Lista Aplicacoes das Leis de Newton com gabarito

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
1. Uma esfera de massa 3, 0 × 10−4 kg esta´ suspensa por um fio. Uma brisa sopra ininterrup-
tamente na direc¸a˜o horizontal empurrando a esfera de tal forma que o fio faz um aˆngulo
constante de 37◦ com a vertical. Ache
(a) o mo´dulo daquele empurra˜o;
(b) a trac¸a˜o do fio.
2. Dois blocos esta˜o em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma forc¸a horizontal e´ aplicada
ao bloco meno, como mostrado na Figura 1.
Figura 1: Problema 2
(a) Se m1 = 2, 3 kg, m2 = 1, 2 kg e F = 3, 2 N, ache o mo´dulo da forc¸a entre os dois blocos.
(b) Mostre que se uma forc¸a de mesmo mo´dulo F for aplicada ao bloco maior, mas no
sentido contra´rio, o mo´dulo da forc¸a entre os blocos sera´ 2, 1 N, que na˜o e´ o mesmo
valor calculado em (a).
(c) Explique a diferenc¸a.
3. Um homem de 85 kg desce ate´ o solo partindo de uma altura de 10,0 m segurando-se em
uma corda que desliza por uma roldana sem atrito ate´ um saco de areia de 65 kg. Com que
velocidade o homem bate no cha˜o se ele partir do repouso?
4. Uma corrente e´ composta de cinco elos, cada um de massa igual a 0,100 kg. A corrente e´
puxada verticalmente pelo elo mais superior com uma forc¸a ~F resultando numa acelerac¸a˜o
constante de 2,50 m/s2. Ache os mo´dulos:
(a) da forc¸a que o elo 2 (segundo de baixo para cima) exerce sobre o elo 1 (o mais inferior);
(b) da forc¸a que o elo 3 (terceiro de baixo para cima) exerce sobre o elo 2;
(c) da forc¸a que o elo 4 (quarto de baixo para cima) exerce sobre o elo 3;
1
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
(d) da forc¸a que o elo 5 (u´ltimo de baixo para cima) exerce sobre o elo 4;
(e) da forc¸a ~F que a pessoa levantando o cadeira exerce sobre o elo mais elevado;
(f) da forc¸a resultante que acelera cada elo.
5. Um bloco de massa m1 = 3, 70 kg sobre um plano inclinado de θ = 30
◦ esta´ ligado por um fio
que passa por um roldana sem massa e sem atrito a um segundo bloco de massa m2 = 2, 30 kg
suspenso verticalmente (Figura 2). Quais sa˜o:
Figura 2: Problemas 5, 12 e 13
(a) o mo´dulo da acelerac¸a˜o de cada bloco?
(b) a direc¸a˜o e sentido da acelerac¸a˜o do bloco suspenso?
(c) a trac¸a˜o do fio?
6. Um bloco de massa m1 e´ puxado ao longo de uma superf´ıcie horizontal sem atrito por uma
corda de massa m2, como mostrado na Figura 3. Uma forc¸a horizontal ~F e´ aplicada a uma
extremidade da corda.
Figura 3: Problema 6
(a) Mostre que a corda tem de formar uma barriga, mesmo que esta seja impercept´ıvel.
(b) Depois, supondo que esta deformac¸a˜o da corda seja desprez´ıvel, ache
i. a acelerac¸a˜o da corda e do bloco;
2
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
ii. a forc¸a que a corda exerce sobre o bloco; e
iii. a trac¸a˜o na corda no seu ponto me´dio.
7. Um caixote de 100 kg e´ empurrado com velocidade constante para cima de uma rampa de
30, 0◦, sem atrito por um forc¸a horizontal ~F . Quais sa˜o os mo´dulos de
(a) ~F ;
(b) da forc¸a que a rampa exerce sobre o caixote?
8. Uma forc¸a horizontal ~F de mo´dulo igual a 12 N empurra um bloco que pesa 5,0 N contra uma
parede vertical. O coeficiente de atrito esta´tico entre a parede e o bloco e´ 0,60, e o coeficiente
de atrito cine´tico e´ de 0,40. Suponha que o bloco na˜o esteja movendo-se inicialmente.
(a) O bloco ira´ mover-se?
(b) Qual e´ a forc¸a da parede sobre o bloco, na notac¸a˜o de vetor unita´rio?
9. Um trabalhador deseja amontoar um cone de areia em cima de uma a´rea circular de seu
pa´tio. O raio do c´ırculo e´ R e na˜o deve haver areia espalhada ale´m da a´rea limitada. Se µe
for o coeficiente de atrito esta´tico entre cada camada de areia ao longo do talude e a areia
abaixo (ao longo da qual ela poderia deslizar), mostre que o maior volume de areia que pode
ser estocada desta maneira e´
1
3
piµdR
3 .
Lembre-se que o volume de um cone e´
1
3
Ah, onde A e´ a a´rea da base e h e´ a altura do cone.
10. Um porco, que gosta de brincar de escorrega, desce uma certa rampa de com 35◦ de inclinac¸a˜o
no dobro do tempo que ele levaria para descer um escorrega liso com 35◦ de inclinac¸a˜o. Qual
e´ o coeficiente de atrito cine´tico entre o porco e a rampa?
