Gentil_Lopes_ESPACOS_METRICOS_pdf

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ESPAC¸OS ME´TRICOS
(com aplicac¸o˜es)
Gentil, o taumaturgo
1a edic¸a˜o
Boa Vista-RR
Edic¸a˜o do autor
2013
Prefa´cio
Via de regra o que se faz em um prefa´cio e´ discorrer sobre o conteu´do
da obra. Nos dispensamos deste of´ıcio em raza˜o de que o leitor, se assim o
desejar, pode apreciar o conteu´do deste livro a partir do (extenso) suma´rio,
dado logo a seguir. Aproveito esta oportunidade para alguns esclarecimentos
a respeito da obra em si.
Iniciei a escrita deste livro ha´ doze anos atra´s, com va´rias interrupc¸o˜es.
E´ um livro escrito a “uma ma˜os”, sem nenhum apoio, inclusive institucional.
Para um autor dos “grandes centros” na˜o e´ dif´ıcil encontrar motivac¸a˜o para
escrever uma obra uma vez que ele, de antema˜o, ja´ tem a certeza de que sera´
publicada. Ja´ para um autor de “periferia”, como e´ o meu caso, a teimosia
e´ imprescind´ıvel. Com efeito, fiz duas tentativas anteriores para publicac¸a˜o
deste livro, a primeira na pro´pria editora de minha universidade (ufrr); apo´s
um tempo considera´vel de espera o diretor me informou que a editora ainda
estava tentando captar recursos externos.
Numa segunda tentativa o submeti a` editora da unb. Aproximadamente
um ano depois recebi uma carta com o parecer de um referee (a´rbitro).
O livro na˜o foi aceito para publicac¸a˜o. Treˆs foram as acusac¸o˜es princi-
pais contra a minha obra:
(i) Muito volumosa (espessa). O a´rbitro argumentou que eu poderia
transmitir o mesmo conteu´do na metade do volume;
(ii) um numero excessivo de figuras;
(iii) nas pro´prias palavras do referee: “Em diversos pontos do texto o
autor mistura aspectos de seu pro´prio entendimento filoso´fico e religioso com
a mate´ria espec´ıfica deste to´pico da matema´tica.”
Pois bem, vou me permitir alguns comenta´rios a respeito das duas ten-
tativas malogradas. Comec¸ando pela primeira: posteriormente descobri que
para mim e´ muito mais fa´cil “captar recursos externos ”, para publicar um
livro, do que para a editora de uma universidade. Com efeito, basta eu me
dirigir ao caixa eletroˆnico do meu Banco e passar meu carta˜o: pronto!, o
recurso externo cai direto em minhas ma˜os.
De sorte que este ja´ e´ o quarto livro que publico − tomando dinheiro
emprestado no Banco, reitero (consignac¸a˜o em folha).
Quanto aos argumentos do referee, observo que: escrever um livro fino
na˜o seria dif´ıcil, agora se resultaria em um livro dida´tico a´ı e´ uma outra
esto´ria. Na˜o e´ o que se observa em relac¸a˜o aos que se encontram no mer-
cado, inclusive livros com poucas ou nenhuma figura − via de regra, livros
que desestimulam os estudantes. O que me parece e´ que uma grande parte
de autores (e editoras) ainda na˜o se deu conta de que o pu´blico para o
qual eles escrevem na˜o existe mais − em decorreˆncia do lastima´vel estado
em que se encontra a educac¸a˜o brasileira, estamos falando de qualidade.
Muitos alunos, como se sabe, adentram a`s universidades com deficieˆncia
ate´ na matema´tica do ensino fundamental. Como ensinar a estes alunos a
3
matema´tica abstrata das disciplinas do final da graduac¸a˜o? Aqui e´ onde situo
a utilidade das figuras; de sorte que nesta nova versa˜o do livro decidir con-
tinuar cometendo os mesmos dois primeiros pecados assinalados pelo referee;
quanto ao terceiro, achei que ele, em parte, tinha raza˜o, assim e´ que eliminei
as refereˆncias religiosas e mantive da filosofia apenas o necessa´rio.
Mudando de assunto, meu primeiro livro sobre matema´tica ([6]) foi publi-
cado no ano 2000 − tambe´m a`s minhas expensas −, alguns anos depois esse
livro chega a`s ma˜os de um renomado matema´tico brasileiro (Prof. Ubiratan
D’Ambro´sio) que tece − de livre e espontaˆnea vontade, isto e´, sem que eu
tenha solicitado − comenta´rios elogiosos ao mesmo. Tomei a liberdade de
reproduzir aqui o email do professor Ubiratan por duas razo˜es principais.
Primeiro porque na˜o creio que eu tenha piorado, como autor, nestes doze
anos decorridos; segundo, porque creio que muito do que ele fala a respeito
daquele livro se aplica ao presente. Ei-lo:
From: Ubiratan D,Ambro´sio <ubi@usp.br>
To: Gentil Lopes da Silva
Sent: Saturday, November 06, 2004 10:46 AM
Subject: Obrigado pelo livro
Caro Gentil
Muito obrigado pelo livro que voceˆ mandou pelo Chateau. Esta´ muito bom,
interessante e cheio de provocac¸o˜es. Da´ oportunidade para os estudantes
se iniciarem em pesquisas. Voceˆ fala que o livro destina-se a alunos de
2o e 3o graus. Eu diria que e´ tambe´m para a po´s. Aritme´tica continua
sendo grande fonte de problemas de pesquisa que podem ser trabalhados
com relativamente pouco da complicada linguagem, notac¸o˜es e resultados
que caracterizam muitas a´reas da matema´tica. Sa˜o formulac¸o˜es simples que
podem ser trabalhados com pouca te´cnica, exigindo imaginac¸a˜o e criativi-
dade. Vou recomendar aos meus alunos. Mas tive um problema. Nos sites
das livrarias, o livro na˜o existe. E nem esta´ no site da Thesaurus. Recomen-
dar um livro implica dizer como adquirir. O que voceˆ diz? Siga em frente
com suas ide´ias. As suas reflexo˜es iniciais, a sua escolha de ep´ıgrafes, e a
pro´pria capa, sa˜o uma grande contribuic¸a˜o para um novo pensar na urgente
renovac¸a˜o da educac¸a˜o em todos os n´ıveis. A sua trajeto´ria desde seus estu-
dos, lecionando em condic¸o˜es preca´rias, e com as dificuldades para publicar
o livro e´ um exemplo, muit´ıssimo frequente, do processo (certamente inten-
cional) de desencorajar o florescimento dos criativos, e abrir o espac¸o para
os executores de ide´ias de outros.
Uma curiosidade: voceˆ sabia que o E´douard Lucas, que voceˆ cita na pa´gina
393, e´ quem fez a revisa˜o te´cnica para a publicac¸a˜o po´stuma do livro “Me´lan-
ges de Calcul Inte´gral”, de Joaquim Gomes de Souza, o Souzinha, em 1882?
O livro havia sido recusado por inu´meras editoras enquanto ele estava vivo.
Muito obrigado.
Um abrac¸o, Ubiratan
Gentil, O taumaturgo/Boa Vista-RR/30.10.2012
4
Suma´rio
1 ESPAC¸OS ME´TRICOS 9
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Definic¸a˜o de espac¸os me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Exemplos de espac¸os me´tricos . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Me´tricas sobre o R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.3 Distaˆncia entre func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.4 Espac¸os de Co´digos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3 Distaˆncia entre Ponto e Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4 Distaˆncia entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.5 Conjuntos limitados − Diaˆmetro . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• Apeˆndice: Demonstrac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2 CONSTRUC¸A˜O DE ESPAC¸OS ME´TRICOS 79
2.1 Me´tricas a Partir de Me´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2 Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3 Espac¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4 Me´tricas Induzidas Por Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.5 Produto de espac¸os me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3 BOLAS ABERTAS 105
3.1 Definic¸a˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.1.1 Bolas na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.1.2 Bolas na me´trica “zero-um” . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.1.3 Bolas no espac¸o quaˆntico . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.1.4 Bolas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.1.5 Bolas no quadrado quaˆntico . . . . . . . . . . . . . . . 113
• Topologia quaˆntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.1.6 Bolas nos espac¸os de co´digos . . . . . . . . . . . . . . 1185
3.1.7 Bolas nos espac¸os de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . 118
3.1.8 Bolas em subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.1.9 Bolas no espac¸o produto . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.1.10 Proposic¸o˜es sobre Bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.1.11 Ponto isolado − Espac¸os discretos . . . . . . . . . . . 129
3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4 SEQUEˆNCIAS EM ESPAC¸OS ME´TRICOS 137
4.1 Sequeˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.1.1 Subsequeˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2 Convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.3 Sequeˆncias num Espac¸o Produto . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.4 Sequeˆncias em Espac¸os Vetoriais Normados . . . . . . . . . . 159
4.4.1 Sequeˆncias na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.4.2 Sequeˆncias em espac¸os normados . . . . . . . . . . . . 161
4.5 Quando eminentes matema´ticos cometem erros elementares . 167
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5 A TOPOLOGIA DOS ESPAC¸OS ME´TRICOS 185
5.1 Ponto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.2 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.3 Ponto fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.4 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.5 Ponto aderente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.6 Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.7 Ponto de acumulac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
• Apeˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
� Representac¸o˜s bina´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6 FUNC¸O˜ES CONT´ıNUAS 237
6.1 Isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.2 Propriedades das aplicac¸o˜es cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . 271
6.3 Continuidade Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
6.4 Homeomorfismos − Espac¸os Homeomorfos . . . . . . . . . . . 294
6.5 Me´tricas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
6.5.1 Normas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
6.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
• Apeˆndice: Limites em espac¸os me´tricos . . . . . . . . . . . . . . 337
7 ESPAC¸OS ME´TRICOS CONEXOS 349
7.1 Definic¸a˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
7.2 Conexos na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
7.3 Conjuntos conexos por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . 364
6
• Topologia quaˆntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
7.4 Espac¸os localmente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
7.5 Componentes Conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
7.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
8 ESPAC¸OS ME´TRICOS COMPLETOS 407
8.1 Espac¸os me´tricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
8.2 Espac¸os de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
8.3 Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
8.4 Completamento de Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . 444
8.5 Espac¸os topologicamente completos . . . . . . . . . . . . . . . 456
8.6 Teorema do Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . 467
8.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
9 ESPAC¸OS ME´TRICOS COMPACTOS 475
9.1 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
9.1.1 Caracterizac¸a˜o de compacidade . . . . . . . . . . . . . 490
9.2 Produto Cartesiano de Conjuntos Compactos . . . . . . . . . 495
9.2.1 Compactos no Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
9.3 Distaˆncia Entre Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . 497
9.4 Nu´mero de Lebesgue Para Coberturas . . . . . . . . . . . . . 500
9.5 Espac¸os Localmente Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
9.6 Representac¸o˜es decimais e Curva de Peano . . . . . . . . . . . 507
9.6.1 O Mito das ambiguidades nas representac¸o˜es decimais 507
9.6.2 A curva de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
9.6.3 O quadrado hiperma´gico . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
9.7 A curva de Peano no cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
9.7.1 O cubo hiperma´gico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
9.7.2 O universo esculpido em um palito de fo´sforo . . . . . 544
9.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
• Apeˆndice: Produtos cartesianos infinitos . . . . . . . . . . . . . . 551
10 CONSULTAS 563
10.1 Elementos de Lo´gica & Demonstrac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . 563
10.1.1 Operac¸o˜es Lo´gicas sobre Proposic¸o˜es . . . . . . . . . . 564
10.1.2 Te´cnicas (Engenharia) de Demonstrac¸a˜o . . . . . . . . 568
10.1.3 Func¸o˜es Proposicionais/Quantificadores . . . . . . . . 576
10.2 Conjuntos, Func¸o˜es e Famı´lia de conjuntos . . . . . . . . . . . 583
10.3 To´picos em Ana´lise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
10.3.1 Teoremas e Definic¸o˜es da Ana´lise Real . . . . . . . . . 603
10.3.2 Supremo e I´nfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
10.3.3 Espac¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
10.3.4 Interregno: A Matema´tica como arte e engenharia . . 620
• Um desafio a quem interessar possa . . . . . . . . . . . . . . . . 621
7
Resumo das Me´tricas
Conjunto
Me´trica
(S´ımbolo)
Definic¸a˜o Pa´g.
R
Usual
µ µ(x, y)= |x−y| 14
M
“zero-um”
δ
δ(x, y)=
{
1, se e so´ se x 6=y;
0, se e so´ se x=y.
