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CÁLCULO VETORIAL
Unidade 1
Sistemas de coordenadas
Diretor Executivo 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Gerente Editorial 
ALESSANDRA FERREIRA
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autoria 
ALINE NASCIMENTO LINS
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A
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TO
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A Aline Nascimento Lins
Olá. Sou bacharela em Física pela Universidade Federal 
de Campina Grande (UFCG, 2015), concluí o mestrado na 
mesma instituição no ano de 2017, na área de Cosmologia. Em 
2021, concluí o doutorado em Física na área de Astrofísica e 
Cosmologia pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
(UFRN). Atuei como pesquisadora bolsista desde a graduação, 
tenho experiência na área de Cosmologia e Astrofísica, com 
ênfase em ondas gravitacionais, relatividade geral e estudos 
em teorias modificadas para a relatividade geral. Atualmente, 
atuo como professora substituta do Departamento de Ciências 
Exatas e Tecnologia da Informação da Universidade Federal 
Rural do Semi-Árido (UFERSA). Sou apaixonada pelo que faço e 
adoro transmitir minha experiência de vida àqueles que estão 
iniciando em suas profissões. Por isso, fui convidada pela Editora 
Telesapiens a integrar seu elenco de autores independentes. 
Estou muito feliz em poder ajudar você nesta fase de muito 
estudo e trabalho. Conte comigo!
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ÍC
O
N
ESEsses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez que:
OBJETIVO
Para o início do 
desenvolvimento 
de uma nova 
competência. DEFINIÇÃO
Houver necessidade 
de apresentar um 
novo conceito.
NOTA
Quando necessárias 
observações ou 
complementações 
para o seu 
conhecimento.
IMPORTANTE
As observações 
escritas tiveram que 
ser priorizadas para 
você.
EXPLICANDO 
MELHOR
Algo precisa ser 
melhor explicado ou 
detalhado.
VOCÊ SABIA?
Curiosidades e 
indagações lúdicas 
sobre o tema em 
estudo, se forem 
necessárias.
SAIBA MAIS
Textos, referências 
bibliográficas 
e links para 
aprofundamento do 
seu conhecimento.
ACESSE
Se for preciso acessar 
um ou mais sites 
para fazer download, 
assistir vídeos, ler 
textos, ouvir podcast.
REFLITA
Se houver a 
necessidade de 
chamar a atenção 
sobre algo a 
ser refletido ou 
discutido.
RESUMINDO
Quando for preciso 
fazer um resumo 
acumulativo das 
últimas abordagens.
ATIVIDADES
Quando alguma 
atividade de 
autoaprendizagem 
for aplicada. TESTANDO
Quando uma 
competência for 
concluída e questões 
forem explicadas.
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Sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas .... 9
Coordenadas cartesianas ................................................................................... 9
Coordenadas polares ........................................................................................11
Coordenadas cilíndricas ...................................................................................14
Coordenadas esféricas .....................................................................................17
Relação  entre  as coordenadas polares, cilíndricas e 
esféricas .................................................................................. 19
Trigonometria .....................................................................................................19
Funções trigonométricas ...................................................................20
Relação entre coordenadas cartesianas e coordenadas polares............. 21
Relação entre coordenadas cartesianas e coordenadas cilíndricas ........ 24
Relação entre coordenadas cartesianas e coordenadas esféricas .......... 28
Integrais duplas ....................................................................... 31
Integral .................................................................................................................31
Integrais duplas em regiões retangulares..................................................... 32
Integrais duplas em regiões não retangulares .............................................36
Integrais duplas em coordenadas polares ..................................... 38
Integrais triplas ....................................................................... 43
Introdução ...........................................................................................................43
Extensão da integral tripla ...............................................................................46
Integrais triplas em coordenadas cilíndricas ................................................ 48
Integrais triplas em coordenadas esféricas ..................................................51
Mudança de variável .........................................................................................53
SU
M
Á
RI
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PR
ES
EN
TA
ÇÃ
OVocê sabia que os sistemas de coordenadas podem 
facilitar ou dificultar a solução de um problema? Um sistema 
de coordenadas adequado faz toda a diferença quando 
precisamos calcular integrais duplas e triplas. Além do sistema 
de coordenadas cartesianos, temos os sistemas de coordenadas 
polares (para problemas em duas dimensões), cilíndricas e 
esféricas (para problemas em três dimensões). 
Saber resolver integrais duplas e triplas será essencial 
em sua profissão, com as integrais duplas podemos calcular 
o volume de um sólido, além disso, é possível calcular a área 
realizando a integração de um elemento de área. As integrais 
triplas podem nos fornecer a massa de um sólido, bastando, para 
isso, integrar a função densidade em um elemento de volume. 
Também é possível calcular o volume de um sólido, realizando 
a integração de um elemento de volume. Por isso a importância 
desse conteúdo para o pleno desenvolvimento da sua profissão! 
As competências que iremos desenvolver aqui serão de 
extrema importância na sua formação. Entendeu? Ao longo desta 
unidade letiva, você vai mergulhar neste universo!
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BJ
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O
S Olá. Seja muito bem-vindo à Unidade 1 – Sistemas de 
coordenadas. Nosso objetivo é auxiliar você no desenvolvimento 
das seguintes competências profissionais até o término desta 
etapa de estudos:
1. Identificar os tipos de sistemas de coordenadas 
vetoriais.
2. Discernir sobre as diferenças entre coordenadas 
polares, cilíndricas e esféricas, além de representar 
equações nos sistemas de coordenadas.
3. Definir e solucionar problemas envolvendo integrais 
duplas com as coordenadas.
4. Definir e solucionar problemas envolvendo integrais 
triplas com as coordenadas.
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Sistemas de coordenadas 
polares, cilíndricas e esféricas
OBJETIVO
Neste capítulo, vamos conhecer as coordenadas 
polares, cilíndricas e esféricas. Esse conhecimento 
é fundamental para o desenvolvimento da sua 
profissão, em muitas situações será mais adequado 
o uso de um desses sistemas de coordenadas, a 
depender da geometria do problema. E então? 
Motivado para desenvolver essa competência? 
Então, vamos lá. Avante!
Coordenadas cartesianas
As coordenadas cartesianas, ou coordenadas retangulares, 
são utilizadas para determinar a posição de pontos em um 
sistema cartesiano (REIS; SILVA, 1996). Considere o plano 
definido pelo par de retas perpendiculares x e y, como mostra a 
Figura 1. Passando pelo ponto P podemos traçar uma única reta 
paralela a x, x’, e uma única reta paralela a y, y’, nos pontos Px e 
Py, respectivamente.
Figura 1 – Coordenadas cartesianas
𝑃𝑃
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑥′
𝑦𝑦′
𝑃𝑃!
𝑃𝑃"
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
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A interseção entre as retas y’ e y determina o ponto P. Os 
números x e y são, respectivamente, a abscissa e a ordenada 
do ponto P, que é denotado por P(x,y). É comum omitir algumas 
informações da Figura 1, de modo que esses conceitos fiquem 
subentendidos, como se mostra na Figura 2, a seguir.
Figura 2 – Coordenada cartesiana simplificada
𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)
𝑥𝑥
𝑦𝑦
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Agora, considere os dois pontosP(x1 ,y1) e Q(x2 ,y2), como 
mostrado na Figura 3, a distância entre os pontos é dada por 
(REIS; SILVA, 1996):	𝑑𝑑 𝑃𝑃, 𝑄𝑄 = 𝑥𝑥! − 𝑥𝑥" ! + 𝑦𝑦! − 𝑦𝑦" !. 																																		 1
Figura 3 – Distância entre dois pontos no plano cartesiano
𝑃𝑃(𝑥𝑥!, 𝑦𝑦!)
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑄𝑄(𝑥𝑥", 𝑦𝑦")
𝑥𝑥! 𝑥𝑥"
𝑦𝑦!
𝑦𝑦"
𝑥𝑥" − 𝑥𝑥!
𝑦𝑦" − 𝑦𝑦!
𝑑𝑑
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
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Coordenadas polares
Nessa seção, estudaremos como determinar um ponto em 
coordenadas polares, que são de grande utilidade quando se é 
necessário calcular integrais múltiplas. O sistema de coordenadas 
polares foi introduzido por Newton e, conforme veremos no 
decorrer dessa unidade, este é um sistema de coordenadas que 
em muitos problemas será mais conveniente do que o sistema 
de coordenadas cartesianas (REIS; SILVA, 1996).
Considere o par de coordenadas retangulares (x, y) da 
Figura 4, com origem em 0, chamada de polo, e a partir da 
qual o raio r vai da origem 0 ao ponto P, e θ é o ângulo entre o 
eixo x e o raio r. O eixo x, chamado de eixo polar, é geralmente 
desenhado horizontalmente para a direita e coincide com o eixo 
das abscissas das coordenadas cartesianas.