11. Os blocos m2 e m3 da Figura 4 pesam 44 N e 22 N, respectivamente.
(a) Determine o peso mı´nimo do bloco m1 para impedir que o bloco m2 deslize se coeficiente
de atrito esta´tico, µe, entre o bloco m2 e a mesa for de 0,20.
(b) Qual sera´ a acelerac¸a˜o do bloco m2 se o coeficiente de atrito cine´tico, µc, entre a m2 e
a mesa for 0,15?
12. O corpo m1 da Figura 2 pesa 102 N e o corpo m2, 32 N. Os coeficientes de atrito esta´tico
e cine´tico entre m1 e a rampa sa˜o µe = 0, 56 e µc = 0, 25, respectivamente. O aˆngulo θ da
inclinac¸a˜o e´ igual a 40◦. Encontre a acelerac¸a˜o de m1
3
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
Figura 4: Problema 11
(a) se m1 estiver inicialmente em repouso;
(b) se m1 estiver inicialmente se movendo para cima da rampa;
(c) se m1 estiver inicialemnte se movendo para baixo da rampa.
13. Na Figura 2, dois blocos esta˜o ligados por um fio que passa por uma polia sem massa e sem
atrito. A massa do bloco m1 e´ igual a 10 kg e o coeficiente de atrito cine´tico do bloco m1 e a
rampa e´ de 0,20. O aˆngulo θ de inclinac¸a˜o da rampa e´ igual a 30◦. O bloco m1 desliza para
baixo da rampa com velocidade constante. Qual e´ a massa do bloco m2?
14. Uma caixa de formigas feˆmea (massa total m1=1,65 kg) e uma caixa de formigas machos
(massa total m2=3,30 kg) descem um plano inclinado, ligadas por uma haste de massa
desprez´ıvel paralela ao plano. A massa m1 esta´ mais superior que a massa m2. O aˆngulo da
rampa e´ 30◦. O coeficiente de atrito cine´tico entre a caixa de formigas feˆmeas e o plano e´
µ1 = 0, 226; o coeficiente entre a caixa de formigas macho e o plano e´ µ2 = 0, 113. Calcule
(a) A trac¸a˜o na haste.
(b) A acelerac¸a˜o comum a`s duas caixas.
(c) Como as respostas para (a) e (b) mudariam se a caixa das formigas machos estivesse
atra´s da caixa de formigas feˆmeas?
15. Um caixote desliza pra aixo de uma calha inclinada, que possui lados ortogonais. O coeficiente
de atrito cine´tico entre o caixote e a calha e´ µc. Qual e´ a acelerac¸a˜o do caixote, em termos
de µc, θ e g?
4
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
16. Uma caixa de massa m e´ arrastada ao longo de um assoalho horizontal que possui um
coeficiente de atrito cine´tico µc por uma corda que puxa para cima formando um aˆngulo θ
acima da horizontal com uma forc¸a de mo´dulo F .
(a) Ache o mo´dulo da forc¸a necessa´ria para manter a caixa se movendo com velocidade
constante em termos de m, de µc, de θ e de g.
(b) Sabendo que voceˆ esta´ estudando f´ısica, um instrutor pergunta-lhe qual seria a forc¸a
necessa´ria para fazer deslizr um paciente de 90,0 kg puxando-o com uma forc¸a que
forma um aˆngulode 25◦ acima da horizontal. Arrastando pesos amarrados a um par
de sapatos velhos sobre o piso e usando um dinamoˆmetro voceˆ calculou µc = 0, 35. Use
esse valor e o resultado da parte (a) para responder a` pergunta feita pelo instrutor.
17. Uma bola de beisebol e´ atirada verticalmente para cima. A forc¸a de arraste e´ proporcional
a v2. Em termos de g, qual e´ o componente y da acelerac¸a˜o quando a velocidade e´ igual a`
metade da velocidade terminal, supondo que
(a) ela se move para cima?
(b) ela se move de volta para baixo?
18. Um bloco de massa m1 esta´ sobre um plano inclinado com um aˆngulo de inclinac¸a˜o α e esta´
ligado por uma corda muito leve que passa sobre uma polia pequena a um segunda bloco
suspenso de massa m2. O coeficiente de atrito cine´tico e´ µc e o coeficiente de atrito esta´tico
e´ µe.
(a) Ache a massa m2 para a qual o bloco de massa m1 sobe o plano com velocidade constante
depois que ele entra em movimento.
(b) Ache a massa m2 para a qual o bloco de massa m1 desce o plano com velocidade
constante depois que ele entra em movimento.
(c) Para que valores dem2 os blocos permanecem em repouso depois de eles serem libertados
a partir do repouso?
19. Considere um sistema formado por dois blocos ligados por um roldana pequena. O bloco A
de massa ma esta´ sobre o topo de uma mesa horizontal e e´ ligado por uma corda muito leve
que passa pela roldana deixando o bloco B (massa mB) suspenso. Ache o coeficiente de atrito
cine´tico entre o bloco A e o topo da mesa. O bloco mB desce com velocidade constante.
