BIOESTATÍTICA PROBABILIDADE

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BIOESTATÍSTICA 
DIANA VIEIRA ROCHA 
Probabilidade 
Probabilidade 
 Estuda as chances de ocorrência de um evento em um experimento aleatório. 
 Experimento probabilístico ou aleatório: 
é toda experiência cujos resultados podem não ser os mesmos, ainda que 
sejam repetidos sob condições idênticas. 
Características desses experimentos: 
− cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob condições 
inalteradas; 
− embora não possamos afirmar que resultado ocorrerá, é sempre possível 
descrever o conjunto de todos os possíveis resultados. 
Quando o experimento for realizado repetidamente, os resultados individuais 
parecem ocorrer de forma acidental; mas se for repetido um grande número 
de vezes uma configuração definida ou regularidade surgirá. 
Exemplos: 
Experimento 1: Jogar um dado e observar a sua face superior. 
Experimento 2: Lançar uma moeda até que apareça cara e contar o número de 
lançamentos. 
Experimento 3: Selecionar uma carta do baralho e anotar o seu valor e naipe. 
Experimento 4: Acender uma lâmpada e medir o tempo até que ela se apague. 
 Espaço amostral (S) 
• é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório, ou 
seja, é o conjunto universo relativo aos resultados de um experimento. 
• A cada experimento aleatório está associado um conjunto de resultados 
possíveis ou espaço amostral. 
S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → enumerável e finito 
S2 = {1, 2, 3, 4, ...} → enumerável e infinito 
S3 = {ás de ouro, ..., rei de ouro, ás de paus, ..., rei de paus, ..., ás de espada, 
..., rei de espada, ás de copas, ..., rei de copas} → enumerável e finito 
S4 = {t; t ≥ 0} → contínuo e infinito 
Exemplos: 
 Ponto amostral: 
 É qualquer resultado particular de um experimento aleatório. 
 Todo espaço amostral e todo evento são constituídos por 
pontos amostrais. 
 Evento ou ocorrência: 
• É todo conjunto particular de resultados de S ou, ainda, todo subconjunto de 
S. Geralmente é designado por uma letra maiúscula (A, B, C). 
• A todo evento será possível associar uma probabilidade. 
Exemplo: 
Se S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, então: 
A = {1, 2, 3}, 
B = Ocorrência de faces pares, 
C = {5}, são eventos de S. 
 Tipos de eventos 
Evento impossível: é aquele evento que nunca irá ocorrer, é também 
conhecido como o conjunto vazio (∅). 
Evento certo: é aquele evento que ocorre toda vez que se realiza o 
experimento, portanto, esse evento é o próprio S. 
Eventos mutuamente exclusivos: dois eventos A e B associados a um 
mesmo espaço amostral S, são mutuamente exclusivos quando a ocorrência 
de um impede a ocorrência do outro. 
 Operações com eventos 
• Como o espaço amostral S e os eventos são conjuntos, as mesmas 
operações realizadas com conjuntos são válidas para eventos. 
Exemplo: 
Se A e B, são eventos de S, então: 
 
Ocorre A ∪ B, se ocorrer A ou B (ou ambos). 
Ocorre A ∩ B, se ocorrer A e B. 
Ocorre A , se ocorrer S, mas não ocorrer A. 
Ocorre A − B, se ocorrer A, mas não ocorrer B. 
Conceitos de probabilidade 
Seja E um experimento aleatório e S o espaço amostral a ele associado, com n 
pontos amostrais, todos equiprováveis. 
Se existe, em S, m pontos favoráveis à realização de um evento A, então a 
probabilidade de A, indicada por P(A), será: 
𝑃 𝐴 =
𝑚
𝑛
=
#𝐴
#𝑆
 
 
 
Para que este conceito tenha validade, duas pressuposições básicas devem 
ser atendidas: 
𝑃 𝐴 =
𝑚
𝑛
=
#𝐴
#𝑆
 
 
 
1. O espaço amostral S é enumerável e finito. 
2. Os elementos do espaço amostral S são todos equiprováveis. 
Exemplo: 
Consideremos o seguinte experimento: lançamento de uma moeda honesta 
duas vezes e observação do lado superior. 
O espaço amostral deste experimento é S = {cc, ck, kc, kk} e todos os seus 
pontos amostrais são equiprováveis: 
P(cc) = P(kc) = P(ck) = P(kk) = 
1
4
 
 
• A forma mais aceita de se definir probabilidade é a partir da adoção de um 
conjunto de axiomas. 
 
