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Listão 1 - SMA 355 e SMA 393
INTEGRAIS DUPLAS E MUDANÇA DE VARIÁVEL
1. Calcule as integrais duplas a seguir:
a)
∫∫
D
xy dA, em que D é a região limitada pela reta y = x− 1 e pela parábola y2 = 2x+ 6.
b)
∫ 1
0
∫ 1
x
sen(y2) dxdy.
c)
∫∫
D
4y
x3 + 2
dA, em que D = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x}.
d)
∫∫
D
x cosy dA, em que D é limitada por y = 0, y = x2, x = 1.
2. Determine
∫∫
D
(x− y) dA, em que D é:
a) o semićırculo x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0.
b) a área da região compreendida entre os gráficos das funções y = x e y = −x2 + x+ 1, com −1 ≤ x ≤ 1.
c)
∫∫
D
e
y−x
y+x dxdy, em que D é a região triangular limitada pela reta x+ y = 2 e os eixos coordenados.
d)
∫∫
D
cos(x− y)
sin(x+ y)
dxdy, em que D é o trapézio 1 ≤ x+ y ≤ 2, x ≥ 0 e y ≥ 0.
3. Usando coordenadas polares, calcule:
a)
∫∫
D
ln(x2+y2) dxdy, em queD é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferências x2+y2 = 1
e x2 + y2 = 4.
b)
∫∫
D
ex
2+y2 dA, em que D = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4,−x ≤ y ≤ x, x ≥ 0}.
4. Calcule
∫∫
D
x2 dA, em que D = {(x, y) ∈ R2 | 4x2 + y2 ≤ 1}.
5. Usando coordenadas polares, calcule o volume do sólido W acima do plano xy limitado pelo parabolóide
z = x2 + y2 e pelo cilindro x2 + y2 = 2y.
6. Use coordenadas polares para resolver a integral
∫ 2
0
∫ √8−x2
x
1
5 + x2 + y2
dydx.
7. Determine a área contida em um laço de rosácea de quatro pétalas r = cos 2θ.
8. Use coordenadas polares para calcular Vol(S) =
∫∫
D
f(x, y) dA, em que S = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈
D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)} com f(x, y) =
√
1− x2 − y2 e D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 − y ≤ 0}.
Respostas.
1. a) 36; b)
1
2
(1− cos 1); c) 4 ln(
10
3
); d)
1
2
(1− cos 1).
2. a) −2
3
; b)
4
3
; c) (e− e−1); d) 1; 3. a)
π
4
(8 ln 2− 3); b)
π
4
(e4 − e);
4.
π
32
; 5.
3π
2
; 6.
π
8
ln(
13
5
); 7.
π
8
; 8.
π
3
.
1
INTEGRAIS TRIPLA E MUDANÇA DE COORDENADA ESFÉRICA
1. Calcule
∫∫∫
B
12xy2z3 dV , em que B = {(x, y, z) ∈ R3 | − 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 2}.
2. Encontre o volume do sólido W limitado pelas superf́ıcies de equações z+x2 = 9, y+z = 4, y = 0 e y = 4.
3. Calcule a integral tripla
∫∫∫
E
f(x, y, z) dV , em que f(x, y, z) = z, para todo (x, y, z) ∈ E, e E =
{(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ z ≤
√
1− y2}.
4. Determine:
a) o volume do sólido delimitado pela superf́ıcie cilindrica x = y2 e pelos planos z = 0 e x+ z = 1.
b)
∫∫∫
E
x dV , em que E ⊂ R3 é a região sólida no primeiro octante, delimitada pelos planos x = z, x = 2−z
e y = 2.
5. Calcule
∫∫∫
E
(x−1) dV , em que E é a região sólida do R3 delimitada pelos planos y = 0, z = 0, y+ z = 5
e pelo cilindro parabólico z = 4− x2.
6. Encontre
∫ ∫ ∫
E
f(x, y, z) dV , em que f(x, y, z) =
√
x2 + z2, para todo (x, y, z) ∈ E, e E é a região
sólida delimitada pelo parabolóide y = x2 + y2 e pelo plano y = 4.
7. Calcule
∫∫∫
E
y dV , em que E é o sólido que está entre o cilindro x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4, acima do
plano xy e abaixo do plano z = x+ 2. Represente geometricamente E = Dxyz.
8. Calcule a integral
∫ π
3
0
∫ 2π
0
∫ secφ
0
ρ2 sinφ dρ dθ dφ.
9. Calcule
∫∫∫
E
√
x2 + y2 + z2 dV , em que E é limitado abaixo pelo cone φ =
π
6
e acima pela esfera ρ = 2.
10. Calcule
∫∫∫
Dxyz
e(x
2+y2+z2)
3
2 dV , em que Dxyz = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 ≤ 1}.
11. Use coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido que está dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 4,
acima do plano xy e abaixo do cone z =
√
x2 + y2.
Respostas.
1. 648; 2.
8
15
(243− 25
√
5); 3.
1
8
;
4. a)
8
15
, b) 2; 5. −544
15
; 6.
128π
15
;
7. 0; 8. π; 9. 4π(2−
√
3); 10.
4π
3
(e− 1); 11. 8
√
2
π
3
.
2