15
[ 0, 1 [ Quaˆntica
k
k(x, y) =min
{
|x−y|,1−|x−y|
}
17
R2
Usual (Euclidiana)
D1
D1(x, y)=
√
(x1 − y1 )2 +(x2 − y2 )2 58
Da Soma
D2
D2(x, y)= |x1 − y1 |+ |x2 − y2 | 22
Do Ma´ximo
D3
D3(x, y)=max{ |x1 − y1 |, |x2 − y2 | } 23
Mm×n(R)
Euclidiana
D1
D1(A,B)=
√
(a11−b11 )2 +···+(amn−bmn )2 25
Da Soma
D2
D2(A,B)= |a11−b11 |+···+ |amn−bmn |
25
Do Ma´ximo
D3
D3(A,B)=max
{
|a11−b11 |, ... ,|amn−bmn |
}
25
C[ a, b ]
Da Integral
Γ
Γ(f, g)=
∫ b
a |f(x)−g(x)| dx 27
Do Ma´ximo
Υ
Υ(f, g)=max{ |f(x)−g(x)| : x∈ [ a, b ]} 28
B(X,R) Do Sup
Ψ
Ψ(f, g)= sup{ |f(x)−g(x)| : x∈X} 32
ZN
Hamming
σ
σ(x, y)= nu´mero de posic¸o˜es em que x e y
diferem entre si.
37
roˆ
ρ ρ(x, y) = |∑Nn=1 2n−1·(xn−yn )| 40
tau
τ
τ(x, y) =maior posic¸a˜o em que x e y
diferem entre si.
41
Z∞
ni
ν ν(x, y) =
∑∞
n=1
|xn−yn |
2
n 42
M1×M2
D1 D1(x, y)=
√
d 2
1
(x1 , y1) + d
2
2
(x2 , y2)
95
D2
D2(x, y)= d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) 95
D3 D3(x, y)=max { d1 (x1 , y1); d2 (x2 , y2 ) } 95
8
Capı´tulo 1
ESPAC¸OS ME´TRICOS
A abstrac¸a˜o desobstrui o esp´ırito, o
torna mais leve e dinaˆmico.
(Gaston Bachelard)
1.1 Introduc¸a˜o
Na teoria dos espac¸os me´tricos busca-se a generalizac¸a˜o de alguns dos
conceitos estudados no Ca´lculo e na Ana´lise Real, especialmente aqueles
onde interveˆm a noc¸a˜o de distaˆncia (conceitos topolo´gicos).
A definic¸a˜o de espac¸os me´tricos e´ uma abstrac¸a˜o fundamentada, quase
que totalmente, na experieˆncia com os nu´meros reais. Mas esta definic¸a˜o e´
suficientemente flex´ıvel para incluir uma grande variedade de objetos, como
teremos oportunidade de constatar.
A citac¸a˜o a seguir∗ ajudara´ o leitor a enxergar com mais naturalidade a
definic¸a˜o (postulacional) de espac¸os me´tricos, dada logo mais:
Uma das contribuic¸o˜es definitivas do se´culo dezenove foi o recon-
hecimento de que a matema´tica na˜o e´ uma cieˆncia natural,mas uma
criac¸a˜o intelectual do homem. Bertrand Russel escreveu no Interna-
tional Monthly em 1901: ‘O se´culo dezenove, que se orgulha da invenc¸a˜o
do vapor e da evoluc¸a˜o, poderia derivar um t´ıtulo mais leg´ıtimo a` fama
da descoberta da matema´tica pura.’
Pelo fim do se´culo era geralmente reconhecido mesmo por na˜o-
matema´ticos que a matema´tica e´ pensamento postulacional, em que de
premissas arbitra´rias sa˜o tiradas concluso˜es va´lidas. Que os postulados
sejam ou na˜o verdadeiros num sentido cient´ıfico e´ indiferente.
∗Extra´ıda do livro: Curso Moderno de Filosofia/Denis Huisman e Andre´ Vergez.
9
Medindo distaˆncias
Se num conjunto arbitra´rio temos como medir a distaˆncia entre dois ele-
mentos quaisquer enta˜o o conjunto juntamente com essa distaˆncia resulta
no que em matema´tica conhecemos como um espac¸o me´trico.
Dados dois pontos em um plano, como a seguir
•
•
A
B
a matema´tica admite na˜o apenas uma mas va´rias maneiras de se medir a
distaˆncia entre estes dois pontos.
Apenas para contextualizar tentaremos convencer o leitor de que surgem
de maneira natural diferentes modos de se medir a distaˆncia entre estes
pontos. De outro modo: em matema´tica (e tambe´m na f´ısica) na˜o existe
uma u´nica maneira de se medir distaˆncias. Em outras palavras, a re´gua
vendida em nossas livrarias, ou as trenas vendidas em nosso come´rcio, na˜o
sa˜o os u´nicos instrumentos de medida.
Vejamos um exemplo trivial do nosso dia-a-dia: o ta´xi. Suponhamos
que algue´m queira se deslocar (em um ta´xi) do ponto A ao ponto B −
separados por uma esquina − e que o ponto B esteja a uma distaˆncia de
quatro unidades para a direita e treˆs unidades abaixo do ponto A, assim:
•A
•B
•A 4
•B
35
Pois bem, existem duas distaˆncias entre os pontos A e B: a que e´ mais
conveniente e justa para o taxista, 4+ 3 = 7; e a que seria mais conveniente
para o passageiro (“em linha reta”): 5.
A distaˆncia do ta´xi e´ tambe´m conhecida em matema´tica como me´trica da
soma. A outra distaˆncia (“em linha reta”) e´ a distaˆncia usual ou euclidiana.
Se o leitor parar para refletir um pouco se dara´ conta de que vez ou
outra, mesmo numa simples caminhada, teremos que optar (por vezes ate´
por uma questa˜o de convenieˆncia) por uma ou outra destas duas me´tricas
− como por exemplo, ao “cortar caminho”.
10
Resumindo, entre os pontos A e B no plano a seguir
A
B
− Distaˆncia usual (euclidiana)
A
B
− Distaˆncia do ta´xi
mostramos dois modos de medir a distaˆncia entre os mesmos. Na verdade,
podemos ter muitas alternativas para medir a distaˆncia entre dois pontos
em um conjunto qualquer.
Um ponto importante a ser observado e´ que do ponto de vista da matema´-
tica, isto e´, da lo´gica, todas as me´tricas (distaˆncias) gozam do mesmo status.
Ou ainda, na˜o existe uma distaˆncia mais ou menos verdadeira que outra,
existe sim uma mais conveniente que outra para um determinado propo´sito.
Por oportuno, acontece − no que diz respeito a`s me´tricas − o mesmo que
ocorre no aˆmbito das geometrias euclidiana e na˜o-euclidianas. A de Euclides
na˜o e´ nem mais nem menos verdadeira que as outras; pode ou na˜o ser a mais
conveniente a determinados propo´sitos; por exemplo, Einstein ao formular
sua Teoria da Relatividade Geral teve que optar por uma das geometrias
na˜o-euclidianas. (geometria riemanniana)
O que acontece e´ que a me´trica (re´gua) usual, vista a seguir
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
IN
M
E
T
R
O
e´ a mais conveniente para, por exemplo: o pedreiro, o carpinteiro, o en-
genheiro civil, etc., porque esta e´ suficiente para resolver todos os seus
problemas de medida. Ja´ para o matema´tico e o f´ısico, estes profissionais
teˆm necessidade de “outras re´guas”, as quais na˜o se encontram no come´rcio,
pois sa˜o, por assim dizer, abstratas.
Um outro fato importante que o leitor deve ter em mente e´ que o
matema´tico (ou o f´ısico) para resolver um dado problema que se lhe apre-
senta pode, das duas uma: ou escolher uma dentre as va´rias distaˆncias
(re´guas) ja´ existentes ou, caso seja necessa´rio, podera´ ate´ criar uma nova.
Se ele decidir criar uma nova re´gua esta deve satisfazer alguns crite´rios, sob
pena de na˜o ser validada pela comunidade matema´tica.
Aqui so´ e´ necessa´rio o leitor lembrar de que qualquer instrumento de
aferic¸a˜o candidato a receber o selo do Inmetro tera´ que passar por uma
bateria rigorosa de testes.
11
Como dissemos, o matema´tico e o f´ısico lidam com outros tipos de re´gua
ale´m da usual. O mais importante: qualquer que seja a nova re´gua proposta
esta deve, na comunidade dos matema´ticos, passar por uma bateria rigorosa
de testes. Ao todo deve ser testado um conjunto de cinco ı´tens − cinco
crite´rios lo´gicos −, dados a seguir:
1.2 Definic¸a˜o de espac¸os me´tricos
Definic¸a˜o 1 (Espac¸o Me´trico). Seja M 6= ∅ um conjunto qualquer. Consi-
deremos uma aplicac¸a˜o d : M ×M −→ R, que associa a cada par ordenado
(x, y) ∈M ×M um nu´mero real d(x, y) satisfazendo as seguintes condic¸o˜es
(para quaisquer x, y e z em M):
(M1) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ;
(M2) d(x, y) = d(y, x) ;
(M3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Nestas condic¸o˜es dizemos que d e´ uma me´trica sobre M e que d(x, y) e´ a
distaˆncia do elemento x ao elemento y.
Podemos dizer tambe´m que uma aplicac¸a˜o d : M×M −→ R satisfazendo
as condic¸o˜es anteriores adquire status de me´trica.
O par (M, d ) e´ o que entendemos por espac¸o me´trico.
Nota: Chamamos a atenc¸a˜o do leitor para o fato de que espac¸o me´trico e´
uma “estrutura” e na˜o um conjunto, tanto e´ que o mesmo conjunto munido
com me´tricas distintas da´ origem a espac¸os me´tricos distintos, isto e´:
d 6= d′ ⇒ (M, d ) 6= (M, d′ )
Doravante cada elemento de um espac¸o me´trico sera´ referido como ponto
desse espac¸o, independentemente de sua natureza.
A exigeˆncia feita em (M1) e´ bastante intuitiva: uma distaˆncia nunca e´
negativa; se a distaˆncia entre dois pontos e´ nula enta˜o, obrigatoriamente,
estes pontos sa˜o o mesmo (sa˜o iguais), e; reciprocamente: a distaˆncia de um
ponto para si mesmo deve ser nula.
A exigeˆncia feita em (M2), tambe´m assaz intuitiva, foi tomada de empre´s-
timo do dito popular que todos conhecemos: “fulano!! vem ca´! E o fulano
responde: vem ca´ tu, pois a distaˆncia daqui pra´ la´, e´ a mesma de la´ pra´ ca´”.
Como se veˆ, qualquer um ja´ possui intuitivamente os rudimentos para
iniciar-se nos espac¸os me´tricos.
s
s
s
y
x
z
d(x, y) d(x, z)
d(z, y)
A exigeˆncia feita em (M3), a menos intuitiva,
e´ conhecida como desigualdade triangular e se
inspira no fato de que na geometria elementar
cada lado de um triaˆngulo tem sempre medida
menor que a soma das medidas dos outros dois
lados.
12
Alternativamente, pode ser u´til vermos um espac¸o me´trico como um
sistema de processamento de informac¸o˜es, onde temos:
(M, d)
hardware
software
O conjunto de instruc¸o˜es (software) e´ passado atrave´s da me´trica.
Observe que se no par (M, d) mudarmos apenas a me´trica (algoritmo,
software) teremos um outro sistema de “processamento de informac¸o˜es”; um
outro espac¸o me´trico que − na maioria das vezes − pouco tera´ a ver com o
primeiro.
A citac¸a˜o a seguir ajudara´ o leitor a enxergar com mais naturalidade a
definic¸a˜o de espac¸os me´tricos, dada anteriormente: (rodape´ p. 9)
As definic¸o˜es matema´ticas parecem opor-se radicalmente a`s definic¸o˜es
emp´ıricas porque os seres matema´ticos na˜o sa˜o objetos que se descubram
na natureza. As definic¸o˜es emp´ıricas, no fundo, sa˜o simples descric¸o˜es
de coisas ja´ existentes . . . . O naturalista que define o pa´ssaro, na˜o o cria:
descobre-o. Contrariamente, o c´ırculo na˜o designa um objeto existente,
mas e´ a definic¸a˜o do c´ırculo que o cria. Tambe´m poder´ıamos dizer que
“se a definic¸a˜o emp´ırica na˜o passade uma co´pia, a definic¸a˜o matema´tica
e´ um modelo”. A definic¸a˜o matema´tica na˜o e´ descritiva e´ criadora. A
relac¸a˜o entre o matema´tico e os seres matema´ticos e´ a mesma existente
entre um deus e suas criaturas. A definic¸a˜o matema´tica e´ uma regra
operato´ria. Na˜o e´ mesmo necessa´rio que alguma coisa de concreto lhe
corresponda (cf. o nu´mero negativo, os “imagina´rios”), basta, como diz
Le Roy, que o conceito por ela proposto “fornec¸a ao esp´ırito mate´ria de
exerc´ıcio efetivo e operato´rio. (Grifo nosso)
Um aparte: E´ uma discussa˜o pertinente a` filosofia da matema´tica se os
objetos matema´ticos − a exemplo dos nu´meros − de fato existem; ou ainda,
se podem ser encontrados na Natureza.
