salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
(fi)
xi xi . fi
0 |--- 2 30
2 |--- 4 40
4 |--- 6 10
6 |--- 8 15
 8 |--- 10 5
∑ = 100
x
 
 20
� Exemplo
Média para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
Média 
Nº de 
salários 
mínimos
Nº de 
funcionários 
(fi)
xi xi . fi
0 |--- 2 30 1 30
2 |--- 4 40 3 120
4 |--- 6 10 5 50
6 |--- 8 15 7 105
 8 |--- 10 5 9 45
∑ = 100 ∑ = 350
x
 
 21
� Exemplo
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
f
fx
x
1
1
100
350
=x
5,3=x salários mínimos
� Média para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
� Média x
 
 22
� Moda (Mo)
� Moda é o valor mais frequente 
quando comparada sua frequência 
com a dos demais valores de um 
conjunto; a moda é a melhor medida 
quando a variável for qualitativa 
 
 23
� Moda (Mo)
� Considerando um conjunto de 
valores, a moda será o valor 
predominante ou o valor mais 
frequente desse conjunto; a moda 
pode não existir e se mesmo que 
exista pode não se única
� Moda para dados isolados
 
 24
� Moda (Mo)
� Exemplos
� Moda para dados isolados
A={2,2,5,7,9,9,9,10,10,11,12,18}
B={3,5,8,10,12,15,16}
C={4,4,5,5,6,6}
D={2,3,4,4,4,5,7,7,7,9}
 
 
 
 25
� Moda (Mo)
� Exemplos
� Moda para dados isolados
A={2,2,5,7,9,9,9,10,10,11,12,18}
B={3,5,8,10,12,15,16}
C={4,4,5,5,6,6}
D={2,3,4,4,4,5,7,7,7,9}
Mo = 9
Mo = não existe
Mo = não existe
Mo = 4 e 7 26
� Moda (Mo)
� Nesse caso a determinação da 
moda é imediata, bastando para 
isso consultar a tabela e localizar o 
valor que apresenta a maior 
frequência 
� Moda para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
 
 27
� Exemplo
Título:
Nº faltas ao 
trabalho
Nº de 
funcionários
0 12
1 16
2 13
3 4
4 3
5 2
∑ = 50
Fonte:
� Moda (Mo)
� Moda para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
 
 28
� Exemplo
Título:
Nº faltas ao 
trabalho
Nº de 
funcionários
0 12
1 16
2 13
3 4
4 3
5 2
∑ = 100
Fonte:
Mo = 1 falta 
ao trabalho
� Moda (Mo)
� Moda para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
 
 29
� Para uma distribuição de 
frequência em classes, a moda 
pode ser obtida por interpolação, 
através da fórmula 
)(
21
1
1 hLMo 





∆+∆
∆
+=
L1 = limite inferior da classe modal (isto é, da classe que 
apresenta a maior frequência);
∆1 = diferença entre a frequência da classe modal com a 
frequência da classe anterior;
∆2 = diferença entre a frequência da classe modal com a 
frequência da classe posterior;
h = amplitude da classe modal 
� Moda (Mo)
� Moda para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
 
 30
� Exemplo
Título:
Nº de salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
0 |--- 2 30
2 |--- 4 40
4 |--- 6 10
6 |--- 8 15
 8 |--- 10 5
∑ = 100
Fonte:
� Moda (Mo)
� Moda para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
 
 
 
 31
� Exemplo
Título:
Nº de saláriosmínimos
Nº de 
funcionários
0 |--- 2 30
2 |--- 4 40
4 |--- 6 10
6 |--- 8 15
 8 |--- 10 5
∑ = 100
Fonte:
Classe modal
� Moda (Mo)
� Moda para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
 
 32
� Exemplo
)(
21
1
1 hLMo 





∆+∆
∆
+= L1 = 2
∆1 = 40-30 = 10
∆2 = 40-10 = 30
h =4-2 = 2)2(3010
102 





+
+=Mo
5,2=Mo salários mínimos
� Moda (Mo)
� Moda para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
 
 33
� Mediana (Md)
� Mediana é o valor que divide uma 
série ordenada em partes iguais; é 
considerada uma medida separatriz 
 