 
 
 
 
 
• De uma maneira simplificada, a definição axiomática de probabilidade afirma 
que a probabilidade de um evento é um número, P[E], associado ao evento, 
que segue um conjunto básico de axiomas ou postulados. 
Axioma 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1. 
Axioma 2. P(S) = 1. 
Axioma 3. Se A e B são eventos de S mutuamente exclusivos, então P(A ∪ B) = 
P(A) + P(B). 
 
Notemos que A e B são mutuamente 
exclusivos se e somente se A ∩ B = ∅ 
Probabilidade da união de eventos 
Vamos considerar o lançamento de um dado não viciado e os seguintes eventos: 
- evento A: valor par - {2, 4, 6} 
- evento B: número primo - {2, 3, 5} 
- evento C: valor = 1 - {1} 
- evento D: valor > 4 - {5, 6} 
𝑆 = 1,2,3,4,5,6 
As probabilidades associadas 
aos eventos A, B, C e D podem 
ser calculadas como? 
Os eventos C e D não possuem nenhum elemento em comum, logo eles são 
mutuamente exclusivos, e a probabilidade da união dos eventos C e D, {1, 5, 
6}, é dada pela soma das probabilidades dos eventos C e D. 
P(C∪D) = P(C)+P(D) 
P(C∪D) = 
1
6
+
2
6
=
1
2
 
 
Para somar frações se os 
denominadores são iguais, basta 
repetir o denominador e somar os 
numeradores. 
Os eventos A e B não são mutuamente exclusivos. A interseção de A e B, 
representada pela notação A∩B, é o conjunto formado pelos elementos 
comuns a A e B. Nesse exemplo: A∩B ={2} 
Para dois eventos que não são mutuamente exclusivos, a probabilidade da 
união pode ser calculada pela seguinte expressão: 
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) 
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)= 
3
6
+
3
6
−
1
6
=
5
6
 
 
Probabilidade condicional e independência 
• Sejam A e B dois eventos associados a um mesmo espaço amostral S. 
• Se A e B não são eventos mutuamente exclusivos, ou seja, se A ∩ B ≠ ∅, 
então A e B poderão ser eventos independentes ou condicionados. 
Uma caixa contém cinco bolas equiprováveis, sendo três azuis e duas brancas. 
Duas bolas são retiradas uma a uma e sua cor é observada. Definimos, então, 
dois eventos: 
A1: a primeira bola retirada é azul. 
A2: a segunda bola retirada é branca 
• As probabilidades dos eventos A1 e A2 serão calculadas em duas situações. 
Situação 1. Consideremos que a primeira bola retirada não é reposta (retirada 
sem reposição). 
Sendo o espaço amostral enumerável, finito e equiprovável, podemos calcular 
probabilidade dos eventos através do conceito clássico. Deste modo: 
. 
𝑃(𝐴1)= 
3
5
 
 
• Entretanto, a probabilidade do A2 vai depender da ocorrência ou não do A1 
 Se ocorreu A1, então P(A2/A1) = 
2
4
 
 
 Se não ocorreu A1, então P(A2/A1) = 
1
4
 
 
 Eventos condicionados: 
• Dois eventos quaisquer, A e B, são condicionados quando a ocorrência de 
um altera a probabilidade de ocorrência do outro. 
• A probabilidade condicional de A é denotada por P(A/B) (lê-se probabilidade 
de A dado que ocorreu B). 
Situação 2. Consideremos que a primeira bola retirada é reposta antes de tirar a 
segunda (retirada com reposição). 
𝑃(𝐴1)= 
3
5
 
 
Como a primeira bola é reposta, independente de ter ocorrido ou não A1, a 
probabilidade de ocorrência de A2 será a mesma. 
 Se ocorreu A1, então P(A2/A1) = 
2
5
 