Figura 4 – Coordenadas polares no plano cartesiano
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑃𝑃(𝑥𝑥!, 𝑦𝑦!)
𝑥𝑥!
𝑦𝑦!
𝑟𝑟
𝜃𝜃
𝑂𝑂
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
O ponto P pode ser expresso em coordenadas cartesianas 
como P(x0 , y0) e em coordenadas polares, P(r, θ). O ângulo θ é 
positivo quando medido no sentido anti-horário e negativo 
quando medido no sentido horário (THOMAS, 2012).
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IMPORTANTE
Diferente do que ocorre em coordenadas 
retangulares em que cada ponto é representado 
por um único par de coordenadas, em coordenadas 
polares, o mesmo ponto pode ser representado por 
pares de coordenadas diferentes (STEWART, 2010).
Veja na Figura 5 um exemplo em que o mesmo ponto, 
localizado em um raio r = 2 a contar da origem e ângulo 𝜃𝜃 =
𝜋𝜋
6
, pode ser representado tanto pelo par 2 𝜋𝜋6 quanto pelo par 
2,−
11𝜋𝜋
6
.
Figura 5 – As coordenadas polares de um único ponto não são únicas
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝜃𝜃 = !
"
𝑂𝑂
𝜃𝜃 = − ##!
"
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Em algumas situações é possível que r seja negativo, por 
esse motivo se utiliza a distância orientada na definição de P(r, θ).
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EXEMPLO: Marque os pontos cujas coordenadas polares 
são dadas.
a) 1,
5𝜋𝜋
4
b) 2,3𝜋𝜋
c) 2,−
2𝜋𝜋
3
d) −3,−
3𝜋𝜋
4
Solução: Veja, na Figura 6, as soluções. Observe que o 
ângulo positivo é sempre no sentido anti-horário e vai do eixo 
polar x até a reta r, e o ângulo negativo é no sentido horário, do 
eixo polar x até a reta r.
Figura 6 – Solução do exemplo anterior
𝑥𝑥 𝑥𝑥
𝑥𝑥 𝑥𝑥
!"
# 3𝜋𝜋
− $"
%
− %"
#
𝑂𝑂
𝑂𝑂
𝑂𝑂
𝑃𝑃(2,− $"
%
) 𝑃𝑃(−3,− %"
#
)
𝑃𝑃(1, !"
#
)
𝑃𝑃(2,3𝜋𝜋)
(a) (b)
(c) (d)
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Um fato importante é que cada ponto é representado 
de uma única forma em coordenadas cartesianas, mas em 
coordenadas polares o mesmo ponto pode ser representado 
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de muitas maneiras (LEITHOLD, 1994), como será mostrado no 
exemplo a seguir.
EXEMPLO:
Para determinar todas as coordenadas polares do ponto 
𝑃𝑃 2,
𝜋𝜋
6 devemos esboçar o raio inicial do sistema de coordenadas 
formando um ângulo de 
𝜋𝜋
6 com o eixo x, e marcamos o ponto 
𝑃𝑃 2,
𝜋𝜋
6 , feito isso, pode-se determinar os ângulos para os demais 
pares de coordenadas do ponto P, com r = 2 e r = -2. Para r = 2, 
temos os ângulos:
𝜋𝜋
6
,
𝜋𝜋
6
± 2𝜋𝜋,
𝜋𝜋
6
± 4𝜋𝜋,
𝜋𝜋
6
± 6𝜋𝜋,…
Para r = -2, temos os ângulos:
−
5𝜋𝜋
6 ,−
5𝜋𝜋
6 ± 2𝜋𝜋,−
5	𝜋𝜋
6 ± 4𝜋𝜋,−
5𝜋𝜋
6 ± 6𝜋𝜋,…
E temos os seguintes pares de coordenadas para o ponto P:
2	,
𝜋𝜋
6
± 2𝑛𝑛𝜋𝜋
−2	, −
5𝜋𝜋
6
± 2𝑛𝑛𝜋𝜋
em que n = 0, ±1, ±2, ±3, ....
Coordenadas cilíndricas
Muitas vezes, para resolver problemas de engenharia, 
física e geometria, nos deparamos com situações que envolvem 
simetria cilíndrica ou esférica. Nesses casos, é conveniente 
utilizar um sistema de coordenadas cilíndricas ou esféricas 
(quando temos uma esfera) (STEWART, 2010). O cálculo com 
coordenadas cilíndricas é semelhante ao caso de coordenadas 
polares, mas agora trataremos de problemas envolvendo três 
dimensões.
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DEFINIÇÃO
Um ponto P é determinado em um sistema de 
coordenadas cilíndricas por três ordenadas, (r, 
θ, z), a partir das coordenadas polares r e θ que 
representam a projeção vertical de P no plano xy, e 
z é a coordenada vertical retangular.
Veja, na Figura 7, a seguir, um ponto P em coordenadas 
cilíndricas.
Figura 7 – Coordenadas cilíndricas
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑧𝑧
𝜃𝜃
0
𝑃𝑃(𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝑧𝑧)
𝑟𝑟
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
As coordenadas cilíndricas e cartesianas são relacionadas 
pelas equações a seguir:
	𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟	𝜃𝜃, 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 , 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧	𝑟𝑟	𝑡𝑡𝑡𝑡𝜃𝜃 =
𝑦𝑦
𝑥𝑥
.																									 4
Em coordenadas cilíndricas, a equação r = a, em que x é um 
número, não descreve apenas uma circunferência no plano xy 
como em coordenadas polares, mas descreve um cilindro de raio r 
ao longo do eixo x.
As coordenadas cilíndricas são bastante utilizadas em 
problemas em que temos um cilindro cujos eixos coincidem com 
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o eixo z, bem como plano que contém ou são perpendiculares ao 
eixo z (THOMAS, 2012.
Veja, na Figura 8, a seguir, um cilindro de raio α ao longo 
do eixo z.
Figura 8 – Cilindro no plano
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑧𝑧
𝑟𝑟 = 𝑎𝑎
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Em coordenadas cilíndricas, a equação θ = θ0 descreve um 
plano que contém o eixo z e forma um ângulo θ0 com o eixo x 
positivo. E a equação representa um plano perpendicular ao 
eixo z.
EXEMPLO:
A equação r = 4 descreve um cilindro de raio 4 cujo eixo 
coincide com o eixo z. A equação 𝜃𝜃 =
𝜋𝜋
3 descreve um plano 
que contém o eixo z. E a equação z = 2 descreve um plano 
perpendicular ao eixo z.
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Coordenadas esféricas
As coordenadas esféricas são bastante úteis quando 
precisamos resolver problemas cuja simetria envolve superfícies, 
como cones, esferas, ou quando o integrando é uma função que 
depende apenas da distância até a origem (THOMAS, 2012). As 
coordenadas esféricas são denotadas por três variáveis, (r, θ, φ), 
em que a variável r é a distância entre um ponto e a origem, θ é 
um ângulo medido a partir do semiplano y = 0 e x ≥ 0, e o ângulo 
φ é medido a partir do semieixo 0z positivo. Podemos relacionar 
as coordenadas esféricas e cartesianas da seguinte forma:
x = r cos θ sen φ (5)
y = r sen θ sen φ
z = r cos φ
Na Figura 9, a seguir, temos a representação de um ponto 
em coordenadas esféricas.
Figura 9 – Coordenadas esféricas
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑃𝑃
𝜃𝜃
𝜙𝜙
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
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RESUMINDO
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu 
mesmo tudinho? Agora, só para termos certeza de 
que você realmente entendeu o tema de estudo 
deste capítulo, vamos resumir tudo o que vimos. 
Você deve ter aprendido que além do sistema 
de coordenadas cartesianas temos também os 
sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e 
esféricas, que são bastante úteis para realizar 
o cálculo de integrais duplas e triplas. Espera-
se que você seja capaz de identificar se uma 
equação está escrita em coordenadas cartesianas, 
polares, cilíndricas ou esféricas, bem como 
realizar a transformação entre as coordenadas. As 
coordenadas cartesianas são escritas em termos 
de (x, y, z), as coordenadas polares relacionam 
as coordenadas (x, y) do plano cartesiano com as 
coordenadas (r, θ) do plano polar. Ao contrário do 
que ocorre com as coordenadas cartesianas, em que 
um ponto é representado de uma única forma pelas 
coordenadas,no sistema de coordenadas polares, 
um mesmo ponto pode ter várias representações. 
As coordenadas cilíndricas são bem parecidas com 
as coordenadas polares, mas quando tratamos de 
coordenadas cilíndricas estamos considerando 
problemas com três dimensões, logo, precisamos 
de mais uma coordenada, que é a coordenada z. Em 
coordenadas esféricas, a definição e as relações são 
um pouco diferentes, um ponto é representado em 
coordenadas esféricas por (r, θ, φ).
