aula_06_mecanica_dos_fluidos

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Mecânica dos Fluidos
Prof. Leandro Filho
Aula 06 – Conceitos Básicos de
Movimento dos Fluidos
• O movimento dos fluidos (cinemática) é utilizado para
analisar os efeitos das forças sobre o movimento dos
fluidos (dinâmica).
• Para o estudo da cinemática dos fluidos considera-se que
estes são formados por partículas, cada uma contendo
muitas moléculas.
• Trata-se o fluido como um meio contínuo composto de
partículas fluidas que interagem entre si e com o meio.
• Estuda-se portanto o movimento das partículas de fluido e
não o movimento das moléculas do fluido.
Introdução
• A descrição de qualquer propriedade do fluido como
massa específica, pressão, velocidade e aceleração é
formulada em função das partículas.
• A representação dos parâmetros dos fluidos em
função das coordenadas espaciais denomina-se
campo de escoamento.
Introdução
• Campo é uma distribuição contínua de quantidades
escalares, vetoriais ou tensoriais descritas por
funções contínuas de coordenadas espaciais e do
tempo.
Introdução
• Uma das variáveis mais importantes dos escoamentos
é o campo de velocidades, que é definido em
coordenadas cartesianas como:
𝑉 = 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑖 + 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑗 + 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑘
u, v e w são as componentes do vetor velocidade nas
direções x, y e z.
Introdução
• Podemos desta forma descrever o campo vetorial de
velocidade especificando a velocidade de todas as
partículas de fluidas, ou seja, 𝑉 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡).
Introdução
• Este método de analisar o movimento dos fluidos
numa descrição completa dos seus parâmetros
(massa específica, pressão, velocidade) em função
das coordenadas espaciais e do tempo denomina-se
descrição Euleriana.
• Desta forma obtém-se informação do escoamento em
função do que acontece em pontos fixos do espaço
enquanto as partículas de fluido escoam por estes
pontos.
Introdução
• Existe outro método denominado descrição
Lagrangiana no qual as partículas de fluidos são
rotuladas (identificadas) e suas propriedades são
determinadas acompanhando seu movimento.
• Aqui se estuda a posição de uma ou várias partículas
em função do tempo.
Introdução
• Se contarmos com informações suficientes para a
descrição Euleriana, é possível determinar todas as
informações lagrangianas do escoamento e vice-
versa.
• Geralmente o método Euleriano é mais fácil de ser
utilizado para descrever os escoamentos nas
investigações experimentais e analíticas.
Introdução
• Uma partícula de fluido em movimento apresenta
componentes de translação, rotação, deformação
angular e deformação linear.
Cinemática dos Fluidos
• As equações do movimento dos fluidos são definidas
em sistemas.
• Um sistema fechado é uma quantidade fixa de massa
separada do meio exterior por fronteiras.
• O contorno do sistema denomina-se superfície de
Controle, (S.C.).
Translação de Um Fluido
• A massa não pode atravessar as fronteiras.
• A energia em forma de Calor (Q) e Trabalho (W)
podem atravessar as fronteiras do sistema.
• As fronteiras podem ser móveis ou fixas. Sistemas
Abertos denominam-se Volume de Controle (V.C.),
que consiste numa região fixa no espaço e na qual se
estuda o escoamento do fluido que atravessa o
volume.
Translação de Um Fluido
• Neste Volume de Controle calor, trabalho e massa
podem atravessar as fronteiras.
• Tal conceito é utilizado para a dedução das equações
da continuidade, quantidade de movimento e da
energia.
Translação de Um Fluido
• Considere um dado volume de controle fixo no
espaço definido em coordenadas cartesianas.
• A movimentação de uma partícula de fluido
considerando tal sistema Euleriano de referência é
dada por:
 𝑟 = 𝑟𝑥 𝑖 + 𝑟𝑦 𝑗 + 𝑟𝑧 𝑘
onde rx, ry, rz são as componentes cartesianas do vetor
posição nas direções x, y e z.
