Lista de exercicio Geometria analitica

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Universidade Estadual de Santa Cruz
Professor: Marcos Ferreira
Engenharia Mecânica: Geometria Analítica
22/10/15
1a Lista de Exercícios
1. Encontre o vetor
��!
AB em cada caso abaixo e em seguida represente gra…camente:
a) A = (1; 3), B = (�1; 0)
b) A = (�5; 0), B = (�3; 1)
c) A = (1; 0; 2), B = (1; 2; 3)
d) A = (3;�7; 2), B = (�2; 5; 4) :
2. Dados os vetores u = (3;�1) e v = (�1; 2) ; determine o vetor w tal que:
a) 4 (u� v) + 13w = 2u� w
b) 3w � (2v � u) = 2 (4w � 3u) :
3. Dados os pontos A (�1; 3) ; B (1; 0) e C (2;�1) ; determine D de modo que ��!DC = ��!BA.
4. Dados os pontos A (2;�3; 1) e B (4;�2; 0) ; determine o ponto P tal que �!AP = ��!PB:
5. Determine a e b de modo que os vetores u = (4; 1;�3) e v = (6; a; b) sejam paralelos.
6. Veri…que se os pontos abaixo são lineares:
a) A (�1;�5; 0) ; B (2; 1; 3) e C (�2;�7;�1)
b) A (2; 1;�1) ; B (3;�1; 0) e C (1; 0; 4).
7. Mostre que os pontos A (4; 0; 1) ; B (5; 1; 3) ; C (3; 2; 5) e D (2; 1; 3) são vértices de um paralelogramo.
8. Dados os vetores u = (1; a;�2a� 1) ; v = (a; a� 1; 1) e w = (a;�1;�1) ; determine o valor de a de modo que
u � v = (u+ v) � w:
9. Seja o vetor v = (m+ 7)
�!
i + (m+ 2)
�!
j + 5
�!
k : Calcule m de modo que kvk = p38:
10. Sabendo que o ângulo entre os vetores u = (2; 1;�1) e v = (1;�1;m+ 2) é �3 ; determine o valor de m:
11. Determine o vetor v, paralelo ao vetor u = (1;�1; 2) ; tal que v � u = �18:
12. Calcule a área do triângulo de vértices:
a) A = (�1; 0; 2) ; B = (�4; 1; 1) e C = (0; 1; 3)
b) A = (2; 3;�1) ; B = (3; 1;�2) e C = (�1; 0; 2) :
13. Mostre que A = (3; 0; 2) ; B = (4; 3; 0) e C = (8; 1;�1) são vértices de um triângulo retângulo. Em qual
vértice está o ângulo reto?
14. Sejam u = (3; 2;�1) ; v = (0; 2;�3) e w = (2; 6; 7) : Calcule
a) v � w b) u� (v � w) c) (u� v)� w d) u� (v � 2w) :
15. Dados os vetores v =
�
a; 5b;� c2
�
e w = (�3a; x; y), determine x e y de modo que v � w = �!0 :
16. Encontre um vetor que é ortogonal a ambos u e v :
a) u = (�6; 4; 2), v = (3; 1; 5) b) u = (�2; 1; 5), v = (3; 0;�3) :
17. Encontre a área do paralelogramo determinado por u e v :
a) u = (1;�1; 2), v = (0; 3; 1) b) u = (2; 3; 0), v = (�1; 2;�2) :
2
18. Obtenha o volume do paralelepípedo de lados u; v e w :
a) u = (2;�6; 2), v = (0; 4;�2) ; w = (2; 2;�4)
b) u = (3; 1; 2), v = (4; 5; 1) ; w = (1; 2; 4) :
19. Resolva os sistemas de equações lineares:
a)
8>>><>>>:
2x� y + 3z = 11
4x� 3y + 2z = 0
x+ y + z = 6
3x+ y + z = 4
b)
8><>:
3x+ 5y = 1
2x+ z = 3
5x+ y � z = 0
c)
8><>:
x+ y + z = 4
2x+ 5y � 2z = 3
x+ 7y � 7z = 5
d)
(
x� 2y + 3z = 0
2x+ 5y + 6z = 0
e)
(
x+ y + z = 4
2x+ 5y � 2z = 3 :
20. Determine k 2 R de modo que o sistema
8><>:
�4x+ 3y = 2
5x� 4y = 0
2x� y = k
:
21. Determine os valores de m e n para os quais o sistema
8><>:
2x� y + 3z = 1
x+ 2y � z = 4
3x+ y +mz = n
possua solução.