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Relação entre as coordenadas 
polares, cilíndricas e esféricas 
OBJETIVO
Neste capítulo, vamos compreender como se 
realiza a mudança de sistema de coordenadas. 
Esse conhecimento será de grande importância 
para resolver integrais duplas e triplas. E isso será 
fundamental para o exercício de sua profissão. 
E então? Motivado para desenvolver essa 
competência? Então, vamos lá. Avante!
Trigonometria
Nesta seção, traremos uma importante revisão de 
trigonometria. A trigonometria será utilizada para relacionarmos 
as coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas, 
sendo, então, um conhecimento necessário para esta unidade.
Os ângulos podem ser medidos tanto em graus (°) quanto 
em radianos (rad), o ângulo dado por uma revolução completa, 
ou seja, quando fechamos um círculo, é 2πrad ou 360°, então 
temos uma importante relação entre graus e radianos,
 1πrad = 180°. (5)
Desse modo, podemos construir uma tabela relacionando 
os ângulos em graus e em radianos, utilizando a relação anterior:
Tabela 1 – Relação entre ângulos em graus e em radianos
Fonte: Elaborada pelo autor, com base em Stewart (2010).
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Na Figura 10, a seguir, temos um círculo, com um setor 
demarcado em azul, que possui ângulo θ e raio r, compreendendo 
um comprimento de arco a. Com isso, pode-se realizar a seguinte 
relação de proporção:
	
𝜃𝜃
2𝜋𝜋
=
𝑎𝑎
2𝜋𝜋𝜋𝜋
, 																																																	 6 	
de em que podemos, isolando a na Equação 6, obter o 
comprimento do arco em termos do ângulo θ e o raio r,
a = rθ. (7)
Assim, se fizermos o caso especial em que a = r, o ângulo θ 
deve ser igual a 1 rad.
Figura 10 – Setor de um círculo de raio r
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Funções trigonométricas
As funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, 
cotangente, secante e cossecante) são definidas a partir da razão 
entre os lados de um triângulo retângulo (LEITHOLD, 1994). Veja, 
na Figura 11, um triângulo retângulo e a indicação de seus lados.
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Figura 11 – Triângulo retângulo
𝜃𝜃
Cateto oposto
Cateto adjacente
Hipotenusa 
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
E escrevemos as funções trigonométricas utilizando as 
relações a seguir:
	𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝜃𝜃 = !"#.%&.
'(&.
, cos 𝜃𝜃 = !"#.")*.
'(&.
, tg 𝜃𝜃 = !"#.%&.
!"#.")*.
,
		𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝜃𝜃 =
ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖.
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑐𝑐𝑖𝑖.
, sec 𝜃𝜃 =
ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖.
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎.
, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝜃𝜃 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎.
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑐𝑐𝑖𝑖.
. 									 8
em que na Equação (8) abreviamos a notação utilizada na Figura 11.
Relação entre coordenadas 
cartesianas e coordenadas 
polares
É possível relacionar o sistema de coordenadas 
cartesianas com o sistema de coordenadas polares a partir dos 
conhecimentos básicos de trigonometria. Considere a Figura 
12, em que tomamos uma origem comum nos dois sistemas de 
coordenadas, 0, e um raio r positivo.
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Figura 12 – Relação entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝜃𝜃
𝑂𝑂
𝑟𝑟
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Lembrando que: 
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝜃𝜃 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐
ℎ𝑖𝑖𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑐𝑐
	 , cos 𝜃𝜃 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠
ℎ𝑖𝑖𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑐𝑐
	𝑠𝑠	𝑐𝑐𝑡𝑡𝜃𝜃 =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃
cos 𝜃𝜃
.						 9
Temos, então:
	𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟	𝜃𝜃, 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 	𝑟𝑟	𝑡𝑡𝑡𝑡𝜃𝜃 =
𝑦𝑦
𝑥𝑥
.																									 10
Além disso, da identidade trigonométrica, sen2θ + cos2θ = 1, 
temos:
x2 + y2 = r2. (11)
EXEMPLO:
O ponto (1, -1) está expresso em coordenadas cartesianas, 
expresse-o em coordenadas polares.
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Solução: x = 1 = rcosθ e y = -1 = rsenθ, podemos encontrar x 
utilizando a Equação (11),
x2 + y2 = r2 → r2 = (1)2 + (-1)2 = 1 + 1 = 2 → r = √2
O ângulo θ pode ser obtido por meio da terceira equação 
em (10),
𝑡𝑡𝑡𝑡	𝜃𝜃 =
𝑦𝑦
𝑥𝑥
= −1 → 𝜃𝜃 = 	𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡 −1 = −45° = −
𝜋𝜋
4
,
e podemos representar o ponto como sendo 2,−
𝜋𝜋
4 em coordenadas 
polares.
EXEMPLO:
a. Qual curva é representada pela equação polar r = 2? 
b. Qual curva é representada pela equação polar θ = 1?
Solução: 
a. Essa curva consiste de todos os pontos em coordenadas 
polares que possuem r = 2, ou seja, (2, θ), como θ 
vai de 0 a 2π, o conjunto de todos esses pontos é a 
circunferência de raio 2 centrada na origem.
b. Essa curva consiste de todos os pontos em coordenadas 
polares que possuem θ = 1, ou seja, (r, 1), e r pode ser 
qualquer valor, mas o ângulo é fixo, portanto, essa 
equação representa uma reta que forma um ângulo de 
1 rad com o eixo x.
EXEMPLO:
Vejamos alguns exemplos de equações expressas em 
coordenadas polares e em coordenadas cartesianas: 
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r2senθcosθ = 25 → xy = 25
rcosθ = 3 → x = 3
r2sen2θ - r2cos2θ = 1 → x2 + y2 = 1.
Relação entre coordenadas 
cartesianas e coordenadas 
cilíndricas
As coordenadas cilíndricas são definidas de forma bem 
parecida com as coordenadas polares, mas aqui temos uma 
variável a mais. Nas coordenadas cilíndricas, temos as variáveis 
r,θ que são como nas coordenadas polares e a variável z. 
Para realizar a conversão de um sistema de coordenadas 
cilíndricas para coordenadas cartesianas, utilizamos 
x = rcosθ, y = rsenθ, z = z. (12)
E para converter coordenadas cartesianas em coordenadas 
cilíndricas, utilizamos
	𝑟𝑟! = 𝑥𝑥! + 𝑦𝑦!, 𝑡𝑡𝑡𝑡	𝜃𝜃 =
𝑦𝑦
𝑥𝑥
, 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧.																																															 13
EXEMPLO:
a. O ponto 2,
2𝜋𝜋
3
	 , 1 está indicado na Figura 13 em 
coordenadas cilíndricas, represente esse ponto em 
coordenadas cartesianas.
b. (b) Represente o ponto (3, -3, -7) em coordenadas 
cilíndricas.
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Solução: 
a. Para converter um ponto de coordenadas cilíndricas para 
coordenadas cartesianas utilizamos as Equações (12),
𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 = 2 cos
2𝜋𝜋
3
= 2 ⋅ −
1
2
= 	−1
𝑦𝑦 = 𝑟𝑟	𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝜃𝜃 = 2	𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2𝜋𝜋
3
= 2 ⋅
3
2
= 3
𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 = 1.
Portanto, o ponto 2,
2𝜋𝜋
3
	 , 1 pode ser representado por 
−1, 3	, 1 em coordenadas cartesianas.
b. Para converter um ponto em coordenadas retangulares 
para coordenadas cilíndricas, utilizamos as Equações (13),
𝑟𝑟! = 𝑥𝑥! + 𝑦𝑦! = 3 ! + −3 ! = 9 + 9 = 18 → 𝑟𝑟 = 18 = 3 2
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 =
𝑦𝑦
𝑥𝑥
= 	−
3
3
= −1 → 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡 −1 = 	−
𝜋𝜋
4
 z = z = -7
Então, o ponto (3, -3, -7) em coordenadas cartesianas pode 
ser representado por 3 2,−
𝜋𝜋
4
	, −7 em coordenadas cilíndricas.
26 CÁLCULO VETORIAL
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Figura 13 – Exemplo (a) representando um ponto em coordenadas cilíndricas
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑧𝑧
𝜃𝜃 = 	 !"
#
𝑟𝑟 = 2
𝑧𝑧 = 1
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
IMPORTANTE
O sistema de coordenadas cilíndricas é bastante útil 
para tratar problemas que possuem simetria em 
torno de um eixo, pois fazendo o eixo z coincidir 
com o eixo de simetria do objeto ficamos com um 
problema bem simples de se resolver (STEWART, 
2010). Por exemplo, o eixo de simetria de um cilindro 
de base circular x2 + y2 = c2 é o eixo z, que nos fornece 
a altura do cilindro, e em coordenadas cilíndricas, aequação do cilindro é bem simples, r = c.
