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Cálculo Diferencial e Geometria Analítica Caderno de Exercícios - 2015.1 Bacharelado em Ciência e Tecnologia Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 1 Conceitos vetoriais básicos [1] Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação e justifique sua resposta. (a) (A,B) ∈ # «AB (b) (A,B)∼ (C ,D)⇔ # «AB = # «C D (c) AB//C D ⇒ # «AB// # «C D (d) # « AB = # «C D ⇒ A =C e B =D (e) # « AB = # «C D ⇒ (A,C )∼ (B ,D) (f) # « AB = # «C D ⇒ AC ∩BD =ø (g) ‖# «AB‖ = ‖# «C D‖⇒ # «AB = # «C D (h) # « AB = # «C D ⇒‖# «AB‖ = ‖# «C D‖ (i) Se # « AB = # «C D , então existe um único plano contendo A,B ,C e D . (j) (A,B)∼ (C ,D)⇒‖# «AB‖ = ‖# «C D‖ [2] Seja #«v um vetor não nulo. Mostre que o vetor #«v ‖ #«v ‖ (chamado de versor de #«v ) é unitário com a mesma direção e sentido que #«v . 1 2 Adição de vetores e multiplicação por escalar [1] Encontre a soma dos vetores indicados na figura, nos seguintes casos: Figura 1: (a) Hexágono Regular 2 Figura 2: (b) Tetraedro Figura 3: (c) Cubo 3 Figura 4: (d) Paralelepípedo Figura 5: (e) Hexágono Regular 4 Figura 6: (f) Hexágono Regular [2] Calcule a soma dos seis vetores que têm por representantes segmentos orientados com ori- gem em cada um dos vértices, e extremidade no centro de um mesmo hexágono regular. [3] Sejam (A,B) um representante de #« u 6= #« 0 , e (C ,D) um representante de #« v 6= #« 0 . Mostre que AB//C D se, e somente se, existe λ ∈R tal que #« u =λ #« v . [4] Sendo M o ponto médio de AC , N o de BD e #« x = # « AB + # « AD+ # « C B + # « C D , prove que #« x // # « M N . [5] Fixados os vetores #« u e #« v , resolva os sistemas nas incógnitas #« x e #« y : (a) { #« x +2 #« y = #« u 3 #« x − #« y = 2 #« u + #« v (b) { #« x + #« y = #« u −2 #« v #« x − #« y = 3 #« u 3 Soma de ponto com vetor [1] Sejam A,B e C pontos quaisquer em E 3 . Prove que # « AB − # « AC = # « C B . [2] Considere um triângulo ABC arbitrário e sejam M , N e P os pontos médios dos lados AB ,BC e C A, respectivamente. Exprima # « BP , # « AN e # « C M em função de # « AB e # « AC . [3] Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado. [4] Prove que se os pontos médios dos lados de um quadrilátero são vértices de um paralelo- gramo. [5] Mostre que num triângulo as retas suportes de duas medianas se encontram num único ponto. 5 [6] Dado 4ABC , seja X um ponto no lado AB tal que a medida de X B é o dobro da medida de AX . Exprima # « C X em função de # « C A e # « C B . [7] Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado. [8] Prove que num triângulo as retas suportes de duas medianas se encontram num único ponto. [9] Num triângulo ABC , sejam M , N e P os pontos médios dos lados AB , BC e AC , respectiva- mente. Mostre que # « AN + # «BP + # «C M = #«0 [10] Dados quatro pontos A,B ,C e X tais que # « AX =m # «X B , exprima # «C X em função de # «C A e # «C B (e de m). [11] Seja O ABC um tetraedro, X o ponto de encontro das medianas do triângulo ABC . Exprima # « OX em termos de # « O A, # « OB e # « OC . [12] Sendo ABCDEF um hexágono regular de centro O, prove que Faça uma fi- gura e iden- tifi- que os ve- tores da- dos Faça uma fi- gura e iden- tifi- que os ve- tores da- dos # « AB + # «AC + # «AD+ # «AE + # «AF = 6 # «AO [13] Seja ABCD um quadrilátero, e O um ponto qualquer. Seja P o ponto médio do segmento que une os pontos médios das diagonais AC e BD. Prove que P =O+ 1 4 ( # « O A+ # «OB + # «OC + # «OD) [14] Considere o triângulo ABC, e sejam # « C A = #«u , # «C B = #«v e #«w = #«u − 2 #«v . Calcule α real tal que X =C +α#«w pertença à reta AB. 4 Dependência e Independência Linear [1] Se { #«u , #«v , #«w } é LI e a #«u +b #«v + c #«w = #«0 , com a,b,c reais, então a = b = c = 0. [2] SejaB := { #«u , #«v , #«w }⊂V3 um conjunto LI. Mostre queB gera todo vetor de V3. [3] Sejam #«u , #«v e #«w LI. Mostre que, se a #«u +b #«v +c #«w =α#«u +β#«v +γ#«w , então a =α, b =β e c = γ. [4] Mostre que, se { #«u , #«v } é LI então { #«u + #«v , #«u − #«v } também é LI. Faça um desenho ilustrando tal situação. [5] Suponha que os vetores #«u , #«v , #«w sejam LI. Mostre que os vetores #«u + #«v , #«u − #«v e #«u + #«v + #«w também são LI. [6] Diga se o conjunto { #«u , #«v , #«u /2+5 #«v } é LD ou LI. Justifique. [7] Sejam #«u , #«v , #«w vetores de V3. Mostre que: (a) Se { #«u , #«v , #«w } é LI, então { #«u + #«v + #«w , #«u − #«v , 3 #«v } também é LI. (b) { #«u −2 #«v + #«w , 2 #«u + #«v +3 #«w , #«u +8 #«v +3 #«w } é LD. 6 [8] Em um triângulo ABC o ponto M é tal que 3 # « B M = 7 # «MC . Verifique que os vetores # «AM , # «AB e # « AC são LD. Sugestão: Escreva o vetor # « AM em função de # « AB e # « AC . [9] Sejam ABC um triângulo arbitrário, M o ponto médio do lado AB e N um ponto em AC . Sabendo M N é paralelo ao lado BC , mostre que N é o ponto médio do lado AC . [10] Seja { #«u , #«v , #«w } LI. Mostre que são LI: (a) { #«u + #«v + #«w , #«u − #«v ,3 #«v } (b) { #«u + #«v , #«u − #«w , #«v + #«w } [11] Mostre que { #«u −2 #«v + #«w ,2 #«u + #«v +3 #«w , #«u +8 #«v +3 #«w } é LD, quaisquer que sejam #«u , #«v , #«w ∈V3. 5 Base [1] Fixada uma base E , verifique se são LI ou LD: (a) #«u = (1,2,3) e #«v = (2,1,1) (b) #«u = (1,7,1) e #«v = (1/2,7/2,1/2) [2] Seja E uma base de V3. Mostre que #«u = (x1, y1, z1)E , #«v = (x2, y2, z2)E e #«w = (x3, y3, z3)E são LI se, e somente se, ∣∣∣∣∣∣ x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 ∣∣∣∣∣∣ 6= 0 [3] Dada uma base E , verifique se os vetores #«u = (1,−2,1)E , #«v = (0,1,3)E e #«w = (0,−1,3)E são LI ou LD. [4] Sabendo-se que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) é base, e #« f 1 = 2 #«e 1− #«e 2, #«f 2 = #«e 1− #«e 2+2 #«e 3, #«f 3 = #«e 1+2 #«e 3, pode-se dizer que ( #« f 1, #« f 2, #« f 3) também é base de V3? Justifique. [5] Sendo E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) base, e #« f 1 = #«e 1+ #«e 2+ #«e 3, #«f 2 = #«e 1+ #«e 2, #«f 3 = #«e 3, decida se F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) é base. [6] Mostre que os vetores #«u e #«v são ortogonais se, e somente se, ‖#«u + #«v ‖2 = ‖#«u ‖2+‖#«v ‖2 (Teorema de Pitágoras) [7] Fixemos uma base E . Ache m de modo que #«u = (1,2,2) seja combinação linear de #«v = (m− 1,1,m−2) e #«w = (m+1,m−1,2). Em seguida, determine m para que { #«u , #«v , #«w } seja LD. [8] Seja O ABC um tetraedro, e M o ponto médio de BC . (a) explique por que ( # « O A, # « OB , # « OC ) é uma base. (b) determine as coordenadas de # « AM nesta base. 7 6 Mudança de base [1] Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base de V3, e defina #« f 1 = #«e 1− #«e 2 #« f 2 = #«e 3 #« f 3 = #«e 2+ #«e 3 (a) Mostre que F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) é base. (b) Encontre a matriz de mudança de E para F . (c) Se #«v = (1,−1,3)F , determine as coordenadas de #«v na base E . (d) Se #«u = (1,−1,3)E , determine as coordenadas de #«u na base F . [2] Sejam E e F bases de V3. Sabendo-se que M é a matriz de mudança de E para F , mostre que M−1 é a matriz de mudança de F para E . [3] Sejam E , F e G bases de V3 e suponha que M e N são as matrizes de mudança de E para F e, de F para G , respectivamente. Mostre que M N é a matriz de mudança de E para G .[4] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3), F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) e G = ( #«g 1, #«g 2, #«g 3) são bases, onde #«e 1 = #«f 1+2 #«f 2 #«e 2 = #«f 1− #«f 3 #«e 3 = #«f 2+ #«f 3 e #«g 1 = #«e 1−2 #«e 2 #«g 2 = #«e 1+ #«e 3 #«g 3 = #«e 2− #«e 3 Encontre as matrizes de mudanças de (a) E para F ; (b) F para G ; (c) E para G ; (d) F para E ; (e) G para F ; (f) G para E . [5] Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base e defina #« f 1 = #«e 1−3 #«e 2 #« f 2 = #«e 2+ #«e 3 #« f 3 = #«e 1− #«e 2 (a) Mostre que F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) é base. (b) Sendo #«u = 3 #«e 1+4 #«e 2− #«e 3, encontre as coordenadas de #«u em relação à base F . 7 Ângulo entre vetores e Produto Escalar Observação: Nesta seção, está fixada uma base ortonormal. [1] Sejam #«u , #«v e #«w arbitrários. Mostre que #«u · ( #«v + #«w)= #«u · #«v + #«u · #«w (distributividade) e #«u · #«v = #«v · #«u (comutatividade) 8 [2] Mostre que #«u e #«v são ortogonais se, e somente se, #«u · #«v = 0. [3] Se #«u = (2,1,−1) e #«v = (1,−1,2), encontre um vetor não nulo #«w tal que #«u · #«w = #«v · #«w = 0. [4] Encontre, nos seguintes casos, o valor de x que torna #«u e #«v ortogonais: (a) #«u = (x+1,1,2), #«v = (x−1,−1,−2); (b) #«u = (x, x,4), #«v = (4, x,1); (c) #«u = (x,−1,4), #«v = (x,−3,1). [5] Seja #«v = (2,3,−1) e #«w = (2,−4,6). (a) Encontre todos os vetores #«u que satisfazem ‖#«u ‖ = 3p3, #«u⊥#«v e #«u⊥#«w . (b) Qual dos vetores encontrados em (a) forma um ângulo agudo com o vetor (1,0,0)? [6] Calcule o cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo. [7] Se A,B ,C são vértices de um triângulo equilátero de lado unitário, calcule: # « AB · # «BC + # «BC · # «C A+ # «C A · # «AB . [8] Se #«u + #«v + #«w = #«0 , ‖#«u ‖ = 3/2, ‖#«v ‖ = 1/2, ‖#«w‖ = 2, calcule #«u · #«v + #«v · #«w + #«w · #«u . [9] (Desigualdade Cauchy-Schwarz) Sejam #«u , #«v ∈V3. Mostre que |#«u · #«v | ≤ ‖#«u ‖ ·‖#«v ‖ [10] Seja ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base ortonormal. Dado #«u ∈V3, mostre que #«u = ( #«u · #«e 1) #«e 1+ ( #«u · #«e 2) #«e 2+ ( #«u · #«e 3) #«e 3. [11] Seja #«v um vetor não nulo fixado. Dado um vetor #«w , mostre que existe um único par ( #«w 1, #«w 2) de vetores tal que #«w 1// #«v , #«w 1 ⊥ #«v e #«w 1+ #«w 2 = #«w ; #«w 1 chama-se projeção de #«w na direção de #«v (ou sobre #«v ). Notação: #«w 1 = proj #«v #«w . [12] Dados #«w e um vetor não nulo #«v , mostre que proj #«v #«w = #«w · #«v ‖#«v ‖2 #«v . Conclua que proj #«v #«w = ( #«w · #«v ) #«v , se #«v é unitário. [13] Dada uma base ortonormal ( #«e 1, #«e 2, #«e 3), mostre que, para todo #«u ∈V3, #«u = proj #«e 1 #«u +proj #«e 2 #«u +proj #«e 3 #«u [14] Dada a base ( #«e 1, #«e 2, #«u ), onde #«e 1 e #«e 2 são unitários e ortogonais, obtenha uma vetor #«e 3 tal que ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) é uma base ortonormal. [15] (Processo de ortonormalização de Gram-Schmidt) Dada a base ( #« f 1, #« f 2, #« f 3), encontre uma base ortonormal ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) tal que #«e 1// #« f 1 e #«e 2 seja combinação linear de #« f 1 e #« f 2. 