 34
� Mediana (Md)
� A mediana de um conjunto de 
números organizados em ordem de 
grandeza (isto é, em um rol) é o 
valor central ou a média aritmética 
dos dois valores centrais; para 
facilitar a localização da mediana, 
determina-se a sua posição através 
da seguinte fórmula 
� Mediana para dados isolados
2
1+
=
nPMd
PMd= posição do elemento 
mediano 
 n = número de elementos 
 
 35
� Exemplo
2
1+
=
nPMd
A = {3, 4, 5, 6, 8, 8, 10}; 
2
17 +
=MdP
4=MdP
� Mediana (Md)
� Mediana para dados isolados
 
 36
� Exemplo
2
1+
=
nPMd
A = {3, 4, 5, 6, 8, 8, 10}; 
2
17 +
=MdP
4=MdP
Md = 6
� Mediana (Md)
� Mediana para dados isolados
 
 
 
 37
� Exemplo
2
1+
=
nPMd
B = {5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18}; 
2
18 +
=MdP
5,4=MdP
� Mediana (Md)
� Mediana para dados isolados
 
 38
� Exemplo
2
1+
=
nPMd
B = {5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18}; 
2
18 +
=MdP
5,4=MdP
Md = 10
2
119 +
=Md
� Mediana (Md)
� Mediana para dados isolados
 
 39
� Mediana (Md)
� Quando os valores da variável 
estiverem organizados numa 
distribuição de frequência sem 
intervalos de classe, o 
procedimento adotado será 
praticamente idêntico ao anterior 
� Em primeiro lugar deve-se 
calcular a posição do elemento 
mediano (PMd)
� Mediana para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
 
 40
� Em seguida, acrescenta-se uma 
coluna à tabela original onde serão 
determinadas as freqüências 
acumuladas crescentes ou “abaixo 
de” (Fc)
� Comparando o resultado obtido no 
cálculo da posição do elemento 
mediano com os valores constantes 
dessa coluna, determina-se a 
mediana 
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
 
 41
� Exemplo
Título:
Nº faltas ao 
trabalho
Nº de 
funcionários
0 12
1 16
2 13
3 4
4 3
5 2
∑ = 50
Fonte:
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
 
 42
� Exemplo
2
1+
=
nPMd
2
150 +
=MdP
5,25=MdP
A mediana ocupa a posição 25,5
1º passo: PMd
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
 
 
 
 43
� Exemplo
Nº faltas ao 
trabalho 
Nº de 
funcionários
Fc
0 12
1 16
2 13
3 4
4 3
5 2
∑ = 50
2º passo: Fc
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
 
 44
� Exemplo
Nº faltas ao 
trabalho 
Nº de 
funcionários
Fc
0 12 12
1 16 28
2 13 41
3 4 45
4 3 48
5 2 50
∑ = 50
2º passo: Fc
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
 
 45
� Exemplo
3º passo: Comparação – a mediana 
está na posição 25,5, isto é: na 
classe 2 com Fc=28
Nº faltas ao 
trabalho 
Nº de 
funcionários 
Fc
0 12 12
1 16 28
2 13 41
3 4 45
4 3 48
5 2 50
∑ = 50
Portanto, 
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
Md = 1 
falta ao 
trabalho
 
 46
� Quando os valores da variável 
estiverem agrupados em classes, o 
cálculo da mediana é realizado por 
interpolação, através da seguinte 
fórmula:
)(
)(
2
1 hf
ff
LMd
Md
ant
i












−
+=
∑∑
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
 
 47
)(
)(
2
1 hf
ff
LMd
Md
ant
i












−
+=
∑∑
L1 = limite inferior da classe mediana (isto é, da classe que 
contém o elemento mediano);
∑fi = número total de dados (frequência total);
∑fant = soma de todas as freqüências das classes inferiores à 
mediana;
fMd – frequência da classe mediana;
h = amplitude da classe mediana 
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
 
 48
� Exemplo
Título:
Nº de salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
0 |--- 2 30
2 |--- 4 40
4 |--- 6 10
6 |--- 8 15
 8 |--- 10 5
∑ = 100
Fonte:
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
 
 
 
 49
� Exemplo
2
1+
=
nPMd
2
1100 +
=MdP
5,55=MdP
A mediana ocupa a posição 50,5
1º passo: PMd
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
 