Na Figura 14, temos um cilindro reto de base circular de 
raio c, cuja equação em coordenadas cartesianas é x2 + y2 = c2, e 
em coordenadas cilíndricas essa equação se reduz a apenas r = c.
27CÁLCULO VETORIAL
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 1
Figura 14 – Cilindro
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
EXEMPLO:
Qual é a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas 
é z = r?
Solução: A equação do sólido geométrico nos diz que a 
altura z é sempre igual ao raio r, e como não temos nenhuma 
informação de θ, ele pode variar livremente. Vamos converter 
essa equação para coordenadas retangulares,
z2 = r2 = x2 + y2
E sabe-se que a equação z2 = x2 + y2 é a equação de um cone 
de eixo z. Como era de se esperar, veja, na Figura 15, que ao 
cortarmos o cone em z = k (k > 0) temos um círculo de raio k.
28 CÁLCULO VETORIAL
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Figura 15 – Cone
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Relação entre coordenadas 
cartesianas e coordenadas 
esféricas
A Figura 16 mostra as coordenadas esféricas de um ponto 
P = (r, θ, φ), em que r e θ são definidos da mesma forma que em 
coordenadas cilíndricas, e φ é o ângulo formado entre o eixo z 
positivo e o seguimento de reta OP que liga o ponto a origem.
Figura 16 – Coordenadas esféricas
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑦𝑦
𝜙𝜙
𝜃𝜃
𝑃𝑃(𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙)
𝑟𝑟
𝑂𝑂
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
29CÁLCULO VETORIAL
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Note que r ≥ 0 e 0 ≤ θ ≤ π.
Utilizamos coordenadas esféricas sempre que o problema 
envolver simetria em torno de um ponto, neste ponto colocamos 
a origem. Exemplos de problemas envolvendo simetria esférica 
são: a esfera, que possui uma equação bem simples r = c ; o 
semiplano vertical, cuja equação é dada por θ = c ; o semicone, 
cuja equação é dada por φ = c.
As equações que relacionam coordenadas cartesianas com 
coordenadas esféricas são:
x = rsenφcosθ, y = rsenφsenθ, z = rcosφ (14)
E para converter coordenadas cartesianas em esféricas, 
utilizamos:
r2 = x2 + y2 +z2 (15)
EXEMPLO:
Expresse a função 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 = 𝑒𝑒 !!"#!"$!
%
& em coordenadas 
esféricas.
Solução: 
A partir da Equação (15), vemos que 
r2 = x2 + y2 +z2 → f(r, θ, φ) = er
que é uma função bem mais simples de se trabalhar.
30 CÁLCULO VETORIAL
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RESUMINDO
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu 
mesmo tudinho? Agora, só para termos certeza de 
que você realmente entendeu o tema de estudo 
deste capítulo, vamos resumir tudo o que vimos. 
Você deve ter aprendido a transformar pontos 
e equações de coordenadas cartesianas para 
coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. Você 
também deve ter aprendido o caminho inverso, 
dado um ponto ou equação em coordenadas 
polares, cilíndricas ou esféricas, obter sua 
representação em coordenadas cartesianas. 
Você deve ter aprendido que as coordenadas 
cilíndricas são de grande importância para a 
solução de problemas que envolvam a simetria em 
um determinado eixo, esse eixo deve ser posto a 
coincidir com o eixo z. Exemplos de problemas que 
podem ser tratados com coordenadas cilíndricas 
são o cilindro e o cone. Você também deve ter 
aprendido que o sistema de coordenadas esféricas 
é bastante útil quando precisamos solucionar 
problemas que possuem simetria em um ponto, 
e que neste ponto é em que colocamos a origem 
do nosso sistema de coordenadas. Exemplos 
de problemas que podem ser tratados com 
coordenadas esféricas são a esfera e o semicone.
31CÁLCULO VETORIAL
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Integrais duplas
OBJETIVO
Neste capítulo, vamos entender como se realiza 
o cálculo de integrais duplas. As integrais duplas 
são muito úteis para solucionar problemas em 
que é necessário saber o volume de um sólido. 
Isso será fundamental para o exercício de sua 
profissão. E então? Motivado para desenvolver 
essa competência? Então, vamos lá. Avante!
Integral
Nesta seção relembraremos brevemente o conceito de 
integral de funções de uma única variável. 
Veja a Figura 17 a seguir, a área sob a curva da função y = 
ƒ(x) de a até b pode ser encontrada quando subdividimos essa 
área em pequenos retângulos e somamos suas respectivas 
áreas, então
	𝐴𝐴	~$ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 Δ𝑥𝑥!
"
!#$
, 																																											 16
em que N é o número de divisões, ou seja, o número de 
retângulos que dividimos a área sob a curva, e n = 1, 2, ..., N. 
Note que essa área da Equação (16) é aproximada, isso se deve 
ao fato de que ao subdividir a região sob a curva, podemos ver 
na Figura 17 que sobra uma pequena área. Para solucionar 
esse problema, podemos tomar divisões em retângulos com Δx 
cada vez menores e, com isso, aumentamos a quantidade N de 
retângulos, e obtemos a área fazendo o limite da soma de todos 
os retângulos, quando o número de retângulos tende a infinito:
	𝐴𝐴 = lim
!→#
'𝑓𝑓 𝑥𝑥 Δ𝑥𝑥
!
$%&
= + 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥
'
(
. 																			 17
32 CÁLCULO VETORIAL
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Podemos, então, relacionar a integral de uma função 
limitada entre as retas x = a e x = b com a área sob a curva da 
função ƒ(x) entre a e b.
Aqui deixamos um questionamento, sendo a integral de 
uma função ƒ(x) relacionado com a área, com o que podemos 
relacionar uma integral dupla de uma função ƒ(x, y)? Preparado 
para descobrir a resposta desse questionamento? Então, vamos 
para a próxima seção!
Figura 17 – Área sob uma curva
𝑦𝑦
𝑥𝑥Δ𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Integrais duplas em regiões 
retangulares
Nesta seção, estudaremos as integrais duplas, que podem 
ser ditas como sendo o volume de uma região limitada. A região 
mais simples que podemos estudar uma integral dupla é um 
retângulo.
Considere uma função ƒ(x, y) definida em uma região 
retangular R,
33CÁLCULO VETORIAL
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R: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d. (18)
Podemos subdividir essa região retangular em retângulos 
menores, cortando essa região por retas paralelas aos eixos x e 
y. Na Figura 18, temos um esboço dessa região.
Figura 18 – Região retangular dividida em N retângulos
Δ𝑥𝑥
Δ𝑦𝑦
𝑅𝑅
𝑥𝑥
y
𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝑑𝑑
𝑐𝑐
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Cada pedacinho retangular tem área ΔA = Δx ⋅ Δy. Se 
atribuirmos um número a cada um desses pequenos retângulos 
dentro de R, temos ΔA1, ΔA2, ..., ΔAN. Então,
	𝑉𝑉 = lim
!→#
'𝑓𝑓 𝑥𝑥$ , 𝑦𝑦$ Δ𝐴𝐴$
!
$%&
=.𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝐴𝐴 .																										 19
Essa integral é o volume de um retângulo R no plano xy, 
como mostrado na Figura 19 a seguir.
34 CÁLCULO VETORIAL
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Figura 19 – Volume de um retângulo no plano xy
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑧𝑧
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
EXEMPLO:
Calcule a integral
! ! 4 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
!
"
#
"
.
Solução: 
Primeiro, note que os limites de integração de x são diferentes 
dos limites de integração de y, para resolver uma integral dupla, 
devemos calcular a integral de dentro, que neste caso é uma 
integral em x e depois fazemos a integral de fora, em y,
! ! 4 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
!
"
#
"
= ! ! 4 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥
!
"
𝑑𝑑𝑦𝑦
#
"
=		! 4𝑥𝑥 −
𝑥𝑥!
2
− 𝑥𝑥𝑦𝑦
"
!
𝑑𝑑𝑦𝑦
#
"
=	! 4 ⋅ 2 −
2!
2
− 2 ⋅ 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦
#
"
=	! 6 − 2 ⋅ 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦
#
"
= 6𝑦𝑦 − 𝑦𝑦! "# = 6 − 1 = 5𝑢𝑢. 𝑣𝑣.
35CÁLCULO VETORIAL
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em que 𝑢𝑢. 𝑣𝑣. significa unidade de volume.
Você deve estar se perguntando se seria possível inverter 
a ordem de integração. Se no exemplo anterior poderíamos 
calcular primeiro a integral em y e depois a integral em x. Graças 
ao Teorema de Fubini, para casos como o do Exemplo anterior, 
podemos inverter a ordem de integração.
