Aulas 03 e 04 - Matemática

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Matemática Básica 
Bruno Villar 
1 
Razão 
 
É uma divisão ou quociente de dois números inteiros a e b com b 0 . 
b
a
 
 
a é chamado de antecedente e o b é chamado de conseqüente. 
 
Se ligue! 
Quando a expressão b
a
 representar um razão deve ser pronunciada assim: 
a está para b 
A razão de a/b 
 
Razões especiais. 
 
A) velocidade média. 
 
Vm = tempo
distância
 
 
b) densidade de corpos. 
 
d = volume
massa
 
 
c) densidade demográfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
d= área
população
 
 
d) escala 
 
e = realocompriment
desenhodoocompriment
 
 
 
Proporção 
É uma igualdade de razões. 
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma 
proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim: 
b
a
 = d
c
 ou a:b=c:d (lê-se "a está para b assim como c está para d") 
 Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: 
b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção. 
 
Propriedade fundamental da proporção 
b
a
 = d
c
 temos a.d = b.c (o produto dos extremos é igual ao produto dos meios). 
 
TREINAMENTO DE SALA 
 
01.(CESGRANRIO 2010) A razão entre as potências instaladas das Hidrelétricas de Água Limpa e de 
Torixoréu é 40/51 e, juntas, as duas hidrelétricas têm potência instalada de 728 MW. Qual é, em MW, 
a potência instalada da Hidrelétrica de Torixoréu? 
 
(A) 160 
(B) 204 
(C) 320 
(D) 366 
(E) 408 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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02.( CESGRANRIO 2012) Numa pesquisa sobre acesso à internet, três em cada quatro homens e 
duas em cada três mulheres responderam que acessam a rede diariamente. A razão entre o número 
de mulheres e de homens participantes dessa pesquisa é, nessa ordem, igual a 1⁄2 
 
Que fração do total de entrevistados corresponde àqueles que responderam que acessam a rede 
todos os dias? 
 
(A) 5⁄7 
(B) 8⁄11 
(C) 13⁄18 
(D) 17⁄24 
(E) 25⁄36 
 
03. (TJ SP VUNESP 2011) Uma empresa comprou 30 panetones iguais da marca K e 40 panetones 
iguais da marca Y, pagando um total de R$ 1.800,00. Sabendo-se que a razão entre os preços 
unitários dos panetones K e Y é de 2 para 3, nessa ordem, pode-se afirmar que se essa empresa 
tivesse comprado todos os 70 panetones somente da marca Y, ela teria gasto, a mais, 
 
(A) R$ 600,00. 
(B) R$ 500,00. 
(C) R$ 400,00. 
(D) R$ 300,00. 
(E) R$ 200,00. 
 
04. (TJ-SP VUNESP) As 360 páginas de um processo estão acondicionadas nas pastas A e B, na 
razão de 2 para 3, nessa ordem. O número de páginas que devem ser retiradas da pasta B e 
colocadas na pasta A, para que ambas fiquem com o mesmo número de páginas, representa, do total 
de páginas desse processo, 
 
(A) 1/4. 
(B) 1/5. 
(C) 1/6. 
(D) 1/8. 
(E) 1/10. 
 
05. (TRT PR FCC 2010) Para estabelecer uma relação entre os números de funcionários de uma 
unidade do Tribunal Regional do Trabalho, que participaram de um curso sobre Controle e 
Prevenção de Doenças, foi usada a expressão: , em que h e m representam as 
quantidades de homens e de mulheres, respectivamente. Sabendo que o total de participantes do 
curso era um número compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que: 
 
(A) h + m = 158 
(B) 50 < m < 70 
(C) 70 < h < 100 
(D) h - m = 68 
(E) m . h < 4 00 
 
06. (FCC 2010) Diariamente, no refeitório de uma empresa são preparados 40 litros de refresco e, 
para tal, são usados suco de frutas concentrado e água em quantidades que estão entre si assim 
 
 
 
 
 
 
 