20. No sistema indicado do problema anterior, o bloco A possui massa mA e o bloco B possui
massa mB e a corda que liga os blocos possui massa diferente de zero mcorda. A corda possui
comprimento total L e a polia possui raio muito pequeno. Ignore qualquer concavidade na
parte horizontal da corda.
5
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
(a) Se na˜o existe atrito entre o bloco A e o topo da mesa, ache a acelerac¸a˜o dos blocos no
instante em que um comprimento d da corda fica suspenso verticalmente entre a polia
e o bloco B. A` medida que o bloco B cai, o mo´dulo da acelerac¸a˜o cresce, diminui ou
permanece constante? Explique.
(b) Considere mA = 2, 00 kg, mB = 0, 400 kg, mcorda = 0, 160 kg e L = 1, 00 m. Se existe
atrito entre o bloco A e o topo da massa, com µc = 0, 200 e µe = 0, 250, calcule o
valor da distaˆncia mı´nima d tal que os blocos comecem a se mover se eles inicialmente
estavam em repouso.
(c) Repita a parte (b) para o caso mcorda = 0, 040 kg. Os blocos se movera˜o nesse caso?
Explique.
21. Um universita´rio tenta empurrar uma caixa cheia de livros de f´ısica com massa m para o alto
de um plano inclinado com um aˆngulo de inclinac¸a˜o α acima da horizontal. Os coeficientes
de atrito entre o plano inclinado e a caixa sa˜o µe e µc. A forc¸a ~F aplicada pelo universita´rio
e´ horizontal.
(a) Se µe for maior que um certo valor cr´ıtico, o estudante na˜o consegue fazer a caixa se
mover por maior que seja a forc¸a que ele realize. Calcule esse valor cr´ıtico de µe.
(b) Suponha que o valor de µe seja menor do que esse valor cr´ıtico. Qual e´ o mo´dulo da
forc¸a aplicada pelo estudante para fazer a caixa se deslocar para cima do plano inclinado
com velocidade constante?
Figura 5: Problema 22
22. A Figura 5 mostra um bloco B de massa mB esta´ sobre um bloco A de massa mA, que por
sua vez esta´ sobre o topo de uma mesa horizontal. O coeficiente de atrito cine´tico entre o
bloco A e o topo da mesa e´ µc e o coeficiente de atrito esta´tico entre o bloco A e o bloco B
e´ µe. Um fio leve ligado ao bloco A passa sobre uma polia fixa sem atrito e o bloco C esta´
6
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
suspenso na outra extremidade do fio. Qual deve ser o maior valor da massa mc que o bloco
C deve possuir para que os blocos A e B deslizem juntos quando o sistema for libertado a
partir do repouso?
23. Uma cunha (plano inclinado de inclinac¸a˜o α com a horizontal) de massa M repusa sobre o
topo horizontal de uma mesa sem atrito. Um bloco de massa m e´ colocado sobre a cunha.
Na˜o exite nenhum atrito entre o bloco e a cunha. O sistema e´ libertado a partir do repouso.
(a) Ache a acelerac¸a˜o do bloco
(b) Suas respostas ao item (a) se reduzem ao valor esperado quando M for muito grande?
Explique.
24. Uma caixa de massa m e´ acelerada para cima de uma rampa por uma corda que exerce
uma tensa˜o T . A rampa faz um aˆngulo α com a horizontal e a corda faz um aˆngulo θ
acima da rampa. O coeficiente de atrito cine´tico entre a caixa e a rampa e´ µc. Mostre que
para qualquer valor de α, a acelerac¸a˜o e´ ma´xima quando θ = tan−1 µc (desde que a caixa
permanec¸a em contato com a rampa).
25. Uma caixa de massa m e´ puxada com velocidade constante ao longo de um piso plano por
uma forc¸a ~F que faz um aˆngulo θ acima da horizontal. O coeficiente de atrito cine´tico entre
a caixa e o piso e´ µc.
(a) Ache F em termos de θ, de µc, de m e de g.
(b) Para mg = 400 N e µc = 0, 25, ache F para θ variando de 0
◦ a 90◦ em incrementos de
10◦. Fac¸a um gra´fico de F contra θ.
(c) Com base na expressa˜o geral obtida em (a), calcule o valor de θ para o qual o valor de F
e´ o mı´nimo necessa´rio para manter o movimento com velocidade constante. (Sugesta˜o:
Em um ponto onde uma func¸a˜o passa por um mı´nimo, como se comportam a primeira
e a segunda derivadas da func¸a˜o? Aqui F e´ um func¸a˜o de θ). Para o caso especial
mg = 400 N e µc = 0, 25, avalie o valor de θ o´timo e compare seu resultado com o
gra´fico constru´ıdo na parte (b).
26. Voceˆ e´ convocado como testemunha no julgamento de uma violac¸a˜o de traˆnsito. Os fatos sa˜o
estes: um motorista freou bruscamente e parou com acelerac¸a˜o constante. Medidas tomadas
dos pneus e das marcas da derrapagem indicam que ele travou as rodas do carro, e que o
mesmo percorreu 58,6 m antes de parar. O coeficiente de atrito cine´tico entre a rua e os
pneus era 0,750. A acusac¸a˜o e´ a de que ele estava em excesso de velocidade em uma a´rea de
velocidade ma´xima igual a 60 km/h. Ele alega inoceˆncia. Qual e´ a sua conclusa˜o, culpado
ou inocente? Qual era a velocidade do motorista quando ele freou?