Gostaria de expor meu parecer a este respeito. No meu entendimento os
objetos matema´ticos sa˜o abstrac¸o˜es que na˜o encontram-se em parte alguma
da Natureza e, para existirem, necessitam do homem. Se um meteorito se
chocasse com a terra e os homens − a exemplo dos dinossauros, por suposto
− deixassem de existir, os nu´meros concomitantemente desapareceriam.
E afirmo mais: se na suposta hecatombe mencionada acima sobrevivessem
apenas alguns homens “primitivos” e alguns livros de matema´tica, ainda as-
sim os nu´meros deixariam de existir . . . por falta de um “instrumento” (ce´rebro,
mente) apropriado que pudesse decodifica´-los a partir dos livros. Uma analo-
gia: se um bebeˆ engatinhando numa sala encontra as pec¸as de um xadrez
para ele estas constituem-se em meros brinquedos − na˜o um jogo de xadrez
(estrutura) propriamente.
13
1.2.1 Exemplos de espac¸os me´tricos
1) A reta usual (oficial)
Considere o conjunto R dos nu´meros reais. A seguinte func¸a˜o
d : R× R −→ R, dada por d(x, y) = |x− y|,
e´ uma me´trica sobre R. Vamos provar isto:
(M1) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. Enta˜o
d(x, y) ≥ 0 ⇐⇒ d(x, y) = |x− y| ≥ 0
e
d(x, y) = 0 ⇐⇒ |x− y| = 0
⇐⇒ x− y = 0
⇐⇒ x = y.
Observe que (M1) se desdobra em treˆs condic¸o˜es a serem provadas.
(M2) d(x, y) = d(y, x) ⇐⇒ |x− y| = |y − x|.
(M3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ⇐⇒ |x− y| ≤ |x− z|+ |z − y|.
Vamos precisar da desigualdade triangular do mo´dulo, isto e´ (p. 602)
|x+ y| ≤ |x|+ |y|
Para tanto vamos nos valer do seguinte artif´ıcio
x− y = (x− z) + (z − y)
Sendo assim, temos
|x− y| = ∣∣(x− z) + (z − y)∣∣ ≤ |x− z|+ |z − y|
Por exemplo
d(5, 3) = |5− 3| = 2 ; d
(3
2
, −1
)
=
∣∣∣3
2
− (−1)
∣∣∣ = 5
2
.
Geometricamente, temos
Rssss
d(5, 3)=|5−3|=2
⊢ ⊣-ff
d
(
3
2
,−1
)
=
∣∣ 3
2
−(−1)
∣∣=2,5
⊢ ⊣-ff
q q q q q q q−1 0 1 2 3 4 5
14
2) A me´trica “zero-um”
Uma importante me´trica − aplica´vel a qualquer conjunto − e´ dada a
seguir:
Seja M um conjunto qualquer. Consideremos
d : M ×M −→ R
definida por
d(x, y) =

 1, se e so´ se x 6= y;0, se e so´ se x = y.
Vamos mostrar que d, assim definida, e´ uma me´trica.
De fato, esta aplicac¸a˜o, da maneira como foi definida, claramente satis-
faz (M1) e (M2). Vamos mostrar que (M3) tambe´m e´ satisfeita:
Dados x e y em M temos duas alternativas, x = y ou x 6= y:
( i ) Se x = y enta˜o d(x, y) = 0. Substituindo este resultado em (M3)
devemos provar que
0 ≤ d(x, z) + d(z, y)
Como, pela definic¸a˜o de d, d(x, z) ≥ 0 e d(z, y) ≥ 0, temos que esta de-
sigualdade e´ trivialmente satisfeita.
( ii ) Se x 6= y enta˜o ou x 6= z ou z 6= y (caso contra´rio, isto e´, se x = z e
z = y enta˜o x = y, contrariando a hipo´tese); sendo assim temos d(x, y) = 1 e ou
d(x, z) = 1 ou d(z, y) = 1. Em qualquer situac¸a˜o a desigualdade
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
1 ≤ d(x, z) + d(z, y)
estara´ satisfeita.
Observe que esta prova na˜o depende da natureza dos elementos de M ,
o que implica que o par (M, d) e´ um espac¸o me´trico independentemente de
quem seja o conjunto M .
• Por exemplo considere o conjunto das vogais A = { a, e, i, o, u }, enta˜o
o par (A, d) e´ um espac¸o me´trico onde, por exemplo, temos as seguintes
distaˆncias
d(a, e) = 1 ; d(o, u) = 1 ; d(u, u) = 0.
uma vez que a 6= e, o 6= u e u = u.
Nota: Como neste livro trabalharemos com muitas me´tricas, vamos adotar
s´ımbolos especiais para algumas e numerar (indexar) outras. Por exemplo
a me´trica “zero-um” sera´ denotada por δ e a me´trica usual sobre R por µ.
Novamente enfatizamos que os espac¸os me´tricos (R, µ) e (R, δ) sa˜o
distintos, inclusive por que para um mesmo par de pontos eles fornecem
distaˆncias diferentes, por exemplo: µ(5, 3) = |5− 3| = 2 e δ(5, 3) = 1.
15
3) A Me´trica Quaˆntica
Quando o esp´ırito se apresenta a` cul-
tura cient´ıfica, nunca e´ jovem. Alia´s e´
bem velho, porque tem a idade de seus
preconceitos. Aceder a` cieˆncia e´ reju-
venescer espiritualmente, e´ aceitar uma
brusca mutac¸a˜o que contradiz o passado.
(Gaston Bachelard)
Introduc¸a˜o: A me´trica que estaremos apresentando agora nos per-
mitira´ demonstrar, oportunamente, a plausibilidade matema´tica de alguns
fenoˆmenos contraintuitivos observados no aˆmbito da f´ısica quaˆntica.∗
O que e´ f´ısica quaˆntica?
A f´ısica quaˆntica (tambe´m conhecida como mecaˆnica quaˆntica e teoria
quaˆntica) e´ principalmente o estudo do mundo microsco´pio. Nesse mundo
muitas grandezas f´ısicas sa˜o encontradas apenas em mu´ltiplos inteiros de
uma quantidade elementar; quando uma grandeza apresenta essa propriedade,
dizemos que e´ quantizada. A quantidade elementar associada a` grandeza e´
chamada quantum da grandeza (o plural e´ quanta).
Uma grandeza quantizada que esta´ presente no nosso dia-a-dia e´ o din-
heiro. O dinheiro no Brasil e´ quantizado, ja´ que a moeda de menor valor e´ a
de um centavo (R$ 0, 01), e os valores de todas as outras moedas e notas sa˜o
obrigatoriamente mu´ltiplos inteiros do centavo. Em outras palavras, o quan-
tum de dinheiro em espe´cie e´ R$ 0, 01, e todas as quantias maiores sa˜o da
forma n× (R$ 0, 01), onde n e´ um nu´mero inteiro. Na˜o e´ poss´ıvel, por exem-
plo, pagar com dinheiro vivo uma quantia de R$ 0, 755 = 75, 5 × (R$ 0, 01).
Em 1905 Einstein propoˆs que a radiac¸a˜o eletromagne´tica (ou, simples-
mente, a luz) era quantizada; a quantidade elementar de luz e´ hoje chamada
de fo´ton. [. . . ]
O conceito de quantum de luz, ou fo´ton, e´ muito mais sutil e miste-
rioso do que Einstein imaginava. Na verdade, ate´ hoje na˜o e´ compreendido
perfeitamente.
Segundo Einstein, um quantum de luz de frequeˆncia f tem uma energia
dada por E = hf (energia do fo´ton) onde h e´ a chamada constante de
Planck, que tem o valor
h = 6, 63 × 10−34 J · s
(Halliday&Resnick/Vol. 4)
∗Como por exemplo, o de que uma part´ıcula pode encontrar-se em muitos lugares ao
mesmo tempo; ou ainda: “ele´trons que se movem de A para B sem nunca passar entre
esses pontos”.
16
Consideremos o conjunto M = [ 0, 1 [ e a seguinte aplicac¸a˜o
k : [ 0, 1 [× [ 0, 1 [−→ R
definida por
k(x, y) = min
{|x− y|, 1− |x− y|}
Deixamos como exerc´ıcio ao leitor provar que k e´ uma me´trica em [ 0, 1 [.
Como funciona a me´trica quaˆntica? Funciona de modo bem simples, na˜o
e´ necessa´rio nenhum manual de instruc¸a˜o, veja: dados dois pontos x e y,
ambos no intervalo [ 0, 1 [, entre chaves obteremos dois valores, escolhemos
o menor deles como sendo a distaˆncia entre os pontos x e y. Por exemplo,
k(0; 0, 4) = min
{|0− 0, 4|, 1− |0− 0, 4|} = min{0, 4; 0, 6} = 0, 4
k(0; 0, 6) = min
{|0− 0, 6|, 1− |0− 0, 6|} = min{0, 6; 0, 4} = 0, 4
k(0; 0, 8) = min
{|0− 0, 8|, 1− |0− 0, 8|} = min{0, 8; 0, 2} = 0, 2
Observe a localizac¸a˜o geome´trica destes pontos:
q
0 12
1
t t t
0, 4 0, 6 0, 8
Por oportuno, observe que,
k (0; 0, 4) = k (0; 0, 6) > k (0; 0, 8). (1.1)
E´ isto mesmo que o leitor testemunha!: os dois primeiros pontos (0, 4 e 0, 6)
esta˜o a uma mesma distaˆncia da origem, e, como se na˜o bastasse, o terceiro
ponto (0, 8) esta´ mais pro´ximo da origem que os dois primeiros . . . pasme´m!Poder´ıamos, com inteira raza˜o, chama´-la de “me´trica maluca” ou ate´,
quem sabe, “me´trica hipermaluca”.
No entanto, vejamos o que o eminente filo´sofo tem a nos dizer a este
respeito:
Tudo isso, que a` primeira vista parece
excesso de irraza˜o, na verdade e´ o efeito
da finura e da extensa˜o do esp´ırito hu-
mano e o me´todo para encontrar ver-
dades ate´ enta˜o desconhecidas.
(Voltaire)
Oportunamente estaremos provando que, desta vez, o filo´sofo esta´ coberto
de raza˜o.
As palavras do filo´sofo me serviram, amiu´de, de apoio psicolo´gico quando
− a princ´ıpio − me sentir tentado a desdenhar da “me´trica maluca”!
17
Distaˆncia de um ponto arbitra´rio a` origem
Vamos necessitar da distaˆncia de um ponto arbitra´rio x ∈ [ 0, 1 [ a`
origem:
k(x, 0) = min
{|x− 0|, 1− |x− 0|} = min{|x|, 1− |x|}
Como 0 ≤ x < 1, temos |x| = x, logo, k(x, 0) = min{x, 1−x}. Temos,
x ≤ 1− x ⇐⇒ x ≤ 1
2
Sendo assim, podemos escrever:
k(x, 0) =


x, se 0 ≤ x ≤ 12 ;
1− x, se 12 ≤ x < 1.
(1.2)
Esta equac¸a˜o nos diz, simplesmente, que se x e´ um ponto na primeira
metade do intervalo, enta˜o sua distaˆncia para a origem e´ igual “a ele pro´prio”.
Se x e´ um ponto na metade direita do intervalo, enta˜o sua distaˆncia para a
origem e´ 1− x. Veja: k(x, 0) = min{x, 1− x}
s
x q1
2
0 1
x
1−x
s
xq1
2
0 1
x
1−x
A seguir esboc¸amos o gra´fico da func¸a˜o dada por (1.2):
q 11
2
q
q1
1
2
0
x
k(x, 0)
s
xq1
2
0 1
Este gra´fico nos mostra como varia a distaˆncia de um ponto arbitra´rio
x, do intervalo [ 0, 1 [, a` origem.
Na figura a seguir acrescentamos ao gra´fico anterior (para efeito de com-
parac¸a˜o) a distaˆncia usual, d(x, 0) = |x− 0|, restrita ao intervalo [ 0, 1 [ :
18
q 11
2
q
q1
1
2
0
x
k(x, 0)
A partir do gra´fico de k(x, 0) (ou da equac¸a˜o (1.2)) constru´ımos a re´gua
oficial do universo
(
[ 0, 1 [, k
)
, assim:
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1
IN
M
E
T
R
O
- Re´gua quaˆntica
Nota: Observamos que a re´gua (“trena” ) acima e´ ta˜o leg´ıtima quanto a
usual, vendida em nossas livrarias, tanto e´ que ja´ a homologamos junto ao
Inmetro.
O que confere status cient´ıfico a esta re´gua e´ justamente o fato de ela
satisfazer a todas as condic¸o˜es para uma me´trica. (p. 12)
Esta re´gua nos sera´ bastante u´til para destrinchar (e produzir) alguns
paradoxos (patologias), inclusive na f´ısica quaˆntica como ja´ mencionamos.
