1lista_aneis_2013

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Lista 1 - Teoria de Ane´is - 2013
Professor: Marcelo M.S. Alves
Data: 03/09/2013
obs:
i) Salvo menc¸a˜o em contra´rio, anel = anel comutativo com unidade.
ii) O conjunto dos naturais inclui o zero.
1. Os conjuntos abaixo sa˜o candidatos a ane´is (possivelmente na˜o comutativos). Verifique se a
soma e produto indicadas em cada item definem realmente uma operac¸a˜o no conjunto; nos casos
em que funciona, verifique se temos realmente um anel.
(a) N com soma e multiplicac¸a˜o usuais.
(b) A = {±2n;n ∈ N}, com soma e produto usuais.
(c) O conjunto dos complexos imagina´rios puros I = {bi; b ∈ R}, com soma e produto de
nu´meros complexos.
(d) o conjunto Z[
√
3] = {a+ b√3; a, b ∈ Z}
2. Verifique que o conjunto das matrizes 2×2 diagonais com entradas em R e´ um anel (comutativo
com unidade) que na˜o e´ um domı´nio de integridade.
3. Seja m um nu´mero natural, m > 1, que na˜o e´ o quadrado de outro natural.
(a) Mostre que o conjunto Z[
√
m] = {a+ b√m; a, b ∈ Z} e´ um subanel de R. Conclua da´ı que
Z[
√
m] e´ um anel comutativo e, mais ainda, que e´ um domı´nio (de integridade).
(b) Uma pequena variac¸a˜o do anterior: considere Q[
√
m] = {a + b√m; a, b,∈ Q}. Mostre que
este conjunto e´ um anel (novamente, para fazer isso basta mostrar que e´ subanel de R . . .).
Esse anel e´ um corpo?
(c) Verifique que o conjunto A = {a+ b 3√2; a, b ∈ Z} na˜o e´ subanel. Como voceˆ pode consertar
este exemplo e obter um subanel de R, “bem pequeno”, que conte´m A?
4. Mostre que Q[
√
2,
√
3] = {a + b√2 + c√3 + d√6; a, b, c, d ∈ Q} e´ um anel (mesma sugesta˜o do
exerc´ıcio anterior: basta provar que e´ subanel de um anel).
Baseado neste exerc´ıcio e nos anteriores, deˆ a forma dos elementos do menor subanel de C que
conte´m
√
2 e i (e prove que e´ realmente um subanel).
5. Mostre que o conjunto I = {a+ b√3; a, b,∈ Z, 3|a} e´ um ideal de Z[√3].
6. Mostre que o conjunto I = {6x+ 9y;x, y ∈ Z} e´ um ideal de Z.
7. Generalizando o item anterior: se α1, . . . , αn sa˜o elementos de um anel A, mostre que o conjunto
I = {α1x1 + · · ·+ αnxn;xi ∈ A}
e´ um ideal de A.
8. Seja A um anel. Mostre, sem utilizar a unidade do anel, que
(a) a+ b = a+ c implica em b = c
(b) 0 · a = 0, ∀a ∈ A
(c) −(ab) = (−a)b = a(−b), ∀a, b ∈ A
(d) (−a)(−b) = ab, ∀a, b ∈ A
(e) a(b− c) = ab− ac, ∀a, b, c ∈ A
(f) (a− b)c = ac− bc, ∀a, b, c ∈ A
9. Mostre que se a e´ um elemento de um anel A, enta˜o
(a) −a = (−1)a
(b) (−1)(−1) = 1
(c) (−1)(−a) = a
10. Seja A um domı´nio de integridade. Mostre que
(a) a2 = 1 implica em a = 1 ou a = −1 (sugesta˜o: produto nota´vel...)
(b) Mais geralmente, a2 = b2 implica em a = b ou a = −b.
(c) Se a3 = a enta˜o a = 0, 1 ou −1.
(d) Para ver que a hipo´tese de ser domı´nio e´ mesmo importante, procure contra-exemplos para
as afirmac¸o˜es dos itens anteriores no anel do exerc´ıcio 2 (que na˜o e´ um domı´nio).
11. Seja A um anel. Mostre que A e´ um domı´nio de integridade se e somente se na˜o possui divisores
de zero, isto e´,
se ab = 0 enta˜o a = 0 ou b = 0.
12. Seja A um subanel de R.
(a) Mostre que A conte´m Z. Sugesta˜o: 1 ∈ A por definic¸a˜o, e ja´ vimos que 0 tambe´m esta´ em
A. Por que 2 esta´ em A? Continue por induc¸a˜o.
(b) Mostre que A e´ um domı´nio. Generalizando, mostre que um subanel de um domı´nio e´ um
domı´nio tambe´m.
(c) Mostre que se A e´ um subcorpo de R enta˜o A conte´m Q.
13. Seja A um anel. Definimos recursivamente poteˆncias (com expoente natural positivo) de ele-
mentos de A pelas regras:
a1 = a
a(n+1) = ana
de modo menos formal, an e´ o produto de a por si mesmo n vezes.
Mostre que para todos m,n, naturais, m,n > 0, e todos a, b ∈ A,
(a) am+n = aman (sugesta˜o: fixe m e fac¸a induc¸a˜o em n)
(b) (ab)m = ambm (note que isso na˜o e´ verdade se A na˜o e´ comutativo!)
(c) (am)n = amn
(d) (a+ b)n = an + bn +
∑n−1
k=1
(
n
k
)
akbn−k (sugesta˜o: veja a prova para nu´meros reais).
(e) Como fica (a + b)2 se A na˜o e´ comutativo e, em particular, a e b na˜o comutam (isto e´,
ab 6= ba)? E (a+ b)n, em geral?