7
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
27. Os blocos A, B e C sa˜o dispostos como indicado na Figura 6 e ligados por cordas de massas
desprez´ıveis. O peso de A e´ de 25,0 N e o peso de B tambe´m e´ de 25,0 N. O coeficiente de
atrito cine´tico entre cada bloco e a superf´ıcie e´ igual a 0,35. O bloco C desce com velocidade
constante.
Figura 6: Problema 27
(a) Desenhe dois diagramas do corpo livre separados mostrando as forc¸as que atuam sobre
A e sobre B.
(b) Ache a tensa˜o na corda que liga o bloco A ao bloco B.
(c) Qual e´ o peso do bloco C?
(d) Se a corda que liga o bloco A ao bloco B fosse cortada, qual seria a acelerac¸a˜o do bloco
C?
28. Determine a acelerac¸a˜o de cada bloco na Figura 7 em func¸a˜o de m1, m2 e de g. Na˜o existe
nenhum atrito em nenhuma parte do sistema.
Figura 7: Problema 28
8
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e ExperimentalI - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
29. Voceˆ faz parte da equipe do projeto para uma explorac¸a˜o do planeta Marte, onde g =
3, 7 m/s2. Uma exploradora deve deixar o ve´ıculo de explorac¸a˜o que se desloca horizontal-
mente a 33 m/s quando estiver 1200 m acima da superf´ıcie, e enta˜o, mover-se em queda
livre por 20 s. Nesse instante, um sistema porta´til de propulsa˜o avanc¸ada (PAPS, do ingleˆs
portable advanced propulsion system) deve exercer uma forc¸a constante que diminuira´ a ve-
locidade da exploradora ate´ chegar a zero no instante em que ela toca a superf´ıcie. A massa
total (exploradora, roupa espacial, equipamento e PAPS) e´ de 150 kg. Despreze a variac¸a˜o
da massa do PAPS. Ache os componentes horizontal e vertical da forc¸a que o PAPS deve
exercer e por quanto tempo o PAPS deve exerceˆ-la. Despreze a resisteˆncia do ar.
30. Qual deve ser a acelerac¸a˜o do carrinho da Figura 8 para que o bloco A na˜o caia? O coeficiente
de atrito esta´tico entre o bloco e o carinho e´ µe. Como seria o comportamento do bloco
descrito por um observador no carrinho?
Figura 8: Problema 30
31. Um bloco A, com peso 3mg, desliza sobre um plano inclinado S com inclinac¸a˜o de 36, 9◦ a
uma velocidade constante, enquanto a prancha B, com peso mg, esta´ em repouso sobre A.
A prancha e´ ligada por uma corda no topo do plano (Figura 9).
Figura 9: Problema 31
(a) Fac¸a um diagrama de todas as forc¸as que atuam sobre A.
9
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
(b) Se o coeficiente de atrito cine´tico entre A e B for igual ao coeficiente de atrito cine´tico
entre S e A, calcule o seu valor.
32. A Figura 10 mostra um sistema que pode ser usado para medir sua acelerac¸a˜o. Um observador
que caminha sobre a plataforma mede o aˆngulo θ que o fio que sustenta a bola leve forma
com o plano vertical. Na˜o ha´ atrito em nenhum ponto.
Figura 10: Problema 32
(a) Como θ relaciona-se com a acelerac¸a˜o do sistema?
(b) Se m1 = 250, 0 kg e m2 = 1250 kg, qual e´ o aˆngulo θ?
(c) Se voceˆ pode variar m1 e m2, qual e´ o maior aˆngulo θ a ser atingido? Explique como
voceˆ deve ajustar m1 e m2 para isso.
Figura 11: Problema 33
33. Um pequeno bloco de massa m repousa sobre o topo de uma mesa horizontal sem atrito a
uma distaˆncia r de um buraco situado no centro da mesa (Figura 11). Um fio ligado ao
10
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
bloco pequeno passa atrave´s do buraco e tem um bloco maior de massa M ligado em sua
outra extremidade. O pequeno bloco descreve um movimento circular uniforme com raio r e
velocidade v. Qual deve ser o valor de v para que o bloco grande permanec¸a imo´vel quando
libertado?
34. Uma pequena conta pode deslizar sem atrito ao longo de um aro circular situado em um
plano vertical com raio igual a 0, 100 m. O aro gira com uma taxa constante de 4, 0 rev/s
em torno de um diaˆmetro vertical (Figura 12).
Figura 12: Problema 34
(a) Ache o aˆngulo β para o qual a conta esta´ em equil´ıbrio vertical. (E´ claro que ela possui
uma acelerac¸a˜o radial orientada para o eixo da rotac¸a˜o.)
(b) Verifique se e´ poss´ıvel a conta “subir” ate´ uma altura igual ao centro do aro.
(c) O que ocorreria se o aro girasse com 1,0 rev/s?