E mais: Pelo ao menos no aˆmbito da topologia podemos assegurar aos
ce´pticos que milagres existem sim!, como estaremos provando a seu tempo.
Por oportuno, adiantamos uma surpreendente igualdade: 0, 999 . . . = 0.
Nota: Um espac¸o me´trico e´ tambe´m um espac¸o topolo´gico. (p. 280)
Retomando: a re´gua quaˆntica nos fornece diretamente a distaˆncia de um
ponto qualquer do intervalo [ 0, 1 [ para a origem 0, graficamente:
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1
IN
M
E
T
R
O
0 1p p p
1
4
1
2
3
4
19
Vejamos como fica a patologia exibida anteriormente (p. 17) com o uso
da re´gua anterior, veja:
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1
IN
M
E
T
R
O
s s sA B C
ր
Origem
Os pontos A e B encontram-se a` mesma distaˆncia da origem . . . Pasme´m!
Podemos escrever:
k(A, 0) = 0, 4 = k(B, 0)
E, o que e´ “pior”, o ponto C encontra-se mais pro´ximo da origem que
qualquer dos pontos A e B . . . pasme´m !!
Podemos escrever:
k(C, 0) = 0, 2 < 0, 4 = k(A, 0) = k(B, 0) (1.3)
Adverteˆncia: Aconselhamos ao estudante de topologia excessiva prudeˆncia:
Esta re´gua na˜o devera´ cair nas ma˜os de profissionais na˜o devidamente ha-
bilitados, ainda aqui vale recordar do mestre Jesus: (Mt 7 : 6)
Na˜o deiteis aos porcos as vossas pe´rolas, para que na˜o suceda que eles
lhes ponham os pe´s em cima, e tornando-se contra vo´s, vos despedacem.
Na figura a seguir colocamos as duas re´guas − usual e quaˆntica − lado
a lado para efeitos de comparac¸a˜o, veja:
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
IN
M
E
T
R
O
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1
IN
M
E
T
R
O
U
s
u
a
l
Q
u
a^
n
t
i
c
a
Nota: Reescalonamos (dividimos por 10) a re´gua usual, para efeitos de
comparac¸a˜o.
Observe que a re´gua quaˆntica coincide com a re´gua usual so´ ate´ a metade,
a partir da´ı as duas diferem radicalmente.
20
Tornando a re´gua quaˆntica menos indigesta
Dissemos que a re´gua quaˆntica mede a distaˆncia, para a origem, de
qualquer ponto do intervalo [ 0, 1 [. O leitor podera´ “digerir” melhor o
funcionamento desta re´gua se imaginar que ela produz uma curvatura no
espac¸o, digo, no intervalo [ 0, 1 [. Imagine este intervalo feito de arame
flex´ıvel, curve-o segundo um c´ırculo, assim:
1 0
pp
p
1
4
3
4
1
2
1 0
pp
p
1
4
3
4
1
2
ss
s
AB
C
Na figura da direita assinalamos os pontos A, B e C na relac¸a˜o (1.3) (p. 20).
Agora fica mais fa´cil de entender por que d (C, 0) < d (A, 0) = d (B, 0).
Nota: A rigor a me´trica quaˆntica na˜o curva o intervalo unita´rio. Vejamos
uma analogia:
Ao redor de um ima˜ existe um campo
magne´tico que “curva o espac¸o” em sua volta.
A presenc¸a do campo altera a geometria − ou
me´trica − da regia˜o em volta do ima˜. Pore´m,
o pro´prio ima˜ na˜o e´ curvado.
De igual modo, a presenc¸a da me´trica k no universo [ 0, 1 [ e´ responsa´vel
pela “geometria” da estrutura
(
[ 0, 1 [, k
)
, que e´ curva.
Podemos buscar uma outra analogia para o
espac¸o quaˆntico na teoria da relatividade geral
de Einstein: segundo essa teoria o espac¸o e´ uma
estrutura cujas propriedades dependem da pre-
senc¸a da mate´ria.
Mate´ria e energia em movimento curvam
o espac¸o-tempo. Essa deformac¸a˜o muitas vezes
e´ comparada a que ocorre em uma rede esticada quando nela se deposita
uma esfera macic¸a e pesada.
q1
2
0 1ր
“massa”
De modo ana´logo, como veremos oportuna-
mente, a origem “0” do intervalo [ 0, 1 [ e´ que
faz o papel da massa e e´ responsa´vel pela cur-
vatura do espac¸o topolo´gico
(
[ 0, 1 [, k
)
.
21
1.2.2 Me´tricas sobre o R2
Vamos agora definir algumas me´tricas sobre o conjunto R×R = R2 dos
pares ordenados de nu´meros reais.
4) O plano usual (oficial)
A func¸a˜o,
D1 : R
2 × R2 −→ R,
dada por
D1(x, y) =
√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2
onde x = (x1 , x2) e y = (y1 , y2), e´ uma me´trica sobre R
2.
D1 e´ conhecida como me´trica euclidiana ou usual do R
2 e naturalmente
se inspira na fo´rmula da distaˆncia entre dois pontos da geometria anal´ıtica.
No apeˆndice provamos que D1 e´ de fato uma me´trica sobre R
2. (p. 68)
Exemplo: Calcular a distaˆncia entre os pontos x = (1, 1) e y = (4, 5).
Soluc¸a˜o: Temos x = (x1 , x2) = (1, 1) e y = (y1 , y2) = (4, 5). Enta˜o
D1(x, y) =
√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2
D1
(
(1, 1), (4, 5)
)
=
√
(1− 4)2 + (1− 5)2 = 5.
Geometricamente temos
R
R
p p p p
p
p
p
p
p
0
s
s
⊡
(1, 1)
(4, 5)
⇒
s
s
D1
D1
e´ a medida da hipotenusa.
5) A me´trica da soma (ou do ta´xi)
A func¸a˜o,
D2 : R
2 × R2 −→ R,
dada por
D2(x, y) = |x1 − y1 |+ |x2 − y2 |
onde x = (x1 , x2) e y = (y1 , y2) e´ uma me´trica sobre R
2.
D2 e´ conhecida como me´trica da soma (ou do ta´xi).
No apeˆndice provamos que D2 e´ de fato uma me´trica sobre R
2. (p. 69)
Exemplo: Calcular a distaˆncia entre os pontos x = (1, 1) e y = (4, 5).
22
Soluc¸a˜o: Temos x = (x1 , x2) = (1, 1) e y = (y1 , y2) = (4, 5), enta˜o
D2(x, y) = |x1 − y1 |+ |x2 − y2 |
D2
(
(1, 1), (4, 5)
)
= |1− 4|+ |1− 5| = 7.
Geometricamente temos
R
R
p p p p
p
p
p
p
p
0
s
s
⊡
(1, 1)
(4, 5)
⇒
s
s
D2
D2
e´ a soma das medidas
dos catetos.
6) A me´trica do ma´ximo
A func¸a˜o,
D3 : R
2× R2 −→ R,
dada por
D3(x, y) = max
{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |}
onde x = (x1 , x2) e y = (y1 , y2) e´ uma me´trica sobre R
2.
No apeˆndice provamos que D3 e´ de fato uma me´trica sobre R
2. (p. 70)
Exemplo: Calcular a distaˆncia entre os pontos x = (1, 1) e y = (4, 5).
Soluc¸a˜o: Temos x = (x1 , x2) = (1, 1) e y = (y1 , y2) = (4, 5), enta˜o
D3(x, y) = max
{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |}
D3
(
(1, 1), (4, 5)
)
= max
{|1− 4|, |1− 5|}
= max{ 3, 4 } = 4.
Geometricamente temos
R
R
p p p p
p
p
p
p
p
0
s
s
⊡
(1, 1)
(4, 5)
⇒
s
s
D3
D3
e´ a medida do maior
dos catetos.
23
Como era de se esperar, os treˆs espac¸os nos fornecem diferentes distaˆncias
para um mesmo par de pontos. Para efeitos de comparac¸a˜o, temos
R
R
p p p p
p
p
p
p
p
0
s
s
⊡
(1, 1)
(4, 5)
R
R
p p p p
p
p
p
p
p
0
s
s
⊡
(1, 1)
(4, 5)
R
R
p p p p
p
p
p
p
p
0
s
s
⊡
(1, 1)
(4, 5)
As treˆs distaˆncias vistas para o R2 sa˜o facilmente generalizadas para o
Rn, do seguinte modo:
D1(x, y) =
√
(x1 − y1)2 + · · · + (xn − yn)2 (1.4)
D2(x, y) = |x1 − y1 | + · · ·+ |xn − yn | (1.5)
D3(x, y) = max
{|x1 − y1 |, . . . , |xn − yn |} (1.6)
onde x = (x1 , x2 , . . . , xn) e y = (y1 , y2 , . . . , yn) ∈ Rn.
7) Distaˆncia entre matrizes
Seja Mm×n(R) o conjunto das matrizes reais de ordem m por n.
Para calcular a distaˆncia entre duas matrizes lanc¸aremos ma˜o de um ar-
tif´ıcio: Identificaremos uma matriz do conjunto Mm×n(R) com um ponto do
conjunto Rm×n do seguinte modo
A =


a11 . . . a1n
a21 . . . a2n
. . . . . . . . . . . . . .
am1 . . . amn

↔ a = (a11 , . . . , a1n , a21 , . . . , a2n , . . . , am1 , . . . , amn)
B =


b11 . . . b1n
b21 . . . b2n
. . . . . . . . . . . . .
bm1 . . . bmn

↔ b = (b11 , . . . , b1n , b21 , . . . , b2n , . . . , bm1 , . . . , bmn)
Feito isto definiremos a distaˆncia entre as matrizes A e B como sendo a
distaˆncia entre os respectivos pontos a e b.
24
Sendo assim temos as seguintes distaˆncias entre matrizes
D1(A, B) =
√
(a11 − b11)2 + · · ·+ (amn − bmn)2 (1.7)
D2(A, B) = |a11 − b11 |+ · · · + |amn − bmn | (1.8)
D3(A, B) = max
{|a11 − b11 |, . . . , |amn − bmn |} (1.9)
Exemplo: Calcule a distaˆncia entre as matrizes
A =
[
2 1 3
3 0 2
]
e B =
[
0 2 1
3 4 5
]
Soluc¸a˜o: Temos
A =
[
2 1 3
3 0 2
]
↔ a = (2, 1, 3, 3, 0, 2)
B =
[
0 2 1
3 4 5
]
↔ b = (0, 2, 1, 3, 4, 5)
Ainda,
A−B =
[
2 −1 2
0 −4 −3
]
↔ a− b = (2, −1, 2, 0, −4, −3)
Vamos calcular a distaˆncia entre as matrizes A e B em cada um dos
espac¸os me´tricos
(
M2×3(R), D1
)
,
(
M2×3(R), D2
)
e
(
M2×3(R), D3
)
onde D1 ,
D2 e D3 sa˜o dadas pelas equac¸o˜es (1.7), (1.8) e (1.9). Pois bem:
D1
(
A, B
)
=
√
22 + (−1)2 + 22 + 02 + (−4)2 + (−3)2 =
√
34;
D2
(
A, B
)
= |2|+ | − 1|+ |2|+ |0| + | − 4|+ | − 3| = 12;
D3
(
A, B
)
= max
{ |2|, | − 1|, |2|, |0|, | − 4|, | − 3|} = 4.
A fo´rmula a seguir
n = N(i− 1) + j (1.10)
nos permite transferir os elementos de uma matriz de ordem M × N para
um ponto de RM×N . (para a prova desta fo´rmula veja [6])
A fo´rmula nos diz em que coordenada n (do ponto) devemos guardar o
elemento aij da matriz. Por exemplo, para a matriz[
a11 a12 a13
a21 a22 a23
]
de ordem 2× 3, procedemos assim:
25
a11 ⇒ n = 3(1 − 1) + 1 = 1 ⇒ ( a11 , ? , ? , ? , ? , ? )
a12 ⇒ n = 3(1 − 1) + 2 = 2 ⇒ ( a11 , a12 , ? , ? , ? , ? )
a13 ⇒ n = 3(1 − 1) + 3 = 3 ⇒ ( a11 , a12 , a13 , ? , ? , ? )
a21 ⇒ n = 3(2 − 1) + 1 = 4 ⇒ ( a11 , a12 , a13 , a21 , ? , ? )
a22 ⇒ n = 3(2 − 1) + 2 = 5 ⇒ ( a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , ? )
a23 ⇒ n = 3(2 − 1) + 3 = 6 ⇒ ( a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 )
Portanto: [
a11 a12 a13
a21 a22 a23
]
֌ ( a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 )
A fo´rmula a seguir (tambe´m uma contribuic¸a˜o minha):

i =
⌊
n−1
N
⌋
+ 1
j = n−N⌊ n−1N ⌋
e´ a inversa da func¸a˜o dada em (1.10) e nos diz, caso desejemos, como trans-
ferir de volta as coordenadas do ponto para a matriz.