9 [16] Dizemos que uma matriz quadrada M é ortogonal se M M t = M t M = I (matriz identidade). Sejam E e F bases ortonormais deV3. Mostre que a matriz de mudança de E para F é ortogo- nal. Conclua que, neste caso, MF E =M tEF e |det MEF | = 1. [17] (Trabalho) O produto escalar é uma importante ferramenta para a Física, uma vez que inú- meras grandezas físicas são definidas com seu emprego, como, por exemplo, o trabalho. O trabalho realizado por uma força constante #« F ao longo de um determinado deslocamento #« d é definido como o produto escalar dessa força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está aplicada. A grandeza física trabalho, notada porW , é uma grandeza escalar e tem como unidade de me- dida no Sistema Internacional o joule, notado por J . A expressão para o cálculo do trabalho W é W = #«F · #«d = ‖#«F ‖‖#«d ‖cosθ e 1J = 1N ·m (1 Newton vezes 1 metro) [18] Observando a figura acima, calcule o trabalho realizado pela força #« F para deslocar a caixa de vermelho de A até B , sabendo que ‖#«F ‖ = 10N , ‖# «AB‖ = 20m e θ =pi/6. 8 Orientação Observação: Nesta seção, E é uma base fixada de V3,A é o conjunto das bases com a mesma orientação que E eB, as bases com orientação oposta. [1] Suponha que E tem a mesma orientação que F . Mostre que F ∈A . [2] Existe alguma base de V3 simultaneamente emA eB? Justifique. [3] Mostre que duas bases quaisquer emB têm a mesma orientação. [4] Sejam F ∈A e G ∈B. Mostre que F e G têm orientação oposta. [5] Mostre que, se E tem a mesma orientação que F e, F tem a mesma orientação que G , então E tem a mesma orientação que G . [6] Mostre que as bases E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = (−#«e 1+ #«e 2, #«e 2, #«e 3) têm orientação oposta. [7] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = ( #«e 1, #«e 2, #«u ) são bases com a mesma orientação. Mostre que, se #«e 3// #«u então existe λ> 0 tal que #«u =λ#«e 3. Conclua que #«u = #«e 3 se ‖#«u ‖ = ‖#«e 3‖. [8] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = ( #«e 1, #«e 2, #«u ) são bases de orientação oposta. Mostre que, se #«e 3// #«u então existe λ< 0 tal que #«u =λ#«e 3. Conclua que #«u =−#«e 3 se ‖#«u ‖ = ‖#«e 3‖. [9] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3). Em cada caso decida se F ∈A ou F ∈B, sendo F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3): 10 (a) #« f 1 = −#«e 1+ #«e 2−2 #«e 3 #« f 2 = −2 #«e 1+ #«e 2 #« f 3 = #«e 1+ #«e 3 (b) #«e 1 = −2 #«f 1 #«e 2 = #«e 2− #«f 3 #«e 3 = #«f 1+ #«f 2+ #«f 3 [10] Sejam ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e (a #«e 1,b #«e 2,c #«e 3) bases positivas. Qual é a relação entre a,b e c? [11] Seja F uma base ortonormal obtida a partir de E através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. Mostre que F ∈A . [12] Considere a matriz M(t ) := 1+2t −t 0−t 1− t −3t t 2t 1+4t (a) Que valores deve tomar t para que M(t ) seja a matriz de mudança de E para uma base F (t )? (b) Especifique os valores de t para os quais E e F (t ) ∈A , e os valores para os quais F (t ) ∈B. (c) Existe t tal que F (t )= E? (d) Seja t0 o menor inteiro positivo para o qual F (t0) é base. Exprima cada vetor de F (t0) como combinação linear dos vetores de E . 9 Produto Vetorial Observação: Nesta seção, está fixada uma base E = ( #«i , #«j , #«k ) ortonormal positiva. [1] (Identidade de Lagrange) Prove que ‖#«u ∧ #«v ‖2 = ‖#«u ‖2‖#«v ‖2− ( #«u · #«v )2. [2] Seja θ a medida do ângulo entre os vetores #«u e #«v . Mostre que ‖#«u ∧ #«v ‖ = ‖#«u ‖ ·‖#«v ‖sinθ [3] Sejam #«u e #«v em V3. Mostre que #«u ∧ #«v = #«0 se, e somente se, #«u e #«v são LD. [4] Mostre que #«u ∧ #«v =−#«v ∧ #«u , para quaisquer #«u , #«v ∈V3. [O produto vetorial não é comutativo] [5] Calcule ( #« j ∧ #«j )∧ #«i e #«j ∧ ( #«j ∧ #«i ), e conclua que o produto vetorial não é associativo. [6] Demonstre as seguintes propriedades: (a) #«u ∧ ( #«v 1+ #«v 2)= #«u ∧ #«v 1+ #«u ∧ #«v 2 (b) ( #«u 1+ #«u 2)∧ #«v = #«u 1∧ #«v + #«u 2∧ #«v (c) #«u ∧ (λ#«v )= (λ#«u )∧ #«v =λ( #«u ∧ #«v ) [7] Sejam #«u e #«v vetores linearmente independentes. (a) Mostre que #«u ∧ #«v é ortogonal aos vetores #«u e #«v . (b) Use o item (a) para verificar que #«u , #«v e #«u ∧ #«v são linearmente independentes. (c) Conclua que F = ( #«u , #«v , #«u ∧ #«v ) é uma base positiva de V3. 11 [8] Calcule ‖#«u ‖ sabendo-se que ‖#«u ∧ #«v ‖ = 4p2, ‖#«v ‖ = 2 e o ângulo entre #«u e #«v é 45◦. [9] Sabendo-se que a área do paralelogramo gerado pelos vetores #«u = (1,1, x) e #«v = (−1,1,0) é igual a p 22, encontre o valor de x. [10] Mostre que, se #«u + #«v + #«w = #«0 então #«u ∧ #«v = #«v ∧ #«w = #«w ∧ #«u . [11] Calcule a área do triângulo ABC, sendo # « AC = (−1,1,0) e # «AB = (0,1,3). [12] Sendo ABCD um tetraedro regular de lado unitário,calcule ‖# «AB ∧ # «AC‖. [13] Calcule o momento em relação ao ponto O da força #« F = (−1,3,4), aplicada ao ponto P tal que # « OP = (1,1,1) [este momento é # «OP ∧ #«F ]. [14] Ache um vetor unitário ortogonal a #«u = (1,−3,1) e a #«v = (−3,3,3). [15] Dados #«u = (1,1,1), #«v = (0,1,2), ache uma base ortonormal positiva ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) tal que (i) #«e 1// #«u , #«e 1 tem o mesmo sentido que #«u . (ii) #«e 2 é combinação linear de #«u e #«v , e sua primeira coordenada é positiva. [16] Prove que ( #«u + #«v )∧ ( #«u − #«v )= 2( #«u ∧ #«v ). [17] Sejam #«u e #«v vetores linearmente independentes e suponha que #«w ∧ #«u = #«w ∧ #«v = #«0 . Mostre que #«w = #«0 . Interprete geometricamente. [18] Mostre que a altura do4ABC relativa ao lado AB mede h = ‖ # « AB ∧ # «AC‖ ‖# «AB‖ [19] Seja F uma base qualquer deV3 e considere #«u = (a1,b1,c1)F e #«v = (a2,b2,c2)F . Calcule #«u ∧ #«v . [20] (Torque) O torque é uma grandeza vetorial, representado por #«τ , e está relacionado com a possibilidade de um corpo sofrer uma torção ou alterar seu movimento de rotação. O vetor torque é definido como o produto vetorial (observe a figura): #«τ = #«r ∧ #«F . O torque é definido como o módulo do vetor torque, ou seja, ‖#«τ ‖ = ‖#«r ‖‖#«F ‖sinθ, onde θ é o ângulo entre #«r e #« F . Observando a figura acima, calcule o torque sobre a barra AB, na qual # « AB = #«r = 2 #«j (em metros), #« F = 10 #«i (em newtons) e o eixo de rotação é o eixo z. 12 10 Duplo Produto Vetorial Observação: Nesta seção, está fixada uma base ortonormal positiva ( #« i , #« j , #« k ). [1] Prove que (a) ( #«u ∧ #«v )∧ #«w =−( #«v · #«w) #«u + ( #«u · #«w) #«v ; (b) #«u ∧ ( #«v ∧ #«w)= ( #«u · #«w) #«v − ( #«u · #«v ) #«w . [2] (Identidade de Jacobi) Use as fórmulas acima para concluir que ( #«u ∧ #«v )∧ #«w + ( #«w ∧ #«u )∧ #«v + ( #«v ∧ #«w)∧ #«u = #«0 . [3] Dados #«u = (1, −32 , 12 ), #«v = (6,−2,−4), #«w = ( 17 , 27 , 37 ), calcule ( #«u ∧ #«v )∧ #«w e #«u ∧ ( #«v ∧ #«w). [4] Seja ABC um triângulo de altura AH. Prove que # « AH é paralelo a ( # « AB ∧ # «AC )∧ # «BC . Sugestão: Calcule [( # « AB ∧ # «AC )∧ # «BC ]∧ # «AH . [5] Resolva o sistema { #«x ∧ ( #«i + #«j )=−#«i + #«j #«x · ( #«i + #«j )= 2 [6] Fixe um vetor #«u não nulo. Resolva o sistema { #«x ∧ #«u = #«0 #«x · #«u = 1 , [7] Suponha que #«v ⊥ #«w e #«v ⊥ #«u . Prove que ( #«u ∧ #«v )∧ #«w = #«u ∧ ( #«v ∧ #«w). [8] Prove que, se #«u e #«w são linearmente dependentes então ( #«u ∧ #«v )∧ #«w = #«u ∧ ( #«v ∧ #«w). 