Campo de Velocidades
• O vetor velocidade da partícula de fluido em estudo é
definida por:
𝑉 = 𝑢 𝑖 + 𝑣 𝑗 + 𝑤 𝑘
Campo de Velocidades
• A velocidade num ponto dado do campo de escoamento
pode variar de um instante de tempo para outro.
• Desta forma pode-se representar como 𝑉 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡).
• O fluido pode estar atravessando a fronteira de um
elemento diferencial de volume 𝑑∀.
• O vetor de área 𝑑 𝐴 do elemento de superfície aponta
sempre para fora da superfície do volume de controle.
Campo de Velocidades
Aceleração de uma Partícula de 
Fluido num Campo de Velocidade
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= 𝑎𝑃 = 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
+
𝜕𝑉
𝜕𝑡
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑧
+
𝜕𝑉
𝜕𝑡
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜
𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
=
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
+
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜
𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙
Aceleração de uma Partícula de 
Fluido num Campo de Velocidade
• No caso particular de escoamento permanente
tridimensional, a aceleração local é nula
𝜕𝑉
𝜕𝑡
= 0
obtendo-se a expressão:
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑧
Aceleração de uma Partícula de 
Fluido num Campo de Velocidade
• Outros casos particulares de escoamento
unidimensional e bidimensional simplificam a equação
acima.
• Por exemplo para escoamento bidimensional não-
permanente é dado por:
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+
𝜕𝑉
𝜕𝑡
Aceleração de uma Partícula de 
Fluido num Campo de Velocidade
• A equação vetorial da derivada substancial pode ser
apresentada na forma escalar, na qual as componentes
escalares da aceleração substancial ou total da partícula
são dadas por:
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= 𝑎𝑥𝑃 = 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢
𝜕𝑡
𝐷𝑣
𝐷𝑡
= 𝑎𝑦𝑃 = 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑣
𝜕𝑡
𝐷𝑤
𝐷𝑡
= 𝑎𝑧𝑃 = 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑡
Aceleração de uma Partícula de 
Fluido num Campo de Velocidade
• Em forma compacta :
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= (𝑉 ∙ 𝛻)𝑉 +
𝜕𝑉
𝜕𝑡
Aceleração de uma Partícula de 
Fluido num Campo de Velocidade
• Em coordenadas cartesianas:
Aceleração de uma Partícula de 
Fluido num Campo de Velocidade
• Em coordenadas cilíndricas:
Aceleração de uma Partícula de 
Fluido num Campo de Velocidade
• A aceleração das partículas de fluido pode ser
imaginada pela superposição de dois efeitos:
Aceleração Convectiva:
Num dado instante t consideramos que o campo de
escoamento é permanente:
• A partícula de fluido nesse instante está para mudar de
posição.
Aceleração da Partícula de Fluido
• A aceleração das partículas de fluido pode ser
imaginada pela superposição de dois efeitos:
Aceleração Convectiva:
• A partícula efetua uma mudança de velocidade porque a
velocidade nas posições neste campo será, em geral,
diferente em cada instante.
• Esta razão de variação da velocidade com o tempo devido
à mudança de posição é denominada aceleração de
transporte ou aceleração convectiva. (𝑉 ∙ 𝛻)𝑉
Aceleração da Partícula de Fluido
• A aceleração das partículas de fluido pode ser
imaginada pela superposição de dois efeitos:
Aceleração Local:
• O termo
𝜕𝑉
𝜕𝑡
deve-se à variação do campo de velocidade na
posição ocupada pela partícula no instante t e é chamada
aceleração local.
Aceleração da Partícula de Fluido
• Uma partícula de fluido movendo-se num
escoamento real pode girar em torno de três eixos de
coordenadas. Esta rotação é uma grandeza vetorial
definida como:
𝜔 = 𝜔𝑥 𝑖 + 𝜔𝑦 𝑗 + 𝜔𝑧 𝑘
Rotação de Um Fluido
• Considera-se que o sentido positivo (+) do giro é dado
pela regra da mão direita (anti-horária):
Rotação de Um Fluido
Rotaçãode Um Fluido
• A rotação de uma partícula está associada a uma
tensão de cisalhamento na superfície da partícula.