 50
� Exemplo
Nº de 
salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
Fc
0 |--- 2 30
2 |--- 4 40
4 |--- 6 10
6 |--- 8 15
 8 |--- 10 5
∑ = 100
2º passo: Fc
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
 
 51
� Exemplo
Nº de 
salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
Fc
0 |--- 2 30 30
2 |--- 4 40 70
4 |--- 6 10 80
6 |--- 8 15 95
 8 |--- 10 5 100
∑ = 100
2º passo: Fc
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
 
 52
� Exemplo
Nº de 
salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
Fc
0 |--- 2 30 30
2 |--- 4 40 70
4 |--- 6 10 80
6 |--- 8 15 95
 8 |--- 10 5 100
∑ = 100
3º passo: Comparação – a mediana 
está na posição 50,5, isto é: na 
classe 2 com Fc=70
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
 
 53
� Exemplo
4º passo: Cálculo da mediana
)(
)(
2
1 hf
ff
LMd
Md
ant
i












−
+=
∑∑
L1 = 2
∑fi = 100
∑fant = 30
fMe = 40 
h = 4-2 = 2
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
 
 54
� Exemplo
4º passo: Cálculo da mediana
)(
)(
2
1 hf
ff
LMd
Md
ant
i












−
+=
∑∑
)2(
40
30(
2
100
2












−
+=Md
3=Md salários mínimos
50% dos funcionários recebem 
menos de 3 salários e 50% 
recebem mais de 3 salários
� Mediana (Md)
� Mediana para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
 
 
 
 55
MEDIDAS DE DISPERSÃO
DESVIO MÉDIO
DESVIO PADRÃO
VARIÂNCIA
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
 
 56
� Medidas de dispersão
� O grau ao qual os dados 
numéricos tendem a dispersar-se 
em torno de um valor médio 
chama-se variação ou dispersão
 
 57
� Desvio médio (Dm)
� O desvio médio ou a média dos 
desvios é igual a média aritmética 
dos valores absolutos em relação à 
média
 
 58
� Desvio médio (Dm)
� Desvio médio para dados isolados
n
xx
D
n
i
i
m
∑
=
−
=
1
 
 59
� Desvio médio (Dm)
� Desvio médio para dados isolados
� Exemplo: A={8,3,5,12,10} x = 7,6
5
6,7106,7126,756,736,78 −+−+−+−+−
=mD
n
xx
D
n
i
i
m
∑
=
−
=
1
5
4,24,46,26,44,0 ++++
=mD
5
4,14
=mD
88,2=mD
Medidas de 
posição
 
 60
� Desviomédio (Dm)
� Desvio médio para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
∑
∑
=
=
−
=
n
i
i
n
i
ii
m
f
fxx
D
1
1
)(
 
 
 
 61
� Desvio médio (Dm)
� Desvio médio para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
Título:
Nº faltas ao 
trabalho
Nº de 
funcionários
0 12
1 16
2 13
3 4
4 3
5 2
∑ = 50
Fonte:
� Exemplo:
x = 1,5
Medidas de 
posição
 
 62
� Desvio médio (Dm)
� Desvio médio para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Exemplo:
xxi − ii fxx .−
Nº faltas ao 
trabalho
Nº de 
funcionários
0 12
1 16
2 13
3 4
4 3
5 2
∑ = 50
 
 63
Nº faltas ao 
trabalho
(xi)
Nº de 
funcionários
(fi)
0 12 1,5 18
1 16 0,5 5
2 13 0,5 6,5
3 4 1,5 6
4 3 2,5 7,5
5 2 3,5 7
∑ = 50 ∑ = 53
� Desvio médio (Dm)
� Desvio médio para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Exemplo:
xxi − ii fxx .−
x = 1,5
 
 64
� Desvio médio (Dm)
� Desvio médio para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Exemplo:
∑
∑
=
=
−
=
n
i
i
n
i
ii
m
f
fxx
D
1
1
)(
50
53
=mD
06,1=mD faltas ao trabalho
 
 65
� Desvio médio (Dm)
� Desvio médio para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
∑
∑
=
=
−
=
n
i
i
n
i
ii
m
f
fxx
D
1
1
)(
xi = ponto médio 
de cada classe
 