11 Produto Misto Observação: Para esta seção sugerimos ao aluno uma revisão das propriedades do determinante. Também fixamos uma base ortonormal E = ( #«i , #«j , #«k ) positiva. [1] Mostre que #«u , #«v e #«w são LI se, e somente se, [ #«u , #«v , #«w ] 6= 0. [2] Sejam r e s retas, #«u vetor não nulo paralelo à r e, #«v vetor não nulo paralelo à s. Se P ∈ r e Q ∈ s, mostre que r e s são coplanares se, e somente se, [ #«u , #«v , # «PQ]= 0. [3] Seja F = ( #«u , #«v , #«w) uma base de V3. Mostre que [ #«u , #«v , #«w ]= det MEF . [4] Dados #«u , #«v e #«w , mostre que [ #«u , #«v , #«w ]= #«u ∧ #«v · #«w . [5] Seja ABC DEFG H um paralelepípedo, e defina #«u = # «AB , #«v = # «AD e #«w = # «AE . Mostre que o volume desse paralelepípedo é igual a [ #«u , #«v , #«w ]. [6] Mostre que o volume de um tetraedro ABCD é igual a |[ # «AB , # «AC , # «AD]|/6. [7] O produto misto é trilinear, isto é, 13 (a) [α# «u1+β# «u2, #«v , #«w ]=α[ # «u1, #«v , #«w ]+β[ # «u2, #«v , #«w ] (b) [ #«u ,α#«v1+β#«v2, #«w ]=α[ #«u , #«v1, #«w ]+β[ #«u , #«v2, #«w ]. (c) [ #«u , #«w ,α# «w1+β# «w2]=α[ #«u , #«w , # «w1]+β[ #«u , #«w , # «w2] [8] O produto misto é alternado, isto é, [ #«u , #«v , #«w ]=−[ #«v , #«u , #«w ]= [ #«v , #«w , #«u ]=−[ #«u , #«w , #«v ]= [ #«w , #«u , #«v ]= −[ #«w , #«v , #«u ]. [9] Prove que #«u ∧ #«v · #«w = #«u · #«v ∧ #«w . Sugestão: Utilize o exercício acima. [10] Prove que ( #«u ∧ #«v ) · ( #«w ∧ #«t )= ∣∣∣∣#«u · #«w #«u · #«t#«v · #«w #«v · #«t ∣∣∣∣. Sugestão: Utilize o exercício acima. [11] Prove que, para quaisquer α,β ∈R vale: (a) [ #«u , #«v , #«w ]= [ #«u +α#«v +β#«w , #«v , #«w ]. (b) [ #«u , #«v , #«w ]= [ #«u , #«v +α#«u +β#«w , #«w ]. (c) [ #«u , #«v , #«w ]= [ #«u , #«v , #«w +α#«u +β#«v ]. Sugestão: Revise Escalonamento. [12] Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores #«u = (2,−2,0), #«v = (0,1,0) e #«w = (−2,−1,−1). [13] Calcule o volume do tetraedro ABCD dados # « AB = (1,1,0), # «AC = (0,1,1) e # «AD = (−4,0,0). [14] Calcule [ #«u , #«v , #«w ] sabendo que ‖#«u ‖ = 1,‖#«v ‖ = 2 e ‖#«w‖ = 3, e que ( #«u , #«v , #«w) é uma base nega- tiva, sendo #«u , #«v , #«w dois a dois ortogonais. [15] Prove que se #«u ∧ #«v + #«v ∧ #«w + #«w ∧ #«u = #«o então #«u , #«v , #«w são linearmente dependentes. [16] Prove que a altura do tetraedro ABC D relativa à base ABC é h = | [ # « AB , # « AC , # « AD] | ‖# «AB ∧ # «AC‖ Sugestão: Volume = 1 3 (área ∆ABC )h 12 Sistema de Coordenadas Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1, #«e 2, #«e 3). [1] Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades P = (2,−1,3) e Q = (5,−2,1). [2] Encontre as coordenadas do ponto P ′, simétrico do ponto P = (−1,3,0) em relação ao ponto M = (1,0,1). 14 [3] Mostre que os pontos A = (1,0,1), B = (−1,0,2) e C = (1,1,1) são vértices de um triângulo retângulo (sistema ortogonal). [4] Considere os pontos A = (1,2,−1), B = (0,1,1) e C = (2,0,0). Mostre que4ABC é equilátero. [5] Suponha que o sistema de coordenadas é ortogonal. Encontre a área do triângulo ABC sabendo- se que A = (2,−1,0), B = (0,1,1) e C = (−1,0,0). [6] (a) Mostre que os pontos P = (−1,0,0), Q = (2,−1,−1), R = (0,3,1) e S = (4,5,1) são vértices de um quadrilátero plano, convexo. Em seguida, especifique quais são seus lados e quais são suas diagonais (um quadrilátero é convexo se e só se nenhum de seus vértices é interior ao triângulo determinado pelos outros três). (b) Verifique se os pontos A = (2,6,−5), B = (6,9,7), C = (5,5,0) e D = (3,10,2) são vértices de um paralelogramo. (c) Mostre que os pontos E = (3,0,−1), F = (0,3,0), G = (5,1,−2), H = (−4,1,2) são vértices de um trapézio. 13 Estudo da reta Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1, #«e 2, #«e 3). [1] Encontre as equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa pelos pontos A= (−1,1,0) e B= (0,−1,1). [2] Escreva uma equação vetorial da reta r, que passa pelo ponto médio M do segmento AB, e que tem como vetor diretor #«v = (p 3 49 , 3 p 3 98 , −p3 7 ) . São dados A= (1,1,3) e B= (3,1,0). [3] Dê dois vetores distintos e quatro pontos distintos da reta r que tem equação vetorial X = (1,2,0)+λ(1,1,1) (λ ∈R) [4] Considere a reta r : X = (1,0,1)+λ(2,−1,1) (λ ∈R), e sejam P = (2,1,−1) e Q = (5/3,−1/3,4/3) pontos de E3. Verifique se P e Q estão em r . [5] São dadas as equações 1−2x 3 = 2−3y 5 = 1− z (a) Mostre que elas representam uma reta r . (b) Elas são equações na forma simétrica de r ? Caso não sejam, passe-as para a forma si- métrica. (c) Exiba um ponto e um vetor diretor de r . [6] Sejam P = (1,0,1) e Q = (0,1,1). Dados A = (1,2,1) e B = (1,2,−1), verifique se existe um ponto C na reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 1/2 (sistema ortogonal). 15 Figura 7: Triângulo ABC Solução. Seja (O, #« i , #« j , #« k ) o sistema de coordenadas ortogonal do problema (figura 7). Como # « PQ = (−1,1,0) é um vetor diretor da reta PQ, X = (1,0,1)+λ(−1,1,0) (λ ∈R) é uma equação vetorial dessa reta. Se C é um ponto qualquer dessa reta, existe λ ∈R tal que C = (1−λ,λ,1)Com isso, # « AC = (−λ,λ−2,0) e # « AB = (0,0,−2), e portanto, # « AC ∧ # « AB = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ #« i #« j #« k −λ λ−2 0 0 0 −2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = (−2λ+4,−2λ,0). Em particular, ‖ # « AC ∧ # « AB‖ = 2 √ (λ−2) 2 +λ 2 . Logo área(4ABC )= ‖ # « AC ∧ # « AB‖ 2 = √ (λ−2) 2 +λ 2 Por outro lado, para todo λ ∈R tem-se (λ−2) 2 +λ 2 = 2(λ−1) 2 +2≥ 2, e portanto, área(4ABC )≥ p 2, para todo ponto C sobre a reta PQ. Como p 2 > 1/2, segue-se que não existe um ponto C sobre a reta PQ tal que área(4ABC )= 1/2. 16 [7] Dados os pontos A = (0,0,1), B = (1,2,1) e C = (1,0,1), obtenha equações paramétricas das bissetrizes interna e externa do triângulo ABC , relativas ao vértice C . [8] Dados os pontos A = (1,2,5) e B = (0,1,0), determine P sobre a reta que passa por A e B tal que o comprimento de PB seja o triplo de PA. [9] Escreva equações paramétricas para a reta r , que passa pelo ponto A = (2,0,−3) e: (a) é paralela à reta s : 1−x 5 = 3y 4 = z+3 6 . (b) é paralela à reta que passa pelos pontos B = (1,0,4) e C = (2,1,3). (c) é paralela à reta t : x = 1−2λ y = 4+λ z = −1−λ (λ ∈R). [10] Sejam r e s duas retas com vetores diretores #«u e #«v , respectivamente. Suponha que #«u // #«v e r ∩ s 6=ø. Mostre que r = s. [11] Dados A = (0,2,1), r : X = (0,2,−2)+λ(1,−1,2), encontre os pontos de r que distamp3 de A. Em seguida, diga se a distância do ponto A à reta r é maior, menor, ou igual a p 3, e por quê. (sistema ortogonal) [12] Dada a reta r : X = (1,0,0)+λ(1,1,1) e os pontos A = (1,1,1), B = (0,0,1), ache o ponto de r equidistante de A e B (sistema ortogonal). [13] Ache equações paramétricas da reta que passa por A = (3,3,3) e é paralela à reta BC , sendo B = (1,1,0) e C = (−1,0,−1). [14] Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações X = (0,0,0)+λ(1,2,4)(λ ∈R) e X = (1,0,−2)+µ(−1,−1,−1)(µ ∈R) Pergunta-se se as trajetórias são concorrentes e se haverá colisão. 14 Estudo do Plano Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1, #«e 2, #«e 3). [1] Determine duas equações vetoriais do plano que passa por A = (−1,−1,1), e é paralelo aos vetores #«u = (1,0,1) e #«v = (−1,1,0). [2] Uma reta r é dada como intersecção de dois planos: r : { x+ y + z−1= 0 x+ y − z = 0 Dê equações paramétricas de r . Observação: A reta r acima está expressa sob a Forma Coplanar, ou seja, como interseção de dois planos. 17 [3] Encontre uma equação geral do plano que contém o ponto (−1,0,1) e é perpendicular à reta s : { x+ y + z = 0 −y + z = 2 [4] Encontre uma equação geral do plano paralelo à reta r : X = (−1,0,1)+ (2,0,−1) e perpendi- cular à reta s : { x+ y + z = 0 −y + z = 2 [5] Encontre as equações paramétricas da reta que passa por A(3,6,4), intercepta o eixo Oz e é paralela ao plano pi : x−3y +5z−6= 0. [6] Decomponha o vetor #«v = (1,2,4) em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano X = (1,1,0)+λ(1,0,1)+µ(0,1,−1) (λ,µ ∈R) e outra paralela à reta X = (0,0,0)+ν(2,1,0) [7] Considere a equação ax+by + cz+d = 0, (1) onde a2+b2+c2 6= 0. Mostre que a equação (1) é uma equação geral de um plano, e determine três pontos não colineares nesse plano. [8] Encontre uma equação geral do plano que passa pelos pontos A = (1,0,1), B = (−1,0,1) e C = (2,1,2). [9] Seja pi o plano que passa pelos pontos A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3), não colineares. Mostre que uma equação geral de pi é dada por∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x y z 1 x1 y1 z1 1 x2 y2 z2 1 x3 y3 z3 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 [10] Dadas equações paramétricas de um plano pi, x =−1+2λ−3µ y = 1+λ+µ z =λ (λ,µ ∈R) obtenha uma equação geral desse plano. [11] Uma plano tem equação geral x+2y−z+1= 0. Obtenha equações paramétricas desse plano. [12] Seja ax+by + cz+d = 0 uma equação geral de um plano pi. Suponhamos a 6= 0. Mostre que x =−baλ− caµ− da y =λ z =µ (λ,µ ∈R) são equações paramétricas de pi. Observação: Verifique se elas são equações paramétricas de algum plano pi1. Mostre que pi1 ⊆pi, donde pi1 =pi. 18 [13] Dadas as retas r : x−1 2 = y 2 = z e s : x−1= y = z obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s. [14] Sejam P = (4,1,−1) e r : X = (2,4,1)+λ(1,−1,2). (a) Mostre que P ∉ r . (b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por P . [15] Suponha que ax +by + cz +d = 0 seja uma equação geral de um plano pi. Mostre que #«v é ortogonal a pi. [16] Obtenha uma equação geral do plano pi, que passa pelo ponto A = (1,0,−1) e tem vetor nor- mal #«n = (1,−1,0). [17] Escreva equações paramétricas para a reta r =pi1∩pi2, onde pi1 : 2x− y −3= 0 e pi2 : 3x+ y +2z−1= 0 [18] Dê uma equação geral do plano pi que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos A = (1,1,1) e B = (2,1,−1). [19] Dê uma equação geral do plano que passa pelo P = (1,0,1) e é perpendicular à reta X = (0,0,1)+λ(1,2,−1). [20] Decomponha o vetor #«v =−3 #«i +4 #«j −5 #«k paralela e ortogonalmente ao plano pi : x = 1−λ y =−2 z =λ−µ (λ,µ ∈R) [21] Prove que o lugar geométrico dos pontos de E3 que são equidistantes de A = (1,−1,2) e B = (4,3,1) é um plano. Mostre em seguida que esse plano passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular ao segmento AB . 