N e´ o nu´mero de colunas na matriz. ⌊ x ⌋ e´ chamado o maior inteiro que
na˜o supera x (func¸a˜o piso).
Por exemplo, para a situac¸a˜o anterior temos:
a5 ⇒


i =
⌊
5−1
3
⌋
+ 1 = 2
j = 5− 3⌊ 5−13 ⌋ = 2
Ou seja, a quinta coordenada do ponto (n = 5) corresponde a posic¸a˜o
(i, j) = (2, 2) da matriz, assim:
(a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , )
[ − − −
− − −
]
Em [6] mostramos aplicac¸o˜es destas fo´rmulas na computac¸a˜o.
∗ ∗ ∗
Para muitos pensar e´ uma tarefa fastidiosa. Para mim, nos meus
dias felizes, uma festa e uma orgia. (Nietzsche, F. Vontade de poder, XIV, 24)
26
1.2.3 Distaˆncia entre func¸o˜es
− Espac¸o das func¸o˜es reais cont´ınuas definidas num intervalo fechado
8) O espac¸o
(C[a, b], Γ)
Seja C[a, b] o conjunto das func¸o˜es reais cont´ınuas definidas no intervalo
fechado [a, b]. Isto e´
C[a, b] =
{
f : [a, b] −→ R / f cont´ınua
}
A aplicac¸a˜o
Γ: C[a, b]× C[a, b] −→ R
definida por
Γ(f, g) =
∫ b
a
∣∣f(x)− g(x)∣∣ dx
e´ uma me´trica sobre C[a, b]. Isto esta´ demonstrado no apeˆndice. (p. 72)
Exemplos:
(a) Calcule a distaˆncia entre as func¸o˜es
f, g : [ 0, 1 ] −→ R
dadas por f(x) = 3x e g(x) = x.
Soluc¸a˜o:
Γ(f, g) =
∫ b
a
∣∣f(x)− g(x)∣∣ dx
=
∫ 1
0
|3x− x| dx = 1
Interpretac¸a˜o geome´trica: A distaˆncia entre as func¸o˜es f e g e´ dada
pela a´rea da regia˜o entre seus gra´ficos; no caso a a´rea do triaˆngulo em
destaque na figura a seguir
x
y
0 q q
q
q
q
1 2
1
2
3
g
f
(0, 0)
(1, 1)
(1, 3)
27
Para efeito de verificac¸a˜o, podemos calcular a a´rea deste triaˆngulo,
subtraindo da a´rea do triaˆngulo sob o gra´fico de f a a´rea do triaˆngulo
sob o gra´fico de g, assim
1× 3
2
− 1× 1
2
= 1 = Γ(f, g).
(b) Calcule a distaˆncia entre as func¸o˜es
f, g : [−1, 1] −→ R
dadas por f(x) = x3 e g(x) = x.
Soluc¸a˜o:
Γ(f, g) =
∫ b
a
∣∣f(x)− g(x)∣∣ dx
=
∫ 1
−1
∣∣x3 − x∣∣ dx = 1
2
.
Interpretac¸a˜o geome´trica: A distaˆncia entre as func¸o˜es f e g e´ dada
pela a´rea da regia˜o entre seus gra´ficos:
x
y
−1 1
−1
1
�
�
�
�
�
�
f g
g
f
⊢ ⊢
⊥
⊥
q
q
(−1,−1)
(1,1)
Vejamos uma outra distaˆncia no conjunto C[a, b].
9) O espac¸o
(C[a, b], Υ)
Sabemos (da Ana´lise∗) que toda func¸a˜o cont´ınua definida em um
intervalo fechado assume valores ma´ximo e mı´nimo nesse intervalo.
Sendo assim a aplicac¸a˜o
Υ: C[a, b]× C[a, b] −→ R
dada por
Υ(f, g) = max
{
|f(x)− g(x)| : x ∈ [ a, b ]
}
(1.11)
estara´ bem definida. No apeˆndice mostramos que Υ e´ uma outra
me´trica sobre C[a, b]. (p. 74)
∗Teorema de Weierstrass, [AR]1 (p. 603)
28
Exemplos:
(a) Calcule a distaˆncia entre as func¸o˜es
f, g : [ 0, 1 ] −→ R
dadas por f(x) = 3x e g(x) = x.
Soluc¸a˜o:
Υ(f, g) = max
{
|f(x)− g(x)| : x ∈ [ a, b ]
}
= max
{ |3x− x| : x ∈ [ 0, 1 ]}
= max
{
2x : x ∈ [ 0, 1 ]} = 2.
Porquanto
0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2x ≤ 2 ⇒ 2x ∈ [ 0, 2 ]
Observe que os espac¸os (C,Γ) e (C,Υ) nos fornecem distaˆncias
diferentes para o mesmo par de pontos (f, g).
Interpretac¸a˜o geome´trica: A distaˆncia Υ entre as func¸o˜es f
e g e´ o comprimento da maior corda vertical que se pode trac¸ar
ligando o gra´fico de f ao gra´fico de g.
x
y
0 q q
q
q
q
1 2
1
2
3
g
f
←Υ(f,g)=2
(0,0)
(1,1)
(1,3)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
(b) Calcule a distaˆncia entre as func¸o˜es
f, g : [−1, 1 ] −→ R
dadas por f(x) = x3 e g(x) = x.
Soluc¸a˜o:
Υ(f, g) = max
{ |f(x)− g(x)| : x ∈ [ a, b ]}
= max
{ |x3 − x| : x ∈ [−1, 1 ]}
29
Esta u´ltima igualdade nos diz que devemos encontrar o ma´ximo da
func¸a˜odada por h(x) = |x3−x| para x percorrendo o intervalo [−1, 1 ].
Com o intuito de eliminar o mo´dulo, obtemos a seguinte decom-
posic¸a˜o
h(x) =
∣∣x3 − x∣∣ =


x3 − x, se x ∈ [−1, 0 ];
−x3 + x, se x ∈ [ 0, 1 ].
Inicialmente vamos pesquisar no “ramo direito” da func¸a˜o; enta˜o,
h(x) = −x3 + x. Igualando a derivada desta func¸a˜o a zero, temos
h′(x) = −3x2 + 1 = 0 =⇒ x = ± 1√
3
enta˜o
h
(
1√
3
)
= −
(
1√
3
)3
+
(
1√
3
)
=
2
√
3
9
.
A outra alternativa nos conduz ao mesmo resultado, portanto
Υ(f, g) = max
{
|x3 − x| : x ∈ [−1, 1 ]
}
=
2
√
3
9
≈ 0, 38
Interpretac¸a˜o geome´trica: A distaˆncia entre as func¸o˜es f e g e´ o
comprimento da maior corda vertical que se pode trac¸ar ligando o
gra´fico de f ao gra´fico de g.
x
y
−1 1
−1
1
f g
0⊢ ⊢
⊥
⊥
q
←−Υ(f, g)= 2
√
3
9
√
3
3
30
Func¸o˜es Limitadas
Seja X um conjunto qualquer. Uma func¸a˜o f : X −→ R se diz
limitada quando existe k ∈ R tal que |f(x)| ≤ k para todo x ∈ X.
Exemplos
a) Um exemplo de func¸a˜o limitada em toda a reta (X = R) e´ a
func¸a˜o seno, pois −1 ≤ senx ≤ 1, para todo x real.
R
y
q q q q q q
q
q
−1
1
−π −pi
2
0 pi
2
π 3pi
2
2π
Uma func¸a˜o pode na˜o ser limitada em um domı´nio D, mas sim em
um seu subconjunto D′ ⊂ D. E´ o que veremos agora.
b) Das func¸o˜es abaixo
f : [−1, 1 ] −→ R e g : R −→ R
x 7−→ x x 7−→ x
apenas a primeira e´ limitada, uma vez que
−1 ≤ x ≤ 1 ⇒ −1 ≤ f(x) ≤ 1 ⇒ |f(x)| ≤ 1.
Por outro lado, na˜o existe k ∈ R de modo que |g(x)| = |x| ≤ k
para todo x ∈ R.
q
q
1−1
1
−1
x
f(x)
• f e´ limitada em seu domı´nio, g na˜o.
qq
q
q
1−1
1
−1
x
g(x)
Sejam f e g func¸o˜es limitadas, isto e´, existem constantes k1 , k2 ∈ R
tais que |f(x)| ≤ k1 e |g(x)| ≤ k2 , enta˜o as func¸o˜es f ± g sa˜o ainda
limitadas, devido a que |f(x)± g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤ k1 + k2 .
31
− Espac¸o das func¸o˜es reais limitadas
10) O espac¸o
(B(X, R), Ψ)
Indiquemos por B(X, R) o conjunto das func¸o˜es reais e limitadas
de X em R.
A aplicac¸a˜o
Ψ: B(X, R)× B(X, R) −→ R
dada por
Ψ(f, g) = sup
{ |f(x)− g(x)| : x ∈ X }
esta´ bem definida. (devido ao axioma do supremo p. 612)
No apeˆndice mostramos Ψ e´ uma me´trica sobre B(X, R). (p. 74)
Exemplo: Calcule a distaˆncia entre as func¸o˜es
f, g : [ 0, 1 [−→ R
dadas por f(x) = 3x e g(x) = x.
Soluc¸a˜o:
Ψ(f, g) = sup
{ |f(x)− g(x)| : x ∈ [ 0, 1 [}
= sup
{ |3x− x| : x ∈ [ 0, 1 [}
= sup
{
2x : x ∈ [ 0, 1 [} = 2,
Porquanto
0 ≤ x < 1 ⇒ 0 ≤ 2x < 2 ⇒ |f(x)− g(x)| = 2x ∈ [ 0, 2 [.
No gra´fico fica assim
x
y
0 q q
q
q
q
1 2
1
2
3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
g
f
(0,0)
(1,1)
(1,3)
←Ψ(f, g)=2
Observe que enquanto o par
(B(X, R), Ψ) e´ um espac¸o me´trico ja´ na˜o
acontece o mesmo com o par
(B(X, R), Υ). (ver p. 28)
No caso do exemplo anterior as func¸o˜es f e g na˜o teˆm ma´ximo no con-
junto X = [ 0, 1 [:
Υ(f, g) = max
{ |3x− 2x| : x ∈ [ 0, 1 [}
= max
{
2x : x ∈ [ 0, 1 [}
32
porquanto, 0 ≤ x < 1 ⇒ 0 ≤ 2x < 2 ⇒ 2x ∈ [ 0, 2 [.
Isto e´, a aplicac¸a˜o Υ: B(X, R)× B(X, R) −→ R na˜o estara´ bem definida.
Porque o par
(B(X, R), Γ) na˜o e´ um espac¸o me´trico
Mostraremos agora que Γ (p. 27) na˜o e´ uma me´trica sobre B(X, R).
Consideremos X = [ 0, 1 ] e as func¸o˜es f, g ∈ B([ 0, 1 ], R), isto e´,
f, g : [ 0, 1 ] −→ R; dadas por
f(x) = 1, ∀x ∈ [ 0, 1 ] e g(x) =

 1, se x 6=
1
2
1
4 , se x =
1
2 .
Os gra´ficos de f e g sa˜o dados a seguir:
q
0 1
x
1
f(x)
q 0
x
g(x)
q
1
1
q q
q
q
1
2
r121
4
Observe que f e g diferem em um u´nico ponto. Portanto pelo teorema
[AR]2 : (p. 603)∫ 1
0
f(x) dx =
∫ 1
0
g(x) dx
logo, ∫ 1
0
f(x) dx−
∫ 1
0
g(x) dx = 0 ⇐⇒
∫ 1
0
(
f(x)− g(x)) dx = 0
observe que no intervalo dado f(x) ≥ g(x), isto e´, f(x)−g(x) ≥ 0. Portanto
neste intervalo |f(x)− g(x)| = f(x)− g(x), logo
Γ(f, g) =
∫ b
a
|f(x)− g(x)| dx
=
∫ 1
0
(
f(x)− g(x)) dx = 0.
Resumindo: tomamos dois pontos, f 6= g ∈ B(X, R) e mostramos que
Γ(f, g) = 0. O que fere (M1). (p. 12)
33
1.2.4 Espac¸os de Co´digos
Agora daremos um importante exemplo de espac¸o me´trico, largamente
utilizado em Teoria da Informac¸a˜o (transmissa˜o de dados).
Co´digos que conteˆm tanto caracteres alfabe´ticos como nume´ricos sa˜o
necessa´rios quando microcomputadores se comunicam com dispositivos como
fax ou um terminal de v´ıdeo, ou ainda para transformar os caracteres de um
teclado em linguagem de computador. Esses co´digos sa˜o chamados co´digos
alfanume´ricos.