Teorema de Fubini: Seja ƒ(x, y) uma função contínua em 
uma região retangular R: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, então:
	"∫ 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 		" " 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
!
"
#
$
= " " 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥
#
$
!
"20
EXEMPLO:
Calcule !∫ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 para ƒ(x, y) = 100 - 6x2y e R: 0 ≤ x ≤ 2, 
-1 ≤ y ≤ 1.
Solução:
!∫ 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ! ! 100 − 6𝑥𝑥!𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
!
"
#
$#
= ! 100𝑥𝑥 −
6𝑥𝑥%𝑦𝑦
3
"
!
𝑑𝑑𝑦𝑦
#
$#
= ! 100 ⋅ 2 − 16𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦
#
$#
= 200𝑦𝑦 −
8𝑦𝑦!
2
$#
#
= 200 ⋅ 1 −
8 ⋅ 1 !
2 − 200 ⋅ −1 − 8 ⋅
−1 !
2 = 200 − 4 + 200 + 4 = 400𝑢𝑢. 𝑣𝑣.
Se invertermos a ordem de integração, temos:
!∫ 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ! ! 100 − 6𝑥𝑥!𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥
"
#"
!
$
= ! 100𝑦𝑦 −
6𝑥𝑥!𝑦𝑦!
2
#"
"
𝑑𝑑𝑥𝑥
!
$
= ! 100 ⋅ 1 − 3𝑥𝑥! ⋅ 1 − 100 ⋅ −1 − 3𝑥𝑥! ⋅ −1 𝑑𝑑𝑥𝑥
!
$
= ! 100 − 3𝑥𝑥! − −100 + 3𝑥𝑥! 𝑑𝑑𝑥𝑥
!
$
= ! 200𝑑𝑑𝑥𝑥
!
$
= 200𝑥𝑥 2
$
!
= 200 ⋅ 2 − 200 ⋅ 0 = 400𝑢𝑢. 𝑣𝑣.
36 CÁLCULO VETORIAL
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Integrais duplas em regiões não 
retangulares
Vimos como calcular integrais em regiões retangulares, que 
são as regiões mais simples, pois são regiões em que a função 
ƒ(x, y) é limitada por retas paralelas aos eixos x e y. Mas, existem 
diversos casos em que a função é limitada por uma curva.
Considere que 𝑓𝑓: 𝐷𝐷! ∈ 	ℝ" → ℝ , em que 𝑓𝑓: 𝐷𝐷! ∈ 	ℝ" → ℝ é uma região 
limitada qualquer. Queremos calcular a integral dupla de 𝑓𝑓: 𝐷𝐷! ∈ 	ℝ" → ℝ sobre 
𝑓𝑓: 𝐷𝐷! ∈ 	ℝ" → ℝ. Como 𝑓𝑓: 𝐷𝐷! ∈ 	ℝ" → ℝ é uma região limitada, podemos tomar um retângulo 
R, tal que, 𝑓𝑓: 𝐷𝐷! ∈ 	ℝ" → ℝ, como mostrado na Figura 20 a seguir.
Figura 20 – Região R limitando uma região Df
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝐷𝐷!
𝑅𝑅
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Podemos definir uma função 𝐹𝐹:ℝ! → ℝ da forma:
	𝐹𝐹 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 	 '
𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 , 𝑠𝑠𝑠𝑠	 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝐷𝐷!
0, 𝑠𝑠𝑠𝑠	 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅 − 𝐷𝐷!
																																					 21
37CÁLCULO VETORIAL
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Então, a integral de F na região retangular R será igual a 
integral de F na região Df mais a integral de F na região R - Df:
	 "∫ 𝐹𝐹 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑
!
= "∫ 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑
"!
+ "∫ 0𝑑𝑑𝑑𝑑
!#"!
	
	 "∫ 𝐹𝐹 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑
!
= "∫ 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑
"!
																																				 22
Desse modo, podemos calcular o volume de sólidos que 
são delimitados por funções, e temos dois casos a estudar.
 • Regio tipo I – Se ƒ é contínua em uma região Ω, tal que:
																											Ω = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜖𝜖ℝ!	 	𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏, 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≤ 𝑦𝑦 ≤ ℎ 𝑥𝑥 }																						 23
Essa região está esboçada na Figura 21, e nessa região 
temos:
	 "∫ 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑
!
= " " 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥
" #
$ #
%
&
																								 24
Figura 21 – Região limitada por retas verticais no eixo x e por funções no eixo y
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
ℎ(𝑥𝑥)
𝑎𝑎 𝑏𝑏
Ω
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
38 CÁLCULO VETORIAL
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IMPORTANTE
Quando temos um caso como a região tipo I, a 
integral da Equação (19) deve ser resolvida na ordem 
em que aparece, primeiro realiza-se a integral em 
dy, substitui os limites de integração g(x) e h(x) e só 
então, pode-se realizar a integração em x.
 • Região tipo II – Se ƒ é contínua em uma região Ω da forma
																																	Ω = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜖𝜖ℝ!	 𝑔𝑔 𝑦𝑦 ≤ 𝑥𝑥 ≤ ℎ 𝑦𝑦 , 𝑐𝑐 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑑𝑑}																														 25
Essa região está esboçada na Figura 22, e para essa região 
temos:
	 "∫ 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑
!
= " " 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
" #
$ #
%
&
																																											 26
Figura 22 – Região limitada por retas verticais no eixo y e por funções no eixo x 
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
ℎ(𝑥𝑥)
𝑎𝑎
𝑏𝑏
Ω
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Integrais duplas em coordenadas 
polares
Suponha que queiramos calcular a integral dupla de uma 
função ƒ(x, y) em uma região R dada por um círculo ou por um 
anel, como mostrado na Figura 23.
39CÁLCULO VETORIAL
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Figura 23 – Regiões em que podemos utilizar coordenadas polares para integral dupla
𝑦𝑦 𝑦𝑦
𝑥𝑥 𝑥𝑥
𝑅𝑅 𝑅𝑅
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Em ambos esses casos, é complicado descrever a região em 
coordenadas cartesianas, sendo, então, mais conveniente tratar 
essas integrais utilizando coordenadas polares.
EXEMPLO:
Represente a região do plano R, dada pelo primeiro 
quadrante da circunferência de raio 2 em coordenadas polares.
Solução: 
A região em questão é:
R = {(r, θ) | 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/2}
E em coordenadas cartesianas, essa mesma região seria 
dada por R = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0 e y ≥ 0}. Na Figura 24 (a) 
temos uma representação gráfica dessa região.
EXEMPLO:
Represente a região do semiplano superior limitado pelos 
círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4, em coordenadas polares.
40 CÁLCULO VETORIAL
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Solução: 
Veja, na Figura 24 (b), a representação gráfica dessa região. 
Sabemos que x2 + y2 = r2, então, a nossa região está limitada em 
1 ≤ r ≤ 2, e como queremos apenas o semiplano superior 0 ≤ θ ≤ π, 
então, em coordenadas polares a nossa região é: 
R = {(r, θ) | 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π}.
Figura 24 – Regiões polares dos exemplos anteriores
𝑦𝑦 𝑦𝑦
𝑥𝑥 𝑥𝑥
𝑅𝑅𝑅𝑅
(a) (b)
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Agora que já sabemos representar uma região em 
coordenadas cartesianas e polares, vamos introduzir um teorema 
muito importante que nos permite calcular integrais duplas em 
coordenadas polares.
Teorema de Fubini para regiões polares: Se ƒ é contínua na 
região polar R = {(r, θ) | a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}, então:
	 "∫ 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑
!
= " " 𝑓𝑓 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟
"
#
$
%
																							 27
EXEMPLO:
Calcule !∫ 3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦! 𝑑𝑑𝑑𝑑
"
, em que R é a região do semiplano 
superior limitado pelos círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
41CÁLCULO VETORIAL
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Solução: 
Essa é a região da Figura 24 (b), já vimos que essa região 
tem representação R = {(r, θ) | 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π}.
Assim, como a função é contínua, podemos fazer:
!∫ 3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦! 𝑑𝑑𝑑𝑑
"
= ! ! 3𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 + 4 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ! 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟
!
#
$
%
= ! ! 3𝑟𝑟!𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 + 4𝑟𝑟&𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟!𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟
!
#
$
%
= ! 𝑟𝑟&𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 + 𝑟𝑟'𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟!𝑟𝑟 #!𝑑𝑑𝑟𝑟
$
%
= ! 7𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 + 15𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟!𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑟𝑟
$
%
= ! 7𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 +
15
2 1 − cos 2𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑟𝑟
$
%
= 7𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 +
15𝑟𝑟
2 −
15𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 2𝑟𝑟
4
%
$
=
15𝜋𝜋
2 .
EXEMPLO:
Calcule o volume do sólido delimitado pela função ƒ(x,y) = x2y 
e sobre a região dada pelo primeiro quadrante da circunferência 
x2 + y2 = 4.
