sub_MA63C_S43_1_13_gabarito

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 Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
 
 DAMAT – Departamento Acadêmico de Matemática 
 
Disciplina: Cálculo Numérico – MA63C / 1o semestre de 2013 
 
Professor: Rudimar Luiz Nós 
 
 
Aluno(a): ________________________________________________ Turma: S43 
 
Endereço eletrônico: ________________________________________ Data: 14/10/2013 
 
 
Avaliação Substitutiva 
Erro – Zero de função – Sistemas lineares – Ajuste de curvas 
Interpolação – Integração numérica – Solução numérica de EDOs 
 
 
Observações: 1a. A leitura e interpretação das questões é parte integrante da prova. 
 2a. Organização é fundamental. 
 
 
Questão 01 Questão 02 Questão 03 APS (2,0) NOTA 
 
 
01. (Valor: 3,0) Do velocímetro de um automóvel foram obtidas as leituras de velocidade instantânea 
citadas na Tabela 1. 
 
Tabela 1: Velocidades instantâneas. 
 
t(min) 0 4 8 12 16 20 24 
v(km/h) 79 81 90 86 85 88 80 
 
a) (1,5) Interpole 
15t
à Tabela 1 utilizando um polinômio de grau três. Não efetue truncamentos. 
 
Tabela 2: Diferenças divididas. (0,5) 
 
t Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 
8 90 
12 86 
1
 
16 85 
4
1

 
32
3 
 
20 
 
88 
4
3 
8
1 
384
1 
 
 
 2 
            












384
1
16128
32
3
12818902 tttttttp
 (0,5) 
            












384
1
16151215815
32
3
1215815181590152p
 
 
  914062584152 .p 
 (0,5) 
 
 
b) (1,5) Empregue o Método de n-Simpson para aproximar a distância, em km, percorrida pelo 
automóvel cujo velocímetro registrou as velocidades instantâneas listadas na Tabela 1. 
 
(1,5) Descontar 0,5 se a conversão não foi efetuada. 
 
       
    
    
 
 
 
7933 
1529
45
1
 
1529
3
4
 
25541752159
3
4
 
8886814859028079
3
4
 
42240
3
 
2
0
12
2
1
2
24
0
km.
h
km
h
h
km
min
tvtvvv
h
vdtd
i
i
i
i













 



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
02. (Valor: 2,0) Solucione o sistema de equações lineares 
 




































3
6
3
537
326
894
3
2
1
x
x
x
 
 
empregando o Método de Eliminação de Gauss com condensação pivotal e aritmética de ponto 
flutuante com três algarismos significativos. 
 
Matriz aumentada do sistema: 
 













3537
6326
3894



~













3894
6326
3537



~













2911452970
5782915740
3537
...
...



~ 
 
 p1=3 L2
’=L2-(0.857)L1 
 L3
’=L3-(-0.571)L1 
 
~













5782915740
2911452970
3537
...
...



~













76793100
2911452970
3537
..
...



 (1,0) 
 p2=3 L3
’=L3-(0.627)L2 
 
 
024767931 33 .x.x. 
 
 
 
023
297
022
297
024145291
291145297 232 .
.
.
.
...
x.x.x. 


 
 
   
002
7
014
7
024502333
3537 1321 .
...
xxxx 


 
 
 Solução: 
 





















024
023
002
3
2
1
.
.
.
x
x
x
 (1,0) 
 
 
 
 
 
 
 4 
03. (Valor: 3,0) Seja o Problema de Cauchy (p.v.i.) 
 
   
 









11
2
5
1,x 
1
3
y
,xy
x
xxy
dx
d
. (4.1) 
 
 a) (1,5) Determine a solução exata do p.v.i. (4.1). 
 b) (1,5) Solucione numericamente o p.v.i. (4.1) empregando o Método de Euler com passo de 
integração 
2
1
h
. Calcule o erro absoluto cometido a cada passo de integração e não trunque 
resultados. 
 
a) 
    xxy
x
xy
dx
d
3
1

 EDO linear, 1ª ordem, não homogênea 
Fator integrante: 
x
eee xlnxln
dx
x
11
1


 (0,5) 
   
x
x
xy
x
xy
dx
d
x
311





 
 
  3
1




xy
xdx
d 
 
   



dxdxxy
xdx
d
3
1 
 
  Cxxy
x
 3
1 
 
  Cxxxy  23
 (0,5) (4.2) 
 
Considerando 
1x
(condição inicial) em (4.2): 
 
      23111131 2  CCy
. (4.3) 
 
Substituindo (4.3) em (4.2): 
 
  xxxy 23 2 
. (0,5) 
 
 
 
 
 
 5 
b) (1,5) 
 
Lei recursiva do Método de Euler: 
 
  k
k
kkk y
x
xy,xf
1
3 
 
 
 








k
k
kk
kkkk
y
x
xy
y,xhfyy
1
3
2
1
 
1
 
 
Tabela 3: Solução numérica do p.v.i. (4.1) pelo Método de Euler com passo de integração 
2
1
h
. 
 
k
 
kx
 
ky
 
 kk y,xf
 
 kxy
 
  kk yxy 
 
0
 
 
1
 
1
 
4
 
1
 
0
 
1
 
 
2
3 
3
 
2
13 
4
15 
750
4
3
.
 
2
 
 
2
 
4
25 
8
73 
8
 
751
4
7
.
 
3
 
 
2
5 
16
173 
 
4
55 
93752
16
47
.