15 Posições relativas de retas e planos Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #« i , #« j , #« k ) ortogonal. [1] Estude a posição relativa das retas r : X = (−1,2,−2)+λ(0,1,3) (λ ∈R) e s : x = y −1= z [2] Estude a posição relativa das retas r : X = (1,2,3)+λ(0,1,3) (λ ∈R) e s : X = (1,3,6)+µ(0,2,6) (µ ∈R) 19 [3] Estude a posição relativa das retas r : X = (1,2,3)+λ(0,1,3) (λ ∈R) e s : { x+ y + z = 6 x− y − z =−4 [4] Determine m para que as retas r : X = (1,0,2)+λ(2,1,3) e s : X = (0,1,−1)+λ(1,m,2m) sejam coplanares, e nesse caso estude sua posição relativa. [5] Determine α e β para que as retas r : X = (1,α,0)+λ(1,2,1) (λ ∈R) e s : { x = z−2 y =βz−1 sejam coplanares e obtenha nesse caso uma equação geral para o plano delas. [6] Sejam #«u = (d ,e, f ) e #«w = (g ,h, i ) vetores diretores de um plano pi. Se #«v = (m,n, p) é um vetor diretor de uma reta r , então r −tpi se, e somente se,∣∣∣∣∣∣ d e f m n p g h i ∣∣∣∣∣∣ 6= 0 [7] Dados o plano pi : X = (1,1,3)+λ(1,−1,1)+µ(0,1,3), com λ,µ ∈R, e a reta r : X = (1,1,1)+α(3,2,1) (α ∈R), estude a posição relativa de r e pi. [8] Calcule m para que a reta r : X = (1,1,1)+λ(2,m,1) seja paralela ao plano pi : X = (0,0,0)+α(1,2,0)+β(1,0,1). [9] Calcule m para que a reta r : x−1 m = y 2 = z m seja transversal ao plano pi : x+my + z = 0 [10] Estude a posição relativa dos planos pi1 : X = (1,0,−1)+λ(−1,1,1)+µ(1,0,1) e pi2 : X = (0,0,0)+α(1,0,1)+β(−1,0,3) [11] Estude a posição relativa dos planos pi1 : 2x− y + z−1= 0 e pi2 : 2x− y + z+10= 0. [12] Mostre que os planos pi1 : X = (0,0,0)+λ(−1,m,1)+µ(2,0,1) e pi2 : X = (1,2,3)+α(m,1,0)+β(1,0,m) são transversais, para todo m ∈R. [13] Sejam r e s retas reversas, passando por A e B , e por C e D , respectivamente. Obtenha uma equação vetorial da reta t , concorrente com r e s, e paralela ao vetor #«v = (1,−5,−1). Dados A = (0,1,0), B = (1,1,0), C = (−3,1,−4) e D = (−1,2,−7). 20 [14] Obtenha uma equação vetorial da reta t , que passa pelo ponto P = (2,−1,1) e é concorrente com as retas reversas r : { y + z = 5 x+2z = 9 e s : { 2x− z =−1 y −2z = 1 [15] Considere os planos pi1 : 2x = y , pi2 : x = 0, pi3 : z = 0, e seja pi4 o plano determinado pelas retas r : X = (1,2,0)+λ(1,2,−1) e s : { x = 0 y + z = 1 Verifique se esses planos determinam um tetraedroe calcule o seu volume. 16 Perpendicularidade e Ortogonalidade Observação: Nesta seção está fixado um sistema de coordenadas ortogonal (O, #« i , #« j , #« k ). [1] Verifique se as retas r e s são ortogonais nos seguintes casos: (a) r : X = (1,3,0)+λ(0,−7,5) e s : x−12 = y−3 5 = z7 (b) r : x−42 = y−2 3 = z+4−5 e s : x = 2+3λ y =−5−2λ z = 1−λ [2] Ache as equações na forma simétrica da reta r que passa por P = (−1,3,5) e é perpendicular ao plano pi : x− y +2z−1= 0. [3] Ache equações sob a forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas: r : x = 2+λ y =λ z =−1+λ e s : { x+ y = 2 z = 0 [4] Dê uma equação vetorial da reta paralela ao plano pi, perpendicular à reta AB , e que inter- cepta a reta s, onde pi : 2x− y +3z−1= 0, A = (1,0,1), B = (0,1,2), s : X = (4,5,0)+λ(3,6,1). [5] Verifique se r é perpendicular a pi nos seguintes casos: a) r : x = 1+3λ y = 1−3λ z =λ e pi : 6x−6y +2z−1= 0. b) r : { x− y − z = 0 x+ y = 0 e pi : 2x−2y +4z = 1. [6] Ache equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular ao plano pi nos casos: a) P = (1,−1,0) e pi : X = (1,−1,1)+λ(1,0,1)µ(1,1,1); b) P = (1,3,7) e pi : 2x− y + z = 6. 21 [7] Ache uma equação geral do plano pi e é perpendicular à reta r no casos: a) P = (0,1,−1) r : X = (0,0,0)+λ(1,−1,1); b) P = (1,1,−1) r : { x−2y + z = 0 2x−3y + z−1= 0 [8] Ache o ponto simétrico de P = (1,1,−1) em relação à reta r : x+23 = y = z. Observação: Dizemos que o ponto P ′ é o simétrico de P em relação a reta r (ao plano pi) se o ponto médio do segmento PP ′ pertence a reta r (ao plano pi). [9] Ache o ponto simétrico de P = (1,4,2) em relação ao plano pi : x− y + z−2= 0. [10] Determine a projeção ortogonal a) do ponto P = (4,0,1) sobre o plano pi : 3x−4y +2= 0; b) da reta r : x+1= y +2= 3z−3 sobre o plano pi : x− y +2z = 0. [11] Verifique se os planos pi1 : X = (4,3,1)+λ(−1,0,−1)+µ(3,1,0) e pi2 : y −3z = 0 são perpendi- culares. [12] Ache uma equação geral do plano que passa pelo ponto A = (2,1,0) e é perpendicular aos planos pi1 : x+2y −3z+4= 0 e pi2 :−1 8 x− 1 4 y + 3 8 z−1= 0. [13] Um cubo tem diagonal AB e uma das faces está contida no plano pi : x − y = 0. Determine seus vértices, dados A = (1,1,0) e B = (1,3,p2). [14] Dados os planos pi1 : x− y+z+1= 0, pi2 : x+ y−z−1= 0 e pi3 : x+ y+2z−2= 0, encontre uma equação geral do plano que contém pi1∩pi2 e é perpendicular a pi3. Solução. Considere os vetores #«n 1 = (1,−1,1), #«n 2 = (1,1,−1) e #«n 3 = (1,1,2). Então: #«n 1 é normal a pi1, #«n 2 é normal a pi2 e #«n 3 é normal a pi3. Como #«n 1 e #«n 2 são LI, os planos pi1 e pi2 são transversais e portanto, pi1∩pi2 é uma reta que denotaremos por r . Em particular, #«n 1 e #«n 2 são ortogonais à reta r , de onde segue-se que #«v = #«n 1∧ #«n 2 é um vetor diretor dessa reta: #«v = #«n 1∧ #«n 2 = ∣∣∣∣∣∣∣ #« i #« j #« k 1 −1 1 1 1 −1 ∣∣∣∣∣∣∣= (0,2,2). Sejapi4 o plano procurado. Comopi4 ⊥pi3 e #«n 3 é ortogonal api3, concluimos que #«n 3 é paralelo ao plano pi4. Além disso, #«v também é paralelo ao plano pi4 já que este plano contém a reta r . Como #«v e #«n 3 são LI, o vetor #«n 4 := #«v ∧ #«n 3 é normal ao plano pi4: #«n 4 := #«v ∧ #«n 3 = ∣∣∣∣∣∣∣ #« i #« j #« k 0 2 2 1 1 2 ∣∣∣∣∣∣∣= (2,2,−2). Logo, uma equação geral de pi4 é da forma 2x+2y −2z+d = 0, 22 para algum d ∈ R. Observando que A := (0,0,−1) pertence à reta r , e portanto ao plano pi4, obtemos d =−2. Logo pi4 : x+ y − z−1= 0, que coincide com o plano pi2. Isto já era esperado, visto que #«n 2 · #«n 3 = 0 e r ⊂pi2. 17 Ângulos Observação: Nesta seção está fixado um sitema ortogonal (O, #« i , #« j , #« k ) de coordenadas. [1] Ache o cosseno do ângulo entre as retas: (a) X = (−5/2,2,0)+λ(1/2,1,1) e s : { 3x−2y +16= 0 3x− z = 0 (b) r : x = 1− y 2 = z 3 e s : { 3x+ y −5z = 0 2x+3y −8z = 1 [2] Ache a medida em radianos do ângulo entre reta e plano nos casos: (a) x = y = z (reta) e z = 0 (plano) Interprete o item a) geometricamente. (b) x = 1+λ y =λ z =−2λ e x+ y − z−1= 0 (c) { y = 2−x x = 1+2z e p 45/7x+ y +2z = 10 [3] Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos: a) 2x+ y − z−1= 0 x− y +3z−10= 0; b) X = (1,0,0)+λ(1,0,1)+µ(−1,0,0). x+ y + z = 0. [4] Ache a reta que intercepta as retas r : x−1 3 = y −1 2 = −z 3 e x =−1+5λ y = 1+3z z =λ e forma ângulos congruentes com os eixos coordenados. [5] Ache a retar que passa pelo ponto (1,−2,3) e que forma ângulos de 45◦ e 60◦, respectivamente, com o eixo dos x e dos y . [6] Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano pi1 : x+ y + z = 0 e que forma 45◦ com o plano pi2 : x− y = 0. [7] Calcule a medida dos ângulos entre a diagonal de um cubo e suas faces. [8] Obtenha uma equação geral do plano pi, que contém a reta r : { x−2y +2z = 0 3x−5y +7z = 0 e forma com o plano pi1 : x+ z = 0 um ângulo de 60 graus. 23 [9] Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r : { 3z−x = 1 y −1= 1 e forma com s : X = (1,1,0)+λ(3,1,1) um ângulo cuja medida em radianos é θ = arccos 2 p 30 11 . [10] A diagonal BC de um quadrado ABC D está contida na reta r : X = (1,0,0)+λ(0,1,1). Sabendo que A = (1,1,0), determine os pontos B ,C ,D . 18 Distâncias Observação: Nesta seção está fixado um sistema ortogonal (O, #« i , #« j , #« k ) de coordenadas. [1] Calcule a distância do ponto P à reta r nos casos: (a) P = (0,−1,0) e r : { x = 2z−1 y = z+1 . (b) P = (1,−1,4) e r : x−2 4 = y−3 = z−1 −2 . [2] Obtenha uma equação vetorial da reta r paralela à s : { 2x− z = 3 y = 2 , concorrente com t : X = (−1,1,1)+λ(0,−1,2), e que dista 1 do ponto P = (1,2,1). [3] Um quadrado ABC D tem a diagonal BD contida na reta r : { x = 1 y = z . Sabendo que A = (0,0,0), determine os vértices B ,C e D . [4] Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de E3 que equidistam das retas r : { x+ z = 1 y = 0 e s : { x+ y = 1 z = 0 . Descreva o lugar geométrico. [5] Sejam P = (1,0,2) e r : x − y = x + 2z = x + z. Obtenha uma equação geral do plano pi que contém r e dista 2 do ponto P . [6] Dados um ponto P = (x0, y0, z0) e um plano pi : ax+by + cz+d = 0, mostre que d(P,pi)= |ax0+by0+ cz0+d |p a2+b2+ c2 [7] Calcule a distância entre as retas paralelas X = (0,0,2)+λ(−2, 1/2,1) e x−1−2 = y 1/2 = z. [8] Calcule a distância entre os planos paralelos 2x− y +2z+9= 0 e 4x−2y +4z−21= 0. [9] Calcule a distãncia entre as retas r : x = 2−λ y = 1+λ z =−λ e s : { x+ y + z = 0 2x− y −1= 0 . [10] Ache os pontos de r : { x+ y = 2 x = y + z que distam 3 do ponto A = (0,2,1). 