• Como as tensões de cisalhamento estão associadas a
fluidos viscosos, somente estes fluidos apresentarão
rotação de suas partículas de fluido.
• A condição de irrotacionalidade é válida nas regiões
onde as forças viscosas são desprezíveis.
Rotação de Um Fluido
• Define-se a vorticidade como a grandeza que é duas vezes o
valor da rotação:
 ξ = 2𝜔
• A circulação é definida como a integral de linha da componente
tangencial da velocidade em torno de uma curva fechada fixa,
no escoamento.
Γ = 
𝐶
 𝑣 ∙ 𝑑 𝑠
• 𝑑𝑠 é um vetor elementar de comprimento 𝑑𝑠 tangente a curva.
Um sentido (+) corresponde a uma trajetória anti-horária de
integração em torno da curva.
Rotação de Um Fluido
Deformação em Um Fluido
Deformação em Um Fluido
Deformação em Um Fluido
• No volume de controle podem agir forças de
superfície e forças de campo.
Forças de Superfície
As forças de superfície ( 𝐹𝑠 ) agem nas superfícies do
volume de controle devido à pressão ( 𝐹𝑠𝑝) e às tensões de
cisalhamento ( 𝐹𝑠𝜏)
 𝐹𝑠𝑝 = 𝐴 𝑝 𝑑
 𝐴 e 𝐹𝑠𝜏 = 𝐴 𝜏 𝑑
 𝐴
Campo de Forças Agindo no Volume 
de Controle
• No volume de controle podem agir forças de
superfície e forças de campo.
Forças de Campo
As forças de campo ( 𝐹𝐵 ) são forças que atuam sem
contato físico e distribuídas sobre o volume de controle,
tais como forças de campo gravitacional e forças de
campo eletromagnético. No caso de sistemas
fluidomecânicos considera-se como forças de campo a
força de campo gravitacional.
Campo de Forças Agindo no Volume 
de Controle
• A força total agindo no volume de controle é:
 𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧 𝑘
• Cujas componentes são dadas por:
𝐹𝑥 = 𝐹𝑠𝑥 + 𝐹𝐵𝑥
𝐹𝑦 = 𝐹𝑠𝑦 + 𝐹𝐵𝑦
𝐹𝑧 = 𝐹𝑠𝑧 + 𝐹𝐵𝑧
Campo de Forças Agindo no Volume 
de Controle
• Se denominamos 𝐵𝑚 as forças de campo por unidade
de massa, então a força de campo é dada por:
 𝐹𝐵 = 𝐵𝑚𝑑𝑚
onde 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑∀. Quando a força de gravidade é a única
força de campo é definida por unidade de massa como
𝐵𝑚 = 𝑔.
Campo de Forças Agindo no Volume 
de Controle
• Quando 𝐵 é considerada por unidade de volume
𝐵=𝜌 𝑔. A força de campo é definida como:
 𝐹𝐵 = 𝐵 𝑑∀
Campo de Forças Agindo no Volume 
de Controle
• As componentes da força de campo na direção x, y, z
são dadas como:
Campo de Forças Agindo no Volume 
de Controle
• As forças que atuam sobre um elemento de fluido são
de dois tipos: Forças de superfícies e Forças de
campo.
• As forças de superfícies incluem as forças normais
(pressão) e forças tangenciais (cisalhamento).
• As forças de campo aqui estudadas têm sua origem
na ação da gravidade.
• As tensões no meio contínuo são resultantes das
forças que atuam no elemento de fluido.
Campo de Tensões
• Considerando a Figura, a força agindo sobre o
elemento de fluido apresenta duas componentes,
uma normal e outra tangencial ao elemento de área.
