Uniasselvi Geometria Analítica e Álgebra Vetorial Avaliação IV

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Acadêmico: Carolina Daemon Oliveira Pereira (1994592)
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02)
Avaliação: Avaliação Final (Objetiva) - Individual Semipresencial ( Cod.:668551) ( peso.:3,00)
Prova: 30739796
Nota da Prova: 9,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, podemos
colocar as soluções de equações diferenciais que são de interesse físico, como as frequências
naturais de vibração de um instrumento musical, ou de uma simples corda esticada. No entanto,
anteriormente a isto, devemos compreender corretamente este conceito para que as futuras
aplicações sejam corretas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o conceito de
autovetor de transformação:
 a) É um número real que anula a transformação.
 b) É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo.
 c) É um número real que multiplica o vetor após a transformação.
 d) É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação.
2. Seja uma transformação linear de R² em R², em relação as bases canônicas:
 a) As opções III e IV estão corretas.
 b) As opções I e IV estão corretas.
 c) As opções II e III estão corretas.
 d) As opções I e II estão corretas.
3. Ao realizar a análise vetorial de um plano, para conhecer sua equação característica, devemos
conhecer um ponto que pertence a ele e um vetor normal a sua representação geométrica (vetor
que forma 90° com o plano). A respeito da equação do plano que passa pelo ponto P(2,1,-1) e é
normal ao vetor v = (1,-2,3), classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Sua equação é x - 2y + 3z + 3 = 0.
( ) É paralelo ao vetor u = (2,0,1).
( ) O ponto A (0,0,0) pertence ao plano.
( ) Intercepta o eixo X no ponto x = -3.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - F - F.
 b) F - F - F - V.
 c) F - V - V - F.
 d) V - F - F - V.
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4. Utilizando as mais diversas formas de representação da reta, podemos apenas, ao analisá-las,
tirar diversas conclusões sobre ela. É possível destacar, por exemplo, a inclinação da reta e o
ponto de intercepto com o eixo das ordenadas (eixo y). Os indicadores para tal ação são os
coeficientes linear e angular da reta. Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que
apresenta o coeficiente angular e linear da reta 3y + 12 = 9x, respectivamente:
 a) 12 e 1.
 b) 3 e -4.
 c) -4 e 3.
 d) 9 e 3.
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5. Uma das aplicações do processo de análise vetorial em Geometria Analítica é o comportamento
de figuras espaciais. Com base na figura a seguir, determine a equação paramétrica da reta que
passa por B e C e assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção II está correta.
 b) Somente a opção I está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção III está correta.
6. Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn). A
toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos a resolução de alguns
tipos de sistemas de equações lineares ou ainda, o cálculo da área de um triângulo situado no
plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices. Baseado nas
propriedades dos determinantes, analise as sentenças a seguir:
I- Se os elementos de uma linha de uma matriz quadrada forem todos iguais a zero, seu
determinante será zero.
II- Se os elementos de duas linhas de uma matriz forem iguais, seu determinante será nulo.
III- Uma matriz que não é quadrada possui determinante igual ao da sua transposta.
IV- Se trocarmos de posição, entre si, duas linhas de uma matriz quadrada, o determinante da
nova matriz é o anterior com o sinal trocado.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As sentenças II e III estão corretas.
 b) Somente a sentença I está correta.
 c) As sentenças III e IV estão corretas.
 d) As sentenças I, II e IV estão corretas.
7. Determinante é um tipo de matriz com o mesmo número de linhas e o mesmo número de
colunas, ou seja, uma matriz quadrada. Nele não aplicamos as quatro operações, mas há outras
propriedades, como achar o valor numérico de um determinante. Baseado nisso, analise as
sentenças sobre o determinante associado à matriz a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção I está correta.
 b) Somente a opção II está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção III está correta.
8. Ao falarmos de posições relativas entre duas retas, podemos estabelecer uma relação de
concorrência entre elas. Isto significa que temos duas retas interceptando em apenas um ponto.
Em particular, temos o caso especial em que, além de podermos classificar retas como
concorrentes, dizemos que elas são perpendiculares, isto é, as retas interceptam-se em apenas
um ponto e ainda mais, formam entre si o ângulo reto. Sendo assim, admita que as retas
definidas pelas equações 2x - 4y + 5 = 0 e x + my - 3 = 0 sejam perpendiculares. Quanto ao
valor de m, analise as opções a seguir:
I- 0,5. 
II- 0,4. 
III- 0,3.
IV- 0,2.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção III está correta.
 b) Somente a opção I está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção II está correta.
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9. Ao se falar dos determinantes associados a uma matriz, não nos vem à mente uma aplicação
prática de seu uso. No entanto, isto é uma ideia apenas inicial, pois os determinantes foram (e
são) uma ferramenta poderosíssima no processo de cálculo e discussão dos sistemas lineares,
estes cuja gama de aplicações é gigantesca. Visto isto, calcule o determinante dos coeficientes
numéricos das incógnitas do sistema linear a seguir (det(A)). Quanto ao seu valor, classifique V
para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que
apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - F - F.
 b) F - V - F - F.
 c) F - F - V - F.
 d) F - F - F - V.
10.A figura que segue, apresenta um losango EFGH inscrito em um retângulo ABCD. Sabe-se
também que os vértices do losango são os pontos médios do retângulo. Como é de
conhecimento também, cada segmento de reta que é criado com todas estas intersecções pode
ser considerado como sendo as extremidades de um vetor. Sobre o exposto, classifique V para
as sentenças verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta
a sequência CORRETA:
 a) V - V - F - F - V.
 b) F - V - F - V - F.
 c) F - V - V - F - V.
 d) V - F - V - V - F.
11.(ENADE, 2014) Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, de
um único tipo cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta,
três lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e
uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três borrachas
pagando R$ 19,00.
Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram
resolver o problema: A partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por
eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha? Para isso, montaram um sistema de
equações lineares cujas incógnitas são os preços das mercadorias. Esse sistema de equações
é:
 a) Impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução.
 b) Possível determinado, podendo admitir como solução o valor do preço da caneta, do lápis e
da borracha.
 c) Possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da
borracha é igual a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00.
 d) Possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis.
12.(ENADE, 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande
interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos nomeio ambiente, o elevado custo
do empreendimento relativamente à população beneficiada e a quantidade de água a
ser retirada, o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s.
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de
matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do
Ministério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água.
Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões,
de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-
se o sistema de equações lineares AX = B, em que:
 a) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode
provocar sérios danos ambientais.
 b) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 0.
 c) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
 d) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
Prova finalizada com 9 acertos e 3 questões erradas.