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como 3 está para 5, respectivamente. Se, mantida a quantidade habitual de suco concentrado, a 
proporção passasse a ser de 2 partes de suco para 3 partes de água, então poderiam ser 
preparados: 
 
(A) 1,5 litros a mais de refresco. 
(B) 1,5 litros a menos de refresco. 
(C) 2,5 litros a mais de refresco. 
(D) 2,5 litros a menos de refresco. 
(E) 2,75 litros a mais de refresco 
 
 
GABARITO 
01.E 
02.C 
03.D 
04.E 
05.D 
06.D 
 
NÚMEROS PROPORCIONAIS 
 
Números diretamente proporcionais. 
Os números racionais x, y e z são diretamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando se tem: 
c
z
b
y
a
x

 
 
Números inversamente proporcionais. 
Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a,b e c quando se 
tem: 
x. a = y . b = z. c 
 
Divisão em partes proporcionais. 
 
01.(VUNESP 2011) Sabe-se que a razão entre os salários líquidos de Laura e de Paula é de 2 para 3, 
nessa ordem, e que Paula recebe R$ 600,00 a mais do que Laura. Juntas, compraram uma nova TV, 
cujo preço foi dividido entre elas de forma diretamente proporcional aos respectivos salários 
líquidos, sendo que a quantia que Paula pagou corresponde a 2/5 do seu salário líquido. Desse 
modo, é correto afirmar que nessa compra Paula pagou: 
 
 
 
 
 
 
 
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5 
(A) R$ 720,00. 
(B) R$ 670,00. 
(C) R$ 640,00. 
(D) R$ 520,00. 
(E) R$ 480,00. 
 
2.(BAHIAGAS FCC 2010) Para realizar a partilha de uma herança de R$ 28.500,00, quatro irmãos, que 
nasceram em dias diferentes, marcaram encontro em um sábado. O testamento determinava que eles 
receberiam partes diretamente proporcionais às respectivas idades, em anos completos, que nesse 
sábado seriam: 15, 17, 21 e 22 anos. O irmão mais novo só compareceu no domingo, um dia depois 
do combinado, e que era exatamente o dia de seu aniversário. Supondo que a partilha tenha sido 
feita no domingo, a quantia somada que os dois irmãos mais velhos deixaram de receber por conta 
do adiamento de um dia é: 
 
(A) R$ 50,00. 
(B) R$ 155,00. 
(C) R$ 180,00. 
(D) R$ 205,00. 
(E) R$ 215,00. 
 
03.( FCC 2011) Certo dia, Amaro, Belisário, Celina e Jasmin foram incumbidos de digitar as 150 
páginas de um texto. Para executar essa tarefa, o total de páginas foi dividido entre eles, de acordo 
com o seguinte critério: 
 
− Amaro e Jasmim dividiram 3/5 do total de páginas entre si, na razão direta de suas respectivas 
idades: 36 e 
24 anos; 
 
− Belisário e Celina dividiram entre si as páginas restantes, na razão inversa de suas respectivas 
idades: 28 
e 32 anos. 
 
Nessas condições, aqueles que digitaram a maior e a menor quantidade de páginas foram, 
respectivamente, 
 
(A) Belisário e Celina. 
(B) Amaro e Belisário. 
(C) Celina e Jasmim. 
(D) Jasmim e Belisário. 
(E) Amaro e Celina. 
 
04. (TRF 1ª região FCC 2011) Dois Técnicos Judiciários de um setor do Tribunal Regional Federal - 
Paulo e João - têm, respectivamente, 30 e 35 anos de idade e seus respectivos tempos de trabalho 
nesse setor são 6 e 9 anos. Incumbidos de arquivar os documentos de um lote, eles os dividiram 
entre si em partes diretamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço nesse setor, 
cabendo a Paulo 78 documentos. Se a divisão tivesse sido feita em partes inversamente 
proporcionais às suas respectivas idades, quantos documentos caberiam a João? 
 
