Resolução Prova ENADE 2008 - 01

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FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) 
FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) 
COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA 
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 
Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat 
 
 
 
 
E N A D E 2008 
 
MATEMÁTICA 
 
LICENCIATURA 
 
 
 
QUESTÕES RESOLVIDAS 
 
 
I N T R O D U Ç Ã O 
Estamos apresentando a prova do ENADE aplicada em 2008 para os cursos de 
Licenciatura em Matemática. 
Este trabalho tem o objetivo de aproximar alunos e professores das Faculdades 
Integradas Campo-Grandenses ao Projeto ENADE 2011. 
Reconhecemos que fazemos um trabalho de qualidade. Isto fica determinado pela 
nota 3,0 do ENADE 2008. Mas, necessariamente, ao pensarmos que temos a necessidade de 
expandirmos nossos conhecimentos estaremos no caminho progressivo. 
O primeiro passo é entender os componentes da prova, pois esta prova avalia os 
cursos de Licenciatura e Bacharelado. 
A prova contém oito questões de múltipla escolha e duas discursivas avaliando a 
formação geral, comuns para os Cursos de Licenciatura e Bacharelado. 
A prova contém dezessete questões de múltipla escolha e duas questões discursivas 
avaliando componentes específicos de Matemática comuns para Licenciatura e Bacharelado. 
A prova contém dez questões de múltipla escolha e uma questão discursiva 
avaliando componentes específicos de Matemática para a Licenciatura. 
O segundo passo é resolver a prova iniciando pela parte de conteúdos matemáticos. 
Exige mais e no início da prova estamos menos desgastados. Devemos, também, em outro 
momento, resolver as questões de formação geral. 
Podemos começar pelas questões de múltipla escolha comuns à Licenciatura e 
Bacharelado ou pelas questões específicas de Licenciatura. Neste momento é você que 
escolhe! Mas, não se prenda em questões em que não esteja seguro ou que, ao iniciar a 
resolução, se envolva em dificuldades. 
As questões discursivas devem ser resolvidas, mesmo de forma incompleta. Nestas 
resoluções existem pontuações variadas conforme seu empenho nos desenvolvimentos. 
Existem nove questões sobre a percepção da prova sem nenhum peso para a nota. 
Resolvemos e digitamos somente as questões de conteúdos específicos de 
Matemática. 
Esperamos que, alunos e professores, possam colaborar informando sobre possíveis 
erros que por ventura tenhamos cometido. 
Dedico este trabalho aos alunos concluintes 2011 do Curso de Licenciatura em 
Matemática das Faculdades Integradas Campo-Grandenses. 
Alzir Fourny Marinhos 
E-mail: fourny@uol.com.br 
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COMPONENTE ESPECÍFICO COMUM PARA LICENCIATURA E BACHARELADO. 
Questão 11: 
 
RESOLUÇÃO 
A cara de uma lei parabólica é de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, a ≠ 0. 
Veja que a função tem a cara de y = a (x – 12) ( x + 12) ou y = a (x 2 - 144) ou y = ax
2 – 144. 
Veja que c = - 144a e b = 0 (não temos a variável x na lei da função y = ax 2 - 144a). 
Veja que yv = 3 , logo como yv = - 
a
cab
4
42 −
temos 3 = 
a
ac
4
4
e c = 3. 
Como c = - 144a temos 3 = - 144a e a = 
48
1
144
3
−=− . 
 
 
 
 
 
 
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Então temos y = ).144(
48
1 2
−− x 
Para determinarmos a altura da bola (y) ao atingir o gol devemos substituir na função 
y = )144(
48
1 2
−− x o valor de x = 8. 
Então temos y = 
3
5
48
80)1448(
48
1 2
==−− 
 Resposta : 
3
5
 
Questão 12 
 
RESOLUÇÃO: 
Veja que a equação da circunferência é x2 + y2 + y = 0 e da parábola é x2 – y – 1 = 0. 
Para a circunferência temos x2 + y2 – 2xcx – 2ycy + xc
2 + yc
2 – r2 = 0. 
Daí -2xc = 0 e xc = 0; - 2yc= 1 e yc = - 2
1
. 
Para determinar o raio: 
02 + 0
4
1 2
=− r . Daí r = 
2
1
. 
A parábola tem a cara y = x2 – 1. 
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Veja as representações da parábola e circunferência: 
−3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
 