 66
� Desvio médio (Dm)
� Desvio médio para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
� Exemplo:
Título:
Nº de salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
0 |--- 2 30
2 |--- 4 40
4 |--- 6 10
6 |--- 8 15
 8 |--- 10 5
∑ = 100
Fonte:
x = 3,5
Medidas de 
posição
 
 
 
 67
� Desvio médio (Dm)
� Desvio médio para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
� Exemplo:
Nº de 
salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
(fi)
xi
0 |--- 2 30
2 |--- 4 40
4 |--- 6 10
6 |--- 8 15
 8 |--- 10 5
∑ = 100
xxi − ii fxx .−
 
 68
� Desvio médio (Dm)
� Desvio médio para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
� Exemplo:
Nº de 
salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
(fi)
xi
0 |--- 2 30 1 2,5 75
2 |--- 4 40 3 0,5 20
4 |--- 6 10 5 1,5 15
6 |--- 8 15 7 3,5 22,5
 8 |--- 10 5 9 5,5 27,5
∑ = 100 ∑ = 190
xxi − ii fxx .−
x = 3,5
 
 69
� Desvio médio (Dm)
� Desvio médio para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
� Exemplo:
∑
∑
=
=
−
=
n
i
i
n
i
ii
m
f
fxx
D
1
1
)(
100
190
=mD
9,1=mD salários mínimos
 
 70
� Desvio padrão (S)
� O desvio padrão é a medida de 
dispersão mais comumente usada; 
para seu cálculo, em lugar de serem 
usados os valores absolutos dos 
desvios em relação a média, 
calculam-se os quadrados desses 
 
 71
� Desvio padrão (S)
� Sendo assim, o desvio padrão é a 
média quadrática dos desvios em 
relação à média aritmética de um 
conjunto de valores, ou seja, é a 
raiz quadrada da média aritmética 
dos quadrados dos desvios, estes 
tomados em relação à média
 
 72
� Desvio padrão (S)
� Desvio padrão para dados isolados
n
xx
S
n
i
i∑
=
−
=
1
2)(
 
 
 
 73
� Desvio padrão (S)
� Desvio padrão para dados isolados
� Exemplo: A={8,3,5,12,10} x = 7,6
Medidas de 
posiçãon
xx
S
n
i
i∑
=
−
=
1
2)(
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
6,7106,7126,756,736,78 22222 −+−+−+−+−
=S
5
2,53
=S
26,3=S
64,10=S
 
 74
� Desvio padrão (S)
� Desvio padrão para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
∑
∑
=
=
−
=
n
i
i
n
i
ii
f
fxx
S
1
1
2 )()(
 
 75
� Desvio padrão (S)
� Desvio padrão para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Exemplo
Título:
Nº faltas ao 
trabalho
Nº de 
funcionários
0 12
1 16
2 13
3 4
4 3
5 2
∑ = 50
Fonte:
x = 1,5
Medidas de 
posição
 
 76
Nº faltas ao 
trabalho
Nº de 
funcionários
0 12
1 16
2 13
3 4
4 3
5 2
∑ = 50
� Desvio padrão (S)
� Desvio padrão para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Exemplo
( )xxi − ( )2xxi − ( ) ii fxx .2−
 
 77
Nº faltas ao 
trabalho
(xi)
Nº de 
funcionários
(fi)
0 12 -1,5 2,25 27
1 16 -0,5 0,25 4
2 13 0,5 0,25 3,25
3 4 1,5 2,25 9
4 3 2,5 6,25 18,75
5 2 3,5 12,25 24,5
∑ = 50 ∑ = 86,5
� Desvio padrão (S)
� Desvio padrão para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Exemplo
( )xxi − ( )2xxi − ( ) ii fxx .2−
x = 1,5
 
 78
� Desvio padrão (S)
� Desvio padrão para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Exemplo
∑
∑
=
=
−
=
n
i
i
n
i
ii
f
fxx
S
1
1
2 )()(
50
5,86
=S
73,1=S
32,1=S faltas ao trabalho
 
 
 
 79
� Desvio padrão (S)
� Desvio padrão para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
∑
∑
=
=
−
=
n
i
i
n
i
ii
f
fxx
S
1
1
2 )()(
xi = ponto médio 
de cada classe
 
 80
� Desvio padrão (S)
� Desvio padrão para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
� Exemplo
Título:
Nº de salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
0 |--- 2 30
2 |--- 4 40
4 |--- 6 10
6 |--- 8 15
 8 |--- 10 5
∑ = 100
Fonte:
x = 3,5
Medidas de 
posição
 
