CN aula 4

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CÁLCULO NUMÉRICO 
 
AULA #04 
 
 
• Método da Secante 
 
�O método da secante substitui a derivada f´(x) do método de Newton pelo quociente 
das diferenças. Lembre de Calculo I que o quociente das diferenças é definido por: 
 
 
f´�x�� �
f�x�� � f�x	�
x� � x	
 
 
 
 Você inicia o método da secante com duas aproximações para a raiz, xo e x1: 
 
 
 
 
 
 
Lembre da equação da reta: y – yo = m ( x – xo) 
 
Sabe-se que no ponto x, y = 0, e substituindo m pelo quociente das diferenças, tem-se 
que: 
 
 
0 � y	 �
f�x�� � f�x	�
x� � x	
 �x � x	� 
 
0 – f�x	� �
f�x�� � f�x	�
x� � x	
 �x � x	� 
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 – f�x	��x� � x	� � �f�x�� � f�x	� ��x � x	� 
 
– f�x	�x� � f�x	� x	 � f�x�� x � f�x��x	 � f�x	�x � f�x	�x	 
 
– f�x	�x� � ����� �� � f�x��x	 � ������� � �f�x�� � f�x	�� x 
 
x �
f�x��x	 � f�x	�x�
f�x�� � f�x	�
 
 
x � x� �
x	f�x�� � x�f�x	�
f�x�� � f�x	�
 
 
 
x� �
x�f�x�� � x�f�x��
f�x�� � f�x��
 
 
x� �
x�f�x�� � x�f�x��
f�x�� � f�x��
 
 
● 
● 
● 
e assim sucessivamente ... 
 
 
����Exemplo 1: Use o método da Secante para encontrar uma raiz da equação 
x
3 
- 9x + 3 = 0. Use como chutes iniciais os pontos xo = 2,2 e x1 = 3,2. Faça 3 iterações. 
Compare o resultado com os obtidos nos métodos bissecção, posição falsa e Newton. 
 
f(x) = x3 -9x +3 
bissecção posição falsa Newton Secante 
x= 
f(x)= 
iteração= 
x= 
f(x)= 
iteração= 
x= 
f(x)= 
iteração= 
x= 
f(x)= 
iteração= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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����No MatLab: Código que resolve o Exemplo 1: 
 
clear all; 
clc; 
 
%dados iniciais 
a=2.2; 
b=3.2; 
 
%inicia processo iterativo 
ite=2; 
 
 fprintf('x0 = %g\n',a) 
 fprintf('x1 = %g\n',b) 
 
 while ite<5 %faço 3 iterações 
 
 %calcula f(a) e f(b) 
 
 fa = a^3 - 9*a + 3; 
 
 fb = b^3 - 9*b + 3; 
 
 x=(a*fb-b*fa)/(fb-fa); %formula da secante 
 
 a = b; 
 
 b = x; 
 
 fprintf('x%g = %g\n',ite,x) 
 
 ite=ite+1; 
 
 end 
 
 
 
���� Exercício de REVISÃO: Dada a função f(x) = e��� � cosx, estime as raízes pelos 
métodos abaixo. Faça 2 iterações de cada método. 
 
a) Bissecção, use o intervalo [1 , 2]. Resp: x = 1,25 
 
b) Posição Falsa, use o intervalo [1 , 2]. Resp: x = 1,407548 
 
c) Newton, use x1 = 1,5 como chute inicial Resp: x = 1,447418 
 
d) Secante, use xo = 1,2 e x1 = 2,2 como chutes iniciais. Resp: x = 1,430853 
 
 
 
obs: ajuste sua calculadora para RADIANOS toda vez que aparecer uma função 
trigonométirca.