Item a - Veja que a reta de equação y = -1 é paralela ao eixo x, tangente ao vértice da parábola, 
perpendicular ao eixo y e por consequência tangente à circunferência (que tem centro de 
abscissa zero). Podemos ver também substituindo y = -1 nas equações da circunferência e 
parábola e encontrando x = 0. A solução comum x = 0 e y = -1 ou o ponto (0, -1) determina a 
solução do sistema formado pelas três equações: reta, circunferência e parábola. Determina o 
ponto de intersecção entre esses gráficos. Determina que a reta de equação y = -1 é tangente 
à circunferência e à parábola. 
Item b- Para saber os pontos de intersecção entre as curvas devemos fazer a resolução do 
sistema: 
x2 = y + 1 e x2 + y2 + y = 0. 
Logo temos y + 1 + y2 + y = 0 ; y2 + 2y + 1 = 0, que tem duas raízes iguais y = -1. 
Logo para y = -1 temos x = 0 (veja em x2 = y + 1). 
Então o ponto em comum entre as curvas é somente o ponto (0 , -1). 
Item c- Veja que toda reta que passa pelo centro da circunferência intercepta a parábola. 
Item d- O raio da circunferência é .
2
1
 
Item e - A parábola tem concavidade para cima. 
Resposta: A reta de equação y = -1 é tangente à circunferência e à parábola. 
 
 
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Questão 13 
 
RESOLUÇÃO: 
De 10 postos dois vendem gasolina adulterada. 
Ao sortear dois desses dez postos pede-se a probabilidade de os dois postos com gasolina 
adulterada serem sorteados. 
Para o primeiro posto sorteado: 2 em 10; 
e 
Para o segundo posto sorteado (um já saiu): 1 em 9. 
 
Daí 
45
1
90
2
9
1
10
2
==x 
RESPOSTA: 
45
1
 
 
 
 
 
 
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Questão 14: 
 
 
RESOLUÇÃO: 
Veja que a reta que passa por (0,0) e (2,1) tem como equação y = 
2
x
. 
Veja que a reta que passa por (0,0) e (1,2) tem como equação y = 2x. 
Veja a equação da reta que passa por (1,2) e (2,1): 
 
 
 
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0
112
121
1
=
yx
 e y = - x + 3. 
A representação do plano definido entre as retas é dada pelo sistema de inequações: 
Em y = 2x temos y < 2x. 
Em y =
2
x
temos y > 
2
x
. 
Em y = -x + 3 temos y < -x + 3. 
Logo: 
y – 2x < 0. 
y - 
2
x
> 0 ou 2y – x > 0. 
y < -x +3 ou y + x < 3. 
Resposta: 
y – 2x < 0; 
2y – x > 0; 
y + x < 3.FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) 
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Questão 15: 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
ABDC é um quadrado pois AC, BD e AB são segmentos congruentes e num papel retangular, 
logo de ângulos A e B com 900 . 
ABDC é um quadrado que tem suas diagonais AD e BC interceptando-se em T formando 
ângulos de 90 0. 
Veja que o triângulo CAB é retângulo isósceles em A. Os ângulos C e B do triângulo CAB valem 
45 0 pois CB e AD são diagonais do quadrado ABDC. 
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Logo o ângulo T do triângulo PTQ é reto em T e os outros ângulos P e Q são de 45 0, pois PT e 
TQ são congruentes, formando um triângulo retângulo isósceles. 
Logo o triângulo PQD é obtusângulo (ângulo em Q obtuso) mas o triângulo PTQ não é 
eqüilátero, é isósceles. 
RESPOSTA : A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. 
Questão 16: 
 
RESOLUÇÃO: 
Para estudarmos o intervalo que a função é crescente devemos usar o conceito de derivada. 
Estudar o sinal da função representada pela primeira derivada de g(t) = 0,)1(
10
2 ≥+
t
t
t
. 
No intervalo em que a função primeira derivada g ’ (t) for positiva determina que a função g(t) 
é crescente neste intervalo; no intervalo em que a função primeira derivada g ’ (t) for negativa 
determina que a função g(t) é decrescente neste intervalo. 
Derivando g(t) temos g ’ (t) = 4
2
)1(
)1.(2.1010.)1(
+
+−+
t
ttt
= 4
2
)1(
1010
+
+−
t
t
. 
Estudando os sinais da primeira derivada g ’ (t) = 4
2
)1(
1010
+
+−
t
t
. 
Fazendo f(t) = - 10 t2 + 10 e h(t) = (t + 1 ) 4 . 
 