 81
Nº de 
salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
(fi)
xi
0 |--- 2 30
2 |--- 4 40
4 |--- 6 10
6 |--- 8 15
 8 |--- 10 5
∑ = 100
� Desvio padrão (S)
� Desvio padrão para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
� Exemplo
( )xxi − ( )2xxi − ( ) ii fxx .2−
 
 82
Nº de 
salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
(fi)
xi
0 |--- 2 30 1 -2,5 6,25 187,5
2 |--- 4 40 3 -0,5 0,25 10
4 |--- 6 10 5 1,5 2,25 22,5
6 |--- 8 15 7 3,5 12,25 183,75
 8 |--- 10 5 9 5,5 30,25 151,25
∑ = 100 ∑ = 555
� Desvio padrão (S)
� Desvio padrão para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
� Exemplo
( )xxi − ( )2xxi − ( ) ii fxx .2−
x = 3,5
 
 83
� Desvio padrão (S)
� Desvio padrão para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
� Exemplo
∑
∑
=
=
−
=
n
i
i
n
i
ii
f
fxx
S
1
1
2 )()(
55,5=S
36,2=S salários mínimos
100
555
=S
 
 84
� Variância (S2)
� A variância indica a dispersão dos 
dados em torno da média, sendo o 
quadrado do desvio padrão
 
 
 
 85
� Variância (S2)
� OBS: Como medida de dispersão a 
variância tem a desvantagem de 
apresentar unidade igual ao 
quadrado da unidade de medida dos 
dados. Por exemplo, se os dados 
estão em m (metro), a variância fica 
em m2; o desvio padrão apresenta 
as propriedades da variância e tem 
a mesma unidade de medida dos 
dados; isso porque: 
2SS = ( )22 SS =
 
 86
� Variância (S2)
� Variância para dados isolados
n
xx
S
n
i
i∑
=
−
=
1
2
2
)(
 
 87
� Variância (S2)
� Variância para dados isolados
� Exemplo: A={8,3,5,12,10} x = 7,6
Medidas de 
posição
n
xx
S
n
i
i∑
=
−
=
1
2
2
)(
( ) ( ) ( ) ( )
5
6,7106,7126,756,73)6,78( 222222 −+−+−+−+−
=S
5
2,532
=S
64,102 =S
 
 88
� Variância (S2)
� Variância para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
∑
∑
=
=
−
=
n
i
i
n
i
ii
f
fxx
S
1
1
2
2
)()(89
� Variância (S2)
� Variância para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Exemplo
Título:
Nº faltas ao 
trabalho
Nº de 
funcionários
0 12
1 16
2 13
3 4
4 3
5 2
∑ = 50
Fonte:
x = 1,5
Medidas de 
posição
 
 90
� Variância (S2)
� Variância para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
Nº faltas ao 
trabalho
Nº de 
funcionários
0 12
1 16
2 13
3 4
4 3
5 2
∑ = 50
� Exemplo
( )xxi − ( )2xxi − ( ) ii fxx .2−
 
 
 
 91
� Variância (S2)
� Variância para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Exemplo
Nº faltas ao 
trabalho
(xi)
Nº de 
funcionários
(fi)
0 12 -1,5 2,25 27
1 16 -0,5 0,25 4
2 13 0,5 0,25 3,25
3 4 1,5 2,25 9
4 3 2,5 6,25 18,75
5 2 3,5 12,25 24,5
∑ = 50 ∑ = 86,5
( )xxi − ( )2xxi − ( ) ii fxx .2−
x = 1,5
 
 92
� Variância (S2)
� Variância para distribuições de 
frequências sem intervalos de classe
� Exemplo
∑
∑
=
=
−
=
n
i
i
n
i
ii
f
fxx
S
1
1
2
2
)()(
50
5,862
=S
73,12 =S (faltas ao trabalho)2
 
 93
� Variância (S2)
� Variância para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
∑
∑
=
=
−
=
n
i
i
n
i
ii
f
fxx
S
1
1
2
2
)()(
xi = ponto médio 
de cada classe
 
