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Disciplina: Cálculo de Várias Variáveis Professora: Maria Fernanda Donnard Carneiro Revisão de derivadas de funções de uma variável Derivadas parciais – Capítulo 14 do Thomas 2 – pág 226 Parte I Derivada parcial em relação a x Imagine que tenhamos uma superfície e um plano . Seja uma curva resultante da interseção entre a superfície e o plano. Inclinação da reta tangente à curva em um ponto P(x,y) de : Derivada parcial em relação a y Imagine que tenhamos a superfície e um plano . Seja uma curva resultante da interseção entre a superfície e o plano. Inclinação da reta tangente à curva em um ponto P(x,y) de : OBS 1: As derivadas parciais e a representação gráfica OBS 2: Notações alternativas para as derivadas parciais Em relação a x Em relação a y Exemplo 1: Dada , determine: b) c) Exemplo 2: Determine Encontre e se Exemplo 3: Determine e se Exemplos contextualizados – Análise marginal Exemplo 4: Estima-se que a produtividade semanal de uma fábrica é dada pela função unidades, onde x é o número de operários especializados e y o número de operários não especializados utilizados no trabalho. No momento, a mão de obra disponível é constituida por 30 operários especializados e 60 operários não especializados. Determine a produtividade marginal da fábrica, supondo que mais um operário especializado seja contratado e o número de operários não especializados permaneça constante. Para esta situação, a produção estará aumentando ou diminuindo? Exercícios da parte I 1) Nos exercícios a seguir, determine as derivadas parciais de 1ª ordem a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) 2) Verifique se a função satisfaz à equação para . 3) Seja Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da interseção de com y = 2 no ponto (1, 2, -3). 4) Determinar a equação da reta tangente à curva resultante da interseção de com x = 2, no ponto 5) A função representa a temperatura em qualquer ponto de uma chapa. Encontrar a razão de variação da temperatura em relação à distância percorrida ao longo da placa na direção dos eixos positivos x e y, no ponto (1,2). Considerar a temperatura medida em graus e a distância em cm. 6) A passagem do sangue de uma artéria para um capilar é dada pela expressão cm³/s, onde c é uma constante positiva, x é o diâmetro do capilar, y é a pressão na artéria e z é a pressão no capilar. Qual é a expressão para a taxa de variação da vazão de sangue com a pressão no capilar, supondo que a pressão na artéria e o diâmtero do capilar permanem constantes? A taxa é crescente ou decrescente? Respostas da parte I 1) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) 2) Equação confere 3) 4) 5) – 4°/cm, - 12°/cm 6) , decrescente PARTE II Derivadas parciais de ordem superior – Notações Parciais primeiras Parciais segundas e suas notações X Y Parciais Terceiras X X Y X X Y Y Parciais Terceiras X X Y Y X Y Y Exemplo 5– Dada determine: b) c) Teorema das derivadas mistas Suponha que f seja uma função de duas variáveis x e y definida em um uma certa região do D(f) e , , e também sejam definidas em D(f). Além disso, suponha ainda que e sejam contínuas nessa região. Então, tem-se que = Exemplo 6 – Seja . Determine: b) Exercícios da parte II Nos exercícios a seguir, determine as derivadas parciais indicadas b) c) d) , e) , f) , g) h) j) 7) Verifique o teorema 1 para as seguintes funções b) 8) Se tem derivadas parciais de 2ª ordem contínuas e satisfaz a equação ela é dita uma função harmônica. Verifique se as funções a seguir são harmônicas. b) 9) Resolver exercícios de 1 a 56 , da seção 14.3 do Thomas, pág 234 e 235. Respostas da parte II 6) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 7) a) b) 8) a) É harmônica b) Não é harmônica PARTE III 4) Regra da cadeia – Seção 14.4, pág 237, do livro do Thomas CASO I: Para funções de duas variáveis intermediárias e uma independente Considere as funções ; ; USANDO A REGRA DA CADEIA – Caso 1 Suponha que z = f (x,y) seja uma função diferenciável de x e y, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t. Então z é uma função diferenciável de t e OBS: Diagrama de árvore CASO 2 – Para funções de duas variáveis intermediárias