Solução: 
Vimos no exemplo que corresponde à região da Figura 24 
(a) que: 
R = {(r, θ) | 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/2}
Logo, o volume será dado por:
!∫ 𝑥𝑥!𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦
"
= ! ! 𝑟𝑟! cos! 𝜃𝜃 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟	𝜃𝜃	𝑟𝑟	𝑦𝑦𝑟𝑟	𝑦𝑦𝜃𝜃
!
#
$
!
#
= ! ! 𝑟𝑟% cos! 𝜃𝜃 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟	𝜃𝜃	𝑦𝑦𝑟𝑟	𝑦𝑦𝜃𝜃
!
#
$
!
#
= !
𝑟𝑟&
5 #
!
cos! 𝜃𝜃 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟	𝜃𝜃
$
!
#
𝑦𝑦𝜃𝜃 =
32
5
! cos! 𝜃𝜃 𝑦𝑦 −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝜃𝜃
$
!
#
= −
32
5
cos' 𝜃𝜃
3
	
#
$
!
=	−
32
5
0 −
1
3
=
32
15
.
42 CÁLCULO VETORIAL
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RESUMINDO
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu 
mesmo tudinho? Agora, só para termos certeza de 
que você realmente entendeu o tema de estudo 
deste capítulo, vamos resumir tudo o que vimos. 
Você deve ter aprendido que as integrais simples 
nos fornecem a área sob uma curva, as integrais 
duplas nos fornecem o volume de um sólido. 
Você também deve ter aprendido que também 
é possível determinar a área calculando uma 
integral dupla, basta integrar o elemento de área. 
Você deve ter aprendido como se calcula integrais 
duplas em regiões retangulares e em regiões 
não retangulares, e que temos duas possíveis 
regiões não retangulares possíveis para o cálculo 
de integrais duplas. Além disso, você deve ter 
aprendido que algumas funções são complicadas 
demais para realizar o cálculo da integral dupla 
em coordenadas cartesianas e que, nesses casos, 
é possível utilizarum sistema de coordenadas 
polares e simplificar o problema.
43CÁLCULO VETORIAL
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 1
Integrais triplas
OBJETIVO
Neste capítulo, vamos realizar o cálculo de 
integrais triplas. As integrais triplas são de grande 
valia quando precisamos determinar a massa de 
um determinado sólido, desde que conheçamos 
a função de densidade, além disso, é possível 
determinar o volume, realizando a integração de 
um elemento de volume. E então? Motivado para 
desenvolver essa competência? Então, vamos lá. 
Avante!
Introdução
A extensão da integral dupla para a tripla é tão natural 
quanto a extensão da integral simples para a integral dupla. O tipo 
mais simples de domínio de integração aqui é o paralelepípedo 
retangular limitado pelos planos x = a, x = b, y = c, y = d, z = e e z = f.
Seja ƒ uma função real de três variáveis contínua no 
paralelepípedo retangular S. Uma partição de S é formada ao 
dividirmos esse sólido em caixas retangulares, por meio de planos 
paralelos aos planos coordenados, como mostra a Figura 25.
Figura 25 – Paralelepípedo retangular dividido em pequenas caixas retangulares
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
44 CÁLCULO VETORIAL
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Vamos considerar que a partição da superfície S gere N 
caixas, e que ΔVn seja o volume na n-ésima caixa. Tomando um 
ponto arbitrário (Xn, Yn, Zn) nessa caixa, temos:
	" 𝑓𝑓 𝑥𝑥! , 𝑦𝑦! , 𝑧𝑧! Δ𝑉𝑉!
"
!#$
																																																																	 28
é uma soma de Riemann de ƒ associada a uma partição de S.
Se D = |ΔVn| denota o volume da maior das caixas de S, 
definimos
	"∫ "𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim
!→	$
/ 𝑓𝑓 𝑥𝑥% , 𝑦𝑦% , 𝑧𝑧%
&
%'(
Δ𝑑𝑑% 																																 29
desde que o limite exista, como sendo a integral tripla de ƒ 
sobre o paralelepípedo S.
IMPORTANTE
O significado físico de uma integral tripla é o de 
massa, quando a função ƒ(x, y , z) representa uma 
densidade sobre a superfície S. Nesse caso,
𝑚𝑚 = #∫ #𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑
é a massa total do sólido S.
Seguindo os passos da integral dupla, a forma prática 
de calcular integrais triplas é utilizando integrais iteradas em 
conformidade com a extensão natural do Teorema de Fubini.
Teorema de Fubini para integrais triplas sobre 
paralelepípedos: Se 𝑓𝑓: 𝑉𝑉𝑉𝑉ℝ! → ℝ é uma função contínua definida 
em um conjunto aberto que contém um bloco retangular S = 
[a,b] x [c,d] x [e,f], então (STEWART, 2010):
	 "∫ "𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑
!
= " " " 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥	𝑑𝑑𝑦𝑦	𝑑𝑑𝑧𝑧
"
#
$
%
&
'
																								 30
45CÁLCULO VETORIAL
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IMPORTANTE
Assim como integrais duplas em regiões 
retangulares, aqui também podemos calcular a 
integral utilizando qualquer uma das permutações 
de elemento de volume, desde que sejam tomados 
os devidos cuidados com os limites de integração, 
ou seja,
! ! ! 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧
!
"
#
$
%
&
= ! ! ! 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑧𝑧
#
$
!
"
%
&
= ! ! ! 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑧𝑧𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥
%
&
#
$
!
"
= ⋯
EXEMPLO:
Calcule !∫ !𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑
!
	 em que S = [0,1] x [0,1] x [0,1] e 
ƒ(x, y, z) = xyz .
Solução: 
!∫ !𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑
!
= ! ! ! 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧	𝑑𝑑𝑥𝑥	𝑑𝑑𝑦𝑦	𝑑𝑑𝑧𝑧
"
#
"
#
"
#
= ! !
𝑥𝑥$
2
#
"
𝑦𝑦𝑧𝑧	𝑑𝑑𝑦𝑦	𝑑𝑑𝑧𝑧
"
#
"
#
= ! !
𝑦𝑦𝑧𝑧
2
	𝑑𝑑𝑦𝑦	𝑑𝑑𝑧𝑧
"
#
"
#
= !
1
2
	
𝑦𝑦$
2
#
"
𝑧𝑧	𝑑𝑑𝑧𝑧	
"
#
= !
1
4
𝑧𝑧	𝑑𝑑𝑧𝑧
"
#
=
𝑧𝑧$
8
#
"
=
1
8
.
EXEMPLO:
Calcule !∫ !𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑
!
 se S = [0,1] x [-1,1] x [1,2] e ƒ(x, y, z) 
= xexy - zx2.
Solução: 
46 CÁLCULO VETORIAL
U
ni
da
de
 1
Note que a integral em x é mais complicada, aqui é 
conveniente realizar primeiro a integração em y e em z e só 
depois em x,
!∫ !𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑
!
= ! ! ! 𝑥𝑥𝑒𝑒"# − 𝑧𝑧𝑥𝑥$ 𝑑𝑑𝑦𝑦	𝑑𝑑𝑧𝑧	𝑑𝑑𝑥𝑥
%
&%
$
%
%
'
= ! ! 𝑒𝑒"# − 𝑧𝑧𝑥𝑥$𝑦𝑦 &%% 𝑑𝑑𝑧𝑧	𝑑𝑑𝑥𝑥
$
%
%
'
= ! ! 𝑒𝑒" − 𝑧𝑧𝑥𝑥$ − 𝑒𝑒&" + 𝑧𝑧𝑥𝑥$ 𝑑𝑑𝑧𝑧	𝑑𝑑𝑥𝑥
$
%
%
'
= ! ! 𝑒𝑒" − 𝑒𝑒&" − 2𝑧𝑧𝑥𝑥$ 𝑑𝑑𝑧𝑧	𝑑𝑑𝑥𝑥
$
%
%
'
= ! 𝑧𝑧𝑒𝑒" − 𝑧𝑧𝑒𝑒&" − 𝑧𝑧$𝑥𝑥$ %$	𝑑𝑑𝑥𝑥
%
'
= ! 2𝑒𝑒" − 2𝑒𝑒&" − 4𝑥𝑥$ − 𝑒𝑒" − 𝑒𝑒&" − 𝑥𝑥$ 𝑑𝑑𝑥𝑥
%
'
= ! 𝑒𝑒" − 𝑒𝑒&" − 3𝑥𝑥$ 𝑑𝑑𝑥𝑥
%
'
= 𝑒𝑒" + 𝑒𝑒&" − 𝑥𝑥( '%
= 𝑒𝑒 + 𝑒𝑒&% − 1 − 1 + 1 − 0 = 𝑒𝑒 + 𝑒𝑒&% − 3.