 94
� Variância (S2)
� Variância para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
� Exemplo
Título:
Nº de salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
0 |--- 2 30
2 |--- 4 40
4 |--- 6 10
6 |--- 8 15
 8 |--- 10 5
∑ = 100
Fonte:
x = 3,5
Medidas de 
posição
 
 95
� Variância (S2)
� Variância para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
Nº de 
salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
(fi)
xi
0 |--- 2 30
2 |--- 4 40
4 |--- 6 10
6 |--- 8 15
 8 |--- 10 5
∑ = 100
( )xxi − ( )2xxi − ( ) ii fxx .2−
� Exemplo
 
 96
� Variância (S2)
� Variância para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
Nº de 
salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
(fi)
xi
0 |--- 2 30 1 -2,5 6,25 187,5
2 |--- 4 40 3 -0,5 0,25 10
4 |--- 6 10 5 1,5 2,25 22,5
6 |--- 8 15 7 3,5 12,25 183,75
 8 |--- 10 5 9 5,5 30,25 151,25
∑ = 100 ∑ = 555
( )xxi − ( )2xxi − ( ) ii fxx .2−
� Exemplo x = 3,5
 
 
 
 97
� Variância (S2)
� Variância para distribuições de 
frequências com intervalos de classe
� Exemplo
∑
∑
=
=
−
=
n
i
i
n
i
ii
f
fxx
S
1
1
2
2
)()(
100
5552
=S
55,52 =S (salários mínimos)2
 
 98
� Coeficiente de variação (CV)
� A variação ou dispersão real, 
determinada a partir do desvio 
padrão, ou qualquer outra medida 
de dispersão, é denominada 
dispersão absoluta; a dispersão 
relativa é definida como sendo: 
)100(
média
bsolutadispersãoa
elativaDispersãor =
 
 99
� Coeficiente de variação (CV)
� Se a dispersão absoluta é o 
desvio padrão, a dispersão relativa 
é denominada coeficiente de 
variação (CV); sendo assim:
)100(
x
SCV =
 
 100
� Coeficiente de variação (CV)
� Coeficiente de variação para dados 
isolados
� Exemplo: A={8,3,5,12,10}
x = 7,6 S = 3,26
Medidas de 
posição
Medidas de 
dispersão
Cálculos 
anteriores
 
 101
� Coeficiente de variação (CV)
� Coeficiente de variação para dados 
isolados
� Exemplo: A={8,3,5,12,10}
x = 7,6 S = 3,26
)100(
x
SCV =
)100(
6,7
26,3
=CV
%89,42=CV
 
 102
� Coeficiente de variação (CV)
� Coeficiente de variação para 
distribuições de frequências com 
intervalos de classe
� Exemplo
Título:
Nº faltas ao 
trabalho
Nº de 
funcionários
0 12
1 16
2 13
3 4
4 3
5 2
∑ = 50
Fonte:
x = 1,5 S = 1,32
Cálculos 
anteriores
 
 
 
 103
� Coeficiente de variação (CV)
� Coeficiente de variação para 
distribuições de frequências com 
intervalos de classe
� Exemplo
Título:
Nº faltas ao 
trabalho
Nº de 
funcionários
0 12
1 16
2 13
3 4
4 3
5 2
∑ = 50
Fonte:
)100(
x
SCV =
)100(
5,1
32,1
=CV
%88=CV
 
 104
� Coeficiente de variação (CV)
� Coeficiente de variação para 
distribuições de frequências com 
intervalos de classe
� Exemplo
x = 3,5 S = 2,36
Título:
Nº de salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
0 |--- 2 30
2 |--- 4 40
4 |--- 6 10
6 |--- 8 15
 8 |--- 10 5
∑ = 100
Fonte:
Cálculos 
anteriores
 
 105
� Coeficiente de variação (CV)
� Coeficiente de variação para 
distribuições de frequências com 
intervalos de classe
� Exemplo
)100(
x
SCV =
)100(
5,3
36,2
=CV
%43,67=CV
Título:
Nº de salários 
mínimos
Nº de 
funcionários
0 |--- 2 30
2 |--- 4 40
4 |--- 6 10
6 |--- 8 15
 8 |--- 10 5
∑ = 100
Fonte:
 
 106
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
 
 107
1) Considerando o conjunto de dados 
A = {0, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8,8}, calcular:
a) Média;
b) Moda;
c) Mediana;
d) Desvio médio;
e) Desvio padrão;
f) Variância;
g) Coeficiente de variação 
 
