Triangulo-Retangulo-Relacoes-Metricas-COM RESOLUÇÃO

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Triângulo Retângulo 
 
Relações Métrica e Teorema de Pitágoras 
 
1. (Pucrj 2013) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um hidrante, 
andou 6 metros na direção norte e parou. 
Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: 
a) 8 metros 
b) 10 metros 
c) 12 metros 
d) 14 metros 
e) 16 metros 
 
2. (G1 - ifsp 2013) Um instrumento musical é formado por 6 cordas paralelas de comprimentos 
diferentes as quais estão fixadas em duas hastes retas, sendo que uma delas está 
perpendicular às cordas. O comprimento da maior corda é de 50 cm, e o da menor é de 30 cm. 
Sabendo que a haste não perpendicular às cordas possui 25 cm de comprimento da primeira à 
última corda, se todas as cordas são equidistantes, a distância entre duas cordas seguidas, em 
centímetros, é 
 
a) 1. b) 1,5. c) 2. d) 2,5. e) 3. 
 
3. (Unesp 2013) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma 
casa. 
 
 
Sabe-se do quadrilátero ABEF que: 
• Seus ângulos ˆABE e ˆAFE são retos. 
• AF mede 9 m e BE mede 13 m. 
• o lado EF é 2 m maior que o lado AB . 
 
Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados AB e EF? 
 
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4. (Ufsj 2013) Um triângulo isósceles inscrito em um círculo de raio igual a 8 cm possui um 
lado que mede 16 cm. A medida dos outros dois lados do triângulo, em cm, é igual a 
a) 8. 
b) 8 2. 
c) 16. 
d) 16 2. 
 
5. (Ufsj 2013) Considere uma corda AB, perpendicular ao diâmetro EC de um círculo de centro 
O. Sendo o ponto D a interseção dos segmentos AB e EC e sabendo que CD = 4cm e ED = 
9cm, a área do triângulo AED, em cm
2
, é igual a 
a) 27. 
b) 18. 
c) 36. 
d) 78. 
 
6. (Fgv 2013) Um triângulo tem lados medindo 1cm, 2cm e 2,5cm. Seja h a medida da altura 
relativa ao maior lado. 
O valor de h
2
 expresso em cm
2
 é, aproximadamente, igual a 
a) 0,54 
b) 0,56 
c) 0,58 
d) 0,60 
e) 0,62 
 
7. (Uepb 2013) No retângulo ABCD de lado AB 3 cm, BC 7cm,  o segmento AP é 
perpendicular à diagonal BD. 
 
 
 
O segmento BP mede em cm: 
a) 
9
2
 
b) 
7
4
 
c) 
9
4
 
d) 
3
4
 
e) 
5
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. (Espm 2012) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm
2
. Os segmentos 
CE e CF medem 4 cm cada. Essa figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo 
com que os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço. 
 
 
A distância desse ponto P ao ponto A é igual a: 
a) 6 cm 
b) 5 cm 
c) 4 2 cm 
d) 5 2 cm 
e) 6 2 cm 
 
9. (G1 - ifal 2012) Sejam (x – 5)cm, (x + 2)cm e (x + 3)cm, com x > 5, as medidas dos lados de 
um triângulo retângulo. Assinale a alternativa errada. 
a) Esse triângulo é escaleno. 
b) A hipotenusa desse triângulo mede 13 cm. 
c) Os catetos desse triângulo medem 5 cm e 12 cm. 
d) A área desse triângulo tem 30 cm
2
. 
e) Existem dois triângulos nessas condições. 
 
10. (G1 - ifal 2012) Considere um triângulo cujas medidas dos lados são: 10 cm, 100 mm e 
2 dm, e um quadrado de área igual a 100 cm
2
. Assinale a alternativa correta. 
a) A área do triângulo é igual à metade da área do quadrado. 
b) O lado do quadrado mede 50 cm. 
c) O lado do quadrado mede 10 dm. 
d) A área do triângulo tem 100 cm
2
. 
e) A área do triângulo é igual ao dobro da área do quadrado. 
 