Figura 13: Problema 35
11
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
35. Um pequeno carro guiado por controle remoto possui massa de 1, 60 kg e move-se com
velocidade constante v = 12, 0 m/s em um c´ırculo vertical no interior de um cilindro meta´lico
oco de raio igual a 5, 0 m (Figura 13). Qual e´ o mo´dulo da forc¸a normal exercida pela parede
do cilindro sobre o carro:
(a) no ponto A (na base do c´ırculo vertical)?
(b) no ponto B (no topo do c´ırculo vertical)?
36. Um pequeno bloco de massa m e´ colocado no interior de um cone invertido que gira em
torno do eixo vertical de modo que o tempo para uma revoluc¸a˜o e´ igual a T (Figura 14). As
paredes do cone fazem um aˆngulo β com a vertical. O coeficiente de atrito esta´tico entre o
bloco e o cone e´ µe. Para que o bloco permanec¸a a uma altura h acima do ve´rtice do cone,
qual deve ser o valor ma´ximo e o valor mı´nimo de T?
Figura 14: Problema 36
37. Uma cunha de massa M repousa sobre o topo horizontal de uma mesa sem atrito. Um bloco
de massa m e´ colocado sobre a cunha (Figura 15a). Na˜o existe nenhum atrito entre o bloco
e a cunha. O sistema e´ libertado a partir do repouso.
Figura 15: Problemas 37 e 38
12
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
(a) Ache a acelerac¸a˜o da cunha e os componentes horizontais e verticais da acelerac¸a˜o do
bloco.
(b) Suas respostas do item (a) reduzem-se ao valor esperado quando M for muito grande?
(c) Em relac¸a˜o a um observador estaciona´rio, qual e´ a forma da trajeto´ria do bloco?
38. Uma cunha de massa M repousa sobre o topo horizontal de uma mesa sem atrito. Um
bloco de massa m e´ colocado sobre a cunha, e uma forc¸a horizontal ~F e´ aplicada sobre a
cunha (Figura 15b). Qual deve ser o mo´dulo de ~F para que o bloco permanec¸a a uma altura
constante em relac¸a˜o ao topo da mesa?
39. Na Figura 16, as massas m1 e m2 esta˜o conectadas por um fio leve A que passa sobre uma
polia leve e sem atrito B. O eixo da polia B e´ conectado por um segundo fio leve C que
passa sobre uma segunda polia leve e sem atrito D a uma massa m3. A polia D esta´ fixa ao
teto atrave´s do seu eixo. O sistema e´ libertado a partir do repouso. Em termos de m1, de
m2 e de g qual e´
Figura 16: Problemas 39
(a) a acelerac¸a˜o do bloco m3?
(b) a acelerac¸a˜o da polia B?
(c) a acelerac¸a˜o do bloco m1?
(d) a acelerac¸a˜o do bloco m2?
(e) a tensa˜o na corda A?
(f) a tensa˜o na corda C?
13
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
(g) O que as expresso˜es fornecem para m1 = m2 e m3 = m1 + m2? O resultado era
esperado?
40. Uma bola e´ mantida em repouso na posic¸a˜o A indicada na Figura 17 por meio de dois fios
leves. O fio horizontal e´ cortado, e a bola comec¸a a oscilar como um peˆndulo. O ponto B
e´ o ponto mais afastado do lado direito da trajeto´ria das oscilac¸o˜es. Qual e´ a raza˜o entre
a tensa˜o do fio na posic¸a˜o B e a tensa˜o do fio na posic¸a˜o A antes de o fio horizontal ser
cortado?
Figura 17: Problemas 40
41. Um bala˜o de pesquisa de massa total M esta´ descendo na vertical, com uma acelerac¸a˜o para
baixo de mo´dulo igual a |~a|. Determine a quantidade de lastro, em func¸a˜o de |~a|, g e M , que
deve ser jogada fora da cesta para fornecer ao bala˜o uma acelerac¸a˜o para cima ~a, assumindo
que a forc¸a de sustentac¸a˜o exercida pelo ar sobre o bala˜o na˜o muda.
Figura 18: Problema 42
14
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
42. Na Figura 18, um bloco de massa m e´ lanc¸ado para cima com velocidade v0 ao longo de um
plano de inclinac¸a˜o θ enquanto uma forc¸a horizontal F atua sobre ele. Pore´m, o bloco sofre
uma desacelerac¸a˜o. O coeficiente de atrito cine´tico entre o bloco e o plano e´ µc. Em func¸a˜o
de m e/ou θ e/ou g (acelerac¸a˜o da gravidade) e/ou µc e/ou F e/ou v0:
(a) Determine o valor da desacelerac¸a˜o do bloco e mostre que sempre ocorrera´ desacelerac¸a˜o
independente do valor da forc¸a |~F | e da massa m se inclinac¸a˜o do plano for
arctan
( 1
µc
)
< θ <
pi
2
(b) Quando o bloco alcanc¸a seu ponto mais alto, ele permanece em repouso ou desliza de
volta para baixo no plano? Justifique.