Extensão da integral tripla
Seja W uma região de ℝ! , tal que, W ∈ S, em que S é um 
paralelepípedo. Se 𝑓𝑓:𝑊𝑊 → ℝ é uma função contínua, definimos 
𝐹𝐹: 𝑆𝑆 → ℝ por (STEWART, 2010):
	𝐹𝐹 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 = 	 (
	𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 , 𝑠𝑠𝑠𝑠	 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 	𝜖𝜖	𝑊𝑊
0, 𝑠𝑠𝑠𝑠	 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 	𝜖𝜖	𝑆𝑆 −𝑊𝑊 .																													 31
Assim, se F é integrável sobre S, definimos a integral tripla 
de ƒ sobre W como sendo:
	 "∫ "𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑
!
= "∫ "𝐹𝐹 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑
"
																																				 32
Nesse caso, dizemos que ƒ é integrável sobre W.
47CÁLCULO VETORIAL
U
ni
da
de
 1
IMPORTANTE
A integral não depende da escolha do 
paralelepípedo S.
EXEMPLO:
Calcule a massa do sólido 𝑊𝑊 = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝜖𝜖	ℝ!	 	0 ≤ 𝑥𝑥 ≤
𝑦𝑦
3 , 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 9, 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑦𝑦
" − 9𝑥𝑥"/
𝑊𝑊 = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝜖𝜖	ℝ!	 	0 ≤ 𝑥𝑥 ≤
𝑦𝑦
3 , 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 9, 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑦𝑦
" − 9𝑥𝑥"/, cuja densidade é dada pela função .
Solução: 
𝑚𝑚 = # # # 𝑘𝑘𝑘𝑘
!!"#$!
%
𝑑𝑑𝑘𝑘	𝑑𝑑𝑑𝑑	𝑑𝑑𝑑𝑑
!
&
%
#
%
= 𝑘𝑘# #
𝑘𝑘'
2 %
!!"#$!
𝑑𝑑𝑑𝑑	𝑑𝑑𝑑𝑑
!
&
%
#
%
= 𝑘𝑘# #
𝑑𝑑' − 9𝑑𝑑'
2
!
&
%
#
%
𝑑𝑑𝑑𝑑	𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘#
𝑑𝑑'𝑑𝑑
2
−
3𝑑𝑑&
2 %
!
&#
%
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘#
𝑑𝑑&
6
−
𝑑𝑑&
18
𝑑𝑑𝑑𝑑
#
%
= 𝑘𝑘#
1
9
𝑑𝑑&𝑑𝑑𝑑𝑑
#
%
=
𝑘𝑘𝑑𝑑(
36 %
#
=
𝑘𝑘6561
36
= 𝑘𝑘
729
4
.
Podemos, ainda, calcular o volume de um sólido, quando 
fazemos o caso especial, em que ƒ(x,y,z) = 1, então:
	𝑉𝑉 = $∫ $𝑑𝑑 𝑉𝑉																																																																		 33
EXEMPLO:
Calcule o volume do sólido 𝑊𝑊 = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝜖𝜖	ℝ!	 − 5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5,− 25 − 𝑥𝑥" ≤ 𝑦𝑦 ≤ 25 − 𝑥𝑥", 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 8 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦0
𝑊𝑊 = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝜖𝜖	ℝ!	 − 5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5,− 25 − 𝑥𝑥" ≤ 𝑦𝑦 ≤ 25 − 𝑥𝑥", 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 8 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦0𝑊𝑊 = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝜖𝜖	ℝ!	 − 5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5,− 25 − 𝑥𝑥" ≤ 𝑦𝑦 ≤ 25 − 𝑥𝑥", 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 8 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦0 .
Solução: 
O volume do sólido é a integral tripla de dV,
48 CÁLCULO VETORIAL
U
ni
da
de
 1
𝑉𝑉 = # # # 𝑑𝑑𝑑𝑑	𝑑𝑑𝑑𝑑	𝑑𝑑𝑑𝑑
!"#"$
%
&'"#!
" &'"#!
'
"'
= # # 8 − 𝑑𝑑 − 𝑑𝑑 	𝑑𝑑𝑑𝑑	𝑑𝑑𝑑𝑑
&'"#!
" &'"#!
'
"'
=	# 8𝑑𝑑 − 𝑑𝑑𝑑𝑑 −
𝑑𝑑&
2 " &'"#!
&'"#!
𝑑𝑑𝑑𝑑
'
"'
= # 8 25 − 𝑑𝑑& − 𝑑𝑑 25 − 𝑑𝑑& −
25 − 𝑑𝑑&
2
− −8 25 − 𝑑𝑑& + 𝑑𝑑 25 − 𝑑𝑑& −
25 − 𝑑𝑑&
2
'
"'
𝑑𝑑𝑑𝑑
= # 16 25 − 𝑑𝑑& − 2𝑑𝑑 25 − 𝑑𝑑& 𝑑𝑑𝑑𝑑
'
"'
= 2# 8 − 𝑑𝑑 25 − 𝑑𝑑&
'
"'
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 200𝜋𝜋.
Integrais triplas em coordenadas 
cilíndricas
As coordenadas cilíndricas (r, θ, z), do ponto 𝑃𝑃 = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 	𝜖𝜖	ℝ!, 
são definidas pelas relações:
x = rcosθ, y = rsenθ, z = z, (33)
em que r é a distância de 0 à projeção do ponto P no plano 
XOY, e θ é o ângulo entre r e o eixo x, e temos as seguintes 
relações:
	𝑟𝑟 = 𝑥𝑥! + 𝑦𝑦!, 𝜃𝜃 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑦𝑦
𝑥𝑥
	𝑒𝑒	𝑧𝑧 = 𝑧𝑧																											 34
que definem a representação do ponto P = (x, y, z) em 
coordenadas cilíndricas (GUIDORIZZI, 2002).
As coordenadas cilíndricas são utilizadas no contexto de 
integrais triplas quando se quer integrais sobre regiões do tipo:
E = {(x,y,z)|(x,y) ∈ D, u1(x,y) ≤ z ≤ u2(x,y)}, (35)
em que D tem representação conveniente em coordenadas 
polares:
D = {(r,θ)|α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)} (36)
49CÁLCULO VETORIAL
U
ni
da
de
 1
Veja, na Figura 26, a representação dessa região no espaço.
Figura 26 – Superfície delimitada pelas regiões das Equações (35) e (36)
𝑥𝑥
𝑦𝑦𝑧𝑧
𝑧𝑧 = 𝑢𝑢!(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)
𝑧𝑧 = 𝑢𝑢"(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)
D
ℎ!(𝜃𝜃)
ℎ!(𝜃𝜃)
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Assim, temos:
	 "∫ "𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑
!
= " " " 𝑓𝑓 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟	𝜃𝜃, 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟	𝜃𝜃, 𝑧𝑧 	𝑟𝑟	𝑑𝑑𝑧𝑧	𝑑𝑑𝑟𝑟	𝑑𝑑𝜃𝜃
"! #$%&	(
"" #&)*	(
+! (
+" (
	
,
-
											 37
EXEMPLO:
Um sólido E está contido no cilindro x2 + y2 = 1, abaixo do 
plano z = 4 e acima do paraboloide z = 1 - x2 - y2. Determine a massa 
de E, sabendo que a densidade é dada por 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥! + 𝑦𝑦! , 
em que é uma constante de proporção.
Solução: O sólido geométrico em questão está esboçado na 
Figura 27 e possui um formato que lembra uma lata de cerveja.
50 CÁLCULO VETORIAL
U
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da
de
 1
Aqui queremos calcular a massa, para isso vamos utilizar 
o sistema de coordenadas cilíndricas, em que a região D é a 
circunferência unitária, logo:
D = {(r,θ)|0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π}
Além disso, passando de coordenadas cartesianas para 
coordenadas cilíndricas os limites de integração de z, temos, 
1 - x2 - y2 ≤ z ≤ 4 → 1 - r2 ≤ z ≤ 4 e a função também deve ser 
reescrita em coordenadas cilíndricas:
ƒ (rcosθ, rsenθ, z) = kr
Então, temos que resolver a seguinte integral:
!∫ !𝑘𝑘 𝑥𝑥! + 𝑦𝑦!𝑑𝑑𝑑𝑑
"
= ! ! ! 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑟𝑟	𝑑𝑑𝑘𝑘	𝑑𝑑𝑑𝑑
#
$%&!
$
'
!(
'
= 𝑘𝑘! ! ! 𝑘𝑘!	𝑑𝑑𝑟𝑟	𝑑𝑑𝑘𝑘	𝑑𝑑𝑑𝑑
#
$%&!
$
'
!(
'
= 𝑘𝑘! ! 𝑘𝑘! 𝑟𝑟 $%&!