24 [11] Ache os pontos da reta y = 2x+1 que estão situados a distância 2 da origem. [12] Ache os pontos sobre o eixo y que distam 4 do plano x+2y −2z = 0 [13] Ache os pontos de r : { x+ y = 2 x = y + z que distam p 14/3 de s : x = y = z+1. [14] Obtenha uma equação vetorial da reta t , paralela ao plano pi : z = 0, que dista 3 dele, e é concorrente com as retas r : X = (1,−1,−1)+λ(1,2,4) e s : { x− y = 1 3y −2z+6= 0 . [15] Ache os pontos da reta r : { y = 2−x x = y + z que distam p 6 de pi : x−2y − z = 1. [16] Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos P = (1,1,−1), Q = (2,1,1) e que dista 1 da reta r : X = (1,0,2)+λ(1,0,2). [17] Dê uma equação vetorial da reta r , contida no plano pi : x + y = 0, que forma um ângulo de 30◦ com o plano α : y − z = 1 e dista 1 do eixo dos x. [18] Se a distância da origem a um plano é d , e esse plano intercepta os eixos em (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c), prove que: 1 d 2 = 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 . 19 Mudança de Coordenadas Observação: Nesta seção está fixado um sistema ortogonal (O,#« i , #« j ) de coordenadas em E2. [1] Sejam Σ1 = (O, #«e1, #«e2, #«e3) e Σ2 = (O′, #«f1, #«f2, #«f3) dois sistemas de coordenadas tais que #«f1 = #«e1+ #«e2, #« f2 = #«e2, #«f3 = #«e2+ #«e3 e O′ = (1,1,1)Σ1 . Obtenha as equações paramétricas da reta r : [X = (0,0,0)+λ(0,1,1)]Σ1 no sistema Σ2. [2] Sejapi : [2x−y+z = 0]Σ1 . Obtenha uma equação geral depi no sistemaΣ2 do exercício anterior. [3] Faça uma rotação em E2 de modo que as novas coordenadas do ponto P = (p3,1) sejam ( p 3,−1). [4] Faça uma translação em E2 de modo que a reta r : x + 3y − 2 = 0 passe pela (nova) origem, sabendo que esta tem abscissa −1. [5] Faça uma rotação em E2 de modo que a reta r : x+2y+1=O fique paralela ao (novo) eixo das abscissas e esteja contida no 3° e 4° (novos) quadrantes. [6] Dado o sistema Σ1 = (O, #«e1, #«e2), seja C a circunferência de centro O e raio r > 0. Mostre que C , em qualquer sistema obtido por rotação de Σ1, tem equação u2+ v2 = r 2. [7] Elimine os termos de 1° grau e o termo misto das seguintes equações: 25 (a) 9x2−4y2−18x−16y −7= 0; (b) 4x2−24x y +11y2+56x−58y +95= 0; (c) 16x2−24x y +9y2−85x−30y +175= 0; (d) 4x2+ y2+8x−10y +13= 0; (e) x2−6x−5y +14= 0; (f) x2+2y2−4x−4y −1= 0; (g) 8x2−2x y +8y2−46x−10y +11−0; (h) 12x2+8x y −3y2+64x+30y = 0; (i) 2x2−12x y +7y2+8x+20y −14= 0; (j) 25x2+20x y +4y2+30x+12y −20= 0; (k) 4x2−4x y + y2−8p5x−16p5y = 0; (l) x2+x y + y2−1= 0; (m) 4x2 − 12x y + 9y2 − 8p13x − 14p13y + 117= 0; (n) 3x2−2x y +3y2+2p2x−6p6y +2= 0. [8] Considere a equação do segundo grau Ax2+B x y +C y2+Dx+E y +F = 0, (2) que após uma mudança de coordenadas em E2 é escrita na forma A′u2+B ′uv +C ′v2+D ′u+E ′v +F ′ = 0 (3) (a) Mostre que [ D ′ E ′ ] = [ cosθ −sinθ sinθ cosθ ][ D E ] . (b) Prove que os números A+C e B 2−4AC são invariantes por rotação, isto é, se (2) é trans- formada em (3) por meio de uma rotação, então A+C = A′+C ′ e B 2−4AC =B ′2−4A′C ′. (c) Mostre que as raízes λ1 e λ2 da equação∣∣∣∣A−λ B/2B/2 C −λ ∣∣∣∣= 0, (4) são reais, quaisquer que sejam A,B e C . (d) Mostre ainda que λ1 =λ2 apenas se A =C e B = 0, e neste caso, λ1 =λ2 = A =C . (e) Conclua que, se A2+B 2+C 2 6= 0 não pode ocorrer λ1 =λ2 = 0. (f) Mostre que A+C é a soma da raízes de (4) e −B 2−4AC 4 é o produto delas. (g) Conclua que A′ e C ′ são raízes de (4), escolhido θ de modo a eliminar-se o termo misto. [9] Prove que os números A+C e B 2−4AC são invariantes por uma mudança de coordenadas da forma [ x y ] = [ h k ] + [ cosθ sinθ −sinθ cosθ ][ u v ] . Sugestão: A mudança acima pode ser interpretada como uma translação seguida de uma rotação (roto-translação). 26 20 Cônicas [1] Escreva a equação e esboce o gráfico da elipse de focos F1 = (−1,0), F2 = (1,0) e o eixo maior medindo 10. [2] Escreva a equação reduzida da elipse que tem centro na origem, focos num dos eixos coorde- nados, e passa por A e B . (a) A = (3,2); B = (1,4) (b) A = (5,2); B = (2,4) [3] Ache os vértices e a área de um quadrado com lados paralelos aos eixos, inscrito na elipse 9x2+16y2 = 100. [4] Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados (a) os vértices (±2,0), e os focos (±3,0); (b) os vértices (±15,0), e as assíntotas 5y = ±4x; (c) b = 4, e as assíntotas 2y =±3x (focos no eixo O y); (d) os focos (±5,0), e as assíntotas 2y =±x; (e) as assíntotas y = ±x, e um ponto da hi- pérbole, (5,9); (f) os focos (±5,0), e o comprimento L = 92 da corda por um dos focos, perpendicu- lar a F1F2. [5] Determine os focos, os vértices e as diretrizes, das parábolas dadas a seguir. Faça um esboço. (a) y2 = 16x; (b) y2+28x = 0; (c) x2+40y = 0; (d) 5y2 = 12x; (e) 2x2 = 7y ; (f ) 7x2 = 15y . [6] Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo. (a) A = (2,3), x = 0 (b) A = (3,1), y +3= 0 (c) A = (−4,−2), 2x+ y = 3 Sugestão: Use translações e rotações. [7] Determine a equação da circunferência em cada caso: (a) que passa pelos pontos (1,2), (2,1) e (−1,1) (b) circunscrito ao triângulo de vértices (7,3), (2,8) e (5,7). (c) concêntrico ao círculo 4x2+4y2−16x+20y +25= 0 e tangente à reta 5x+12y = 1. (d) que tem seu centro sobre a reta 4x−5y = 3 e é tangente às retas 2x−3y = 10 e 3x−2y = −5. (e) que tem centro (3,−1) e determina sobre a reta 2x −5y +18 = 0 uma corda de compri- mento 6. [8] Esboce e reconheça as cônicas no Exercício 7 da Seção 19. [9] O ponto (3,1) é um vértice de uma elipse E cujos focos se acham sobre a reta y+6= 0. Deter- mine a equação de E sabendo que sua excentricidade é c a = p 2 2 . 27 [10] Determine os pontos da elipse x2 100 + y 2 36 = 1 cuja distância ao foco que se acha sobre o semi- eixo OX positivo seja igual a 14. [11] Determine a equação da família de elipses com centro (2,3), reta focal paralela ao eixo OX e excentricidade c a = 1 2 . [12] Determine a equação da elipse que passa por (1,3), (−1,4), (0,3−p3/2) e (−3,3), sabendo que seus eixos são paralelos aos eixos coordenados. [13] Verifique que a equação da reta tangente à elipse E : b2x2+a2 y2 = a2b2 em um ponto (x0, y0) ∈ E é b2x0x+a2 y0 y = a2b2. [14] Mostre que as retas tangentes aos pontos extremos de um diâmetro de uma elipse são para- lelas. [15] Determine as equações das retas tangentes à elipse x2 20 + y 2 5 = 1 que passam pelo (10/3,20/3). [16] Determine a equação da hipérbole que tem assíntotas y = 2x e y = −2x e passa pelo ponto (2,1). [17] Determine a equação da hipérbole que tem focos em (2,1) e (4,1) e excentricidade c a = 2p 3 . [18] Calcule a área do triângulo formado pelas assíntotas da hipérbole x2 4 − y 2 9 = 1 e a reta 9x+2y = 24. [19] O ponto (1,−2) pertence a uma hipérbole em que um dos focos é (−2,2), tendo a diretriz correspondente a esse foco por equação 2x− y −1= 0. Determine a equação da hipérbole. [20] Determine a equação da hipérbole equilátera(a = b) com centro no ponto (2,3) e um dos focos no ponto (2,5). [21] Determine os valores de k de modo que a equação (x−4)2 9+k + y2 5+k = 1 represente uma hipér- bole. Esboce a curva para k =−7 e dê os focos, a excentricidade e = c a e as assíntotas. [22] Verifique que uma reta paralela a uma assíntota de uma hipérbole intersecta a curva em ape- nas um ponto. [23] Verifique que a reta tangente à hipérbole b2x2−a2 y2 = a2b2 em qualquer ponto (x0, y0) sobre a curva tem por equação b2x0x−a2 y0 y = a2b2. [24] Verifique que o ponto de contato de qualquer tangente a uma hipérbole é o ponto médio do segmento da tangente delimitado pelas assíntotas. [25] Considere a hipérbole H : x2 9 − y 2 36 = 1. Determine os valores de m de modo que a reta y = 5 2 x+m 28 (a) intersectaH em dois pontos distintos. (b) é tangente aH . (c) não intersectaH . [26] Uma circunferência de centro no ponto (4,−1) passa pelo foco da parábola x2+16y = 0. Ve- rifique que a diretriz da parábola tangencia a circunferência. [27] Calcule o comprimento da corda da parábola y2 = 4x determinada pela interseção da reta x−2y +3= 0 com a parábola. [28] Dê a equação da parábola de vértice (2,1) e diretriz 4x+3y = 1. [29] Dê a equação da parábola de vértice na origem e diretriz 2x+ y = 1. [30] Determine a equação da parábola cuja reta focal é paralela ao eixo OX e passa pelos pontos ( 32 ,−1), (0,5) e (−6,7). [31] Identifique os principais elementos das parábolas em cada caso: (a) x2−8y = 0; (b) 2y2+5x+8y −7= 0; (c) 3y2+7y −6= 0; (d) 9x2−42x+49= 0; (e) 3y2−2y +1= 0. [32] Determine a equação da parábola com: (a) Foco F = (−3/4,0) e diretriz x = 3/4. (b) Vértice V = (−1,−3) e diretriz x =−3. [33] Verifique que a equação do segundo grau 10y2+8x−30y −9= 0 é uma parábola, determine o vértice, o foco e a equação da diretriz. [34] Determine as equações que descrevemo lugar geométrico dos pontos equidistantes à circun- ferência x2+ y2 = 1 e ao eixo-OX . [35] Determine as equações que descrevem o lugar geométrico dos pontos que são centros das circunferências tangentes simultaneamente à reta y = 1 e à circunferência x2+ y2 = 9. 21 Superfícies Esféricas [1] Ache uma superfície esférica que passa pelos pontos (1,0,0), (0,1,0), ( 12 , 1 2 , p 2 2 ), (0,0,1). [2] Encontre uma equação geral do planopi, tangente à superfície esférica S : x2+y2+z2−2x−1= 0 pelo ponto T = (1,−1,1). [3] Determine uma equação geral do plano pi, que contém a reta s : { x+ y + z = 0 2x−6y +3z−49= 0 e é tangente à superfície esférica S de centro na origem e raio 7. 