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 -1 0 +1 Valores para t. 
 f(t) - + + - f(t) = - 10 t2 +10 
 h(t) + + + + h(t) = (t+1)4 
 g ‘ (t) - + + - g ‘ (t) = 4
2
)1(
1010
+
+−
t
t
 
Temos que considerar t positivo e g ‘ (t) positivo. Veja que não podemos considerar 
-1 < t < 1 pois temos a condição 0≥t para t. 
Logo para g ‘ (t) positivo, que significa g(t) crescente, temos o intervalo 10 <≤ t . Veja que 
para t = 0, g ’ ( t) é positiva, e para t = 1 temos g ’ (t) = 0 (não positiva). 
Resposta: 10 <≤ t . 
Questão 17: 
 
RESOLUÇÃO: 
2
2
2
2
44
cos4 iisene
i
+=+=
pipipi
 
2
2
2
2
4
3
4
3
cos4
3
iisene
i
+−=+=
pipipi
 
 
 
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x
y
 
O ponto A está definido por ).
2
2
,
2
2(− 
O ponto B está definido por ).
2
2
,
2
2( 
O ponto C está definido por (0,2) 
A base do triângulo é 2
2
22
= . 
A altura do triângulo é .
2
22 − 
A área do triângulo ABC é: 
.
2
12
2
122
2
)
2
22.(2
−=
−
=
−
=S 
RESPOSTA: .
2
12 − 
 
 
 
 
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Questão 18 
 
RESOLUÇÃO: 
O conjunto Z 12 = 
 { }11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 , +, . é anel. 
a) Não há divisores de zero. 
Falso, pois x é divisor de zero se x . a = a . x = 0 = 12 , para a em Z12. 
Os divisores de zero são os elementos de Z 12 que dividem 12 (12 = 0 ). 
No anel dos inteiros módulo 12 os divisores de zero são 6,4,3,2,1 . 
b) Todo elemento não nulo é inversível. 
Falso, pois todos os elementos são inversíveis, inclusive o zero. 
Veja exemplos: 
0 + 0 = 0 . Inverso de zero é zero. 0 é o elemento neutro do anel. 
O inverso de éa a−12 a em Z 12 . 
Exemplos: 
O inverso de é1 112 − , pois 0111 =+ . Inverso de 111 é . 
Inverso de é4 412 − , pois 084 =+ 
c) O subconjunto dos elementos inversíveis forma um subanel de R. 
Verdadeiro, pois o subconjunto dos inversíveis é o próprio Z12, que é anel, logo, subanel 
(por ser subconjunto). 
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d) A multiplicação não é comutativa. 
 Falso. Veja que Z 12 na multiplicação é comutativo. 
Exemplo: 
 9213.77.3 === 
e) Há exatamente 4 elementos inversíveis. 
Falso, pois todos os elementos são inversíveis, inclusive o zero. 
RESPOSTA : O subconjunto dos elementos inversíveis forma um subanel de R. 
 
Questão 19 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
).(;: tgdederivadaaé
dt
dgRRgSeja →
 
Seja Rxdt
dt
tdgx
∈∫ ;
)(
0
 
I- A função f é integrável em todo intervalo [a,b], a,b ∈ R, a < b. 
Correto, pois veja que f(x) = ( ] )()(;)( 0
0
xgtgRxdt
dt
tdg xx
==∈∫ + k. 
f(x) é integrável em todo intervalo [a,b], pois existe g(x): R → R e sua derivada 
dx
dg
, contínua, 
considerados na questão. 
II- A função f é derivável e sua derivada é a função g. 
Incorreto, pois se f(x) = g(x) + k então f’(x) = g’(x). 
III- A função diferença f – g é uma função constante. 
Correto, pois a diferença f – g = g(x) + k – g(x) = k (constante). 
Resposta: I e III apenas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 20 
 