 108
2) A tabela a seguir apresenta os pares de 
calçados vendidos numa loja em um 
determinado dia de acordo com o número 
usado de uma certa marca. Determinar:
a) Média;
b) Moda;
c) Mediana;
d) Desvio médio;
e) Desvio padrão;
f) Variância;
g) Coeficiente de variação
Número 
usado
Pares 
vendidos
36 1
37 2
38 5
39 9
40 11
41 8
42 4
43 1
∑ = 41
 
 
 
 109
3) A tabela a seguir apresenta as notas de 
45 alunos em uma determinada disciplina. 
Determinar:
a) Média;
b) Moda;
c) Mediana;
d) Desvio médio;
e) Desvio padrão;
f) Variância;
g) Coeficiente de variação.
Notas Nº de alunos
0,0 |--- 1,0 3
1,0 |--- 2,0 2
2,0 |--- 3,0 4
3,0 |--- 4,0 4
4,0 |--- 5,0 5
5,0 |--- 6,0 6
6,0 |--- 7,0 7
7,0 |--- 8,0 4
8,0 |--- 9,0 5
 9,0 |--- 10,0 5
∑ = 45
 
 110
EXERCÍCIOS
 
 111
1) Sendo A = {48, 52, 49, 51, 50} e 
B = {47, 53, 48, 52, 50}, calcular:
a) Média de A e de B;
b) Moda de A e de B;
c) Mediana de A e de B;
d) Desvio padrão de A e de B;
e) Variância de A e de B;
f) Coeficiente de variação de A e de B.
 
 112
2) As notas finais de um estudante, em 
Matemática, Física, Inglês e Biologia são, 
respectivamente, 82, 86, 90 e 70. Se os 
pesos atribuídos a essas matérias são, 
respectivamente, 3, 5, 3 e 1, determinar a 
nota média desse estudante.
 
 113
3) Os salários anuais de quatro 
funcionários de uma certa empresa são: 
R$15.000,00, R$18.000,00, R$19.500,00 e 
R$90.000,00. a) Determinar a média 
aritmética de seus salários. b) É possível 
dizer que essa média é típica ou 
representativa dos salários?
4) Em uma empresa que tem 80 
funcionários, 60 recebem R$ 60,00 por 
hora e 20 recebem R$ 40,00 por hora. a) 
Determinar o salário médio por hora. b) É 
possível dizer que esta média é um valor 
representativo?
 
 114
5) Considerando a distribuição do número 
de peças defeituosas por dia, em uma 
determinada fábrica, no mês de abril, 
calcular:
a) Média; b) Moda; c) Mediana; d) Desvio 
padrão; e) Variância; f) Coeficiente de 
variação.
Nº de peças 
defeituosas
Nº de dias 
no mês 
0 4
1 6
2 9
3 5
4 4
5 2
∑ 30
 
 
 
 115
6) Considerando a distribuição de 
freqüência abaixo, como representativa 
das alturas de 100 estudantes da 
Universidade X, calcular:
a) Média; b) Moda; c) Mediana; d) Desvio 
padrão; e) Variância; f) Coeficiente de 
variação.
Altura (cm) Nº de alunos 
151 |---- 159 5
159 |---- 167 18
167 |---- 175 42
175|---- 183 27
183 |---- 191 8
∑ 100
 
 116
7) Um fabricante de caixas fabrica 4 tipos 
diferentes de caixas. A resistência das 
mesmas é testada, tomando-se uma 
amostra de 80 caixas e determinado-se a 
pressão necessária para romper cada uma. 
Com base nos resultados da tabela abaixo, 
calcular o tipo de caixa que apresenta a 
maior e a menor variação relativa na 
pressão de ruptura. 
Tipo de 
caixa
Pressão de 
ruptura 
Desvio 
padrão
A 160 42
B 220 55
C 340 70
D 380 75
 
 117
8) Uma indústria de válvulas de televisão 
tem dois tipos de válvulas, A e B. As 
válvulas têm durações médias de 1.495 
horas e 1.875 horas, respectivamente, e 
desvios padrões de SA = 280 horas e SB = 
310 horas. Qual a válvula que tem maior: 
a) dispersão absoluta; b) dispersão 
relativa?