11. (Espm 2012) A figura abaixo representa um paralelepípedo reto-retângulo de medidas AF 
= 4, FC = 3 e CE = 2 3, sendo B o ponto médio de DE. O perímetro do triângulo ABC é igual 
a: 
 
a) 12 
b) 14 
c) 13 
d) 15 
e) 11 
 
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12. (Unesp 2012) No futebol, um dos gols mais bonitos e raros de se ver é o chamado gol 
olímpico, marcado como resultado da cobrança direta de um escanteio. 
 
 
 
Suponha que neste tipo de gol: 
 
1. A projeção da trajetória da bola descreva um arco de circunferência no plano do gramado; 
2. A distância (d) entre o ponto da cobrança do escanteio e o ponto do campo em que a bola 
entra no gol seja 40 m; 
3. A distância máxima (h) da projeção da trajetória da bola à linha de fundo do campo seja 1m. 
 
Determine o raio da circunferência (R), em metros, do arco descrito pela trajetória da bola, com 
uma casa decimal de aproximação. 
 
13. (Pucrj 2012) Seja ABC um triângulo retângulo em B. Seja AD a bissetriz de CÂB. 
Sabemos que AB mede 1 e que BD mede 
1
.
2
 Quanto mede o cateto BC ? 
 
 
a) 1 
b) 2 
c) 
3
2
 
d) 
4
3
 
e) 2 
 
 
 
 
 
 
 
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14. (Insper 2012) A figura mostra parte de um campo de futebol, em que estão representados 
um dos gols e a marca do pênalti (ponto P). 
 
 
 
Considere que a marca do pênalti equidista das duas traves do gol, que são perpendiculares 
ao plano do campo, além das medidas a seguir, que foram aproximadas para facilitar as 
contas. 
 
• Distância da marca do pênalti até a linha do gol: 11 metros. 
• Largura do gol: 8 metros. 
• Altura do gol: 2,5 metros. 
 
Um atacante chuta a bola da marca do pênalti e ela, seguindo uma trajetória reta, choca-se 
contra a junção da trave esquerda com o travessão (ponto T). Nessa situação, a bola terá 
percorrido, do momento do chute até o choque, uma distância, em metros, aproximadamente 
igual a 
a) 12. 
b) 14. 
c) 16. 
d) 18. 
e) 20. 
 
15. (Ufpa 2012) Uma passarela construída em uma BR no Pará tem um vão livre de 
comprimento 4L. A sustentação da passarela é feita a partir de 3 cabos de aço presos em uma 
coluna à esquerda a uma altura D da passarela. Esta coluna por sua vez é presa por um cabo 
de aço preso a um ponto na mesma altura da passarela, e a uma distância L da passarela, 
conforme representa a figura a seguir. 
 
 
 
Supondo L=9m e D=12m, comprimento total dos quatro cabos de aço utilizados é, em metros,: 
a) 57 
b) 111 
c) 21 1341 
d) 30 6 13 3 97  
e) 30 2 13 97  
 
 
 
 
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16. (G1 - ifal 2011) Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa 
medem 4 m e 1 m, respectivamente. 
Calcule a área desse triângulo. 
a) 5 cm
2
 
b) 50 cm
2
 
c) 50.000 cm
2
 
d) 50 dm
2
 
e) 5 dm
2
 
 
17. (G1 - ifce 2011) A altura, baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, mede 12 
cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 7 cm. Os lados do triângulo são, 
em centímetros, iguais a 
a) 10, 15 e 20. 
b) 12, 17 e 22. 
c) 15, 20 e 25. 
d) 16, 21 e 26. 
e) 18, 23 e 28. 
 