RESOLUÇÃO: 
C x
 = { x + r / r ∈ Q} 
a) o número pi pertence ao conjunto C1 . 
C 1
 = { 1 + r: r ∈ Q} 
1 (racional) + racional é racional, logo pi (irracional) não pertence ao conjunto C1. 
C 4
 = { 4 + r / r Q∈ } ; r = 1 gera 5; r = 2 gera 6. 
C 5
 = { 5 + r / r Q∈ } ; r = 0 gera 5; r = 1 gera 6. Veja que já temos dois elementos, 5 e 6, 
pertencentes à C 4 ∩ C 5 , Logo C 4 ∩ C 5 não possui um único elemento. 
b) o conjunto C 4 ∩ C 5 possui um único elemento. 
c) o número 2 pertence ao conjunto 3C . 
C 3 = { 3 + r: r ∈ Q} 
3 mais racional não dará 2 já que 3 + racional = 2 , e um número racional não é 
dado por 32 − . Logo o número 2 não pertence ao conjunto 3 . 
 
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d) os conjuntos C 3 e C 1/3 são iguais. 
Vamos ver: 
C 3 = { 3 + r 1 : r 1 ∈Q} e C 1/3 = { 1/3 + r2 : r 2 ∈Q}. 
3 + r1 = 1/3 + r 2 ou r1 = r2 – 8/3. 
Sempre haverá racionais r 1 e r 2 tal que r1 = r2 – 8/3. Assim: C 3 = { 3 + ( r 2 - 8/3) : r 2 ∈Q} 
e C 1/3 = { 1/3 + r2 : r 2 ∈Q}. 
e) o número zero pertence ao conjunto C pi e C - pi . 
O número zero não pertence aos conjuntos pois não podemos ter pi - pi ou -pi + pi , já 
que a segunda parcela tem de ser racional. 
RESPOSTA: Os conjuntos C 3 e C 1/3 são iguais. 
Questão 21 
 
RESOLUÇÃO: 
O polinômio P(x) = x3 – 3x2 + kx + m é múltiplo de Q(x) = x2 - 4. 
O polinômio é divisível por x2 - 4. Então é divisível por (x-2) (x+2). Então é divisível por (x-2) e 
(x+2). 
 
 
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Usando Briot Rufini: 
2 1 - 3 k m 
 1 - 1 - 2 + k - 4 + 2k + m 
 
- 2 1 - 3 k m 
 1 - 5 10 + k - 20 – 2k + m 
Temos: 
- 4 + 2k + m = 0 
- 20 – 2k + m = 0 
Resolvendo o sistema temos k = - 4 e m = 12. 
RESPOSTA: k = - 4 e m = 12. 
Questão 22 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
a) A transformação T(x,y) = (- x,y) é uma reflexão em torno do eixo y. A transformação 
dada faz reflexão em torno do eixo x e é dada por T(x, y) = ( x, - y). 
 
b) Tem autovetor (0,-1) com autovalor associado igual a 2 ? 
Um vetor não nulo v em V é dito um autovetor de T se existe um número real λ tal 
que T(v) = λ v. 
O escalar λ é denominado um autovalor de T associado a v. 
Pode-se concluir que v e T(v) são paralelos já que λ v tem a mesma direção de v. 
 
Veja que T(0,-1) = (0,1) e 2(0,-1) = (0, -2); (0, 1) e (0, -2) não são paralelos. Logo não 
temos autovetor (0, -1) com autovalor 2. 
 
c) T(2,0) = (2,0) e 1 (2,0 ) = (2,0). Como T(2, 0) = 1 (2,0), vetores paralelos, temos (2,0) 
com autovalor 1. 
 
d) Tem autovalor de multiplicidade 2? 
 
Veja que T(x.y) = k (x,y) = (x, -y). Autovalor 1 para autovetores (x, 0). Apenas 1 como 
autovalor. Não há autovalor de multiplicidade 2. 
 
e) Uma transformação linear é inversível se for bijetora. 
 
Veja que: 
 T( x, y ) = (x, - y) de R2 em R 2 é injetora pois para (a, b) ≠ (c, d) temos T (a, b) ≠ T (c, d). 
 T( x, y ) = (x, - y) de R2 em R 2 é sobrejetora pois para (x, y) no contradomínio R 2 teremos 
sempre (x, - y) no domínio R2. Logo a transformação é bijetora. Logo tem inversa. 
CRÍTICA À QUESTÃO: 
O INEP coloca como resposta que a transformação não é inversível. Descordamos da resposta. 
RESPOSTA: Tem autovetor (2,0) com autovalor associado igual a 1. 
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Questão 23 
 