e duas variáveis independentes Considere as funções Diagrama de árvore Regra da cadeia – Caso 2 Exemplo7 - contextualizado Uma loja de produtos naturais vende dois tipos de cápsulas vitamínicas, da marca A e da marca B. As pesquisas de mercado mostram que se um vidro da marca A for vendido por x reais e um vidro da marca B for vendido por y reais, a demanda da marca A será vidros por mês. Estima-se que daqui a t meses o preço de um vidro da marca A será reais e o preço de um vidro da marca B será reais. Qual será a taxa de variação com o tempo da demanda da marca A daquia a 4 meses? Exercícios da parte III 9) Resolver os exercícios de 1 a 41 da seção 14.4, páginas 243 e 244, do livro do Thomas 10) A temperatura em um ponto (x,y) é T(x,y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posição depois de t segundos seja dada por , onde x e y são medidas em centímetros. A função temperatura satisfaz e . Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos?R: 2º/s 11) Uma bolha de ar está subindo dentro de um copo de refrigerante. O volume a temperatura e a pressão na bolha estão relacionados pela equação ao lado (equação geral de estado dos gases perfeitos). Num determinado momento, a temperatura vale e está aumentando à razão de ; e a pressão vale e está diminuindo à razão de . Nesse instante, o volume da bolha está aumentando ou diminuindo? De quanto? R: aumentando à razão de meio litro por minuto 12) Um revendedor de automóveis estima que se os carros híbridos que podem funcionar com gasolina e eletricidade forem vendidos por x reais e o preço do litro de gasolina for y reais, então a demanda anual por estes veículos será . O revendedor também estima que daqui a t anos os carros híbridos serão vendidos por reais e que o preço do litro da gasolina será . Determine a taxa de variação com o tempo da demanda anual de carros hibridos daqui a 3 anos. A demanda estará aumentando ou diminuindo? R: aumentando à razao de 14 carros por ano. Parte IV Derivadas direcionais e vetor gradiente – Seção 14.5, pág 245, do livro do Thomas 5.1) Vetor gradiente Seja Z= f(x, y) uma função que admite derivadas parciais de 1ª ordem no ponto . O gradiente de f(x,y) no ponto , denotado por grad ou �� EMBED Equation.3 é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de 1ª ordem de f nesse ponto, ou seja, grad = �� EMBED Equation.3 = ou �� EMBED Equation.3 Exemplo 8 – Determine o vetor gradiente de . Exemplo 9 – Determinar o vetor gradiente da função em . Derivadas direcionais Definição Se f for uma função derivável de x e y, e se for um vetor unitário, então a derivada direcional de f na direção de é denotada por e definida por Exemplo 10 –(Thomas pág 248) Determine a derivada direcional de no ponto (2,0) na direção do vetor . Relação entre derivada direcional e vetor gradiente 5.4)Propriedades envolvendo a derivada direcional e o vetor gradiente (Pág 249) Caso 1 Caso 2 Caso 3 5.5) O vetor gradiente e o vetor tangente a uma curva Exemplo 11 – Exemplo 12 - Se Volts for o potencial elétrico em um ponto (x,y,z) do espaço tridimensional e , determine: a taxa de variação de V no ponto (2,2,-1) na direção do vetor . a direção em que o potencial cresce mais rapidamente, em (2, 2, -1). Exercícios da parte IV 13) Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados c) 14)Determine a derivada direcional de f em P na direção do vetor Nos exercícios a seguir determine o vetor unitário na direção do qual f cresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f em P nesta direção. Nos exercícios a seguir determine o vetor unitário na direção do qual f decresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f em P nesta direção. Determine a derivada direcional de em P(1,0) na direção e no sentido de Q(-1,-1). Suponha que e onde e . Determine: A temperatura em um ponto (x,y) de uma placa de metal no plano xy é em graus Celsius. Determine a taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção e no sentido de . Uma formiga em (1,1) precisa andar na direção na qual a temperatura baixa mais rapidamente. Determine um vetor unitário nessa direção. Se um potencial elétrico em um ponto (x,y) do plano xy é então o vetor intensidade elétrica em um