43. Considere uma caixa colocada sobre diferentes superf´ıcies.
• Situac¸o˜es:
(i) A caixa esta´ em repouso sobre uma superf´ıcie horizontal a´spera;
(ii) a caixa esta´ em repouso sobre uma superf´ıcie a´spera inclinada;
(iii) a caixa esta´ no leito plano e de superf´ıcie a´spera na traseira de um caminha˜o – o
caminha˜o esta´ se movendo a uma velocidade constante por uma estrada reta e plana, e
a caixa permanece no mesmo lugar, no meio do leito da carroceria;
(iv) a caixa esta´ no leito plano e de superf´ıcie a´spera na traseira de um caminha˜o – o
caminha˜o esta´ acelerando para cima por uma estrada reta e plana, e a caixa permanece
no mesmo lugar, no meio do leito da carroceria;
(v) a caixa esta´ no leito palno e de superf´ıcie a´spera na traseira de um caminha˜o – o
caminha˜o esta´ subindo pela encosta de uma montanha, e a caixa esta´ deslizando em
direc¸a˜o ao fundo do caminha˜o.
(a) Em qual (is) situac¸a˜o (o˜es) na˜o ha´ forc¸a de atrito atuando sobre a caixa?
(b) Em qual (is) situac¸a˜o (o˜es) ha´ uma forc¸a de atrito esta´tico atuando sobre a caixa?
(c) Em qual (is) situac¸a˜o (o˜es) ha´ uma forc¸a de atrito cine´tico atuando sobre a caixa?
44. Considere uma estrada molhada com inclinac¸a˜o lateral como na Figura 19, no qual ha´ um
coeficiente de atrito esta´tico igual a µe e um coeficiente de atrito cine´tico igual a µc (µc < µe)
entre os pneus e a estrada. O raio da curva e´ igual a R.
(a) Se o aˆngulo de inclinac¸a˜o lateral for igual a β, determine a velocidade ma´xima que um
carro pode ter antes que ele deslize para cima do plano do inclinado.
(b) Determine a velocidade mı´nima que um carro pode ter antes que ele deslize para baixo
do plano inclinado.
15
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
Figura 19: Problema 44
45. A acelerac¸a˜o da gravidade g pode ser determinanda medindo-se o tempo t gasto para que o
corpo de massa m2 da ma´quina de Atwood (veja a Figura 20) caia atrave´s de uma distaˆncia
L, partindo do repouso. Considere que as massas da polia e dos fios desprez´ıveis bem como
a resisteˆncia do ar. Suponha que m1 > m2.
Figura 20: Problema 45
(a) Obtenha uma expressa˜o para g em func¸a˜o de m1 e/ou m2 e/ou L e/ou t.
16
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
(b) Mostre que se ocorrer um pequeno erro ∆t na medida do tempo, o erro na determinac¸a˜o
de g pode ser determinado pela expressa˜o
∆g
g
= −2∆t
t
46. Um bloco e´ mantido em sua posic¸a˜o de equil´ıbrio por meio de um cabo ao plano de apoio
sem atrito, conforme a Figura 21. Se θ e´ o aˆngulo da elevac¸a˜o do plano e m a massa do bloco,
determine o mo´dulo da forc¸a de trac¸a˜o no cabo, ~T e o mo´dulo da forc¸a normal, ~Fn, exercida
pelo plano em func¸a˜o do aˆngulo θ, da massa m e da acelerac¸a˜o da gravidade g. Verifique o
seu resultado para θ = 0◦ e θ = 90◦.
Figura 21: Problema 46
47. Na Figura 22, um bloco de massa m1 esta´ sobre um plano inclinado com coeficiente de atrito
cine´tico µ1 que forma um aˆngulo θ1 com a horizontal. Um segundo bloco de massa m2
que esta´ sobre um outro plano inclinado com coeficiente de atrito cine´tico µ2 que forma um
aˆngulo θ2 com a horizontal. Os dois blocos esta˜o conectados por uma corda que passa por
uma polia sem atrito.
(a) Determine a acelerac¸a˜o de cada bloco
(b) Determine a forc¸a de trac¸a˜o na corda
(c) Determine a condic¸a˜o para que o bloco de massa m1 suba o plano.
48. Para determinar o coeficiente de atrito dinaˆmico de um bloco de madeira em movimento
sobre a superf´ıcie horizontal de uma mesa, voceˆ elaborou o seguinte roteiro: pegue um bloco
17
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
Figura 22: Problema 47
de madeira e lanc¸a-o horizontalmente sobre a superf´ıcie da mesa. Utilizando um cronoˆmetro,
mec¸a o tempo, ∆t, gasto pelo bloco para parar e a distaˆncia total, ∆x, percorrida pelo bloco
apo´s o impulso.
(a) Mostre que a partir dessas medidas que o coeficiente de atrito cine´tico e´,
µc =
2∆x
g (∆t)
2
(b) Determine a velocidade inicial do bloco.
49. Dois blocos unidos por um cabo de massa desprez´ıvel esta˜o em repouso sobre uma superf´ıcie
inclinada. O bloco mais baixo tem uma massa m1 e um coeficiente de atrito esta´tico com
o plano µ1. O bloco superior tem massa m2 (m2 < m1) e coeficiente de atrito esta´tico µ2.
O aˆngulo θ e´ aumentado gradativamente. Determine, em termos de m1, m2, µ1, µ2 e g, o
aˆngulo θc em que os blocos comec¸am a deslizar.