 
RESOLUÇÃO: 
x + y + z = 1 
2x + 2y + 2z = 4 
3x + 3y + 4z = 5 
Este sistema é impossível. 
Veja por escalonamento: 
Multiplicando a primeira equação por -2 temos -2x – 2y – 2z = -2. 
-2x – 2y – 2z = -2 
2x + 2y + 2z = 4 
3x + 3y + 4z = 5 
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Ao somarmos a primeira equação à segunda temos: 
 -2x – 2y – 2z = -2 
0x + 0y + 0z = 2 
3x + 3y + 4z = 5 
Veja que temos uma impossibilidade para valores de x, y, z na segunda equação: 0 = 2. 
O determinante da matriz de coeficientes é zero. É verdadeiro. Duas colunas iguais gera 
determinante zero. Mas isso não justifica a impossibilidade de solução pois poderíamos neste 
caso ter um sistema indeterminado. 
Daí termos as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma 
justificativa correta para a primeira. 
RESPOSTA: As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma 
justificativa correta da primeira. 
Questão 24 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
I 1 = { r1 - 32
1
, r1 + 32
1
} 
I 2 = { r1 - 42
1
, r1 + 42
1
} 
L1, L2, L3, ... definem comprimentos de cada intervalo I1, I2, I3.. . 
L1 = r1 + 32
1
- r1 + 32
1
= 32
2
. 
L2 = r1 + 42
1
- r1 + 42
1
= 42
2
e assim sucessivamente. 
Então teremos 
2
1
8
4
2
1
8
2
2
11
2
2
.......
2
1
2
2
2
2 3
543
1
===
−
++=∑
∞
=i
iL . 
RESPOSTA: 
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 25 
 
RESOLUÇÃO: 
Vejamos as proposições apresentadas: 
I - O volume da pirâmide é ½. 
O Volume do tetraedro é dado por V =
12
23a
. 
 
 
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Como o tetraedro tem volume 1, calculamos a3 em 1 = 
12
23a
 sendo a3 = 6 2 . 
A pirâmide SMNP é um tetraedro. 
Daí V =
12
23a
= 
8
1
96
12
96
2.26
12
8
2
12
2)
2
(
3
3
====
aa
. O volume da pirâmide SMNP é 
1/8. 
II - A interseção do plano α com o tetraedro é um paralelogramo. 
Não, é um triângulo. 
 
III - As retas que contêm as arestas MP e RU são reversas. 
Retas reversas são aquelas não coplanares, isto é, em planos distintos. 
A reta que contém MP está no plano formado pela face RST e a reta que contém RU está no 
plano SRU ou RUT. São retas não coplanares ou reversas. 
RESPOSTA: III, APENAS. 
 Questão 26 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
f(x, y) = x3 – x 2 + 2xy – y2. 
A condição necessária que (x0 , y 0) , interior do D f , seja máximo global é que (x0 , y 0 ) seja 
ponto crítico de f e, além disso, .0),(0),( 002
2
002
2
≤≤ yx
Dy
D
eyx
Dx
D
 
Veja: 
).0,0()0,0(223),( 2 =+−=
Dx
D
eyxxyx
Dx
D
 
).0,0()0,0(22),( =−=
Dy
D
eyxyx
Dy
D
 
Logo (0,0) é ponto crítico. 
Mas é necessário também: 
.0)0,0(0)0,0( 2
2
2
2
≤≤
Dy
D
e
Dx
D
 
.02)0,0(26),( 2
2
2
2
≤−=−=
Dx
D
exyx
Dx
D
 
 
.02)0,0(2),( 2
2
2
2
≤−=−=
Dy
D
eyx
Dy
D
 
Logo (0,0) é ponto máximoglobal. 
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As duas proposições são verdadeiras mas afirmar que a função tem um ponto máximo global, 
pois (0,0) é ponto crítico, não é verdade pois teremos, também, que verificar se 
.0)0,0(0)0,0( 2
2
2
2
≤≤
Dy
D
e
Dx
D
 
RESPOSTA: As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda 
não é uma justificativa correta da primeira. 
 