18. (Ufsc 2010) Calcule o valor numérico de t na figura a seguir: 
 
 
 
 
19. (G1 - cftmg 2010) Na figura seguinte, as raízes da equação da parábola expressa por 
y = a (x – x1) (x – x2), com a  lR*, são x1 e x2. 
 
 
 
Os valores de a, x1 e x2 são, respectivamente, 
a) 
13 25 144
, ,
60 13 13
 
 
b) 
1 25 144
, ,
60 13 13
 
 
c) 
13 25 144
, ,
60 13 13
 
d) 
1 25 144
, ,
60 13 13
 
 
 
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20. (Uerj 2010) Observe a figura a seguir, que representa um quadrado ABCD, de papel, no 
qual M e N são os pontos médios de dois de seus lados. Esse quadrado foi dividido em quatro 
partes para formar um jogo. 
 
 
 
O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um retângulo cuja base seja maior que a 
altura. O retângulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema proposto no jogo. 
 
 
 
Calcule a razão
PS
.
PQ
 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Sejam A o ponto onde se encontrava inicialmente a bicicleta e B o ponto a 6 metros ao norte 
de A. Chamando de C o ponto onde se encontra o hidrante, segue que a distância pedida 
corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo ABC, reto em A. Portanto, pelo Teorema de 
Pitágoras, vem 
 
 
2 2 2 2 2 2BC AC AB BC 8 6
BC 100
BC 10 m.
    
 
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
 
 
25
2
 = 20
2
 + (5x)
2
 
 
625 = 400 + 25x
2
 
 
25x
2
 = 225 
 x
2
 = 9 
 x = 3 
 
Resposta da questão 3: 
 Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AFE e ABE, obtemos 
 
2 2 2AE 9 (AB 2)   
e 
2 2 2AE AB 13 .  
 
Logo, 
 
2 2
81 AB 4 AB 4 AB 169 AB 21m.        
 
Portanto, AB 21m e EF 23 m. 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
 
 
O lado que mede 16 cm é diâmetro da circunferência e a ângulo ˆACB 90 ,  logo: 
2 2 2
2
2
x x 16
2x 1256
 x 128
x 8 2.
 



 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
 
 
EÂC 180 : 2 90    
 
No triângulo retângulo AEC, temos: 
 
2h 9 4 h 36.
Logo, h 6.
   

 
 
Portanto, a área do triângulo AED será dada por: 
2A (6 9) : 2 27cm   
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
Considere a figura, em que AC 1, AB 2, BC 2,5   e AH h. 
 
 
 
Façamos HB x, com 0 x 2,5.  
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AHC e AHB, obtemos 
 
2 2 2h 1 (2,5 x)   
e 
2 2 2h 2 x .  
 
Logo, 
 
2 21 6,25 5x x 4 x 5x 9,25
x 1,85cm.
      
 
 
 
Portanto, 
 
2 2h 4 (1,85) 0,58.   
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 
 
2 2 2 2 2 2BD AB AD BD 3 ( 7)
BD 4cm.
    
 
 
 
Portanto, como o quadrado de um cateto é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa, 
vem: 
 
2 2AB BP BD 3 BP 4
9
BP cm.
4
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
Como o quadrado ABCD tem área igual a 210cm , vem que 
2 2AB 10cm . 
De acordo com as informações, temos que o segmento PA é a hipotenusa do triângulo 
retângulo de catetos CP 4cm e AC AB 2cm. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, 
obtemos 
 
2 2 2 2 22
2 2
2
PA AC CP PA (AB 2) CP
PA 2 10 4
PA 36
PA 6cm.
    
   
 
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [E] 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras temos: 
 
(x + 3)
2
 = (x + 2)
2
 + (x – 5)
2
  x
2
 – 10x + 20 = 0  x = 2 (não convém) ou x = 10 
 
Portanto, os lados do triângulo são 5, 12 e 13 e a alternativa incorreta é a [E]. 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
 
100 mm = 10 cm e 2dm 10 2cm 
Este triângulo é retângulo, pois  
2 2 210 2 10 10  , logo, sua área será 
210
,
2
 ou seja, 
metade da área de um quadrado de lado 10 cm. 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
 
 
 
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 
 
2 2
22
22
AC 3 4 25 5
BC   2 2 3 16 4
GB 2 2 3 16 4
   
   
   
 
 
Logo, o perímetro será: 
 
P = 5 + 4 + 4 = 13. 
 