O co´digo alfanume´rico mais comumente usado em sistemas de micro-
computador e´ o
AMERICAN STANDARD Code for Information Interchange
(Co´digo Americano Padra˜o para Troca de Informac¸o˜es)
Uma listagem parcial do co´digo ASCII e´ mostrada na tabela a seguir
Caracter ASCII Caracter ASCII
< 00111100
> 00111110
! 00100001
∑
11100100
# 00100011
$ 00100100
% 00100101
& 00100110
( 00101000
) 00101001
∗ 00101010
[ 01011011
] 01011101
+ 00101011
− 00101101
/ 00101111
0 00110000
1 00110001
2 00110010
3 00110011
4 00110100
5 00110101
6 00110110
7 00110111
8 00111000
9 00111001
A 01000001
B 01000010
C 01000011
D 00100100
E 01000101
F 01000110
G 01000111
H 01001000
I 01001001
J 01001010
K 01001011
L 01001100
M 01001101
N 01001110
O 01001111
P 01010000
Q 01010001
R 01010010
S 01010011
T 01010100
U 01010101
V 01010110
W 01010111
X 01011000
Y 01011001
Z 01011010
− TABELA ASCII
34
A t´ıtulo de curiosidade a seguir vemos o diagrama de blocos de uma
calculadora.
Teclado
Entrada
Display
Saida
+ 0 −
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Codificador
ր
00110001
00101011
00110010
CPU
ր
00110011
Decodificador
Na figura estamos simulando a soma 1+2 = 3. Ao digitarmos no teclado
1+2 existe um circuito codificador que codifica estas informac¸o˜es em bina´rio
de acordo com a TABELA ASCII vista anteriormente, ou seja,
1 ↔ 00110001; + ↔ 00101011; 2 ↔ 00110010
Estes co´digos bina´rios sa˜o entregues a` CPU que executa a soma pedida, o
resultado e´ colocado na entrada de um circuito decodificador que decodifica o
co´digo bina´rio em sua entrada, e na saida temos o resultado na base decimal.
Definic¸a˜o 2 (Co´digo). Um co´digo bina´rio e´ um conjunto de vetores bina´rios
(de mesmo comprimento) chamados vetores de co´digo. O processo de con-
versa˜o de uma mensagem em vetores de co´digo e´ chamado codificac¸a˜o, e o
processo inverso e´ chamado decodificac¸a˜o.
A transmissa˜o de dados codificados − via ondas eletromagne´ticas, pode
ser − esta´ sujeita a va´rias fontes de erros, desde erros de digitac¸a˜o ate´
interfereˆncias eletromagne´ticas; os poss´ıveis erros sa˜o chamados de ru´ıdos.
A teoria dos co´digos corretores de erro e´ um campo de pesquisa muito
ativo atualmente, com aplicac¸o˜es em diversas a´reas tais como: matema´tica,
engenharia, computac¸a˜o e estat´ıstica.
Sinal Sinal
Novo
Informac¸a˜o
de
Fonte
Codificac¸a˜o Canal
Ru´ıdo
Decodificac¸a˜o Destinata´rio
35
Co´digos bina´rios e Espac¸os me´tricos
O Nosso objetivo agora sera´ contruir alguns espac¸os me´tricos sobre os
co´digos bina´rios.
Sequeˆncias bina´rias de qualquer tamanho podem ser obtidas tomando-se
o produto cartesiano do conjunto:
Z = { 0, 1 }
Por exemplo:
Z2 = { 0, 1 } × { 0, 1 } = { 00, 10, 01, 11 }
Z3 = { 0, 1 } × { 0, 1 } × { 0, 1 } = { 000, 100, 010, 110, 001, 101, 011, 111 }
Temos:
Z2 = { 00, 10, 01, 11 }
Z3 = { 000, 100, 010, 110, 001, 101, 011, 111 }
Z4 = { 0000, 1000, 0100, 1100, 0010, 1010, 0110, 1110,
0001, 1001, 0101, 1101, 0011,1011, 0111, 1111 }
O nu´mero de sequeˆncias bina´rias no conjunto Zn e´ 2n; observe que
os co´digos (sequeˆncias) do teclado de um computador (Tabela ASCII) per-
tencem todos ao conjunto Z8, neste conjunto podemos codificar ate´ 28 = 256
caracteres.
Nota: Por questo˜es dida´ticas estaremos preferencialmente dando eˆnfase aos
co´digos bina´rios de tamanho 4, entretanto o tamanho (comprimento) pode
ser arbitra´rio.
Vamos dispor os elementos de Z4 segundo uma tabela, assim:
⇒
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
1 0 1 0
0 1 1 0
1 1 1 0
0 0 0 1
1 0 0 1
0 1 0 1
1 1 0 1
0 0 1 1
1 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1
Z4=
{
0000, 1000, 0100, 1100, 0010, 1010, 0110, 1110,
0001, 1001, 0101, 1101, 0011, 1011, 0111, 1111
}
36
11) Distaˆncia de Hamming∗
Na teoria da informac¸a˜o a distaˆncia de Hamming entre dois co´digos de
mesmo comprimento e´ o nu´mero de posic¸o˜es nas quais eles diferem entre si.
Mais precisamente: Tomemos dois pontos x, y ∈ Z4 e consideremos a
seguinte aplicac¸a˜o
σ : Z4 × Z4 −→ R
dada por
σ(x, y) = nu´mero de posic¸o˜es em que x e y diferem entre si.
σ assim definida e´ uma me´trica sobre Z4, e´ o que estaremos provando logo
mais.
Exemplos: Dados x = 1000, y = 0100 e z = 1111 em Z4, calcule a
distaˆncia entre x e y, e entre x e z.
Soluc¸a˜o: Temos,
x : 1 0 0 0 x : 1 0 0 0
y : 0 1 0 0 z : 1 1 1 1
x e y diferem em duas posic¸o˜es, enquanto x e z diferem em treˆs posic¸o˜es,
portanto
σ(1000, 0100) = 2 e σ(1000, 1111) = 3.
Considerando xi como sendo a i−e´sima entrada da sequeˆncia x = x1 x2 x3 x4
de Z4 podemos, alternativamente, definir σ(x, y) como
σ(x, y) =
4∑
i=1
|xi − yi |
Forma esta mais apropriada para programac¸a˜o (e demonstrac¸o˜es).
Nota: Com um pouco de reflexa˜o o leitor na˜o tera´ dificuldade em concluir
que o somato´rio acima conta o nu´mero de posic¸o˜es em que as sequeˆncias x
e y diferem entre si. Observe a equivaleˆncia entre as operac¸e˜s:
(xi − yi) ≡ |xi − yi |
onde a operac¸a˜o da esquerda verifica-se em Z (p. 84) e a da direita em R.
∗Richard W. Hamming (1915−1998) obteve seu Ph.D. em Matema´tica na Universidade
de Illinois, em Urbana-Champaign, em 1942. De 1946 a 1976, trabalhou no Bell Labs,
depois integrou-se ao corpo docente na US Naval Postgraduate School, em Monterey,
Califo´rnia. Em 1950, publicou seu trabalho fundamental em co´digos corretores de erros,
dando uma construc¸a˜o expl´ıcita para os co´digos de otimizac¸a˜o que Claude Shannon tinha
provado serem teoricamente poss´ıveis, em 1948.
37
Calculemos a distaˆncia entre as sequeˆncias x = 1000 e y = 0100:
σ
(
1000, 0100
)
=
4∑
i=1
|xi − yi |
= |x1 − y1 |+ |x2 − y2 |+ |x3 − y3 |+ |x4 − y4 |
= |1− 0|+ |0− 1|+ |0− 0|+ |0− 0| = 2.
Mostremos que (Z4, σ) e´ um espac¸o me´trico:
Prova: (M1) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
Obviamente σ(x, y) ≥ 0. Se σ(x, y) = 0 enta˜o, pela definic¸a˜o de σ, x e
y diferem em 0 posic¸o˜es, isto e´ x = y. Se x = y enta˜o x e y coincidem em
todas as posic¸o˜es, isto e´ σ(x, y) = 0.
(M2) d(x, y) = d(y, x) :
Obviamente que o nu´mero de posic¸o˜es em que x difere de y e´ igual ao
nu´mero de posic¸o˜es em que y difere de x, ou seja, σ(x, y) = σ(y, x).
(M3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) :
Devemos mostrar que σ(x, y) ≤ σ(x, z) + σ(z, y). Isto e´ que
4∑
i=1
|xi − yi | ≤
4∑
i=1
|xi − zi |+
4∑
i=1
|zi − yi | (1.12)
Pois bem, usando a desigualdade triangular para nu´meros reais, podemos
escrever:
|x1 − y1 | ≤ |x1 − z1 |+ |z1 − y1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|x4 − y4 | ≤ |x4 − z4 |+ |z4 − y4 |
Somando estas quatro desigualdades obtemos
|x1−y1 |+ · · ·+ |x4−y4 | ≤ |x1−z1 |+ · · ·+ |x4−z4 |+ |z1−y1 |+ · · ·+ |z4−y4 |
que e´ exatamente a desigualdade (1.12). �
A t´ıtulo de curiosidade, as sequeˆncias em ZN sa˜o os ve´rtices de um
hipercubo em dimensa˜o N , por exemplo, para
Z3 = { 000, 100, 010, 110, 001, 101, 011, 111 }
100 110
000
010
011001
101 111
38
Uma fo´rmula para gerar os co´digos em ZN
E´ um prazer puro da alma espalhar pelo mundo o fruto de seus es-
tudos e meditac¸o˜es, ainda sem outra remunerac¸a˜o que a conscieˆncia de
fazer bem. (Jose´ Bonifa´cio)
Ja´ na˜o conto mais o nu´mero de fo´rmulas que deduzi (e/ou demonstrei)
na matema´tica, confesso que, pela fo´rmula a seguir, tenho um carinho todo
especial∗.
xij =


1, se
⌊
i−1
2
j−1
⌋
e´ ı´mpar;
0, se
⌊
i−1
2
j−1
⌋
e´ par.
(1.13)
Esta fo´rmula nos permite gerar os co´digos bina´rios (ou os ve´rtices do
hipercubo), onde: xij e´ o j−e´simo bit do co´digo i de ZN . Fixado N fazemos
i = 1, 2, . . . , 2N e j = 1, 2, . . . , N
Por exemplo, para N = 2, temos: i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2. Enta˜o
i = 1, j = 1 ⇒ ⌊ 1−1
21−1
⌋
= 0 ⇒ x11 = 0
i = 1, j = 2 ⇒ ⌊ 1−1
22−1
⌋
= 0 ⇒ x12 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i = 2, j = 1 ⇒ ⌊ 2−1
21−1
⌋
= 1 ⇒ x11 = 1
i = 2, j = 2 ⇒ ⌊ 2−1
22−1
⌋
= 0 ⇒ x12 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i = 3, j = 1 ⇒ ⌊ 3−1
21−1
⌋
= 2 ⇒ x11 = 0
i = 3, j = 2 ⇒ ⌊ 3−1
22−1
⌋
= 1 ⇒ x12 = 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i = 4, j = 1 ⇒ ⌊ 4−1
21−1
⌋
= 3 ⇒ x11 = 1
i = 4, j = 2 ⇒ ⌊ 4−1
22−1
⌋
= 1 ⇒ x12 = 1
Sendo assim, temos:
Z2 = { 00︸︷︷︸
i=1
, 10︸︷︷︸
i=2
, 01︸︷︷︸
i=3
, 11︸︷︷︸
i=4
}
Os dois espac¸os me´tricos a seguir sa˜o tambe´m contribuic¸o˜es minha.
∗Precisamente pelos detalhes te´cnicos envolvidos em sua deduc¸a˜o e demonstrac¸a˜o.
39
12) O espac¸o
(
Z4, ρ
)
Tomemos dois pontos x, y ∈ Z4 e consideremos a seguinte aplicac¸a˜o
ρ : Z4 × Z4 −→ R
definida por
ρ(x, y) =
∣∣∣∣∣
4∑
i=1
2i−1 · (xi − yi)
∣∣∣∣∣
ρ assim definida e´ uma me´trica sobre Z4. (Apeˆndice, p. 76)
Exemplos: Dados x = 1000, y = 0100 e z = 1111 em Z4, calcule a
distaˆncia entre x e y, e entre x e z.
Soluc¸a˜o: temos,
ρ
(
1000, 0100
)
=
∣∣∣∣∣
4∑
i=1
2i−1 · (xi − yi)
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣20 · (1− 0) + 21 · (0− 1) + 22 · (0− 0) + 23 · (0− 0)∣∣∣ = 1.
Tambe´m
ρ
(
1000, 1111
)
=
∣∣∣20 · (1− 1) + 21 · (0− 1) + 22 · (0− 1) + 23 · (0− 1)∣∣∣ = 14.
Compare com as distaˆncias obtidas no espac¸o (Z4, σ). (p. 37)
Uma outra alternativa para se calcular a distaˆncia ρ(x, y) e´ converter as
sequeˆncias x e y da base bina´ria para a base 10 e usar a me´trica µ.
