CN aula 3

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CÁLCULO NUMÉRICO 
 
AULA #03 
 
 
• Método de Newton-Raphson 
 
�O método de Newton-Raphson é obtido geometricamente da seguinte forma: dado um 
ponto (x1,f(x1)) traçamos a reta L tangente a curva nesse ponto: 
 
 
 
 
Lembre da equação da reta: y – y1 = m ( x – x1) 
 
De Calculo I sabe-se que m = f´(x), então: 
 
y � y� � f´�x�	 �x � x�	 
 
No ponto x, y = 0, então temos que: 
 
0 � y� � f´�x�	 �x � x�	 
 
�y� � f´�x�	 x � f´�x�	 x� 
 
f´�x�	x� � y� � f´�x�	 x 
Isolando o x, temos que: 
 
x �
f´�x�	x� � y�
f´�x�	
 
 
x � x� �
y�
f´�x�	
 ou x � x� �
f�x�	
f´�x�	
 
9 
 
De maneira generalizada podemos dizer que: 
 
x��� � x� �
f�x�	
f´�x�	
 
 
Você pode ainda fazer da seguinte forma: 
 
 
x��� � x� � Δx� 
 
 
Onde: 
Δx� � �
f�x�	
f´�x�	
 
 
Você deve ficar em loop até atingir o critério de convergência, isto é, até que f(xk) < ε. 
 
Algumas observações: x1 é chamado de chute inicial. 
 Esse método é dependente do chute inicial, uma escolha ruim 
 pode fazer com que o método não convirja! 
 
 
 
����Exemplo 1: Use o método de Newton para encontrar uma raiz da equação 
x
3 
- 9x + 3 = 0. Use como chute inicial o ponto x1 = 3. Faça 3 iterações. Compare o 
resultado com os obtidos nos métodos bissecção e posição falsa. 
 
f(x) = x3 -9x +3 
bissecção posição falsa Newton 
x= 
f(x)= 
iteração= 
x= 
f(x)= 
iteração= 
x= 
f(x)= 
iteração= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
����No MatLab: Código que resolve o Exemplo 1: 
 
clear all; 
 
clc; 
 
x=sym('x'); 
 
f=x^3-9*x+3; 
 
flinha = diff(f,x); 
 
 
x=3; 
fprintf('chute inicial xo = %g\n',x) 
 
deltax = - (f/flinha); 
 
 
k=1; 
fprintf('Iteração %g\n',k) 
 
deltax = subs(deltax); 
fprintf('deltax = %g\n',deltax) 
 
x = x + deltax; 
fprintf('x%g = %g\n',k,x) 
 
f=subs(f); 
fprintf('f(x) = %g\n\n\n',f) 
 
erro = max(abs(f)); 
 
while (erro > 0.001) 
 
 deltax = - (f/flinha); 
 
 k=k+1; 
 fprintf('Iteração %g\n',k) 
 
 deltax = subs(deltax); 
 fprintf('deltax = %g\n',deltax) 
 
 x = x + deltax; 
 fprintf('x%g = %g\n',k,x) 
 
 f=x^3-9*x+3; 
 f=subs(f); 
 fprintf('f(x) = %g\n\n\n',f) 
 
 erro = max(abs(f)); 
 
end 
 
 
 
���� Exercícios complementares: Estime as raízes das equações abaixo pelo método de 
Newton. Faça 2 iterações. Use o chute inicial dado. 
 
 
a) x log(x) -1 = 0 x1 = 2 Resp: x = 2,506311 
 
b) e-x – cosx = 0 x1 = 1 Resp: x = 1,294424 
 
c) x3 - 9x + 3 = 0 x1 = 1 Resp: x = 0,335410 
 
obs: ajuste sua calculadora para RADIANOS toda vez que aparecer uma função 
trigonométirca.