Questão 27 
 
RESOLUÇÃO: 
Qual o resto da divisão de 2 334 por 23? 
2 11 ≡ 1 ( mod 23) 
( 2 11 ) 30 ≡ 1 30 ( mod 23) 
2 330 ≡ 1 ( mod 23) 
2 330 . 2 4 ≡ 1 . 2 4 ( mod 23) 
2 334 ≡ 2 4 ( mod 23) 
2 334 ≡ 16 ( mod 23) 
Logo o resto da divisão de 2 334 por 23 é 16. 
RESPOSTA: 16 
 
 
 
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COMPONENTE ESPECÍFICO – NÚCLEO COMUM - QUESTÕES DISCURSIVAS 
Questão 28. 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
ANO I II III 
2000 13,6 2400 32640 
2001 14 2700 37800 
2002 16,4 2500 41000 
2003 18,5 2800 51800 
2004 21,5 2300 49540 
2005 23 2200 50600 
2006 22 2500 55000 
2007 21 2800 58800 
 
 
 
 
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Título: A produção de soja no Brasil subiu de 2000 para 2007 em torno de 80 %. 
Gráfico de linhas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No eixo horizontal temos as indicações dos anos. 
No eixo vertical temos as representações das quantidades de quilogramas de soja produzidos 
no Brasil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 29 
 
 
RESOLUÇÃO: 
a) Hipótese: 
..,.3,2,1,1
1
=+=
=
+ nparaaaa
aa
nn
 
Tese: an < a para todo n 21 ≥≥ ae . 
b) a(a-1) > 0 para a 2≥ . 
Se a 2≥ , então a > 0 e a - 1 > 0. Logo a(a – 1) > 0. 
c) 2≥< atodoparaaa . Quadrando temos a < a2 e a < a.a. Logo aa < . 
d) Supondo que a n < a, prove que a n+1 < a2 . 
Por indução: 
Verificar para n = 1: 
a) Para n = 1 temos a1 < a e sendo a1 = a temos a < a ( já provado). 
b) Supor verdade para n = k e provar para n = k +1. 
a k < a, por hipótese. Verificar para a k + 1.. 
Verificar se a k + 1 < a2 . 
kk aaa +=+1 
 
 
 
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.2,,
2
2
aaaaatemoshipóptesepelaaaComo
aaa
aaa
nk
k
k
<+<+<
<+
<+
 
e) Mostre que a n+1 < a. 
Já provamos que a n + 1 < a2 . 
Veja que a2 < a pois 2a < a 2 e a + a < a .a, para a > 2. 
Então a n+1 < a (para a > 2). 
 
f) Prova da Indução: 
a) Supor a proposição verdadeira para n = 1. 
a1 < a. É verdade pois temos a1 = a e a < a ( já provado).Logo a1 < a. 
b) Supor verdadeira para n = k. 
kk aaa +=+1 
Verificar para n = k+1. 
111 +++ += kk aaa 
 a k + 2 < a. Já provado no item e que a n + 1 < a ( neste caso n = k + 1). 
 
 
 
 
 
 
 
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COMPONENTE ESPECÍFICO PARA LICENCIATURA. 
QUESTÃO 30 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
Veja em I quando diz que todo número primo da forma 4n + 1 pode ser escrito como a soma 
de dois quadrados perfeitos, temos 4 . 1 + 1 = 5; 4 . 3 + 1 = 13; 4 . 4 + 1 = 17; 4 . 7 + 1 = 29 
podendo ser escrito sim como uma soma de dois quadrados perfeitos. 
Veja em II quando diz que todo número primo da forma 4n + 3 pode ser escrito como a soma 
de dois quadrados perfeitos, temos 4 . 1 + 3 = 7 e não pode ser escrito como uma soma de 
dois quadrados perfeitos. 
Veja em III quando diz que todo número primo da forma 2n +1 pode ser escrito como a soma 
de dois quadrados perfeitos, temos 2.1 + 1 = 3 e não pode ser escrito como uma soma de dois 
quadrados perfeitos. 
Logo apenas a afirmação I está correta. 
RESPOSTA: I, apenas. 
QUESTÃO 31 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
Para que valores não nulos de m e k a função f(x) = m e kx é uma função crescente? 
Veja que “e” > 1. 
Para que a função seja crescente devemos ter os dois sinais iguais das constantes. 
m positivo e k positivo. 
m negativo e k negativo. 
Para que a função seja decrescente devemos ter os dois sinais contrários das constantes. 
Logo a melhor estratégia é esboçar os gráficos de y = ex e y = e – x e variar os valores de m e k 
com constantes positivas e negativas. 
RESPOSTA: Esbocem os gráficos da funções y = e x e y = e -x e analisem o que acontece com 
esses gráficos quando a variável e a função forem multiplicadas por constantes positivas ou 
negativas. 
Questão 32 
 