Resposta da questão 12: 
 
 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado, temos: 
 
R
2
 = (R – 1)
2
 + 20
2
 
R
2 
= R
2
 – 2 R + 01 + 400 
2 R = 401 
R = 200,5 m. 
 
Resposta da questão 13: 
 [D] 
 
Pelo Teorema da Bissetriz Interna, temos que 
 
1
BD CD CD2
1AB AC AC
AC 2 CD.
  
  
 
 
Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras, vem 
 
2
2 2 2 2 2
2
1
AC BC AB (2 CD) CD 1
2
5
3 CD CD 0
4
5
CD u.c.
6
 
       
 
    
 
 
 
Portanto, 
 
 
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BC BD CD
1 5
2 6
4
u.c.
3
 
 

 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
 
 
Considerando x a distância pedida, temos: 
 
y
2
 = 4
2
 + 11
2
 
y
2
 = 137 
x
2
 = y
2
 + 2,5
2
 
x
2
 = 137 + 6,25 
x
2
 = 143,25 
x 12m 
 
Resposta da questão 15: 
 [D] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Como BC CD e AC BD, segue que AB AD. 
Queremos calcular 2 AB AE AF.   
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem 
 
2 2 2 2 2AB BC AC 9 12 225 AB 15 m.       
 
Analogamente, para os triângulos ACE e ACF, obtemos 
 
2 2 2 2 2AE CE AC 18 12 468 AE 6 13 m       
 
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e 
2 2 2 2 2AF CF AC 27 12 873 AF 3 97 m.       
 
Portanto, o resultado pedido é: 
 
2 AB AE AF 2 15 6 13 3 97
(30 6 13 3 97) m.
      
  
 
 
Resposta da questão 16: 
 [C] 
 
A hipotenusa medirá 1 + 4 = 5 m 
Utilizando que a quadrado da altura é igual ao produto das projeções, temos: 
A altura será calculada por h
2
 = 1.4  h = 2m. Logo, 
 5.2
A
2
  5m
2
 = 50.000 cm
2
 
 
Resposta da questão 17: 
 [C] 
 
Considere a figura abaixo, em que a, b e c são os lados procurados. 
 
 
 
Sabemos que m n 7 m n 7     e que h 12. 
 
Das relações métricas no triângulo retângulo, obtemos 
2
2
h mn (n 7)n 144
n 7n 144 0
n 9 ou n 16.
   
   
   
 
 
Logo, m 9 7 16   e a m n 16 9 25 5 5.       Daí, como o triângulo dado é semelhante 
ao triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5, segue que b 5 4 20   e c 5 3 15.   
 
Resposta da questão 18: 
t =
60
.
13
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 19: 
 [A] 
 
 
 
x
2
 = 5
2
 + 12
2
  x= 13 
 
Utilizando relações métricas no triângulo retângulo, temos: 
5
2
 = 13.m  m = 
25
 
13
logo, 1
25
x 
13
  
12
2
 = 13.m  m = 
144
 
13
logo, 2
144
x 
13
 
13.h = 12.5  h = 
60
 
13
logo B(0, 60/13) 
Substituindo o ponto B na função, temos: 
 
Resposta da questão 20: 
2 2 2 2 2 2CN NB BC CN x 4x CN x 5
CD
MC MC x
2
      
  
 
A seguinte relação é válida para o triângulo ADM: 
2x 2x
5xDE 2x DE
5
   
 
 
 
 
 
 
Como PQ DE , pode-se obter a razão: 
PS 2x 5
5
2xPQ
5
 