(A) 82. 
(B) 85. 
(C) 87. 
(D) 90. 
(E) 105. 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito 
01.A 
02.E 
03.E 
04.D 
 
 
DIVISÃO COMPOSTA 
 
1. (FEB 2010) Dois amigos, A e B, constituíram uma sociedade de forma que A entrou com R$ 12 
000,00 e B com R$ 8000,00 para a composição do capital da empresa. Um ano após o início da 
sociedade, a empresa teve um lucro líquido de R$ 28 000,00, sendo que o sócio B havia se retirado 
da empresa dois meses antes. A parte que cabe ao sócio A, nesse lucro, é de: 
 
(A) R$ 10 000,00 
(B) R$ 12 000,00 
(C) R$ 14 000,00 
(D) R$ 16 000,00 
(E) R$ 18 000,00 
 
2. (FCC 2010) Jairo tem apenas três filhos - Alícia, Benício e Felício - cujas idades são 9, 10 e 15 
anos, respectivamente. Em maio de 2009, ele dispunha de R$ 735,00 para depositar nas Cadernetas 
de Poupança dos filhos e, para tal, dividiu essa quantia em partes que eram, ao mesmo tempo, 
inversamente proporcionais às respectivas idades de cada um e diretamente proporcionais às 
respectivas notas de Matemática que haviam obtido na avaliação escolar do mês anterior. 
Se, na avaliação escolar do mês de abril, Alícia tirou 4,5, Benício tirou 8,0 e Felício tirou 5,0, então é 
correto afirmar que a quantia depositada na Caderneta de Poupança de: 
 
(A) Alícia foi R$ 225,00. 
(B) Benício foi R$ 380,00. 
(C) Felício foi R$ 120,00. 
(D) Benício foi R$ 400,00. 
(E) Alícia foi R$ 250,00. 
 
03. (TRT MS FCC 2011) Dois Analistas Judiciários de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho 
- Felício e Marieta - foram incumbidos de analisar 56 processos. Decidiram, então, dividir o total de 
processos entre si, em partes que eram, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais aos seus 
respectivos tempos de serviço no Tribunal e inversamente proporcionais às suas respectivas idades. 
Se na ocasião, Felício era funcionário do Tribunal há 20 anos e tinha 48 anos idade, enquanto que 
Marieta lá trabalhava há 8 anos, então, se coube a Marieta analisar 21 processos, a sua idade: 
 
(A) era inferior a 30 anos. 
(B) estava compreendida entre 30 e 35 anos. 
(C) estava compreendida entre 35 e 40 anos. 
(D) estava compreendida entre 40 e 45 anos. 
(E) era superior a 45 anos. 
 
Gabarito 
01.E 
02.A 
03.B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7 
GRANDEZAS 
 
Grandezas diretamente proporcionais. 
 
As grandezas diretamente são grandezas que mantém o mesmo padrão, isto é, se uma dobra a outra 
também, se uma reduz a terça parte a outra grandeza também reduz na mesma medida e assim 
sucessivamente. 
 
Grandezas inversamente proporcionais. 
As grandezas inversamente são grandezas que o produto entre elas é igual, por isso se uma 
 
Regra de três simples 
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos 
quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. 
 Passos utilizados na resolução de uma regra de três simples: 
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na 
mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 
 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 3º) Montar a proporção e resolver a equação. 
 
TREINAMENTO 
 
1. (BB 2011/FCC) Certa máquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelão de formato 
retangular em 6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos essa mesma máquina gastaria para 
cortar em 10 pedaços iguais outra folha igual à primeira se, em ambas as folhas, todos os cortes 
devem ter o mesmo comprimento? 
 