29 [4] Obtenha equações gerais dos planos tangentes à superfície esférica S : x2+ y2+ z2+2x+2y −1= 0 que são paralelos ao plano pi : x− y −2z−2= 0. [5] Obtenha equações da circunferência E , de centro P = (1,1,−2) e que passa pelos pontos Q = (2,3,0) e R = (−1,−1,−1). [6] Obtenha equações da circunferência que tem diâmetro AB e passa por C , sendo dados A = (3,−2,5), B = (−1,6,−3) e C = (1,−4,1). [7] O plano 3x+2y+6z = 6 intercepta os eixos coordenados nos pontos A,B e C . Obtenha equa- ções da circunferência circunscrita ao triângulo ABC . [8] Ache uma equação da superfície esférica que tem centro na reta r : { x = 2z−3 y = z−1 e passa pelos pontos A = (6,−1,3) e B = (0,7,5). [9] Dê equações na forma simétrica da reta perpendicular ao plano 10x −2y +4z −1 = 0 e que contém um diâmetro da superfície esférica x2+ y2+ z2+2x−6y + z−11= 0. [10] Calcule a distância do ponto P = (1,−1,3) à superfície esférica S : x2+ y2+ z2−6x+4y −10z−62= 0 (isto é, a distância mínima de P aos pontos de S). [11] Mostre que, se k < 0, a equação x2+ y2+ z2+ax+by + cz+k = 0 representa uma superfície esférica, quaisquer que sejam a,b,c reais. [12] Prove que, se uma superfície esférica de centro C = (a,b,c) é tangente aos três planos coor- denados então |a| = |b| = |c|. [13] Mostre que o plano tangente a S : x2 + y2 + z2 = r 2 no ponto P = (a,b,c) ∈ S tem equação ax+by + cz = r 2. [14] Mostre que para todo φ ∈ R e para todo θ ∈ R, o ponto de coordenadas x = a sinφcosθ, y = a sinφsinθ e z = a cosφ pertence à superfície esférica de centro na origem e raio a > 0. Faça uma figura e descubra o que são φ e θ. Você já ouviu falar em coordenadas esféricas? [15] Encontre os planos tangentes à superfície esférica (x−1)2+ (y−2)2+z2 = 1 que são paralelos ao plano 2x+ y − z = 0. [16] Ache os planos tangentes à superfície esférica x2+y2+z2 = 1 que contém a reta r : { x+ y + z = 0 x− y − z−2= 0 . [17] Uma corda PQ da superfície esférica S : x2+ y2+z2−4x+2y−8z+10= 0 está contida na reta{ x = 2z−1 y = 1− z . Determine os planos tangentes em P e Q. [18] Encontre o centro e o raio da circunferência interseção do plano 2x − 2y − z + 9 = 0 com a superfície esférica x2+ y2+ z2−6x+4y −2z−86= 0. 30 [19] Obtenha equações da circunferência que passa pelos pontos A = (3,−1,−2), B = (1,1,−2) e C = (−1,3,0). [20] Dados A = (3,−1,−2) e B = (1,1,−2), obtenha equações do lugar geométrico dos pontos X tais que o triângulo AB X seja equilátero. Interprete geometricamente. [21] Dê equações gerais dos planos paralelos ao plano x−2y−z = 0, que interceptam a superfície esférica S : x2+ y2+ z2+2x+2y −2z = 0, segundo circunferências de raiop3/2. [22] Um hexágono regular inscrito na circunferência E : { x2+ y2+ z2+2x+2y +2z−3= 0 x+ y + z = 1 tem um vértice na reta X = (−1,1, 1/3)+λ(2,−1,1). Determine seus seis vértices. [23] Verifique se as superfícies esféricas S1 : x 2+ y2+ z2−2x−2y −2z+2= 0 e S2 : x2+ y2+ z2+2x+2y +2z−4= 0 são secantes. Em caso afirmativo, ache o centro e o raio da circunferência S1∩ S2 (observe que subtraindo as equações de S1 e S2 obtém-se uma equação do plano que contém S1∩S2: por quê?). [24] Ache λ real tal que as superfícies esféricas S1 e S2 sejam tangentes: S1 : (x−1)2+ (y −3)2+ z2 = 1 e S2 : x2+ y2+ z2−2λx+4λy +4λz = 0. [25] Dê uma equação da superfície esférica tangente ao plano z = 0 no ponto (1,−2,0), que tan- gencia externamente a superfície esférica x2+ y2+ z2−6x−8y −2z+1= 0. [26] Obtenha as equações gerais das superfícies esféricas com centro (1,0,1) que tangenciam in- teriormente a superfície esférica S : x2+ y2+ z2−2x+ y −10= 0. 22 Superfícies Cilíndricas, Cônicas, Quádricas e de Revolução [1] Ache uma equação da superfície cílindrica de diretriz C cujas geratrizes são paralelas à reta∆ (faça um esboço!), onde: (a) C : { x2+ y2 = z x− y + z = 0 e ∆ : x = 1+λ y = 2−λ z = 3−λ (b) C : { x2−x y +1= 0 z = 0 e ∆ : { x = 2z y = z+3 (c) C : { x y = z x+ y − z = 0 e ∆ : x = y = z (d) C : { x+ y +x y = 0 z = 0 e ∆ : x = y = z [2] Encontre uma equação da superfície cilíndrica de geratrizes paralelas a #«v = (3,−2,1) circuns- crita à superfície esférica de centro (1,−2,2) e raiop3. [3] Mostre que uma relação do tipo F (X ,Y )= 0 em E3, é equação de uma superfície cilíndrica S de diretriz C : { F (x, y)= 0 z = 0 . [4] Ache uma equação da superfície cônica de vértice V cuja diretriz é a curva C (faça um es- boço!), onde: 31 (a) C : { x2−2z+1= 0 y − z+1= 0 e V = (0,0,0). (b) C : { x2+ y2−x = 0 z = 0 e V = (0,0,1). (c) C : { xz = 1 y = 1 e V = (0,0,0). (d) C : { x2− z2+1= 0 y = 1 e V = (0,0,0). [5] Determine uma equação da superfície cônica tendo a origem como vértice, e circunscrita à superfície esférica S : x2+ y2+ z2−3x− y +2= 0. [6] Ache uma equação da superfície cônica circular reta de vértice V = (1,1,1), sabendo que as geratrizes formam ângulo medindo 60◦ com o eixo, que é a reta r : x = 1+λ y = 1+2λ z = 1−λ [7] Encontre uma equação da superfície de rotação gerada pela curva C : { x2+ y2 = 1 x+ z = 0 em torno da reta r : x =λ y =λ z =λ (λ ∈R) [8] Ache uma equação da superfície gerada pela rotação da curva C : { f (x, y)= 0 y = 0 em torno do eixo Oz. [9] Ache uma equação da superfície de rotação gerada pela curva C em torno da reta r (faça um esboço!), onde: (a) C : { x−1= y z = 0 e r : x = y = z. (b) C : { x−1= y z = 0 e r : x− y = z = 0. (c) C : { 3z2+3x = 1 y = 0 e r : eixo Oz. (d) C : { x2+ z2 = 1 y = 0 e r : eixo Oz. (e) C : { (x−1)2+ (z−2)2 = 1 y = 0 e r : eixo Oz. (f) C : { 3z2+3x = 1 y = 0 e r : eixo Ox. (g) C : { x2+ z2 = 1 y = 0 e r : eixo Ox. (h) C : { (x−1)2+ (z−2)2 = 1 y = 0 e r : eixo Ox. (i) C : { z− y2 =−1 x = 0 e r : eixo Oy . (j) C : z 2 a2 + y 2 b2 = 1 x = 0 e r : eixo Oy/Oz. (k) C : x =α y =α2 z =α2 (α ∈R) e r : eixo Oz. [10] Obtenha uma equação da superfície definida como reunião das retas que se apoiam no eixo Ox e na circunferência C : { x2+ y2 = 1 z = 2 matendo-se paralelas ao plano Oy z (esta não é uma superfície cilíndrica, nem cônica, e tampouco de rotação; no entanto você pode adaptar as técnicas que aprendeu nesses casos para resolver o exercício). 32 [11] Ache as equações das seguintes superfícies: (a) O cilindro com geratriz perpendicular ao plano x y e cuja diretriz é a parábola y = x2. (b) O elipsóide obtido girando a elipse x 2 2 + y2 4 = 1 ao redor do eixo maior. (c) O cone obtido girando a reta y = ax+b, z = 0 ao redor dos eixo dos y . (d) O cone obtido girando a reta x = t , y = 2t , z = 3t ao redor da reta x =−t , y = t , z = 2t . [12] Mostre que, se dois dos números a,b,c são iguais, o elipsóide E : x2 a2 + y 2 b2 + z 2 c2 = 1 é uma superfície de rotação. Especifique o eixo de rotação em cada caso. [13] Mostre que se a = b, o hiperbolóide de uma folha H : x2 a2 + y 2 b2 − z 2 c2 = 1 é uma superfície de rotação. Qual é o eixo de rotação? [14] Mostre que se a= b, o hiperbolóide de duas folhas H :−x 2 a2 + y 2 b2 − z 2 c2 = 1 é uma superfície de rotação. Qual é o eixo de rotação? [15] Mostre que se a = b, o parabolóide elíptico P : z = x 2 a2 + y 2 b2 é uma superfície de rotação. Qual é o eixo de rotação? [16] A equação de um parabolóide hiperbólico S : z =−x 2 a2 + y 2 b2 pode ser escrita na forma z = ( −x a + y b )(x a + y b ) . (a) Mostre que, dado c 6= 0, a reta rc : x a + y b = c −x a + y b = z c está contida em S. Também, dado d 6= 0, a reta rd : x a + y b = z d −x a + y b = d está contida em S. 33 (b) Prove que por cada ponto P de S de cota z 6= 0 passa uma única reta da forma rc , e uma única reta da forma rd . [17] Mostre que a superfície de equação z = x y é um parabolóide hiperbólico, efetuando uma mu- dança de coordenadas de (O, #«e 1, #«e 2, #«e 3) para (O′, #« f 1, #« f 2, #« f 3), sendo O′ =O, #«f 1 = #«e 1+ #«e 2p 2 , #« f 2 = #«e 2− #«e 1p 2 e #« f 3 = #«e 3. Faça uma figura. [18] Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do plano pi : x = 2 e do ponto P = (−2,0,0). Reconheça esse lugar geométrico. [19] Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E3 que equidistam das retas r : X = (0,0,0)+λ(1,0,0) e s : X = (0,1,0)+λ(0,0,1). Descreva esse lugar geométrico. [20] Identificar as quádricas cujas equações sejam: (a) x2− y2+ z2 = 0 (b) x2− y2+ z2 = 1 (c) x2− y2+ z2 =−1 (d) x2−4y2 = 0 (e) x2−4y2 = 4 (f) 2x = y2+ z2 (g) 9y = x2 (h) 4z = y2−x2 (i) x2+4y2+9z2 = 25 (j) x2− y2 = z [21] Usando as translações e rotações dos eixos, identifique as superfícies cujas equações sejam: (a) 4x2+ y2+4z2−8x−2y −24z+44= 1 (b) 2x2+4y2+ z2−8y − z+ 614 = 0 (c) 4x2+ y2− z2+12x−2y +4z = 12 (d) 2x2− y2+3z2+1= 0 (e) y2+2x− z = 0 34 Cálculo Diferencial 23 Limites e Continuidade [1] Prove, usando a definição, que a função dada é contínua nos pontos dados. (a) f (x)= 4x−3 em p = 2; (b) f (x)=−3x em p = 1; (c) f (x)= x4 em p =−1; (d) f (x)=px em p = 0 e em p = 4; (e) f (x)= 3px em p = 1; (f) f (x)= x3+x em p = 1; [2] Encontre os limites indicados se existirem: (a) lim x→1 ( x3+x2+5x+1) R: 8 (b) lim x→2 x2+5x−4 x2−5 R:-10 (c) lim x→6 x2−36 x−6 R:12 (d) lim x→2 x−2p 2x−4 R: 0 (e) lim x→0 x 2−p4−x R: 4 (f) lim x→1 2−p3+x x−1 R: -1/4 (g) lim x→2 p 2x2−3x+2−2p 3x2−5x−1−1 R: 5/14 (h) lim x→a x2− (a+1)x+a x3−a3 R: (a−1)/3a 2 (i) lim x→1 ( 1 1−x − 3 1−x3 ) R: -1 (j) lim x→0 p 1+x−1 3 p 1+x−1 R: 3/2 (k) lim x→1 p x−1 x−1 R: 1/2 (l) lim x→64 p x−8 3 p x−4 R: 3 (m) lim x→1 3 p x−1 4 p x−1 R: 4/3 (n) lim x→1 3p x2−2 3px+1 (x−1)2 R: 1/9 (o) lim x→3 p x2−2x+6− p x2+2x−6 x2−4x+3 R: -1/3 (p) lim x→4 3−p5+x 1−p5−x R: -1/3 [3] Prove que lim x→p f (x)= 0 se, e somente se, limx→p | f (x)| = 0. [4] Mostre que lim x→p f (x)= L se, e somente se, limh→0 f (p+h)= L. [5] (Conservação do sinal) Suponha que lim x→p f (x) = L , com L > 0. Mostre que existe δ > 0 tal que, para todo x ∈D f : 0< |x−p| < δ=⇒ f (x)> 0. [6] Seja f : I ⊆R−→R uma função Lipschitziana, isto é, existe M > 0 tal que | f (x)− f (y)| ≤M |x− y | para quaisquer x, y ∈ I . Mostre que f é contínua. [7] Prove (pela definição) que f :R∗ −→R dada por f (x)= 1 x , é contínua em todo p ∈R∗. 