Na tabela seguinte a u´ltima coluna e´ o correspondente em decimal da
sequeˆncia bina´ria.
20 21 22 23
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
0 1 0 0 2
1 1 0 0 3
0 0 1 0 4
1 0 1 0 5
0 1 1 0 6
1 1 1 0 7
0 0 0 1 8
1 0 0 1 9
0 1 0 1 10
1 1 0 1 11
0 0 1 1 12
1 0 1 1 13
0 1 1 1 14
1 1 1 1 15
Por exemplo:
ρ(1000, 0100)= |1−2|=1.
ρ(1000, 1111)= |1−15|=14.
40
13) O espac¸o
(
ZN , τ
)
Tomemos dois pontos x, y ∈ ZN e consideremos a seguinte aplicac¸a˜o
τ : ZN × ZN −→ R
definida por
τ(x, y) = max
{
i : xi 6= yi
}
, 1 ≤ i ≤ N.
τ assim definida e´ uma me´trica sobre ZN .
No apeˆndice mostramos que τ satisfaz a desigualdade triangular. (p. 77)
Nota: max
{
i : xi 6= yi
}
= maior posic¸a˜o em que x e y diferem entre si.
Exemplos: Dados x = 1000, y = 0100 e z = 1111 em Z4, calcule a
distaˆncia entre x e y e entre x e z.
Soluc¸a˜o: Temos,
x : 1 0 0 0 x : 1 0 0 0
y : 0 1 0 0 z : 1 1 1 1
Enta˜o:{
i : xi 6= yi
}
= {1, 2} ⇒ max {1, 2} = 2 ⇒ τ(x, y) = 2.{
i : xi 6= zi
}
= {2, 3, 4} ⇒ max {2, 3, 4} = 4 ⇒ τ(x, z) = 4.
A tabela a seguir compara as distaˆncias vistas nos treˆs espac¸os me´tricos:
(x, y)
(x, z)
σ
2
3
ρ
1
14
τ
2
4
x=10 0 0
y=01 0 0
z=11 1 1
Nota: No caso de duas sequeˆncias iguais estamos assumindoque
max
{ }
= 0
Esta igualdade pode ser provada por “vacuidade”, no sentido de que ela
jamais podera´ ser contraditada∗.
Alternativamente, poderiamos ter definido
τ(x, y) =
{
max
{
i : xi 6= yi
}
, se x 6= y;
0, se x = y.
∗E´ semelhante a` prova de que o conjuto vazio e´ subconjunto de qualquer conjunto.
41
14) O espac¸o
(
Z∞, ν
)
Consideremos agora o produto cartesiano infinito
Z∞ = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1} × · · ·
Os elementos deste conjunto sa˜o sequeˆncias infinitas x = x1 x2 x3 . . . de
0′s e 1′s, como por exemplo
x =1010101010 . . .
y =1110101110 . . .
z =0011001100 . . .
Sendo
σ(x, y) =
N∑
n=1
|xn − yn |
uma me´trica sobre ZN , poderiamos ser tentados a definir uma me´trica sobre
Z∞ assim
σ(x, y) =
∞∑
n=1
|xn − yn |
Acontece que neste caso temos uma soma infinita (se´rie) que pode na˜o
resultar em um valor finito. Uma distaˆncia e´ um nu´mero real. Por exemplo,
seja x = 111111 . . . e y = 000000 . . ., enta˜o
x− y = (x1 − y1) (x2 − y2) (x3 − y3) . . .
= (1− 0) (1 − 0) (1 − 0) (1 − 0) . . . = 111 1 . . .
portanto
σ(x, y) =
∞∑
n=1
|xn − yn |
= |x1 − y1 |+ |x2 − y2 |+ |x3 − y3 |+ · · ·
= 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·
Esta se´rie na˜o converge.
Para contornar esta situac¸a˜o vamos introduzir um “fator de convergeˆncia”
na se´rie anterior. Para mostrar que a aplicac¸a˜o
ν : Z∞ × Z∞ −→ R
dada por
ν(x, y) =
∞∑
n=1
|xn − yn |
2n
esta´ bem definida, devemos mostrar que esta se´rie e´ convergente.
42
Enta˜o, observe que para quaisquer x, y em Z∞ vale 0 ≤ |xn − yn | ≤ 1.
Dividindo esta dupla desiguladade por 2n, temos
0 ≤ |xn − yn |
2n
≤ 1
2n
como a se´rie
∑∞
n=1
1
2n
converge segue-se que a se´rie
∑∞
n=1
|xn−yn |
2n
tambe´m
converge. Sendo assim ν esta´ bem definida.
A propo´sito observe que
ν(x, y) =
∞∑
n=1
|xn − yn |
2
n ≤
∞∑
n=1
1
2
n = 1.
Resumindo: 0 ≤ ν(x, y) ≤ 1. Isto e´, a distaˆncia entre duas sequeˆncias do
espac¸o me´trico
(
Z∞, ν
)
nunca excede a unidade.
Dos requisitos para uma me´trica vamos mostrar que ν satisfaz a de-
sigualdade triangular: A seguinte desigualdade
|xn − yn | ≤ |xn − zn |+ |zn − yn |
e´ va´lida para xn , yn e zn reais (e´ mais do que necessitamos). Dividindo a
desigualdade anterior por 2n, temos
|xn − yn |
2n
≤ |xn − zn |
2n
+
|zn − yn |
2n
por conseguinte
∞∑
n=1
|xn − yn |
2n
≤
∞∑
n=1
|xn − zn |
2n
+
∞∑
n=1
|zn − yn |
2n
isto e´,
ν(x, y) ≤ ν(x, z) + ν(z, y)
Exemplo: Calcule a distaˆncia entre x = 111111 . . . e y = 010101 . . ..
Soluc¸a˜o:
x− y = (1− 0) (1 − 1) (1 − 0) (1 − 1) . . . = 101 0 1 0 . . . .
portanto
ν(x, y) =
∞∑
n=1
|xn − yn |
2n
=
1
21
+
0
22
+
1
23
+
0
24
+
1
25
+
0
26
+ · · ·
=
1
2
+
1
8
+
1
32
+ · · · =
1
2
1− 14
=
2
3
.
A proposic¸a˜o seguinte assevera que se x e y sa˜o duas sequeˆncias de Z∞
coincidentes nas primeiras j posic¸o˜es, enta˜o suas distaˆncias na˜o excede 1
2
j e
reciprocamente.
43
Proposic¸a˜o 1. Sejam x e y ∈ Z∞ e suponha xn = yn para n = 1, 2, . . . , j.
Enta˜o ν(x, y) ≤ 1
2
j . Reciprocamente, se ν(x, y) <
1
2
j enta˜o xn = yn para
n ≤ j.
Prova: (⇒) Se xn = yn para n ≤ j, enta˜o
ν(x, y) =
∞∑
n=1
|xn − yn |
2n
=
j∑
n=1
|xn − yn |
2n︸ ︷︷ ︸
=0
+
∞∑
n=j+1
|xn − yn |
2n
≤
∞∑
n=j+1
1
2n
=
1
2
j+1 +
1
2
j+2 +
1
2
j+3 + · · · =
1
2
j
(⇐) (Te´cnica (T-1), p. 570) Suponha x
k
6= y
k
para algum k ≤ j , enta˜o
ν(x, y) =
∞∑
n=1
|xn − yn |
2
n ≥
k∑
n=1
|xn − yn |
2
n ≥ 1
2k
≥ 1
2j
�
Comenta´rios: A primeira das desigualdades acima e´ sempre va´lida
(o´bvio, pois somar infinitos termos positivos resulta sempre maior ou igual
ao resultado da soma de uma quantidade finita destes mesmos termos ). A
segunda desigualdade se justifica pois a soma
∑k
n=1
|xn−yn |
2
n e´ no mı´nimo
gual a 1
2k
, pois para o ı´ndice k temos x
k
6= y
k
, isto e´ |x
k
− y
k
| = 1. A u´ltima
desigualdade decorre de
j ≥ k ⇒ 2j ≥ 2k ⇒ 1
2
j ≤
1
2k
A importaˆncia deste resultado e´ que podemos decidir de imediato quando
ou na˜o duas sequeˆncias em Z∞ esta˜o pro´ximas uma da outra. Intuitiva-
mente este resultado diz que duas sequeˆncias em Z∞ esta˜o pro´ximas se suas
“primeiras” entradas coincidem.
Para futuras refereˆncias, mencionaremos uma generalizac¸a˜o da desigual-
dade triangular, para n pontos:
d(x1 , xn) ≤ d(x1 , x2) + d(x2 , x3) + · · · + d(xn−1 , xn) (1.14)
(M, d)
• •
x1 xn
• • . . . •
x2 x3 xn−1
Esta desigualdade pode ser estabelecida por induc¸a˜o sobre n.
44
A seguinte desigualdade tambe´m nos sera´ u´til futuramente:
Proposic¸a˜o 2. Seja (M, d) um espac¸o me´trico. Se x, y e z sa˜o pontos
quaisquer em M , enta˜o a seguinte desigualdade∣∣d(x, y)− d(x, z)∣∣ ≤ d(y, z)
e´ verdadeira.
Prova: Da desigualdade triangular temos
d(x, y)− d(x, z) ≤ d(z, y) (1.15)
Por outro lado a mesma desiguldade triangular pode ser expressa como
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ⇒ d(x, z)− d(x, y) ≤ d(y, z)
Combinando (1.15) com esta u´ltima desigualdade obtemos:∣∣d(x, y)− d(x, z)∣∣ ≤ d(y, z).
�
1.3 Distaˆncia entre Ponto e Conjunto
Lembramos − da geometria anal´ıtica − que a distaˆncia de um ponto
p =
(
x0 , y0
)
a uma reta r : ax+ by + c = 0 e´ dada por
dpr =
∣∣∣∣a x0 + b y0 + c√a2 + b2
∣∣∣∣
t
⊡
p
dpr
r
0
x
y
Este e´ um exemplo de distaˆncia entre ponto e conjunto. Ainda aqui
temos uma situac¸a˜o suscet´ıvel de generalizac¸a˜o no contexto dos espac¸os
me´tricos.
45
A t´ıtulo de exemplo, consideremos no espac¸o me´trico (R, µ), o ponto
p = 1 e o conjunto X = [ 3, 5 ]. Veja:
Rt [ ]Xq q q q q q q−1 0 p=1 2 3 4 5
Desejamos calcular a distaˆncia de p a X. Inicialmente vamos calcular o
seguinte conjunto {
d( p, x) : x ∈ X}
das distaˆncias de p aos elementos de X. Observe,
Rt t↔x
d( p, x)
[ ]q q q q q q q−1 0 p=1 2 3 5
Enta˜o, {
d( p, x) : x ∈ X} = {d(1, x) : x ∈ [ 3, 5 ]}
=
{ |x− 1| : 3 ≤ x ≤ 5}
Temos
3 ≤ x ≤ 5 ⇒ 2 ≤ x− 1 ≤ 4 ⇒ |x− 1| ∈ [ 2, 4 ]
Portanto {
d( p, x) : x ∈ X} = [ 2, 4 ]
Este e´ o conjunto de todas as distaˆncias poss´ıveis de p aos elementos de X.
Vamos tomar como distaˆncia do ponto p = 1 ao conjunto X, que deno-
taremos por d(1, X), a menor das distaˆncias encontradas, isto e´:
d(1, X) = min
{
d(1, x) : x ∈ X}
= min [ 2, 4 ] = 2
No gra´fico fica assim:
Rt t
d(1, X)
X[ ]q q q q q q q−1 0 p=1 2 3 4 5
Colocamos a seguinte questa˜o: e se tive´ssemos tomado o conjunto X
aberto a` esquerda? Isto e´, X =] 3, 5 ]. Neste caso ter´ıamos obtido:{
d( p, x) : x ∈ X} = ] 2, 4 ]
E este conjunto das distaˆncias na˜o possui um menor elemento. Para os
nossos propo´sitos isto na˜o constitui um problema.
46
Definic¸a˜o 3. Seja (M, d) um espac¸o me´trico. Dados X ⊂ M (X 6= ∅) e
p ∈ M , chama-se distaˆncia de p ao conjunto X, e indica-se por d(p, X), o
seguinte nu´mero real na˜o negativo:
d(p, X) = inf
{
d( p, x) : x ∈ X}
Observe d( p, X) assim definida existe pelo fato de que o conjunto{
d( p, x) : x ∈ X}
e´ limitado inferiormente por zero, pois 0 ≤ d( p, x), ∀x ∈ X.(prop. 146, p. 612)
Em particular, para o questionamento anterior, temos:
d
(
1, ] 3, 5 ]
)
= inf
{
d(x, 1): x ∈ ] 3, 5 ]}
= inf
{|x− 1| : 3 < x ≤ 5} = inf ] 2, 4 ] = 2.