50. Dois blocos de massas m1 e m2 esta˜o apoiados como indicado na Figura 23 e colocados sobre
uma superf´ıcie horizontal sem atrito. Existe atrito entre os dois blocos. Uma forc¸a externa
de mo´dulo F atua sobre o bloco superior formando um aˆngulo α abaixo na horizontal.
Figura 23: Problema 50
18
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
(a) Mostre que os dois blocos movem-se unidos somente quando
F ≤ (m1 +m2)g
cosα
µe
−
(
1 +
m2
m1
)
senα
onde µe e´ o coeficiente de atrito esta´tico entre os dois blocos.
(b) Determine o intervalo va´lido para o aˆngulo α nas condic¸o˜es do item anterior.
51. Em um laborato´rio que conduz experieˆncias sobre atrito, um bloco de 150 N repousa sobre
uma mesa de superf´ıcie horizontal rugosa, que e´ puxado por um fio horizontal. A forc¸a de
puxar cresce lentamente ate´ o bloco comec¸ar a mover-se e continua aumentar depois disso.
A Figura 24 mostra um gra´fico da forc¸a de atrito f em func¸a˜o da forc¸a de puxar P .
Figura 24: Problema 51
(a) Identifique os intervalos dos valores da forc¸a P em que ocorrem os atritos esta´tico e o
cine´tico.
(b) Determine os coeficientes de atrito esta´tico e cine´tico entre o bloco e a mesa.
(c) Por que o gra´fico inclina-se de baixo para cima na primeira parte, mas depois se nivela?
(d) Como seria o gra´fico se um tijolo de 300 N fosse colocado sobre o bloco e quais seriam
os coeficientes de atrito nesse caso?
52. Um bloco desliza para baixo, com velocidade constante, sobre um plano inclinado de in-
clinac¸a˜o θ. O bloco e´, enta˜o, projetado para cima sobre o mesmo plano com uma velocidade
inicial V0.
(a) Determine a distaˆncia que o bloco subira´ no plano ate´ ficar em repouso em termos de
V0, g e θ.
(b) Apo´s o bloco ter atingido o repouso, ele deslizara´ para baixo do plano novamente?19
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
RESPOSTAS
1. (a) 2, 2× 10−3 N
(b) 3, 7× 10−3 N
2. (a) 1,1 N
(b) Mostre!
(c) Porque a forc¸a de contato acelera o
corpo de massa maior.
3. v =
√
2(mH −mA)gh
mH +mA
, onde mH e´ a
massa do homem, mA e´ a massa da areia
e h e´ altura.
4. (a) m(a+ g)
(b) 2m(a+ g)
(c) 3m(a+ g)
(d) 4m(a+ g),
onde a e´ acelerac¸a˜o e m e´ a massa.
5. (a)
m2 −m1sen θ
m1 +m2
g
(b) Enquanto m2 − m1sen θ > 0, te-
remos o bloco de massa m2 des-
cendo e quando a desigualdade for
contra´ria, ele subira´. Se tivermos
uma igualdade, os dois corpos es-
tara˜o em equil´ıbrio.
(c)
m1m2(1 + sen θ)
m1 +m2
g
6. (a) Mostre!
(b) i.
F
m+M
ii.
M
m+M
F
iii.
(2M +m)
2(M +m)
F
7. (a) mg tan(θ)
(b)
mg
cos(θ)
onde θ = 30◦ e m e´ a massa do bloco.
8. (a) Na˜o. Explique!
(b) (−12ˆı + 5ˆ) N
9. Dica: aplique a segunda lei de Newton
em apenas um gra˜o de areia localizado na
superf´ıcie do cone.
10. 0,53
11. (a)
m3g
µe
−m2g
(b)
(m3 − µcm2)
m3 +m2
g
12. (a) nula
(b) 3, 88 m/s2 acelerac¸a˜o para baixo da
rampa
(c) 1, 03 m/s2 para baixo da rampa
13.
m1
µe tan(θ)
14. (a) 1,1 N
(b) 3,63 m/s2
(c) Explique!
15. g
(
sen (θ)−
√
2µe cos(θ)
)
16. (a)
µcmg
cos(θ) + µcsen (θ)
(b) 293 N
17. (a) 0, 80g para baixo
(b) 0, 75g para baixo
18. (a) m1 (µc cos(θ) + sen (θ))
(b) m1 (sen (θ)− µc cos(θ))
(c) m1 (sen (θ)− µe cos(θ))
20
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
19.
mB
mA
20. (a) aumentara´ ate´ um valor limite:
mB +mcorda
mA +mB +mcorda
g
(b) 0,625 m
(c) a situac¸a˜o descrita neste item na˜o e´
poss´ıvel de ser realizada (por queˆ?)
21. (a) cot(α)
(b) mg
senα+ µc cosα
cosα− µcsenα
22.
(mA +mB)(µc + µe)
1− µe
23. (a)
ıˆMg − ˆ(M +m)g tanα
(M +m) tanα+M cotα
(b) sim. (verifique!)
24. Mostre!
25. (a)
µcmg
cos θ + µcsen θ
(b) fac¸a o gra´fico
(c) 14, 0◦
26. o motorista e´ culpado, ja´ que a velocidade
ma´xima da via e´ 60 km/h e a sua veloci-
dade era 105,7 km/h.
