CN aula 15

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CÁLCULO NUMÉRICO 
 
AULA #15 
 
 
 
• Mínimos Quadrados – Caso Discreto 
 
 
Considere que em um ensaio de laboratório você obteve os seguintes pontos: 
 
 
 
Qual a função que mais se ajusta no diagrama de dispersão? Resp: Uma reta! 
 
Equação da reta: y = ax + b. Precisamos encontrar “a” e “b” 
 
Para isso: 
 
 
 
A distância entre esses dois pontos é |yi – axi – b| e a soma dos quadrados dessas distâncias 
é: 
 
q ���y� � ax� � b��
��� 
2 
 
Nosso objetivo é MINIMIZAR a distância entre os pontos medidos e a reta y = ax + b, 
então: DERIVA E IGUA-LA A ZERO! 
 
Derivada em relação a “a”: 
 
 ∂q∂a � �2�x� �y� � ax� � b� � 0
���
 
 ∂q∂a ��x� �y� � ax� � b� � 0
���
 
 ∂q∂a ��x�y� � a��x��
���
� � b��x�
��� � � 0
���
 
 ∂q∂a � �a��x��
���
� � b��x�
��� � � ��x�y�
���
 
 ∂q∂a � a��x��
���
� � b��x�
��� � ��x�y�
���
 
 
 
Derivada em relação a “b”: 
 ∂q∂b � �2��y� � ax� � b� � 0
���
 
 ∂q∂b ���y� � ax� � b� � 0
���
 
 ∂q∂b ��y� � a��x�
���
� � b��x��
��� � � 0
���
 
 ∂q∂b � �a��x�
���
� � b�n� � ��y�
��� 
 
 ∂q∂b � a��x�
���
� � nb ��y�
��� 
 
 
 
3 
 
Temos o seguinte sistema de equações cujas incógnitas são os parâmetros “a” e “b” da 
equação da reta y = ax + b: 
 
 
��
�
��a��x��
���
� � b��x�
��� � ��x�y�
���
a��x�
��� � � nb � �y�
���
�
 
 
 
Exemplo 1: Dada a tabela de pontos a seguir, determine pelo método dos Mínimos 
Quadrados a equação da reta y = ax+b que melhor se ajusta a esses pontos. 
 
 
yi 1 1,099 0,808 1 
xi -1 -0,1 0,2 1 
 
solução no quadro 
 
 
Exemplo 2: Agora refaça o Exemplo 1 no EXCEL, encontre o diagrama de dispersão e a 
função de aproximação linear. 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = -0,022x + 0,977
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
E
ix
o
 y
Eixo x
4 
 
Exemplo 3: Agora refaça o Exemplo 1 no MATLAB, encontre os coeficientes da reta 
y = ax+b. 
 
 
Solução: 
 
clc; 
clear all; 
 
x=[-1 -0.1 0.2 1]; 
 
y=[1 1.099 0.808 1]; 
 
polyfit(x,y,1) 
 
 
ans = 
 
 -0.02245421245421 0.97731135531136 
 
 
Exercício 1: A tabela abaixo mostra as alturas e pesos de uma amostra de sete homens entre 
as idades de 25 a 29 anos extraída ao acaso entre os funcionários de uma grande industria: 
 
Altura(cm) 158 163 173 168 178 183 188 
Peso(Kg) 61 63 69 70 73 79 81 
 
 
a) Considere o Peso no eixo x e a Altura no eixo y, faça o diagrama de dispersão dos dados 
no EXCEL e observe que parece existir uma relação linear entre a altura e o peso. 
 
b) Encontre a reta que melhor se ajusta aos dados da tabela. 
 
c) Estime a altura de um funcionário com 80kg. 
 
d) Refaça o item b pelo EXCEL 
 
e) Refaça o item b pelo MATLAB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Exercício 2: O gráfico abaixo mostra o consumo de energia elétrica no Brasil desde 1970 
até 2005. Utilizando o EXCEL ou o MATLAB encontre o modelo matemático linear que 
melhor se ajusta a esses dados. 
 
Utilizando o modelo verifique qual a previsão da geração para 2020, saiba que as pesquisas 
na área indicam que em 2020 o consumo de energia estará em torno de 730x103 GWh.