P1 Álgebra Linear A - Ana Lucia (MATA07)

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MATA07 - A´lgebra Linear I A
Primeira Avaliac¸a˜o
09 de abril 2015
Nome:
1. Num mercado, treˆs vendedores combinaram vender treˆs espe´cies de peixe: vermelho, surubim e dourado,
cada um deles pelo mesmo prec¸o e fazer uma competic¸a˜o para ver quem vendia mais peixes pelo prec¸o
combinado, durante uma hora. Sabendo-se que o vendedor A vendeu 1 Kg de vermelho, 4 Kg de surubim e
3 Kg de dourado e arecadou 76,00 reais, o vendedor B vendeu 3 Kg de vermelho, 4 Kg de surubim e 2 Kg
de dourado e arecadou 92,00 reais. O vendedor C vendeu 3 Kg de vermelho, 3 Kg de surubim e 1 Kg de
dourado e arecadou 74,00 reais. Qual o prec¸o de cada tipo de peixe? (valor 1,5)
2. Considere o seguinte sistema linear: (valor 2,0 pontos)
x+ 2y + z = 3
ay + 5z = 10
2x+ 7y + az = b .
a) Usando escalonamento, encontre os valores de a que fazem com que o sistema tenha soluc¸a˜o u´nica e
explicite tal soluc¸a˜o.
b) Usando escalonamento, encontre os valores de a e b que fazem o sistema ter mais do que uma soluc¸a˜o e
explicite tais soluc¸o˜es.
3. Diga se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta. (valor 4,0)
a) A soluc¸a˜o do sistema linear
{
2x+ 3y = 1
5x+ 7y = 3
e´ a reta {(2 + 3y,−1− y), y ∈ R }.
b) A matriz
(
1√
2
− 1√
2
1√
2
1√
2
)
e´ ortogonal.
c) A matriz
 3 1− i −5 + 3i1 + i i 5
5− 3i −5 0
 e´ hermitiana.
d) A matriz
(
3 −4
4 3
)
e´ normal.
4. Determine, se possı´vel, a matriz inversa da matriz
 1 0 22 −1 3
4 1 8
, utilizando escalonamento. (valor 1,0)
5. Suponha que A, B, C sa˜o matrizes n× n, tais que B.A = Id e A.C = Id. Mostre que B = C.(valor 1,5)
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