Campo de Tensões
• A tensão normal e a tensão de cisalhamento neste
ponto são definidas então pelo limite:
Campo de Tensões
• Quando se considera o elemento de área orientado
aos planos cartesianos, podemos definir as
componentes da tensão por índices duplos para
designar as tensões:
• 1º índice: Indica o plano no qual atua a tensão;
• 2º índice: Indica o sentido no qual atua a tensão.
Campo de Tensões
Campo de Tensões
• Os planos são nomeados positivos ou negativos
segundo o sentido da sua normal. No caso da Figura o
plano do elemento de área dAx é positivo (+) porque
aponta no sentido positivo do eixo x.
Campo de Tensões
• Considerando um elemento de fluido dAx, cuja
normal aponta para fora do eixo x como mostra a
Figura, a força F é descomposta em cada um das
coordenadas e as tensões são determinadas pelo
limite, obtendo-se as seguintes tensões:
Campo de Tensões
• Analogamente teríamos tensões para um elemento
de área normal ao plano y e ao plano z.
• Desta forma o estado de tensões num ponto é
determinado especificando-se as tensões que atuam
nos três planos perpendiculares que passam pelo
ponto.
• Assim, a tensão que passa por um ponto é
especificada pelas suas nove componentes sendo
denominada tensor de tensões.
Campo de Tensões
• Tensor de Tensões.
Campo de Tensões
• Convenção de Sinais:
• O vetor de área dA sempre aponta para fora do volume de
controle.
Campo de Tensões
• Convenção de Sinais:
• Tensão Positiva ( + ):
• Quando o elemento de área dA e a tensão apontam no
mesmo sentido (negativo ou positivo) dos eixos de
referência.
• Tensão Negativa (- ):
• Quando e elemento de área e a tensão apontam em
sentido contrário.
Campo de Tensões
• Numa análise de partículas de fluido é necessário
avaliar propriedades como massa específica, campo
de pressões, forças e tensões.
• Para tal se considera um elemento de fluido muito
pequeno, reduzido a um ponto, considerando este
como um cubo infinitesimal, no qual se realiza uma
expansão em serie de Taylor para avaliar as
propriedades em estudo em cada uma das caras ou
faces do cubo.
Expansão em Série de Taylor para 
Análise do Campo de Escoamento
• Por exemplo, a Figura apresenta um cubo diferencial
de um elemento de fluido no qual, em seu centro,
atua uma propriedade P.
Expansão em Série de Taylor para 
Análise do Campo de Escoamento
• Analisando o plano x-y (normal a z), podemos obter
pela série de Taylor o valor da quantidade P nas faces
direita e esquerda.
Expansão em Série de Taylor para 
Análise do Campo de Escoamento
• Tensões normais num elemento de fluido:
Expansão em Série de Taylor para 
Análise do Campo de Escoamento
• Tensões tangenciais num elemento de fluido:
Expansão em Série de Taylor para 
Análise do Campo de Escoamento
• Tensões de cisalhamento nas faces do cubo
denominadas cara (frente) e fundo do plano normal a
z:
Expansão em Série de Taylor para 
Análise do Campo de Escoamento
• Resumo: Tensões agindo nas fases do elemento de
fluido – Direção x
Expansão em Série de Taylor para 
Análise do Campo de Escoamento
• Da mesma forma poderíamos obter as tensões
normais e tangenciais que agem no eixo-y e as
tensões normais e tangenciais que agem no eixo-z.
Tais equações são utilizadas posteriormente para
avaliar na forma diferencial a equação da quantidade
de movimento nas coordenadas x, y e z.
Expansão em Série de Taylor para 
Análise do Campo de Escoamento
• Considera-se um elemento de fluido diferencial
(Figura) de massa 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑∀ com volume 𝑑∀=
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧.
• No volume de controle podem agir forças de
superfície e forças de campo.
Campo de Pressão num Fluido 
Estático
• No fluido estático a força de campo que atua é a força
de campo gravitacional definida por:
𝑑 𝐹𝐵 = 𝑔𝜌𝑑∀
• As tensões de cisalhamento não podem estar
presentes num fluido estático portanto as únicas
forças de superfície devem-se às forças de pressão.
