Lista 4 Álgebra Linear

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Curso: Engenharia
Disciplina: A´lgebra Linear
Semestre: 2011.1
Professor: Daniel Branda˜o
Aluno(a):
4a Lista de Exerc´ıcios (Transformac¸o˜es Lineares)
Quais das seguintes aplicac¸o˜es abaixo sa˜o transformac¸o˜es lineares?
1. F : R3 → R3;F (x, y, z) = (x− y, x + y, 0)
2. F : R3 → R3;F (x, y, z) = (2x− y + z, 0, 0)
3. F : R3 → R3;F (x, y, z) = (x, x, x)
4. F : R3 → R3;F (x, y, z) = (2x2 + 3y, x, z)
5. F : R2 → R2;F (x, y) = (x + 1, y + 2)
6. F : R2 → R2;F (x, y) = (x + y, x)
7. F : R2 → R3;F (x, y, z) = (x + 1, 2y, x + y)
8. T : R2 → R2;T (x, y) = (|x|, y)
9. T : Mn →Mn;T (A) = AM + MA
10. T : Mn →Mn;T (A) = M + A
11. T : R2 →M2;T (x, y) =
(
2y 3x
−y x + 2y
)
12. TM2 → R2;T
(
a b
c d
)
= (a− c, b + c)
13. T : Mn → R;T (A) = det(A)
14. F : R4 →M2;F (x, y, z, t) =
(
x− y t
z t− z
)
15. F : M2 → P2;F
(
x y
z w
)
= (z − w) + (x + y)t + zt2
16. F : P3 → R4;F (a + bt + ct2 + dt3) = (a− d, c, b, c + d)
17. Considere o operador linear T : R3 → R3 definido por T (x, y, z) = (x + 2y + 2z, x + 2y − z,−x + y + 4z).
a) Determinar o vetor u ∈ R3 tal que T (u) = (−1, 8,−11)
b) Determinar o vetor v ∈ R3 tal que T (v) = v
18. Sabendo que T : R2 → R3 e´ uma transformac¸a˜o linear e que T (1,−1) = (3, 2,−2) e T (−1, 2) = (1,−1, 3)
determinar T (x, y).
19. Seja F : R3 → R3 o operador linear assim definido na base canoˆnica: F (1, 0, 0) = (2, 3, 1), F (0, 1, 0) =
(5, 2, 7), F (0, 0, 1) = (−2, 0, 7). Determinar F (x, y, z), onde (x, y, z) e´ um vetor gene´rico do R3.
20. Seja F : R4 → R4 definida por F (1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 5), F (0, 1, 0, 0) = (0, 1, 4, 0), F (0, 0, 1, 0) = (2, 0, 0, 1), F (0, 0, 0, 1) =
(3, 1, 1, 2) encontre F (x, y, z, t) onde (x, y, z, t) e´ um vetor gene´rico do R4.
Para cada uma das tranformac¸o˜es lineares abaixo determinar uma base e a dimensa˜o do nu´cleo e da imagem:
21. T : R3 → R3;T (x, y, z) = (x + 2y − z, y + 2z, x + 3y + z)
1
22. F : R2 → R2;F (x, y) = (2x, x + y)
23. F : R3 → R4;F (x, y, z) = (x− y − z, x + y + z, 2x− y + z,−y)
24. F : M2 →M2;F (X) = MX + X, onde M =
(
1 1
0 0
)
25. F : M2 →M2;F (X) = MX −XM , onde M =
(
1 2
0 1
)
26. F : R4 → R3;F (x, y, s, t) = (x− y + s + t, x + 2s− t, x + y + 3s− 3t)
27. F : R3 → R3;F (x, y, z) = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z)
28. F : R3 → R4;F (x, y, z) = (x + y + z, x + 2y − 3z, 2x + 3y − 2z, 3x + 4y − z)
29. Seja T o operador linear no R3 tal que T (1, 0, 0) = (0, 2, 0), T (0, 1, 0) = (0, 0,−2) e T (0, 0, 1) = (−1, 0, 3).
Determinar T (x, y, z) e o vetor v ∈ R3 tal que T (v) = (5, 4− 9).
30. Seja T : R4 → R3 a transformac¸a˜o linear tal que T (e1) = (1,−2, 1), T (e2) = (−1, 0,−1), T (e3) = (0,−1, 2), T (e4) =
(1,−3, 1), sendo {e1, e2, e3, e4} a base canoˆnica do R4.
a) Determinar o nu´cleo e a imagem de T .
b) Determinar bases para o nu´cleo e para a imagem.
c) T e´ injetora? T e´ sobrejetora?
31. Seja T : R3 → R2 a transformac¸ao linear tal que T (e1) = (1, 2), T (e2) = (0, 1), T (e3) = (−1, 3), sendo {e1, e2, e3}
a base canoˆnica do R3
a) Determinar o N(T ) e uma de suas bases. T e´ injetora?
b) Determinar a Im(T ) e uma de suas bases. T e sobrejetora?
32. Encontrar uma transformac¸a˜o linear T : R3 → R2 tal que N(T ) = [(1, 0,−1)].
33. Encontrar uma transformac¸a˜o linear T : R3 → R4 cuja imagem e´ gerada por (1, 3,−1, 2) e (2, 0, 1,−1)
34. Seja F : R3 → R3 definida por F (1, 0, 0) = (1, 1, 0), F (0, 1, 0) = (1, 1, 2), F (0, 0, 1) = (0, 0, 2). Determinar uma
base do nu´cleo e da imagem.
35. Determinar um operador linear F : R3 → R3 cuja imagem e´ gerada por (2, 1, 1) e (1,−1, 2).
36. Determinar um operador linear do R4 cujo nu´cleo e´ gerado por (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0).
37. Determinar uma transformac¸a˜o linear F : R3 → R4 cuja imagem e´ gerada por (1, 2, 0,−4), (2, 0,−1,−3).
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