35 [8] Considere f (x)= { 1, x ∈Q −1, x ∈R−Q . Mostre que f é descontínua em todos os números reais. [9] Detemine os valores de a e b para os quais a função f (x)= x2−4, x <−1 ax+b, −1≤ x < 2 4−x2, x ≥ 2 é contínua, qualquer que seja x ∈R. [10] Seja f : R→ R a função definida por f (x) = { 2(x−4), se x < 1 kx, se x ≥ 1 . Determine k, de modo que f seja contínua em x = 1. [11] Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados: (a) f (x)= x 2−9 x−3 em x = 3. (b) f (x)= 3x−5 em x = 2. [12] Determine lim x→2 f (x) em cada caso: (a) lim x→2 [ f (x)−x]= 10 (b) lim x→2 [ x f (x) ]= 8 (c) lim x→2 4x f (x) = 12 5 [13] Mostre que se f : [a,b]→R é uma função contínua então | f | : [a,b]→R é contínua, isto é, se f é contínua então o módulo de f também o é. Mostre através de um exemplo que a recíproca não é verdadeira. [14] Seja f (x)= { x+1 se x ∈Q −x+1 se x ∈R−Q . Verifique se esta função possui limite em algum ponto. Justifique sua resposta. 24 Limites Laterais [1] Calcule caso exista. Jusfique em caso de não existência. (a) lim x→1+ |x−1| x−1 (b) lim x→1− |x−1| x−1 (c) lim x→1 f (x)− f (1) x−1 em que f (x)= { x+1 se x ≥ 1 2x se x < 1 (d) lim x→1 f (x)− f (1) x−1 em que f (x)= { x2 se x ≤ 1 2x−1 se x > 1 (e) lim x→1 g (x)− g (2) x−2 em que g (x)= { x se x ≥ 2 x2 2 se x < 2 (f) lim x→2+ x2−2x+1 x−1 36 [2] Determine os pontos para os quais a função dada por f (x)= |x| x possui limite. A função tem limites laterais em x = 0.? [3] Seja f (x) = { p 2−x 4 , se x < 2 0, se x = 2 . Verifique se esta função possui limite em x = 2. Caso não possua, justifique sua resposta. [4] Dada uma função f : D f −→R, suponha que existe δ> 0 tal que 0< |x−p| < δ=⇒ x ∈D f . Mostre que lim x→p f (x)= L se, e somente se, os limites laterais de f existem em x = p e lim x→p+ f (x)= lim x→p− f (x)= L. [5] A afirmação “ lim x→p+ f (x)= lim x→p− f (x)=⇒ f é contínua em p ′′ é verdadeira ou falsa? Justifique. [6] Dê exemplo de uma função definida em R, que não seja contínua em 2, mas que lim x→2+ f (x)= lim x→2− f (x) [7] Para cada uma das funções a seguir, calcule f (x0), lim x→x−0 f (x) e lim x→x+0 f (x): (a) f (x)= |x| x , x 6= 0 0, x = 0 , x0 = 0. (b) f (x)= x−1, x < 0 5, x = 3 8−x x > 0 , x0 = 3. (c) f (x)= x2+1, x > 2 5, x = 2 7x−9, x < 2 , x0 = 2 25 Limites de função composta [1] Calcule (a) lim x→−1 3 √ x3+1 x+1 R: 3 p 3 (b) lim x→1 p x2+3−2 x2−1 R: 1/4 (c) lim x→1 3 p x+7−2 x−1 R: 1/12 (d) lim x→1 3 p 3x+5 x2−1 R: 1/8 [2] Seja f :R−→R uma função tal que lim x→0 f (x) x = 1. Calcule: 37 (a) lim x→0 f (3x) x (b) lim x→0 f (x2) x (c) lim x→1 f (x2−1) x−1 (d) limx→0 f (7x) 3x 26 Teorema do Confronto [1] Sejam f , g : I ⊆R−→R tais que: (i) lim x→p f (x)= 0. (ii) g é limitada. Mostre que lim x→p f (x)g (x)= 0 Dê um exemplo em que o teorema possa ser aplicado. [2] Suponha que, para todo x, |g (x)| ≤ x4. Calcule lim x→0 g (x) x . [3] Seja n um número inteiro positivo. Demonstre que limx→0 xn sin ( 1 x ) = 0. [4] Sejam f :R−→R uma função e p ∈R tais que, para todo x, | f (x)− f (p)| ≤M |x−p|2 Calcule, caso exista, lim x→p f (x)− f (p) x−p . [5] Seja g (x)= { −1, se x ∈Q 1, se x ∉Q . Calcule limx→0 x 2g (x). [6] Sejam f , g :R−→R tais que [ f (x)]4+ [g (x)]4 = 4 para todo x real. Calcule: (a) lim x→0 x 3g (x). (b) lim x→3 f (x) 3 √ x2−9. [7] Sejam a,b,c números reais fixos e suponha que, para todo x, |a+ax+bx2| ≤ |x|3. Prove que |a| = |b| = |c| = 0 [8] Se p 5−2x2 ≤ f (x)≤ p 5−x2 para −1≤ x ≤ 1, determine lim x→0 f (x). [9] Suponha que 2−x2 ≤ g (x)≤ 2cos x para todo x real. Determine lim x→0 g (x). 27 Limite e Continuidade das funções trigonométricas [1] Mostre que as funções trigonométricas seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotan- gente são contínuas onde estiverem definidas. [2] (Limite Fundamental) Mostre que lim x→0 sin x x = 1 e, em seguida, calcule lim x→0 x2 sin x . [3] Encontre os limites indicadosse existirem: 38 (a) lim x→0 1−cos x x2 R: 1/2 (b) lim x→a sin x− sin a x−a ; (c) lim x→a cos x−cos a x−a ; (d) lim h→0 sin(x+h)− sin x h ; (e) lim x→0 1−pcos x x2 . (f) lim x→0 sin3x 2x R: 3/2 (g) lim x→0 sin x 4x R: 1/4 (h) lim x→0 tan2x 3x R: 2/3 (i) lim x→0 tan3x tan5x R: 3/5 (j) lim x→0 sin3x− sin2x sin x R: 1 (k) lim x→0 sin4x sin3x R: 4/3 (l) lim x→0 1−cos x sin x R: 0 (m) lim x→0 1−cos2x sin3x R: 0 (n) lim x→0 1−cos4x x R: 0 (o) lim x→0 tan3x sin4x R: 3/4 (p) lim x→0 3x2 tan x sin x R: 3 (q) lim x→0 sin ( x2+ 1 x ) − sin 1 x x R: 0 (r) lim x→0 x+ sin x x2− sin x R: -2 (s) lim x→0 x− tan x x+ tan x R: 0 (t) lim x→1 sinpix x−1 R: −pi (u) lim x→0 tan x− sin x x3 R: 1/2 (v) lim x→0 arctan2x sin3x R: 2/3 (w) lim x→0 cotan(2x)cotan (pi 2 −x ) R: 1 (x) lim x→0 arcsin x x R: 1 (y) lim x→1 sinpix x−1 R: −pi (z) lim x→1 cos pix 2 1−px R: pi [4] (a) Prove que existe r > 0 tal que cos x−1< sin x x −1< 0 para 0< |x| < r . (b) Calcule lim x→0 x− sin x x2 . (c) Calcule lim x→0 6x− sin2x 2x+3sin4x . 28 Limites Infinitos e Limites no infinito [1] Encontre os limites indicados se existirem: (a) lim x→+∞ ( 5x3−3x) R: +∞ (b) lim x→−∞ 2x2−1 x2−1 R: 2 (c) lim x→−∞ 3x x2−3 R: 0 (d) lim x→−∞ x2+x+1 (x+1)3−x3 R: 1 3 (e) lim x→+∞ (√ x2+3x+4−x ) R: 32 39 (f) lim x→+∞ p x2+1 3x+2 (g) lim x→+∞ p x− 3px x2+3 (h) lim x→+∞[x− √ x2+1] (i) lim x→−∞ 2x3+1 x4+2x+3 (j) lim x→−∞ 3 √ x x2+3 (k) lim x→+∞ 3p x3+2x−1p x2+x+1 (l) lim x→+∞[ p x+1−px+3] [2] Suponha que lim x→p+ f (x)= 0 e que existe r > 0 tal que f (x)> 0 sempre que p < x < p+ r . Prove que lim x→p+ 1 f (x) =+∞ Solução. Seja ²> 0 arbitrário. Como lim x→p+ f (x)= 0, existe δ> 0, com δ≤ r , tal que p < x < δ=⇒ 0< f (x)< 1 ² . Isto implica que 1 f (x) > ² sempre que p < x < δ, e portanto, lim x→p+ 1 f (x) =+∞. [3] Suponha lim x→+∞ f (x)=+∞ e limx→+∞g (x)=+∞. Mostre que (a) lim x→+∞( f (x)+ g (x))=+∞ (b) limx→+∞ f (x)g (x)=+∞ [4] Suponha lim x→+∞ f (x)= L ∈R e limx→+∞g (x)=+∞. Mostre que (a) lim x→+∞ f (x)g (x)=+∞, se L > 0. (b) limx→+∞ f (x)g (x)=−∞, se L < 0. [5] Calcule: (a) lim x→+∞ 5x3−6x+1 6x3+2 (b) lim x→−∞ x4−2x+3 3x4+7x−1 (c) lim x→+∞ x+1 x2−2 (d) lim x→+∞ 2x+3 3+2x [6] Prove que lim x→+∞ n p x =+∞, onde n > 0 é um inteiro. [7] Calcule: (a) lim x→+∞[2x− √ x2+3] (b) lim x→−∞ [√ x+px−px−1 ] (c) lim x→+∞ x+px+3 2x−1 (d) lim x→+∞ [ x− 3 √ 2+3x3 ] (e) lim x→−∞ 3 √ 4x2+6x+3 x2−5 (f) lim x→+∞ p x√ x+px+px 40 [8] Calcule os seguintes limites. (a) lim x→0 (1+x)3− (1+3x+3x2) x4+x3 ; (b) lim x→2 x2−4 x3−2x2+x−2; (c) lim x→a x2− (a+1)x+a x3−a3 ; (d) lim x→1 ( 1 1−x − 3 1−x3 ) ; (e) lim h→0 (x+h)3−x3 h . (f) lim x→0 p 1+x−1 3 p 1+x−1; (g) lim x→1 p x−1 3 p x−1; (h) lim x→0 p 1+x−p1−x x ; (i) lim h→0 p x+h−px h ; (j) lim h→0 3px+h− 3px h . (k) lim x→∞ 2x2−3x−4 4p x2+1 ; (l) lim x→∞ 100x x2−1; ; (m) lim x→∞ x2−5x+1 3x+7 ; (n) lim x→∞ x2 10+xpx ; (o) lim x→∞ 2x+3 x+ 3px . (p) lim x→∞ 2x2−3x−4 4p x2+1 ; (q) lim x→∞ 100x x2−1; ; (r) lim x→∞ x2−5x+1 3x+7 ; (s) lim x→∞ x2 10+xpx ; (t) lim x→∞ 2x+3 x+ 3px . [9] Calcule: (a) lim x→1/2+ 3x+1 4x2−1 (b) lim x→3+ x2−3x x2−6x+9 (c) lim x→2− 3x x−2 (d) lim x→1− 2x+3 x2−1 (e) lim x→0+ sin x x3−x2 (f) lim x→pi+ 1+cos x x−pi 29 Sequências [1] (Critério da Comparação) Sejam (an)n∈N e (bn)n∈N sequências reais e suponha que, para al- gum n1 > 0 natural: n > n1 =⇒ bn ≤ an Mostre que, se lim n→+∞bn =+∞ então limn→+∞an =+∞. [2] Verifique se a sequência cujo termo geral é an = n∑ k=1 1 k , para n ≥ 1, é convergente. Solução. Dado n natural, seja bn o único número inteiro que satisfaz 2bn−1 < n ≤ 2bn (5) 41 Em particular, segue do Critério da Comparação que lim n→+∞bn =+∞. Por outro lado, da desi- gualdade (5) obtemos 1 2bn ≤ 1 n < 1 2bn−1 , e portanto, podemos escrever: an = 1 20 + ( 1 21 + 1 3 ) + ( 1 22 + 1 5 + 1 6 + 1 7 ) +·· ·+ ( 1 2bn + 1 2bn +1 +·· ·+ 1 n ) Observe que a j -ésima parcela na soma acima é igual a 1 2 j−1 + 1 2 j−1+1 +·· ·+ 1 2 j −1 Esta soma é composta por 2 j−1 parcelas e cada uma delas é maior que 1 2 j , e portanto, 1 2 j−1 + 1 2 j−1+1 +·· ·+ 1 2 j −1 > 2 j−1 · 1 2 j , ou seja, 1 2 j−1 + 1 2 j−1+1 +·· ·+ 1 2 j −1 > 1 2 . Além disso, an > 1 20 + ( 1 21 + 1 3 ) + ( 1 22 + 1 5 + 1 6 + 1 7 ) +·· ·+ ( 1 2bn−1 + 1 2bn−1+1 +·· ·+ 1 2bn −1 ) Nesta última desigualdade, o lado direito é composto por uma soma com bn parcelas e, como vimos acima, cada parcela é maior que 1/2, de onde segue-se que an > bn 2 Como lim n→+∞ bn 2 =+∞, o Critério da Comparação implica que lim n→+∞an =+∞ [3] Dado um número real a, mostre que: (a) lim n→+∞a n = 0, se 0≤ a < 1. (b) lim n→+∞a n =+∞, se a > 1. [4] Calcule os seguintes limites: (a) lim n→+∞ 2n +1 3n +2 (b) lim n→+∞ n∑ k=0 ( 1 1,5 )n (c) limn→+∞ [ (−1)n 2 +2 ] (d) lim n→+∞ 1+5n 2+3n (e) lim n→+∞ n2+2 2n3+n−1 (f) lim n→+∞ n∑ k=1 1 k 42 [5] Supondo 0< a < 1, mostre que lim n→+∞ n∑ k=1 ak = a 1−a . [6] Considere a função dada por f (x)= x, para x ∈R, e defina Sn = f ( 1 n ) 1 n + f ( 2 n ) 2 n +·· ·+ f ( n−1 n ) n−1 n + f (n n ) n n (a) Calcule S3 e interprete o resultado geometricamente. (b) Calcule lim n→+∞Sn e compare com o resultado esperado geometricamente. [7] Mostre que n∑ k=1 k2 = n(n+1)(2n+1) 6 e calcule lim n→+∞ 1 n3 n∑ k=1 k2. [8] Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com aceleração constante a > 0. Suponha que no instante t = 0 a velocidade seja zero. A velocidade no instante t é, então, v(t ) = at . Divida o intervalo [0,T ] em n intervalos de amplitudes iguais a T n . No instante T n a velocidade será aT n , no instante 2T n será 2aT n , e assim por diante. Supondo n suficientemente grande, o espaço percorrido entre os instantes T n e 2T n será aproximandamente aT n · T n (por quê?); entre os instantes 2T n e 3T n o espaço percorrido será aproximandamente 2aT n · T n , e assim por diante. (a) Calcule lim n→+∞ [ aT n · T n + 2aT n · T n +·· ·+ (n−1)aT n · T n ] (b) Interprete cinematicamente e geometricamente o limite acima. [9] Considere a sequência de termo geral an = 1+ 1 22 + 1 32 +·· ·+ 1 n2 . (a) Prove que (an)n∈N é crescente. (b) Mostre que, para todo n ≥ 1, 1+ 1 22 + 1 32 +·· ·+ 1 n2 < 2. (c) Prove que lim n→+∞ ( 1+ 1 22 + 1 32 +·· ·+ 1 n2 ) existe e que é menor que 2. [10] (ENADE-2011) Considere a sequência numérica definida por a1 = a,an+1 = 4an 2+a2n , para n ≥ 1 Use o princípio de indução finita e mostre que an < p 2, para todo número natural n ≥ 1 e para 0< a <p2, seguindo os passos indicados nos itens a seguir: (a) escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demonstrada; (b) mostre que s := 4a 2+a2 > 0, para todo a > 0;(c) prove que s2 < 2, para todo 0< a <p2; 43 (d) mostre que 0< s <p2; (e) suponha que an < p 2 e prove que an+1 < p 2; (f) conclua a prova por indução. [11] Dada uma função f : D f ⊆ R −→ R, suponha que limx→p f (x) = L. Seja (an)n∈N uma sequência em D f tal que limn→+∞an = p e an 6= p para todo n. Mostre que lim n→+∞ f (an)= L [12] Considere a função f definida por f (x)= { cos( 1x )sin( 1 x ), se x 6= 0 0, se x = 0 . Verifique se f é contí- nua em p = 0. Justifique. Solução. Considere a sequência (an) cujo termo geral é dado por 2 an = 2pin+ pi 2 , n ∈N. Então, para cada n ∈N, an = 4 (4n+1)pi e portanto, lim n→+∞an = 0. E ainda, lim n→+∞ f (an)= limn→+∞ sin(2/an) 2 = lim n→+∞ 1 2 = 1 2 . Como lim n→+∞ f (an) 6= f (0), segue-se que f não é contínua em p = 0. [13] Seja f : D f ⊆R−→ R uma função e suponha que existem duas sequências (an) e (bn) em D f , com lim n→+∞an = limn→+∞bn = p, an 6= p e bn 6= p para todo n, tais que lim n→+∞ f (an) 6= limn→+∞ f (bn) Mostre que f não é contínua em p ∈D f . [14] Prove que lim x→0 sin ( 1 x ) e lim x→+∞cos x não existem. [15] Seja f (x) = { x, se x ∈Q −x, se x ∉Q . Calcule limx→0 f (x) e mostre que limx→p f (x) não existe, qualquer que seja p ∈R. [16] Considere a sequência de termo geral an positivo. Sabendo-se que lim n→+∞an = a (real) e que an+1 = 1 1+an para todo n, calcule a. 44 [17] Sejam f uma função, p um número real e suponha que existam duas sequêncas an e bn con- vergindo a p, com an e bn pertencentes a D f para todo n, tais que lim n→+∞ f (an)= L e limn→+∞ f (bn)= L. Podemos afirmar, então, que lim x→p f (x)= L? Por quê? [18] Mostre que a sequência a1 = p 2, a2 = √ 2 p 2, a3 = √ 2 √ 2 p 2, . . . é convergente e calcule seu limite. [19] Mostre que a sequência a1 = p 2, a2 = √ 2+p2, a3 = √ 2+ √ 2+p2, . . . é convergente e calcule seu limite. 30 O número neperiano [1] (Constante de Neper) Para n ≥ 1 inteiro, defina an = ( 1+ 1 n )n (a) Prove que an ≤ n∑ k=0 1 k ! para todo n ≥ 1. (b) Verifique que 2n ≤ (n+1)! para todo n ≥ 0 (c) Mostre que an < 3 para todo n ≥ 1. (d) Prove que (an)n∈N é crescente. (e) Conclua que (an)n∈N é convergente. O limite desta sequência, denotado por e≈ 2,7182818. . ., é chamado constante de Neper. (f) Calcule lim n→+∞ ( 2+3n 5n )n/2 . (g) Calcule lim n→+∞ ( 2n+3 2n+1 )n+1 [2] (ENADE-2011) Sabe-se que, para todo inteiro n > 1, tem-se n n p e e < n p n!< n n p ne e Nesse caso, se lim n→+∞ np n!= a então: (a) a = 0 (b) a = 1 e (c) a = 1 (d) a = e (e) a =+∞ 45 31 Teoremas do Anulamento, do Valor Intermediário e de Weiers- trass [1] (Teorema do Valor Intermediário) Seja f : [a,b] −→ R uma função contínua. Seja c um nú- mero real entre f (a) e f (b). Mostre que existe x0 ∈ [a,b] tal que f (x0)= c. [2] Dada uma função contínua f : [a,b]−→R, mostre que existe c ∈ [a,b] tal que f (c)= f (a)+ f (b) 2 [3] (ENADE-2011) O Teorema do Valor Intermediário é uma proposição muito importante da análise matemática, com inúmeras aplicações teóricas e práticas. Uma demonstração analí- tica desse teorema foi feita pelo matemático Bernard Bolzano [1781 – 1848]. Nesse contexto, faça o que se pede nos itens a seguir: (a) Enuncie o Teorema do Valor Intermediário para funções reais de uma variável real; (b) Resolva a seguinte situação-problema. O vencedor da corrida de São Silvestre-2010 foi o brasileiro Mailson Gomes dos Santos, que fez o percurso de 15 km em 44 min e 7 seg. Prove que, em pelo menos dois momentos distintos da corrida, a velocidade instantânea de Mailson era de 5 metros por segundo. (c) Descreva uma situação real que pode ser modelada por meio de uma função contínua f , definida em um intervalo [a,b], relacionando duas grandezas x e y , tal que existe k ∈ (a,b) com f (x) 6= f (k), para todo x ∈ (a,b), x 6= k. Justifique sua resposta. [4] (Teorema do Anulamento) Seja f : [a,b]−→R uma função contínua tal que f (a) f (b)≤ 0. Use o TVI para provar que existe x0 ∈ [a,b] tal que f (x0)= 0. [5] Seja f (x)= x5+x+1. Mostre que f possui pelo menos uma raiz no intervalo [−1,0]. [6] Prove que a equação x3−4x+2= 0 admite três raízes reais distintas. [7] Seja α a menor raiz positiva da equação x3−4x+2= 0. Determine intervalos de amplitudes 1 2 , 1 4 e 1 8 que contenham α. [8] Prove que a equação x3− 1 1+x4 = 0 admite ao menos uma raiz real. [9] (Teorema de Weierstrass) Dada uma função f : [a,b] −→ R contínua, mostre que existem x1, x2 ∈ [a,b] tais que f (x1)≤ f (x)≤ f (x2) para todo x ∈ [a,b]. Neste caso, f (x1) é o valor mínimo e f (x2) é o valor máximo da função f no intervalo [a,b]. [10] Prove que o conjunto { x2+ 1 x ; 1 2 ≤ x ≤ 2 } admite máximo e mínimo. [11] Considere o conjunto A = { x2+x 1+x2 ;−1≤ x ≤ 1 } . Prove que: 46 (a) A admite máximo e mínimo; (b) o máximo de A é 1; (c) existe x1 ∈ (−1,0) tal que A atinja o valor mínimo em x1. [12] Mostre que a função f : (0,1]−→R dada por f (x)= 1/x é contínua, admite valor mínimo, mas não valor máximo. Isso contradiz o Teorema de Weierstrass? Justifique. [13] Considere a função f : [0,pi] −→ R definida por f (x) = { sec x, se x 6=pi/2 0, se x =pi/2 . Mostre que f não admite valor mínimo nem máximo. Isso contradiz o Teorema de Weierstrass? Justifique. [14] Suponha que f : [0,1] → R é contínua, f (0) = 1 e que f (x) é racional para todo x em [0,1]. Prove que f (x)= 1, para todo x em [0,1]. [15] (Teorema do ponto fixo) Seja f : [0,1]→R contínua e tal que, para todo x ∈ [0,1], 0≤ f (x)≤ 1. Prove que existe c em [0,1] tal que f (c)= c. [16] É verdade que se você esticar um elástico movendo uma ponta para a direita e a outra para a esquerda, algum ponto do elástico continuará em sua posição original? [17] Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da montanha, chegando lá às 7 horas da noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7 horas da noite. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto no cami- nho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas. [18] Seja f contínua em [a,b] e tal que f (a) < f (b). Suponha que quaisquer que sejam s e t em [a,b], s 6= t ⇒ f (s) 6= f (t ). Prove que f é crescente em [a,b]. Observação: f é crescente em [a,b] se: ∀s, t ∈ [a,b], s < t ⇒ f (s)< f (t ). [19] Suponha f contínua no intervalo I e que f admita neste intervalo uma única raiz a. Suponha ainda, que existe x0 em I , com x0 > a, tal que f (x0) > 0. Prove que, para todo x em I , com x > a, f (x)> 0. [20] Considere a função f dada por f (x)= 2x3− p x2+3x. (a) Verifique que f é contínua em [0,+∞). (b) Mostre que 1 é a única raiz de f em (0,+∞), que f (2)> 0 e que f ( 12 )< 0. (c) Conclua que f (x)> 0 em (1,+∞) e que f (x)< 0 em (0,1). [21] Seja f : I ⊆ R −→ R uma função contínua e suponha que a e b são as únicas raízes de f no intervalo I , com a < b. Dados x0, x1 e x3 em I com x0 < a, a < x1 < b e b < x2, estude o sinal de f em I , a partir dos sinais de f (x0), f (x1) e f (x2). Justifique. 47 32 Exponencial natural [1] (A função exponencial) Seja a um número real positivo e diferente de 1. Mostre que existe uma função f :R−→R contínua tal que: (i) f (r )= ar , para todo r ∈Q. (ii) f é decrescente, se 0< a < 1. (ii) f é crescente, se a > 1. [2] (O número neperiano) Mostre que lim x→+∞ ( 1+ 1 x )x = e. Conclua que lim x→+∞ ( 1+ a x )x = ea para a ∈R. [3] Encontre os limites indicados se existirem: (a) lim x→+∞ ( 1+ 1 x )2x R: e2 (b) lim x→−∞ ( 1+ 1 x
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