CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III - Avaliação de Aprendizado

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Nas ciências e na engenharia, modelo matemáticos são desenvolvidos para auxiliar na compreensão de fenômenos físicos. Estes modelos frequentemente geram uma equação que contém algumas derivadas de uma função desconhecida. Tal equação é chamada de equação diferencial. Para iniciar o estudo de tal equação, se faz necessário alguma terminologia comum. Assim sendo, antes de estudar métodos para resolver uma equação diferencial se faz necessário classificar esta equações.
Três classificações primordiais são:
1. Segundo a natureza (Equação diferencial ordinária ou parcial)
2. Segundo a ordem desta equação.
3. Segundo a linearidade.
Classifique as seguintes equações:
a) dxdt=5(4-x)(1-x)
b) 5d2ydx2+4dydx+9y=2cos3x
c) ∂4u∂x4+∂2u∂t2=0
d) d2ydx2+x2(dydx)3-15y=0
Admitindo os seguintes índices para a classificação:
A=1: para E.D.O.
A=2: para E.D.P.
n: A ordem da Equação
B=5: para equação linear
B=6: para equação não linear
A soma (A+n+B)para cada equação resultará respectivamente em:
 
		
	 
	8; 8; 11; 9
	
	8; 8; 9; 8
	
	8; 9; 12; 9
	
	7; 8; 11; 10
	
	7; 8; 9; 8
		
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201308379250)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	 Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta:
2rcosΘdr-tgΘdΘ=0
		
	
	rsenΘcosΘ=c
	
	r²senΘ=c
	
	rsenΘ=c
	 
	r²-secΘ = c
	
	cossecΘ-2Θ=c
		
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201308527479)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	Resolva a equação diferencial    exdydx=2x  por separação de variáveis.
		
	
	y=12ex(x+1)+C
	
	y=-12e-x(x-1)+C
	
	y=e-x(x-1)+C
	 
	y=-2e-x(x+1)+C
	
	y=e-x(x+1)+C
		
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201308527476)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis.
dx+e3xdy=0
		
	
	y=e3x+C
	 
	y=13e-3x+C
	
	y=12e3x+C
	
	y=13e3x+C
	
	y=ex+C
		
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201308356782)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	Seja a equação diferencial 2dydx+3y=e-x. Qual dentre as opções abaixo não é uma solução da equação diferencial proposta, sabendo que y=f(x) ?
		
	
	y=e-x+C.e-32x
	
	y=e-x
	
	y=e-x+e-32x
	
	y=e-x+2.e-32x
	 
	y=ex
		
	 Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta:
2rcosΘdr-tgΘdΘ=0
		
	
	rsenΘ=c
	
	rsenΘcosΘ=c
	
	r²senΘ=c
	 
	r²-secΘ = c
	
	cossecΘ-2Θ=c
		
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201308482180)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	O Wronskiano de 3ª ordem  é o resultado do determinante de uma matriz 3x3, cuja primeira linha é formada por funções, a segunda linha pelas primeiras derivadas dessas funções e a terceira linha pelas segundas derivadas daquelas funções.
O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções deriváveis são linearmente dependentes ou independentes. Caso o Wronskiano vseja igual a zero em algum ponto do intervalo, as funções são ditas linearmente dependentes nesse ponto.
Identifique, entre os pontos do intervalo[-π,π] apresentados, onde as funções t,sent,cost são linearmente dependentes.
		
	
	t=π
	 
	t=0
	
	t=π4
	
	t=π3
	
	t=π2
		
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201308952323)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	A equação (y''')2 +7.(y')10 + 9y + 6x = 0 é do:                                                 
		
	
	3º grau e 2ª ordem.
	 
	3ª ordem e 2º grau
	
	10ª ordem e 1º grau.
	
	3ª ordem e 10º grau.
	
	1ª ordem e 10º grau.
		
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201308413566)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	Diversos são os sistemas cujo comportamento é descrito por equações diferenciais ordinárias. Desta forma, é importante que se estude a resolução destas equações.
Com relação à resolução de equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que
(I) Resolver uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa identidade.
(II) Chama-se solução da equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 toda função , definida em um intervalo aberto (a,b), juntamente com suas derivadas sucessivas até a ordem n inclusive, tal que ao fazermos a substituição de y por na equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 , esta se converte em uma identidade com respeito a x no intervalo (a,b).
(III) Integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa identidade.
		