Rt
d(1, X)
X] ]q q q q q q−1 0 p=1 2 3 4 5
Exemplos:
1) Seja M = R, p = 0 e seja
X =
{ 1
n
: n ∈ N} = { 1, 1
2
,
1
3
,
1
4
, . . .
} ⊂ R.
• No espac¸o (R, δ), temos
d(p, X) = inf { d(p, x) : x ∈ X }
= inf
{
δ(0, x) : x ∈ { 1
n
: n ∈ N }
}
= inf
{
δ(0,
1
n
) : n ∈ N}
= inf
{
δ(0, 1), δ(0,
1
2
), δ(0,
1
2
), . ..
}
= inf { 1, 1, 1, . . .} = 1.
• No espac¸o (R, µ), temos
d(p, X) = inf
{
d(p, x) : x ∈ X }
= inf
{
µ(0, x) : x ∈ { 1
n
: n ∈ N}
}
= inf
{ ∣∣∣∣0− 1n
∣∣∣∣ : n ∈ N}
= inf
{ 1
n
: n ∈ N
}
= 0.
Ver exemplo 2 (p. 610).
47
2) Uma Patologia
Seja M = [ 0, 1 [, seja X = [ 12 , 1 [⊂M e seja p = 0 ∈M . Veja,
M
0 1
s
0 1
2
1
X
Temos (ver subespac¸o, p. 81)
d(0, X) = 1/2, no espac¸o
(
[ 0, 1 [, µ
)
d(0, X) = 0, no espac¸o
(
[ 0, 1 [, k
)
De fato,
d(0, X) = inf
{
d(0, x) : x ∈ X }
= inf
{
µ(0, x) : x ∈ X }
= inf
{ |x− 0| : x ∈ [ 1
2
, 1
[ }
=
1
2
Por outro lado,
d(0, X) = inf
{
d(0, x) : x ∈ X }
= inf
{
k(0, x) : x ∈ [ 1
2
, 1
[ }
Temos (ver equac¸a˜o (1.2), p. 18)
1
2
≤ x < 1 ⇒ 0 < 1− x ≤ 1
2
⇒ k(0, x) = 1− x ∈ ] 0, 1
2
]
Portanto,
d(0, X) = inf
{
k(0, x) : x ∈ [ 1
2
, 1
[ }
= inf
]
0,
1
2
]
= 0.
Olhando para a figura abaixo
s
0 1
2
1
X
fica dif´ıcil de “engolir” que a distaˆncia do ponto 0 ao conjunto X seja nula.
Ainda bem que os filo´sofos existem para a`s vezes nos trazer algum conforto.
(Voltaire, p. 17; Bachelard, p. 16)
48
3) Seja M = [ 0, 1 [× [ 0, 1 [ o quadrado unita´rio, X = [ 12 , 1 [ × [ 12 , 1 [ ; e
p = (0, 0) ∈M . Vamos mostrar que,
d(0, X) =
√
2/2, no espac¸o
(
[ 0, 1 [× [ 0, 1 [, D1
)
d(0, X) = 1, no espac¸o
(
[ 0, 1 [× [ 0, 1 [, D2
)
0 1
1
¬1
2
¬
1
2
p=0 1
1
s
←− X
De fato,
d(p, X) = inf
{
d(p, x) : x ∈ X }
= inf
{
D1
(
(0, 0); (x, y)
)
: (x, y) ∈ X}
= inf
{√
(x− 0)2 + (y − 0)2 : 1
2
≤ x, y < 1
}
para encontrar d(p, X) vamos encontrar o ı´nfimo da func¸a˜o,
F (x, y) =
√
x2 + y2 , para
1
2
≤ x, y < 1.
Enta˜o,
1
2
≤ x < 1 ⇒ 1
4
≤ x2 < 1 e 1
2
≤ y < 1 ⇒ 1
4
≤ y2 < 1,
portanto,
1
2
≤ x2 + y2 < 2 ⇒
√
2
2
≤
√
x2 + y2 <
√
2
Conclusa˜o: se 12 ≤ x, y < 1 implica que
F (x, y) =
√
x2 + y2 ∈
[ √2
2
,
√
2
[
portanto,
d(p, X) = inf
{√
x2 + y2 :
1
2
≤ x, y < 1}
= inf
[ √2
2
,
√
2
[
=
√
2
2
49
Por outro lado,
d(p, X) = inf
{
d(p, x) : x ∈ X }
= inf
{
D2
(
(0, 0); (x, y)
)
: (x, y) ∈ X}
= inf
{
|x− 0|+ |y − 0| : 1
2
≤ x, y < 1
}
para encontrar d(p, X) vamos encontrar o ı´nfimo da func¸a˜o,
F (x, y) = |x|+ |y| , para 1
2
≤ x, y < 1.
Enta˜o,
1
2
≤ x < 1 e 1
2
≤ y < 1 ⇒ 1 ≤ x+ y < 2
portanto, d(p, X) = inf [ 1, 2 [= 1.
Proposic¸a˜o 3. Seja (M, d) um espac¸o me´trico. Se X ⊂M (X 6= ∅) e p, q
sa˜o pontos fixados em M , tem-se∣∣ d(p, X) − d(q, X) ∣∣ ≤ d(p, q)
Prova: Tomemos y ∈ X arbitra´rio. Temos
d(p, X) = inf
{
d(p, x) : x ∈ X} ≤ d(p, y),
uma vez que d(p, y) e´ um elemento do conjunto
{
d(p, x) : x ∈ X}. Portanto
d(p, X) ≤ d(p, y) ≤ d(p, q) + d(q, y)
logo, d(p, X) − d(p, q) ≤ d(q, y). Como esta desigualdade vale para y ∈ X
arbitra´rio, segue que a constante (nu´mero real) d(p, X) − d(p, q) e´ uma
cota inferior do conjunto {
d(q, x) : x ∈ X}
como
inf
{
d(q, x) : x ∈ X} = d(q, X)
e´ a maior de tais cotas, segue que
d(p, X)− d(p, q) ≤ d(q, X)
Esta desigualdade continua va´lida permutando-se p e q:
d(q, X)− d(q, p) ≤ d(p, X)
50
Destas desigualdades decorrem, respectivamente,
d(p, X) − d(q, X) ≤ d(p, q)
−d(p, q) ≤ d(p, X) − d(q, X)
donde
−d(p, q) ≤ d(p, X) − d(q, X) ≤ d(p, q)
isto e´, ∣∣ d(p, X) − d(q, X) ∣∣ ≤ d(p, q)
�
O pro´ximo ı´tem generaliza o anterior (Distaˆncia entre ponto e conjunto).
1.4 Distaˆncia entre conjuntos
A t´ıtulo de exemplo, consideremos no espac¸o me´trico (R, µ) os conjuntos
X = [ 1, 3 ] e Y = ] 5, 7 ]. Veja:
R[ ]
X
] ]
Y
q q q q q q q q q q−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Desejamos calcular a distaˆncia de X a Y . Inicialmente vamos calcular
o seguinte conjunto {
d(x, y) : x ∈ X e y ∈ Y }
das distaˆncias dos pontos de X aos pontos de Y . Observe,
Rt↔x t↔y[ ] ] ]q q q q q q q q q q−1 0 1 3 4 5 7 8
d(x, y)
Enta˜o,{
d(x, y) : x ∈ X e y ∈ Y } = {d(x, y) : x ∈ [ 1, 3 ] e y ∈ ] 5, 7 ]}
=
{ |x− y| : 1 ≤ x ≤ 3 e 5 < y ≤ 7}
Temos
1 ≤ x ≤ 3 e 5 < y ≤ 7 ⇒ |x− y| ∈ ] 2, 6 ]
Portanto {
d(x, y) : x ∈ X e y ∈ Y } = ] 2, 6 ]
Este e´ o conjunto de todas as distaˆncias poss´ıveis entre os elementos de
ambos os conjuntos.
51
Vamos tomar como distaˆncia entre os conjuntosX e Y , que denotaremos
por D(X, Y ), a “menor” das distaˆncias encontradas, isto e´:
D(X, Y ) = inf
{
d(x, y) : x ∈ X e y ∈ Y }
= inf ] 2, 6 ] = 2
No gra´fico fica assim:
R
X Y
D(X, Y )
[ ] ] ]q q q q q q q q q q−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Definic¸a˜o 4. Seja (M, d) um espac¸o me´trico. Dados dois subconjuntos X
e Y do conjunto M , ambos na˜o vazios, chama-se distaˆncia de X a Y , e
indica-se por D(X, Y ), o nu´mero real obtido da seguinte forma:
D(X, Y ) = inf
{
d(x, y) : x ∈ X e y ∈ Y }
Alternativamente podemos escrever
D(X, Y ) = inf
{
d(x, y) : (x, y) ∈ X × Y }
Exemplos:
1) No conjunto Z4, sejam X,Y ⊂ Z4 dados por
X =
{
0001, 0100, 1100
}
Y =
{
0101, 0011
}
No espac¸o me´trico
(
Z4, σ
)
temos o seguinte diagrama de distaˆncias
X
Y
0001 0100 1100
0101
0011
1
1
1
3
2
4
portanto,
D(X, Y ) = inf
{
σ(x, y) : (x, y) ∈ X × Y }
= inf { 1, 2, 3, 4 } = 1.
52
isto e´
D
(
{0001, 0100, 1100}; {0101, 0011}
)
= 1.
2) Seja M = R; sejam X = { 0 } e Y =
{
1
n
: n ∈ N
}
.
s⊢ rrrrrrrrrrr
0 11
2
1
3
1
4
. . .
R
• No espac¸o me´trico (R, δ), temos
D(X, Y ) = inf
{
δ(x, y) : x ∈ { 0 } e y ∈ { 1
n
: n ∈ N}}
= inf
{
δ(0, 1), δ
(
0,
1
2
)
, δ
(
0,
1
3
)
, . . .
}
= inf { 1, 1, 1, . . .} = 1.
Portanto,
D
(
{ 0 }; { 1
n
: n ∈ N}) = 1.
• No espac¸o me´trico (R, µ), temos
D(X, Y ) = inf
{
|x− y| : x ∈ { 0 } e y ∈ { 1
n
: n ∈ N}}
= inf
{∣∣0− 1
n
∣∣ : n ∈ N}
= inf
{
1
n
: n = 1, 2, . . .
}
= 0.
Observe que X ∩ Y = ∅ e, no entanto, D(X, Y ) = 0.
1.5 Conjuntos limitados − Diaˆmetro
Definic¸a˜o 5 (Conjunto limitado). Seja (M, d) um espac¸o me´trico e X um
subconjunto de M . Se existir uma constante c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para
quaisquer x e y em X, dizemos que X e´ um conjunto limitado no espac¸o
me´trico (M, d).
Exemplos:
1) R e´ limitado no espac¸o me´trico (R, δ), pois δ(x, y) ≤ 1, ∀x, y ∈ R.
2) R na˜o e´ limitado no espac¸o me´trico (R, µ), pois na˜o existe uma constante
c > 0 de modo que, por exemplo, |x− 0| ≤ c, ∀x ∈ R.
53
3) O conjunto ZN das sequeˆncias de comprimento N e´ limitado no espac¸o
me´trico
(
ZN , σ
)
, pois duas sequeˆncias quaisquer, neste conjunto, diferem
em, no ma´ximo, N posic¸o˜es:
σ(x, y) ≤ N, ∀x, y ∈ ZN .
A propo´sito as sequeˆncias x = 000 . . . 0 e y = 111 . . . 1 diferem em N
posic¸o˜es.
4) O conjunto ZN e´ limitado no espac¸o me´trico
(
ZN , ρ
)
, pois (p. 77)
ρ(x, y) ≤ 2N − 1, ∀x, y ∈ ZN
5) O conjunto Z∞ das sequeˆncias de comprimento infinito, e´ limitado no
espac¸o me´trico (Z∞, ν), pois (p. 43)
ν(x, y) ≤ 1, ∀x, y ∈ Z∞
Se existir uma tal constante c > 0 de modo que d(x, y) ≤ c para quais-
quer x e y em X enta˜o o conjunto
{
d(x, y) : x, y ∈ X } e´ limitado superior-
mente e o seu supremo chama-se diaˆmetro de X e e´ denotado por diam (X).
Sendo assim:
diam (X) = sup
{
d(x, y) : x, y ∈ X}
Alternativamente podemos escrever
diam (X) = sup
{
d(x, y) : (x, y) ∈ X ×X}
Se o conjunto X na˜o e´ limitado colocamos diam(X) =∞, por definic¸a˜o.
Exemplos:
1) Seja M = R = X. No espac¸o me´trico (R, δ) o diaˆmetro de R fica:
diam(R) = sup
{
δ(x, y) : x, y ∈ R}
= sup { 0, 1 } = 1.
2) Seja M = [ 0, 1 [, temos:
diam(M) = 1, no espac¸o
(
[ 0, 1 [, µ
)
diam(M) = 1/2, no espac¸o
(
[ 0, 1 [, k
)
De fato,
diam