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RESOLUÇÃO: 
Veja que na afirmação “ao planejar o estudo de funções no ensino médio, o professor deve 
observar que ...” 
O estudo de exponenciais é verificarleis que crescem geometricamente; 
As funções logarítmicas podem ser usadas para transformar produto em soma. 
As funções trigonométricas não necessariamente precisam ser apresentadas após as funções 
exponenciais. 
A função quadrática não representa crescimento populacional. Este crescimento é 
exponencial. 
O estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e equações 
algébricas. Como exemplo, determinar os zeros de uma função polinomial exige a resolução de 
equação. Esta proposição está correta. 
RESPOSTA: O estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e 
equações algébricas. 
Questão 33 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
Veja que Pedro ao chegar em 2 – x = x2 não verificou que x = - 2 satisfaz a equação. Deveria 
resolver a equação x2 + x – 2 = 0. Ao achar as raízes x = 1 e x= - 2, substituí - las na equação e 
verificar que satisfazem. 
Veja que João ao chegar em (x – 1) ( x + 1) = (2x +3) ( x – 1) não verificou que x = 1 satisfaz a 
equação, simplificando os fatores x – 1. Ao simplificar desconsiderou a raiz 1. Deveria 
desenvolver a expressão (x – 1) ( x + 1) = (2x +3) ( x – 1) e resolver a equação x2 + x – 2 = 0. Ao 
achar as raízes x = 1 e x= - 2, substituí - las na equação e verificar que satisfazem. 
A melhor metodologia é fazer com que os alunos discutam entre si, verifiquem os erros 
cometidos, tentem compreender a causa dos erros e como corrigir estes erros. 
RESPOSTA: Pedir a Pedro e João que apresentem à classe suas soluções para discussão e 
estimular os alunos a tentarem compreender onde está a falha nas soluções apresentadas e 
como devem fazer para corrigi-las. 
 
 
 
 
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Questão 34 
 
 
RESPOSTA: 
Sem nenhuma preocupação no enunciado devemos saber que o uso do software de geometria 
dinâmica pode contribuir para a elaboração de conjecturas pelos alunos. 
RESPOSTA: pode contribuir para a elaboração de conjecturas pelos alunos. 
 
 
 
 
 
 
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Questão 35 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
As multiplicações eram feitas desta forma no Egito, antes de Cristo, conforme descrições no 
Papiro de Rhind. 
Ao fazer 33 . 47, na primeira coluna colocavam números (sempre potências de 2): 2 0, 2 1, 2 2, 
23, . . ., e na segunda coluna o fator 47 seus múltiplos. 
Veja no exemplo o que ocorre: 
Na primeira coluna verificamos os números que somados dá o fator 33, que são 1 e 32, e 
verificamos os números correspondentes na segunda coluna, que são 47 e 1501. A soma 47 + 
1504 é o resultado do produto 33 x 47. 
Quando faziam 1 + 32 relacionando com 47 + 1504 estavam usando as propriedades 
multiplicativa e aditiva: 
(1 + 32).47 = 1 . 47 + 32 . 47 = 47 + 1504 = 1551. 
 
Se fizessem na primeira coluna potências de 3, como: 
1 47 
3 141 
9 423 
27 1269 
Como encontrar o produto 8 . 47? 
Não teremos na primeira coluna como encontrar a soma 8. 
Para potências de dois na primeira coluna isso sempre é possível pois todo número pode ser 
escrito como uma soma de potências de 2: Se o número for par potência de 2; se for par não 
potência de 2 (será soma de potências de 2); se for impar (será soma de potências de 2 e 1 que 
é 20). 
Logo utilizando o método egípcio, é possível multiplicar quaisquer dois números inteiros 
positivos, porque todo número inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de potências 
de 2. 
 
RESPOSTA: as duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa 
correta da primeira. 
 