𝑑 𝐹𝑠 = 𝑝𝑑 𝐴
Campo de Pressão num Fluido 
Estático
• Analisando o plano x-y do elemento de fluido
podemos determinar o valor da pressão nas fases
direita e esquerda e superior e inferior:
Campo de Pressão num Fluido 
Estático
Campo de Pressão num Fluido 
Estático
• No plano x-z (Figura) podemos determinar as
pressões agindo nas face da cara e no fundo.
Campo de Pressão num Fluido 
Estático
• A pressão total é o somatório das pressões agindo em
todas as fases do V.C, desta forma:
Campo de Pressão num Fluido 
Estático
• Os termos de pressão podem ser agrupados na
forma:
Campo de Pressão num Fluido 
Estático
• Substituindoas pressões e sabendo que
Campo de Pressão num Fluido 
Estático
• o termo entre parênteses é definido como gradiente
de pressão escrito como 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝 ou 𝛻𝑝
Campo de Pressão num Fluido 
Estático
• desta forma a força de superfície para o fluido
estático pode ser dada como:
Campo de Pressão num Fluido 
Estático
• A força total é a soma da força de campo e força de
superfície:
ou por unidade de volume:
Campo de Pressão num Fluido 
Estático
• Para um fluido em movimento
• para um fluido estático (𝑎 = 0) 𝑑 𝐹 = 0, desta forma:
Campo de Pressão num Fluido 
Estático
• Estes termos representam:
• Esta equação vetorial apresenta 3 componentes que
devem ser satisfeitas individualmente.
Campo de Pressão num Fluido 
Estático
• Para um fluido estático a equação vetorial que
representa o campo de pressões é dada por:
−𝛻𝑝 + 𝜌 𝑔 = 0
−𝛻𝑝: força de pressão total por unidade de volume num
ponto.
𝜌 𝑔: força de campo por unidade de volume num ponto.
Variação da Pressão – Fluidos 
Estáticos
• Esta equação vetorial apresenta 3 componentes que
devem ser satisfeitas individualmente.
Variação da Pressão – Fluidos 
Estáticos
• Alinhando o eixo vertical com o eixo z
Variação da Pressão – Fluidos 
Estáticos
• Assim, a pressão é independente das coordenadas x e
y.
• como a pressão é função de uma única variável,
utilizamos a derivada total no lugar da parcial
Variação da Pressão – Fluidos 
Estáticos
• Aplicando tal equação entre dois pontos tal como
mostra a Figura:
Variação da Pressão – Fluidos 
Estáticos
• Explicitando a pressão p1
• Considerando que p2 seja a pressão na superfície livre
denominada p0, podemos avaliar a pressão p em
qualquer ponto abaixo desta superfície
Variação da Pressão – Fluidos 
Estáticos
• Para determinar a quantidade de movimento na
forma diferencial é necessário avaliar o campo de
forças agindo num elemento de fluido.
• A seguir deduziremos as forças que agem na direção
x. O mesmo procedimento pode ser aplicado para
determinar as forças que agem em y e z.
Análise das Forças Superficiais 
Agindo num Elemento de Fluido
• Considera-se que as tensões num elemento de fluido
cujo volume de controle é um cubo diferencial com
massa 𝑑𝑚 e volume 𝑑∀= 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧. No centro do cubo
atuam tensões no sentido positivo da direção x. Estas
tensões são 𝜎𝑥𝑥𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥.
• As tensões superficiais avaliadas nas faces do
elemento diferencial são obtidas utilizando o
desenvolvimento em serie de Taylor.
