Avaliação I - Individual Análise Matemática-2

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GABARITO | Avaliação I - Individual (Cod.:1019475)
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Prova 99921187
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 9/1
Nota 9,00
Observe as provas matemáticas e associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Prova por Absurdo.
II- Prova Direta.
III- Prova por Indução.
( ) Prove que:
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)
i - para n = 1
2 = 1(1+1) = 2
ii - considerando válido para n = k, verificamos a validade para n = k + 1
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 2)(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
( ) Prove que existem infinitos números primos.
Suponha que não existam infinitos números primos, portanto deve haver um último número primo, o 
maior de todos, o P. Se multiplicarmos todos os números primos entre si e somarmos 1 ao resultado, 
teremos um número Q, que não é divisível por nenhum número primo. Ora, mas se Q não é divisível 
por nenhum número primo, deve ser primo também e maior que P, logo não faz sentido dizer que P é 
o maior e último número primo. Conclui-se que existem infinitos números primos.
( ) Prove que (a + b)² = a² +2ab + b².
(a + b)² = (a + b) (a + b)
 = a(a + b) + b(a + b)
 = a² + ab + ab + b²
 = a² +2ab + b²
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A III - II - I.
B I - III - II.
C III - I - II.
D II - I - III.
Muitas vezes, para utilizarmos a demonstração por indução, é necessário primeiramente concluir 
o termo geral da sequência ou série que se está trabalhando. Assinale a alternativa CORRETA que 
apresenta o termo geral da série gerada pela soma dos números naturais ímpares:
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A n(n+2)/2
B (n²+n)/2n
C n(n²+2)/2n
D n²
Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não eram 
fechadas dentro dos conjuntos em que eram realizadas. Assinale a alternativa CORRETA:
A Os números inteiros são fechados com relação à divisão.
B Os números naturais são fechados com relação à divisão.
C A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional.
D Os números inteiros são fechados com relação à adição.
Georg Cantor, matemático russo, denominou de conjuntos enumeráveis aqueles conjuntos em 
que é possível contar e numerar os seus elementos. Assim, é enumerável todo conjunto equipotente ao 
conjunto dos naturais. Em outras palavras, podemos dizer que um conjunto X é enumerável se:
A For infinito ou possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
B For finito e possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
C For finito ou possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
D For infinito e possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
Existe uma técnica de demonstração muito parecida com a demonstração por absurdo, chamada 
de contrapositiva. Ela consiste em negar a tese e concluir a negação da hipótese. Assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta a contrapositiva da seguinte sentença:
Se Paulo come pouco, então Paulo é magro.
A Paulo é magro e, portanto, come pouco.
B Paulo é gordo e come muito.
C Paulo não come pouco, e nem é magro.
D Se Paulo é gordo, então Paulo come muito.
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Um conjunto é dito enumerável se é finito ou se existe uma bijeção entre ele e o conjunto dos 
números naturais. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta apenas conjuntos enumeráveis:
A Conjunto dos números primos; conjunto dos números irracionais; conjunto dos números
ímpares.
B Conjunto dos múltiplos de 3; conjunto dos números reais; conjunto dos números naturais.
C Conjunto dos números complexos; conjunto dos números irracionais positivos; conjunto dos
divisores de 240.
D Conjunto dos números pares; conjunto dos números inteiros; conjunto dos números racionais.
De uma maneira bem intuitiva, a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma 
quantidade finita de números iguais. Ao lado da adição, da divisão e da subtração, a multiplicação é 
uma das quatro operações fundamentais da aritmética. Utilizando as propriedades da multiplicação 
sobre os números naturais, assinale a alternativa que apresenta o conjunto correto de propriedades:
A A multiplicação é invertível, fechada e distributiva em relação à soma.
B A multiplicação é associativa, comutativa, tricotômica e distributiva em relação à soma.
C A multiplicação é monotônica, tricotômica e invertível.
D A multiplicação é associativa, comutativa, monotônica e distributiva em relação à soma.
Análise é o ramo da matemática que lida com os conceitos introduzidos pelo cálculo diferencial 
e integral, medidas, limites, séries infinitas e funções analíticas. Seu início, porém, dá-se em um 
estudo bastante elementar à nossa visão, mas que é fundamental no estudo dos conceitos 
anteriormente citados, os conjuntos numéricos. Quanto às propriedades dos conjuntos numéricos, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Se A não foi finito, dizemos que A é infinito.
( ) O conjunto dos números naturais N é finito. 
( ) O conjunto dos números inteiros Z não é enumerável.
( ) Não existe bijeção entre um conjunto finito e um subconjunto próprio dele mesmo.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - V.
B F - V - V - F.
C F - F - V - V.
D V - V - F - F.
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A propriedade da tricotomia é válida em conjuntos que possuem boa ordenação. Como o 
conjunto dos naturais é um conjunto bem ordenado, assinale a alternativa CORRETA:
A Dados dois números naturais, m e n, tem-se que: m é maior que n, ou m é menor que n.
B Dados dois números naturais, m e n, tem-se que: m é maior que n, ou m é menor ou igual a n, ou
m é igual a n.
C Dados dois números naturais, m e n, tem-se que: m é maior que n, ou m é menor que n, ou m é
igual a n.
D Dados dois números naturais, m e n, tem-se que: m é maior ou igual a n, ou m é menor que n, ou
m é igual a n.
Em análise é natural a necessidade de verificar se um conjunto é finito ou infinito. De uma 
forma coloquial, é correto afirmar que todo:
A Conjunto finito possui n elementos, sendo n um número natural.
B Conjunto finito é um subconjunto dos números naturais.
C Subconjunto dos números naturais é um conjunto finito.
D Conjunto finito é vazio, ou possui n elementos, sendo n um número natural.
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25/05/2025, 18:06 Avaliação I - Individual
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