(A) 36. 
(B) 35,5. 
(C) 34. 
(D) 33,3. 
(E) 32. 
. 
02.(BB FCC 2010) Pesquisadores descobriram que o uso do fundo preto nas páginas de busca da 
internet produz um consumo menor de energia em relação à tela branca. Se todas as buscas fossem 
feitas com tela preta, a economia total em um tempo médio de 10 segundos seria equivalente à 
energia gasta por 77 milhões de geladeiras ligadas ininterruptamente durante 1 hora. Nessas 
 
 
 
 
 
 
 
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condições, a economia total em um tempo médio de buscas de 30 minutos seria equivalente à 
energia gasta por essas geladeiras ligadas ininterruptamente durante: 
 
(A) 8 dias. 
(B) 7 dias e meio. 
(C) 5 dias. 
(D) 3 dias. 
(E) 2 dias e meio 
 
03. (TRT RS FCC 2011) Curiosamente, após uma madrugada chuvosa, observou- se que no período 
das 9 às 18 horas a variação da temperatura em uma cidade decresceu linearmente. Se, nesse dia, às 
9 horas os termômetros marcavam 32º C e, às 18 horas, 20º C, então às 12 horas a temperatura era 
de: 
 
(A) 25º C. 
(B) 26,5º C. 
(C) 27ºC. 
(D) 27,5º C. 
(E) 28º C. 
 
 
 
 
Gabarito 
01.A 
02.B 
03.E 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
TREINAMENTO COMENTADO 
 
1.(TRT) Uma equipe de 10 datilógrafos prepara 5.000 páginas datilografadas , em 20 dias de trabalho, 
trabalhando 4 horas por dia. A equipe recebeu a incumbência de datilografar 6.000 páginas em 15 
dias, mas teve dois de seus datilógrafos afastados por motivo de saúde. Nessas condições, para 
poder atender o pedido no prazo determinado , a jornada de trabalho deve ser prorrogada em: 
 
(A) 2h 
(B) 2h e 30 min 
(C) 3h 
(D) 3h e 30 min 
(E) 4h 
 
2. (TRT SC FCC 2010) Certo dia, dois Técnicos Judiciários de uma unidade do Tribunal Regional do 
Trabalho - Léo e Miramar - foram incumbidos da distribuição de 165 processos, que dividiram entre 
si, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço no Tribunal: 12 e 10 anos. Sabe-se que: 
- iniciaram a execução dessa tarefa juntos e, após 3 horas, Miramar concluiu a sua parte; 
- ao longo da execução da tarefa, a capacidade operacional de Léo foi 2/5 da de Miramar. 
Com base nessas informações, é verdade que o tempo que Léo gastou para executar a sua parte da 
tarefa foi: 
 
(A) 4 horas e 15 minutos. 
(B) 5 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
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(C) 5 horas e 30 minutos. 
(D) 6 horas. 
(E) 6 horas e 15 minutos. 
 
3. (VUNESP 2012) Para cavar um túnel, 30 homens demoraram 12 dias. Vinte homens, para cavar 
dois túneis do mesmo tamanho e nas mesmas condições do primeiro túnel, irão levar: 
 
(A) 36 dias. 
(B) 38 dias. 
(C) 40 dias. 
(D) 42 dias. 
(E) 44 dias. 
 
04. (FCC 2010) . Suponha que 8 máquinas de terraplanagem, todas com a mesma capacidade 
operacional, sejam capazes de nivelar uma superfície de 8 000 metros quadrados em 8 dias, se 
funcionarem ininterruptamente 8 horas por dia. Nas mesmas condições, quantos metros quadrados 
poderiam ser nivelados por 16 daquelas máquinas, em 16 dias de trabalho e 16 horas por dia de 
funcionamento ininterrupto? 
 
(A) 16 000 
(B) 20 000 
(C) 64 000 
(D) 78 000 
(E) 84 000 
 
05. (FCC 2009) Em um escritório, 4 funcionários de mesma capacidade de trabalho conseguem 
digitar um total de 240 páginas em 3 dias, trabalhando ininterruptamente por 6 horas diárias. 
Quantas páginas devem digitar 3 desses funcionários em 4 dias, trabalhando ininterruptamente 4 
horas por dia? 
 
(A) 180 
(B) 178 
(C) 172 
(D) 162 
(E) 160 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
01.E 
02.E 
03.A 
04.C 
05.E