Análise das Forças Superficiais 
Agindo num Elemento de Fluido
• Resumo: Tensões agindo nas fases do elemento de
fluido – Direção x
Análise das Forças Superficiais 
Agindo num Elemento de Fluido
• Tais tensões originam forças de superfície na direção-
x, as quais são adicionadas considerando o sentido
positivo (+) e negativo (-) de cada uma delas:
• Utilizando as áreas das faces do cubo tais forças são
representadas como
Análise das Forças Superficiais 
Agindo num Elemento de Fluido
Análise das Forças Superficiais 
Agindo num Elemento de Fluido
• Analisando cada termo das tensões:
Análise das Forças Superficiais 
Agindo num Elemento de Fluido
• Os elementos de área podem ser representados por:
• Desta forma,
Análise das Forças Superficiais 
Agindo num Elemento de Fluido
• Substituindo a variação das tensões:
Análise das Forças Superficiais 
Agindo num Elemento de Fluido
• Da mesma forma podem ser obtidas as componentes
das forças na direção-y e na direção-z. Assim as três
componentes das forças de superfície são dadas pelas
relações apresentadas a seguir.
Análise das Forças Superficiais 
Agindo num Elemento de Fluido
• As equações integrais de Mecânica dos Fluidos são
utilizadas num volume de controle (V.C.) para analisar
o campo de escoamento de maneira global.
• As equações diferenciais são utilizadas para estudar o
campo de escoamento em forma mais detalhada.
• Para obter a expressão que define a conservação da
massa na forma diferencial, fazemos uma análise de
um volume de controle diferencial num sistema de
coordenadas cartesiano.
Equação da Conservação da Massa
• O princípio da conservação da massa é definido como:
• Na forma integral esta expressão é dada por:
Equação da Conservação da Massa
• A massa dentro do V.C. a qualquer instante é produto
da massa específica (𝜌) e o volume (𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧).
• Desta forma a taxa de variação da massa dentro do
volume de controle na forma diferencial é dada por:
Equação da Conservação da Massa
• Pode ser demonstrado que a taxa de fluxo resultante
através da superfície de controle é dada por:
Equação da Conservação da Massa
• Desta forma a equação da conservação da massa na
forma diferencial é dada por:
• Em notação vetorial é definido o operador nabla
como:
Equação da Conservação da Massa
• De tal forma que a equação da conservação da massa
pode ser reduzida a:
• Que na forma vetorial pode ser representada como:
Equação da Conservação da Massa
• No caso de escoamento incompressível ρ=constante.
Isto significa que a massa específica não é função do
tempo nem das coordenadas espaciais.
• ou na forma vetorial
Escoamento Incompressível
• No caso de escoamento permanente todas as
propriedades do fluido são independentes do tempo.
• Desta forma, no máximo, poderá ocorrer é que
V(x,y,z) e ρ(x,y,z) sendo a equação da continuidade
dada por:
• Ou na forma vetorial
Escoamento Permanente
• Sistema de Coordenadas Retangulares
Equação da Conservação da Massa
• Sistema de Coordenadas Retangulares
• Fluido Incompressível
• Escoamento Permanente
Equação da Conservação da Massa
• Sistema de Coordenadas Cilíndricas
Equação da Conservação da Massa
• Sistema de Coordenadas Cilíndricas
• Fluido Incompressível
• Escoamento Permanente
Equação da Conservação da Massa
• Sabemos a equação da quantidade de movimento na
sua forma integral.
• Na forma diferencial expressamos as equações para
um sistema infinitesimal de massa dm, para a qual a
segunda lei de Newton pode ser expressa como:
Equação da Quantidade de 
Movimento
• O termo dm é facilmente determinado pelo produto
entre a massa específica do fluido dentro do V.C. e o
volume diferencial.
• Temos que
é definida como derivada substancial.
Equação da Quantidade de 
Movimento
Força Agindo sobre uma Partícula de 
Fluido
Força Agindo sobre uma Partícula de 
Fluido
• Segunda Lei de Newton:
Força Agindo sobre uma Partícula de 
Fluido
• Forces Acting on a Fluid Particle
Momentum Equation
• Differential Momentum Equation
Momentum Equation
• Newtonian Fluid: Navier-Stokes Equations
Momentum Equation
• Special Case: Euler’s Equation
Computational Fluid Dynamics
• Some Applications