 
 Se não ocorreu A1, então P(A2/A1) = 
2
5
 
 
 Eventos independentes: 
• Dois eventos quaisquer, A e B, são independentes quando a ocorrência de 
um não altera a probabilidade de ocorrência do outro, ou seja, 
P(A) = P(A/B) e P(B) = P(B/A) 
Quando o fato de ter ocorrido o evento B não alterar a probabilidade de 
ocorrer o evento A, ou seja, quando A e B forem eventos independentes, a 
fórmula se reduz a: 
P(A∩B)=p(A)*p(B) 
Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade 
de ocorrer coroa e número primo? 
S = {(C, 1); (C; 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (C, 6); (K; 1), (K, 2); (K, 3); (K, 4); (K, 5); (K, 6)} 
Vamos descrever os eventos A e B. 
A: ocorrer coroa 
B: ocorrer número primo 
p(A) = ½ 
p(B) = 3/6 = ½ 
P(A∩B)= 
1
2
∗
1
2
=
1
4
 
numerador multiplica numerador e 
denominador
multiplica denominador. 
1- Num sorteio com número de 1 a 25, a probabilidade de ser sorteado um número 
múltiplo de 3 é: 
a) 0,24 b) 0,40 c) 0,32 d) 0,25 e) 0,80 
 
C) 0,32 
2- Uma urna contém 6 bolas brancas e 24 pretas. A probabilidade de 
sortearmos uma bola branca é de: 
 a) 40% b) 25% c) 80% d) 75% e) 20% e) 0,20 
3- Joga-se um dado “honesto” de seis faces e lê-se o número da face voltada 
para cima. Calcular a probabilidade de se obter: 
 a) o número 4 
 b) um número ímpar 
 c) um número maior que 2 
 d) um número menor que 7 
 e) um número maior que 6 
 
 a) P(A) = 
1
6
= 0,167 
b) P(A) = 
3
6
= 0,5 
 
c) P(A) = 
4
6
= 0,67 
 
d) P(A) = 
6
6
= 1 
 
EVENTO CERTO 
e) P(A) = 
0
6
= 0 EVENTO IMPOSSÍVEL 
4- Em um único sorteio envolvendo os números naturais de 1 a 200, a 
probabilidade de neste sorteio sair um número que seja múltiplo de sete é: 
 a) 14% b) 15% c) 18% d) 19% e) 20% 
P(A) =
28
200
= 0,14 
 
c) 14 % 
5- Qual a probabilidade em porcentagem de tirar um 3 ao retirar ao acaso uma 
carta de um baralho com 52 cartas, que possui quatro naipes (copas, paus, ouros 
e espadas) sendo um 3 em cada naipe? 
7,7% 
6-Sabemos que um baralho é composto de 52 cartas, onde temos a 
representação de quatro naipes: copas, ouro, paus e espadas. Dessa forma, 
cada naipe é representado por 13 cartas. Determine a probabilidade de 
escolhermos ao acaso e sucessivamente, três cartas de um mesmo naipe sem 
reposição. 
1,29 % 
7-Uma pesquisa realizada com 800 pessoas sobre a preferência pelos 
telejornais de uma cidade, evidenciou que 200 entrevistados assistem o apenas 
o telejornal A, 250 apenas o telejornal B e 50 assistem A e B. Das pessoas 
entrevistadas, qual a probabilidade de sortear ao acaso uma pessoa que 
assiste o telejornal A ou o telejornal B? 
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) 
62,5 % 
8- Qual é a probabilidade de extrair uma carta de um baralho comum de 52 
cartas e obter um Ás, sabendo que ela é uma carta de copas? 
Eventos : 
 
A = Obter um Ás 
 
B = Obter uma carta de copas 
P(A|B) = 
1
13
 
 
9-Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um 
baralho de 52 cartas? 
P(A) =
4
52
 
 
10- De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem 
reposição. Qual a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a 
segunda ser o rei de paus? 
 p1 = 1/52 p2 = 1/51 
11- Qual a probabilidade de você extrair uma carroça de um jogo de dominó ao 
retirar uma peça ? 
 
a) 25% 
b) 20% 
c) 10% 
d) 30% 
e) 15% 
letra: A 
OBRIGADA!!