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Universidade Federal da Fronteira Sul (UFFS) 
campus Laranjeiras do Sul 
Engenharia de Alimentos – Cálculo Numérico – Lista 02 
Interpolação polinomial – comentários adicionais, dicas e exercícios 
Responsável docente: Prof. Dr. Carlos Augusto Fernandes D’Agnone 
 
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Fontes: Lopes, V. L. R. e Ruggiero, M. A. G., Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e 
Computacionais (McGraw-Hill, 1988) e Conte, S. D. e de Boor, C., Elementary Numerical 
Analysis (McGraw-Hill, 1980) 
 
1) (Simplificação do polinômio interpolador na forma de Newton-Gregory) Considere a forma 
de Newton-Gregory para um polinômio interpolador de grau �: 
 
����� � �	
��	� �
�
��	�
�
�� 
 �	� �
��
��	�
���
�� 
 �	��� 
 ���…�
��
��	�
���!
�� 
 �	�… �� 
 ����� [1] 
 
1.1) Mostre que a mudança de variáveis � �
����
�
 permite reescrever ����� como ����� com a 
seguinte aparência: 
 
����� � �	
��	� � ��
��	� �
��� 
 ��
�!
��
��	�…�
��� 
 ���� 
 ��… �� 
 �� 
 ���
�!
��
��	� [2] 
 
1.2) Considere a função ���� tabelada abaixo e use a forma de Newton-Gregory para encontrar um 
polinômio interpolador de grau 2 equivalente (isto é, determine �����). Não se esqueça de que você 
deve construir a tabela de diferenças ordinárias para isto! 
 
� 
1 0 1 2 3 
���� 2 1 2 5 10 
 
1.3) Use a igualdade verificada em 1.1 para escrever �����; 
1.4) Use tanto ����� como ����� para encontrar uma aproximação para ��0.5�. 
 
2) (Interpolação inversa) É dada a função tabelada abaixo. Determine � tal que % � 1.3165. 
 
� 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 
% � ���� 1 1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Repare que este problema é o inverso do que trabalhamos em sala de aula (i.e., conhecido um ponto � 
fora da tabela, determinar %). Há um método que pode ser usado para resolver esta questão que consiste 
em considerar � como função de % e aplicar qualquer dos métodos estudados para determiner o 
polinômio interpolador � � ��+��� � ,�%� ≅ ���%�. Para resolver este exercício: 
 
2.1) Reconstrua a tabela original com � como função de %; 
2.2) Use o método de Newton para determinar ���%�. Dica: monte a tabela de diferenças 
divididas até ordem 3 e considere apenas os pontos 1.2214, 1.3499 e 1.4918 para a construção 
do polinômio pedido (veja que 1.3165 está no intervalo [1.2214, 1.4918]). Lembre-se da lógica 
de obtenção dos coeficientes de ���%� acompanhando exemplo semelhante resolvido na sala 
de aula; 
2.3) Obtenha a aproximação pedida pelo polinômio obtido em 2.2 e, usando a fórmula 
apropriada (veja em suas anotações!), calcule o erro cometido por esta aproximação. 
 
3) (Escolha do grau do polinômio interpolador) A tabela de diferenças divididas auxilia na 
determinação do grau do polinômio interpolador do seguinte modo: dada uma função tabelada, construa 
sua tabela de diferenças divididas e verifique a primeira coluna na qual as diferenças divididas se tornam 
praticamente constantes. A ordem desta coluna é o grau do polinômio interpolador. Usando esta 
informação, considere a seguinte tabela, que representa os dados de uma função ���� cuja expressão 
não conhecemos: 
 
� 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 
% � ���� 
2.78 
2.241 
1.65 
0.594 1.34 4.564 
 
3.1) Construa a tabela de diferenças divididas completa para estes dados (isto é, até ordem 5. Note que 
� � 5; temos � � 1 � 6 pontos!); 
3.2) Determine qual o grau do polinômio que melhor interpolará os dados da tabela acima. Justifique; 
3.3) É-lhe pedido para aproximar o valor de ��1.23�. Encontre um polinômio melhor que o 
determinado em 3.2 (de mesmo grau) que sirva para seu objetivo, justificando sua escolha; 
3.4) Calcule uma estimativa de erro (limitante superior) para a aproximação de ��1.23� pelos 
polinômios obtidos em ambos os itens (3.2 e 3.3), comparando-os. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) (Aplicação) A tabela seguinte relaciona calor específico da água e sua respectiva temperatura: 
 
Temperatura (⁰C) 20 25 30 35 40 45 50 
Calor específico 0.99907 0.99852 0.99826 0.99818 0.99828 0.99849 0.99878 
 
Use qualquer método de interpolação à sua escolha para determinar os seguintes valores: 
 
4.1) O calor específico da água a 32.5⁰C; 
4.2) A temperatura para a qual o calor específico é 0.99837.