	
	(I) e (II)
	
	(II)
	
	(I)
	 
	(I), (II) e (III)
	
	(III)
		
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201308355105)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	Resolva a equação diferencial (x+1).dydx=x.(1+y2).
		
	
	y=sen[x-ln|x+1|+C]
	
	y=cotg[x-ln|x+1|+C]
	
	y=cos[x-ln|x+1|+C]
	 
	y=tg[x-ln|x+1|+C]
	
	y=sec[x-ln|x+1|+C]
	Seja a transformada de Laplace de F(t), denotada aqui por L{F(t)}  e  definida por L{F(t)}=f(s)=∫0∞e-(st)F(t)dt.
Sabe-se que se L{F(t)}=f(s) então  L{eatF(t)}= f(s-a)
Portanto a transformada de Laplace da função F(t)=etcost , ou seja,L{etcost} é igual a  ...  
		
	
	s+1s2+1
	
	s-1s2+1
	 
	s-1s2-2s+2
	
	s+1s2-2s+2
	
	s-1s2-2s+1
		
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201308455744)
	Pontos: 0,0  / 0,1
	Uma EDL de Primeira Ordem é aquela que pode ser escrita na forma padrão: 
		
	 
	dydx+P(x)y=Q(x)
	
	dyxdx+P(x)ydx=Q(x)
	 
	dydx+P(x)y=Q(x)
	
	dydx+P(x)=Q(x)
	
	P(x)y=Q(x)
		
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201308379250)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	 Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta:
2rcosΘdr-tgΘdΘ=0
		
	
	rsenΘcosΘ=c
	
	cossecΘ-2Θ=c
	
	r²senΘ=c
	 
	r²-secΘ = c
	
	rsenΘ=c
		
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201308527478)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	Resolva a equação diferencial    dx-x2dy=0   por separação de variáveis.
		
	
	y=-2x3+c
	 
	y=-1x+c
	
	y=-1x2+c
	
	y=1x3+c
	
	y=x+c
		
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201308482180)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	O Wronskiano de 3ª ordem  é o resultado do determinante de uma matriz 3x3, cuja primeira linha é formada por funções, a segunda linha pelas primeiras derivadas dessas funções e a terceira linha pelas segundas derivadas daquelas funções.
O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções deriváveis são linearmente dependentes ou independentes. Caso o Wronskiano vseja igual a zero em algum ponto do intervalo, as funções são ditas linearmente dependentes nesse ponto.
Identifique, entre os pontos do intervalo[-π,π] apresentados, onde as funções t,sent,cost são linearmente dependentes.
		
	
	t=π
	
	t=π2
	 
	t=0
	
	t=π4
	
	t=π3
	Indique a única resposta correta de α que tornam linearmente dependentes(LD) as soluções f1(x)=eαx e f2(x)=e-(αx)  de uma ED,  ondeα é uma constante.
		
	
	α=-1
	
	α=2
	 
	α=0
	
	α=-2
	
	α=1
		
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201308455727)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	Uma função f(x,y) é dita homogênea com grau de homogeneidade k quando f(tx,ty)=tkf(x,y)
Verifique se a função f(x,y)=x2+y2 é homogênea e,  se for, qual é o grau e indique a única resposta correta.
		
	
	Homogênea de grau 1.
	 
	Homogênea de grau 2.
	
	Não é homogênea.
	
	Homogênea de grau 4.
	
	Homogênea de grau 3.
		
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201308862995)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	Um dos métodos de solução de uma EDLH é chamado de Método de Redução de Ordem, no qual é dada uma solução, por exemplo y1 e calcula-se a outra solução y2, pela fórmula abaixo:
 y2=y1∫e-∫(Pdx)y12dx
Assim, dada a solução y1 =cos(4x), indique a única solução correta de y2 para aequaçãoy''-4y=0 de acordo com as respostas abaixo:
		
	
	tg(4x)
	
	sec(4x)
	 
	sen(4x)
	
	cos-1(4x)
	
	sen-1(4x)
		
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201308379240)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	A equação diferencial abaixo é de primeira ordem. Qual é a única resposta correta?
 cosΘdr-2rsenΘdΘ=0
 
		
	
	rsen³Θ+1 = c
	
	rtgΘ-cosΘ = c
	
	rsec³Θ= c
	 
	rcos²Θ=c
	
	r³secΘ = c
		
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201308889457)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	Resolva separando as variáveis e indique a resposta correta: ey.(dydx+1)=1.
		
	
	ey =c-x
	
	ey =c-y
	
	y- 1=c-x
	 
	ln(ey-1)=c-x
	
	lney =c