lista 3 - Nelson

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CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA 
Curso de Graduação em Engenharia 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II – LISTA 3 
PROF: NELSON BARBOSA 
barbosa@uenf.br 
 
 
 
1) Calcule as derivadas parciais das funções abaixo: 
 
a)    yxxyxf  sin3, e)   4,  yxyxf i)   yzxyyxzyxf 23,, 22  
b)   22, yxyyxf  f)   yxyxyxf sincos,  j)     zyxeyxzyxf 2,,  
c)    2312, xzxyyxf  g)   






y
xeyxf y
2
ln, k)   yxyxf arcsin, 2 
d)   322, xeyxf yx   h)      xyzyxzyxf cosln,, 32  l)    yxzyxf z 23sec3,,  
 
2) Seja   222,, zyx
yzyxf

 . Verifique se fzfyfxf zyx  
 
3) Seja   22, yxyxf  . Calcule  4,3
x
f


 e  4,3
y
f

 . Interprete geometricamente. 
 
4) Seja    226, yxyxf  . Calcule  2,1
x
f


 e  2,1
y
f


. Interprete geometricamente. 
 
 
5) Calcule as derivadas parciais das funções abaixo para    0,0, yx e    0,0, yx . 
 
a)  
   
   







0,0,0
0,0,
,
22
2
yxse
yxseyx
yx
yxf c)  
   
   







0,0,0
0,0,
,
22
3
yxse
yxseyx
x
yxf 
b)  
   
   









0,0,0
0,0,
32
,
22
33
yxse
yxseyx
yx
yxf d)  
   
   









0,0,0
0,0,
,
22
33
yxse
yxseyx
yx
yxf 
 
 
 
6) As derivadas parciais também são usadas para expressar um par de equações muito importantes, 
na teoria das funções de variáveis complexas, chamadas equações de Cauchy-Riemann. Um par de 
funções  yxu , e  yxv , que satisfazem as equações 
y
v
x
u




 e 
x
v
y
u




 são, respectivamente, 
a parte real e a parte complexa de uma função diferenciável de variável complexa. Mostre que 
cada par de equações a seguir satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann. 
 
a)   22, yxyxu  e   xyyxv 2,  c)   yeyxu x cos,  e   yeyxv x sin,  
b)   22, yx
xyxu

 e   22, yx
yyxv


 d)    22ln
2
1, yxyxu  e   





x
yyxv arctan, 
 
7) As funções abaixo são diferenciáveis em |R2 ? Justifique. 
 
a)    22sin, yxyxf  d)      
   








0,0,0
0,0,
,
22
yxse
yxseyx
xy
yxf 
b)  
   
   







0,0,0
0,0,
,
22
22
yxse
yxseyx
yx
yxf e)  
   
   







0,0,0
0,0,
2
,
22
4
yxse
yxseyx
x
yxf 
c)  
   
   








0,0,1
0,0,
,
22
yxse
yxseyx
xy
yxf f)  
   
   







0,0,0
0,0,
,
22
3
yxse
yxseyx
x
yxf 
 
8) Seja  
   
   









0,0,0
0,0,
,
22
33
yxse
yxseyx
xyyx
yxf 
a) Calcule  yx
x
f ,


 e  yx
y
f ,


 para    0,0, yx . 
b) Calcule  0,0
x
f

 e  0,0
y
f

 . 
c) Verifique se f é contínua. Justifique a sua resposta. 
d) Verifique se f é diferenciável na origem. Justifique a sua reposta. 
 
9) Determine a equação do plano tangente ao cone      22 12,  yxzyxf no ponto 
 5,4,2 . 
10) Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função 
 
44
,
44 yxxyyxf  no ponto  23,1,1  . 
11) Determine a equação do plano tangente ao parabolóide   22, yxyxf  que é paralelo ao plano 
232  zyx . 
12) Determine a equação da reta normal a superfície   22 221, yxzyxf  que é perpendicular 
ao plano 32  zyx . 
13) Determine a equação do plano tangente ao parabolóide      22 23,  yxyxf no ponto 
 2,1,2  . 
14) Determine a equação do plano tangente e a reta normal ao cone   22, yxyxf  no ponto 
 5,4,3 . 
15) Determine a equação do plano tangente da função   22, yxyxyxf  no ponto  1,1,1  . 
16) Determine a equação do plano tangente ao gráfico da semi-esfera    223, yxyxf  que é 
paralela ao plano 5 zyx . 
17) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de   22, yxyyxf  que seja paralelo ao 
plano yxz 42  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fontes: Listas de Exercícios do Consórcio Cederj – Cálculo III. 
 “Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis – Diomara Pinto, Editora UFRJ.