ponto (x,y) é Suponha que . Determine o vetor intensidade elétrica em . Mostre que, em cada ponto no plano, o potencial elétrico decresce mais rapidamente na direção e sentido do vetor � PAGE \* MERGEFORMAT �5� _1362750704.unknown _1362768590.unknown _1393936782.unknown _1469283782.unknown _1500790242.unknown _1500790420.unknown _1500872533.unknown _1500872589.unknown _1500872341.unknown _1500790308.unknown _1500787838.unknown _1500788283.unknown _1469284374.unknown _1469362685.unknown _1500725630.unknown _1469362649.unknown _1469283825.unknown _1446216042.unknown _1446216171.unknown _1469283706.unknown _1446216202.unknown _1446216062.unknown _1398025778.unknown _1398025970.unknown _1398026684.unknown _1398026787.unknown _1398026826.unknown _1398026394.unknown _1398025802.unknown _1398025698.unknown _1398025752.unknown _1393937040.unknown _1364042829.unknown _1364127369.unknown _1364128209.unknown _1393934454.unknown _1393936234.unknown _1393936247.unknown _1393936211.unknown _1364128387.unknown _1364128515.unknown _1364128777.unknown _1364128823.unknown _1364128690.unknown _1364128737.unknown _1364128449.unknown _1364128344.unknown _1364128371.unknown _1364128333.unknown _1364127853.unknown _1364127996.unknown _1364128172.unknown _1364127892.unknown _1364127750.unknown _1364127792.unknown _1364127418.unknown _1364045393.unknown _1364127257.unknown _1364127286.unknown _1364045559.unknown _1364042878.unknown _1364045178.unknown _1364042845.unknown _1362769038.unknown _1362769325.unknown _1362769507.unknown _1364042709.unknown _1362769417.unknown _1362769134.unknown _1362769238.unknown _1362769108.unknown _1362768856.unknown _1362768971.unknown _1362769018.unknown _1362768923.unknown _1362768693.unknown _1362768739.unknown _1362768658.unknown _1362751317.unknown _1362751941.unknown _1362768258.unknown _1362768418.unknown _1362768497.unknown _1362768329.unknown _1362768007.unknown _1362768121.unknown _1362752095.unknown _1362751491.unknown _1362751703.unknown _1362751718.unknown _1362751675.unknown _1362751411.unknown _1362751442.unknown _1362751359.unknown _1362751006.unknown _1362751173.unknown _1362751237.unknown _1362751278.unknown _1362751199.unknown _1362751103.unknown _1362751129.unknown _1362751033.unknown _1362750848.unknown _1362750936.unknown _1362750976.unknown _1362750898.unknown _1362750780.unknown _1362750805.unknown _1362750740.unknown _1361626379.unknown _1362315221.unknown _1362750285.unknown _1362750479.unknown _1362750544.unknown _1362750582.unknown _1362750513.unknown _1362750352.unknown _1362750397.unknown _1362750319.unknown _1362315971.unknown _1362750063.unknown _1362750184.unknown _1362750230.unknown _1362750100.unknown _1362316075.unknown _1362316562.unknown _1362316606.unknown _1362316035.unknown _1362315408.unknown _1362315734.unknown _1362315867.unknown _1362315920.unknown _1362315836.unknown _1362315756.unknown _1362315525.unknown _1362315615.unknown _1362315493.unknown _1362315320.unknown _1362315385.unknown _1362315293.unknown _1362313864.unknown _1362315063.unknown _1362315118.unknown _1362315195.unknown _1362315084.unknown _1362313928.unknown _1362314616.unknown _1362314830.unknown _1362314671.unknown _1362314576.unknown _1362313896.unknown _1362313426.unknown _1362313677.unknown _1362313786.unknown _1362313750.unknown _1362313751.unknown _1362313705.unknown _1362313665.unknown _1361626814.unknown _1361626846.unknown _1362311797.unknown _1361626547.unknown _1361625212.unknown _1361625689.unknown _1361625813.unknown _1361625924.unknown _1361626153.unknown _1361626259.unknown _1361626127.unknown _1361625910.unknown _1361625742.unknown _1361625782.unknown _1361625710.unknown _1361625505.unknown _1361625590.unknown _1361625650.unknown _1361625560.unknown _1361625331.unknown_1361625398.unknown _1361625240.unknown _1361623082.unknown _1361623213.unknown _1361623300.unknown _1361625182.unknown _1361623232.unknown _1361623131.unknown _1361623202.unknown _1361623108.unknown _1361621147.unknown _1361621174.unknown _1361622818.unknown _1361623024.unknown _1361622817.unknown _1361621161.unknown _1361620628.unknown _1361620769.unknown _1361620593.unknown
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