27. (a) desenhe os diagramas de forc¸as.
(b) 9,0 N
(c) 31 N
(d) 1,54 m/s2
28. para o bloco m1:
2m2
4m1 +m2
g e para o
bloco m2:
m2
4m1 +m2
g
29. (399ˆı + 1448ˆ) N em 12,4 s.
30.
g
µe
. Um observador no carrinho, na˜o de-
tectaria a reac¸a˜o da forc¸a horizontal por-
que o bloco esta´ em repouso relativo com
o carro. Portanto, o observador conclui-
ria que a normal e´ nula e assim tambe´m
como o mo´dulo da forc¸a de atrito, e ele
na˜o entenderia que o bloco esta´ preso ao
carrinho se a forc¸a da gravidade esta´ para
baixo. A raza˜o para isto e´ que
∑ ~F = m~a
na˜o e´ aplica´vel ao sistema de coordenadas
do carrinho. O referencial do carrinho e´
acelerado e na˜o inercial.
31. (a) Fac¸a os diagramas!
(b) 0,45
32. (a) g tan θ
(b) 9, 462◦
(c) 45◦ por queˆ?
33.
√
grM
m
34. (a) 81, 1◦
(b) Na˜o. Explique.
(c) Situac¸a˜o imposs´ıvel para essa veloci-
dade angular. Explique.
35. (a) 61,8 N verticalmente para cima
(b) 30,4 N verticalmente para baixo
36. 2pi
√
h tanβ
g
senβ + µe cosβ
cosβ − µesenβ
37. (a)
~acunha = −ıˆ gm
(M +m) tanα+ (M/ tanα)
21
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
~abloco = ıˆ
gM
(M +m) tanα+ (M/ tanα)
− ˆ g(M +m) tanα
(M +m) tanα+ (M/ tanα)
(b) Quando M � m =⇒ acunha → 0, como esperado, a cunha na˜o se movera´. Para o
bloco, ~abloco → ıˆgsenα cosα − ˆgsen 2α com o sistema de coordenadas usual. Repare
que a componente horizontal e´ na verdade gsenα multiplicado pelo fator cosα e para o
componente vertical o fator de multiplicac¸a˜o e´ senα, ou seja, decompomos neste caso a
acelerac¸a˜o ao longo do plano inclinado, gsenα, em componentes horizontal e vertical.
(c) O observador detectara´ uma trajeto´ria espiral.
38. (M +m)g tanα
39. (a)
−4m1m2 +m2m3 +m1m3
4m1m2 +m2m3 +m1m3
g
(b) a mesma magnitude e direc¸a˜o de a3,
mas em sentido oposto.
(c)
4m1m2 − 3m2m3 +m1m3
4m1m2 +m2m3 +m1m3
g
(d)
4m1m2 − 3m1m3 +m2m3
4m1m2 +m2m3 +m1m3
g
(e)
4m1m2m3
4m1m2 +m2m3 +m1m3
g
(f)
8m1m2m3
4m1m2 +m2m3 +m1m3
g
(g) Se m1 = m2 = m e m3 = 2m, todas
as acelerac¸o˜es sa˜o nulas. TA = mg e
TC = 2mg e todas as polias estara˜o
em equil´ıbrio.
40. cos2 β
41.
2Ma
a+ g
42. (a) Mostre!
(b) Permanece em repouso. Justifique!
Mostre!
43. (a) (i) e (iii) Justifique!
(b) (ii) e (iv) Justifique!
(c) (v) Justifique!
44. (a)
√(
tanβ + µe
1− µe tanβ
)
Rg
(b)
√(
tanβ − µe
1 + µe tanβ
)
Rg
45. (a)
2L
t2
(
m1 +m2
m1 −m2
)
(b) Mostre!
46. θ = 0: |~Fn| = mg e |~T | = 0; para θ = 90◦:
|~Fn| = 0 e |~T | = mg Justifique!
47. (a)
m2(sen θ2 − µ2 cos θ2)−m1(sen θ1 + µ1 cos θ1)
m1 +m2
g
22
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Unidade IV – Aplicac¸o˜es das Leis de Newton
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
Informac¸o˜es adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo
(b)
m1m2g
m1 +m2
(sen θ1 + sen θ2 + µ1 cos θ1 − µ2 cos θ2)
(c) m1 < m2
(
sen θ2 − µ2 cos θ2
sen θ1 + µ1 cos θ1
)
com θ2 > arctan
(
1
µ2
)
48. (a) Mostre!
(b)
2∆x
∆t
49. arctan
(
µ1m1 + µ2m2
m1 +m2
)
50. (a) Mostre!
(b) 0 ≤ α < arctan
[
m1
µe (m1 +m2)
]
Justifique!
51. (a) Esta´tico: 0 ≤ P ≤ 75, 0 N.
Cine´tico: P > 75, 0 N Explique!
(b) Esta´tico: 0,500; cine´tico: 0,333. Ex-
plique!
(c) Explique!
(d) Os valores de f devera˜o dobrar, mas
o formato do gra´fico na˜o sera´ afe-
tado. Explique!
52. (a)
V 20
4gsen θ
(b) Repouso. Explique!
23