 
 
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QUESTÃO 36 
 
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RESOLUÇÃO: 
Veja que os segmentos definidos no geoplano determinam hipotenusas de triângulos 
retângulos, que, nos exemplos, são números irracionais. 
Temos os triângulos de catetos 1 e 1 e hipotenusa 2 . 
Temos os triângulos de catetos 1 e 2 e hipotenusa 5 . 
Temos os triângulos de catetos 2 e 4 e hipotenusa 20 = 52 
Temos os triângulos de catetos 3 e 3 e hipotenusa 18 = 23 
Temos os triângulos de catetos 2 e 3 e hipotenusa 13 . 
Ao fazermos essas representações estaremos determinando segmentos que são números 
irracionais. Comparando-os podemos verificar propriedades sobre irracionais. 
A proposição “ o geoplano auxilia na obtenção da relação entre o comprimento da 
circunferência e seu diâmetro” está incorreta pois como o número PI ( relação entre o 
comprimento de uma circunferência e seu diâmetro) não pode ser determinado pelo triângulo 
retângulo, então não pode ser obtido pelo geoplano. 
RESPOSTA : O geoplano auxilia na obtenção da relação entre o comprimento de uma 
circunferência e seu diâmetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 37 
 
RESOLUÇÃO: 
Ao propor situações problemas devemos fazer com que os alunos exponham as suas 
resoluções, discutam, verifiquem erros, caso tenham, façam conjecturas e críticas. 
Nesta questão as duas proposições são verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da 
primeira. 
RESPOSTA: As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa 
correta da primeira. 
 
 
 
 
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QUESTÃO 38 
 
RESOLUÇÃO: 
Para que uma letra possa ser vista da mesma forma de qualquer um dos lados de uma porta 
de vidro, ao rotacioná-la deverá ter a mesma forma, daí ser simétrica em relação a um eixo 
vertical. 
RESPOSTA: letras do alfabeto que tenham simetria em relação a um eixo vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 39 
 
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RESOLUÇÃO: 
Na questão I colocaram 0, ab sendo 
b
a
. Colocaram 0, 25 sendo 
5
2
. 
Na questão II colocaram 
d
c
sendo c a parte inteira e d a decimal. Colocaram - 
5
2
como -2,5. 
A consideração que a/b = b/a na questão I não são consideradas equivalentes pois 
representam 0,ab = 0,ba e na questãoII consideram a,b = b,a 
Na questão I consideram 0,25 como 
5
2
 e 
4
1
 como 0,14. Consideram números diferentes. 
Na questão II consideram – 
5
2
como -2,5 e -0,4 como -
4
0
. Consideram números diferentes. 
A proposição “Nas questões I e II, a maioria dos respondentes considera que as frações a/b e 
b/a são equivalentes” não justifica o erro cometido pois não temos as mesmas 
representações para 2/5 e 5/2 , por exemplo, quando indicam na reta conforme suas 
concepções. 
 
RESPOSTA: Nas questões I e II, a maioria dos respondentes considera que as frações a/b e 
b/a são equivalentes. 
 
COMPONENTE ESPECÍFICO LICENCIATURA – DISCURSIVA 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
A) Retângulo ABCD. Ângulo A, B, C, D retos. 
Provar que o quadrilátero IJKL tem lados opostos congruentes. 
Lado AL = 9 – x ; Lado CJ = 9 – x; AL e CJ congruentes. 
Lado BI = 7 – x; Lado DK = 7 – x; BI e DK são congruentes. 
Os triângulos retângulos IAL e JCK são congruentes (caso LAL). Logo LI e JK são 
congruentes. 
Os triângulos retângulos IBJ e LDK são congruentes (caso LAL). Logo LK e IJ são 
congruentes. 
O quadrilátero IJKL é um paralelogramo. 
B) área do paralelogramo em função de x: 
A função que fornece a área do paralelogramo IJKL é dada por: 
S(x) = .63162]2.
2
).7(2.
2
).9([63 2 +−=−+−− xxxxxx 
A função quadrática S(x) = 2x2 – 16 x + 63 (determina a área do paralelogramo IJKL em 
função da medida x) admite área mínima (concavidade para cima). 
31
8
248
8
63.816
4
4
16
2
==
−
−=
==
v
v
y
x
 
Ponto de mínimo: 
x = 4cm e S(x)= 31 cm2 
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C) Congruência de triângulos. 
Definição de paralelogramo e suas propriedades. 
Área de retângulo e triângulo. 
Equação do segundo grau. 
Função de uma variável. 
Função do segundo grau: gráfico, vértice, máximo ou mínimo.