#
$
'
!(
'
𝑑𝑑𝑘𝑘	𝑑𝑑𝑑𝑑
= 	𝑘𝑘! ! 𝑘𝑘! 3 + 𝑘𝑘! 𝑑𝑑𝑘𝑘	𝑑𝑑𝑑𝑑
$
'
!(
'
= 𝑘𝑘! ! 3𝑘𝑘! + 𝑘𝑘# 𝑑𝑑𝑘𝑘	𝑑𝑑𝑑𝑑
$
'
!(
'
= 	𝑘𝑘! 𝑘𝑘) +
𝑘𝑘*
5
'
$
𝑑𝑑𝑑𝑑
!(
'
= 	𝑘𝑘! 1 +
1
5 𝑑𝑑𝑑𝑑
!(
'
=
𝑘𝑘6
5 	 𝑑𝑑 '
!( =
12𝑘𝑘𝑘𝑘
5 .
Figura 27 – Lata de cerveja
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑧𝑧
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
51CÁLCULO VETORIAL
U
ni
da
de
 1
Integrais triplas em coordenadas 
esféricas
As coordenadas esféricas (r,θ, Φ) de um ponto P = (x,y,z) no 
espaço são indicadas pelas equações: 
x = rsenΦ cosθ, y = rsenΦ senΦ, z = rcosΦ, (38)
em que r é a distância entre a origem e o ponto P, θ é 
definido do mesmo modo que em coordenadas cilíndricas, e 
Φ é o ângulo entre o eixo z positivo e o seguimento de reta r 
(STEWART, 2010).
No sistema de coordenadas esféricas, o correspondente à 
caixa retangular é uma cunha esférica:
E = {(r,θ,Φ)| a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β, c ≤ Φ ≤ d}. (39)
Figura 28 – Esfera
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Em termos de integrais triplas, utilizamos:
!∫ !𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑
!
= ! ! ! 𝑓𝑓 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟"𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟	𝑑𝑑𝑟𝑟	𝑑𝑑𝑟𝑟	𝑑𝑑𝑟𝑟
#
$
.
%
&
'
(
	 40
52 CÁLCULO VETORIAL
U
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da
de
 1
Podemos estender a Equação (40) para regiões mais gerais 
com:
																	𝐸𝐸 = 𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙 	 	𝛼𝛼 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝛽𝛽, 𝑐𝑐 ≤ 𝜙𝜙 ≤ 𝑑𝑑, 𝑔𝑔! 𝜃𝜃, 𝜙𝜙 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑔𝑔" 𝜃𝜃 	𝜙𝜙 }																						 41
IMPORTANTE
Normalmente, as coordenadas esféricas são 
utilizadas nas integrais triplas quando superfícies 
como cones e esferas formam a fronteira da região 
de integração.
EXEMPLO:
Calcule !∫ #𝑒𝑒 !!"#!"$!
"
! 𝑑𝑑𝑑𝑑	, em que é uma bola unitária E = 
{(x,y,z)|x2 + y2 + z2 ≤ 1} 
Solução – sendo a fronteira de E uma esfera, utilizaremos 
coordenadas esféricas:
E = {(r,θ,Φ)| 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ Φ ≤ π}.
Além disso, como x2 + y2 + z2 = r2, temos uma forma simples 
para 𝑒𝑒 !!"#!"$!
"
! = 𝑒𝑒%" , daí:
!∫ #𝑒𝑒 !!"#!"$!
"
! 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ! ! ! 𝑒𝑒%#
&
'
()
'
)
'
⋅ 𝑟𝑟(𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠		𝑑𝑑𝑟𝑟	𝑑𝑑𝑑𝑑	𝑑𝑑𝑠𝑠
= ! ! !
𝑒𝑒%
"
𝑑𝑑 𝑟𝑟*
3
&
'
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑	𝑑𝑑𝑠𝑠
()
'
)
'
= ! !
𝑒𝑒%
"
3
'
&
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑑𝑑𝑑𝑑	𝑑𝑑𝑠𝑠
()
'
)
'
= ! !
𝑒𝑒 − 1
3
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑑𝑑𝑑𝑑	𝑑𝑑𝑠𝑠
()
'
)
'
= !
𝑒𝑒 − 1
3
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠 ⋅ 2𝜋𝜋	𝑑𝑑𝑠𝑠
)
'
=
2𝜋𝜋 𝑒𝑒 − 1
3
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 '
) =
2𝜋𝜋 𝑒𝑒 − 1
3
cos 𝜋𝜋 − cos 0 =
4𝜋𝜋 𝑒𝑒 − 1
3
.
53CÁLCULO VETORIAL
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ni
da
de
 1
Mudança de variável
Queremos generalizar mudança de variável (método da 
substituição) de funções de uma variável
	" 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥
! "
! #
= " 𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑡𝑡 ⋅ 𝑔𝑔′ 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡
"
#
, 																												 42
para funções de várias variáveis.
Essa generalização é dada por um importante teorema, 
conhecido como Teorema de Mudança de Variável. Antes de 
enunciar tal resultado, precisamos de algumas definições.
DEFINIÇÃO
Dada a transformação u = u(x,y) e υ = υ (x,y) em 
que u e υ bem como suas derivadas parciais são 
contínuas em x e y, a expressão:
	𝐽𝐽 	
𝑢𝑢, 𝑣𝑣
𝑥𝑥, 𝑦𝑦 =
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑣𝑣
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑣𝑣
𝜕𝜕𝑦𝑦
=
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑥𝑥 ⋅
𝜕𝜕𝑣𝑣
𝜕𝜕𝑦𝑦 −
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑦𝑦 ⋅
𝜕𝜕𝑣𝑣
𝜕𝜕𝑥𝑥 																																 43
é chamado de Jacobiano de u e υ em relação a x e 
y (STEWART, 2010).
EXEMPLO:
Se x = rcosθ e y = rsenθ, calcule 𝐽𝐽
𝑥𝑥, 𝑦𝑦
𝑟𝑟, 𝜃𝜃 .
54 CÁLCULO VETORIAL
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de
 1
Solução:
𝐽𝐽
𝑥𝑥, 𝑦𝑦
𝑟𝑟, 𝜃𝜃
=
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑟𝑟
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝜃𝜃
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑟𝑟
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝜃𝜃
=
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑟𝑟
⋅
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝜃𝜃
−
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝜃𝜃
⋅
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑟𝑟
	
=
𝜕𝜕 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃
𝜕𝜕𝑟𝑟
⋅
𝜕𝜕 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃
𝜕𝜕𝜃𝜃
−
𝜕𝜕 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃
𝜕𝜕𝜃𝜃
⋅
𝜕𝜕 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃
𝜕𝜕𝑟𝑟
= 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃 ⋅ 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃 + 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃 ⋅ 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟!𝜃𝜃 + 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟!𝜃𝜃
= 𝑟𝑟 cos! 𝜃𝜃 + 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟!𝜃𝜃 = 𝑟𝑟.
A definição é análoga se u = u(x,y,z), υ = υ(x,y,z) e w = w(x,y,z) 
é uma transformação do espaço. Nesse caso,
	𝐽𝐽
𝑢𝑢, 𝑣𝑣, 𝑤𝑤
𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧
=
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑧𝑧
𝜕𝜕𝑣𝑣
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑣𝑣
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑣𝑣
𝜕𝜕𝑧𝑧
𝜕𝜕𝑤𝑤
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑤𝑤
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑤𝑤
𝜕𝜕𝑧𝑧
.																																													 44
O jacobiano tem uma aplicação muito importante no 
problema de mudança de variáveis em integrais múltiplas, no 
que diz respeito a mudança dos elementos de área e volume dA 
e dV (GUIDORIZZI, 2002).
Teorema: dada a transformação x = x(u,υ,w) e y = y(u,υ) no 
plano, tal que 𝐽𝐽
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦
𝑢𝑢 + 𝑣𝑣
≠ 0, então:
	𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐽𝐽
𝑥𝑥, 𝑦𝑦
𝑢𝑢, 𝑣𝑣 	𝑑𝑑𝑢𝑢	𝑑𝑑𝑣𝑣.																																																						 45
Se tivermos a transformação x = x(u,υ,w), y = y(u,υ,w) e z = z 
(u,υ,w) no espaço, tal que, 𝐽𝐽
𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧
𝑢𝑢, 𝑣𝑣, 𝑤𝑤 ≠ 0
, então
55CÁLCULO VETORIAL
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ni
da
de
 1
	𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐽𝐽
𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧
𝑢𝑢, 𝑣𝑣, 𝑤𝑤 	𝑑𝑑𝑢𝑢	𝑑𝑑𝑣𝑣	𝑑𝑑𝑤𝑤.																																												 46
RESUMINDO
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu 
mesmo tudinho? Agora, só para termos certeza de 
que você realmente entendeu o tema de estudo 
deste capítulo, vamos resumir tudo o que vimos. 
Você deve ter aprendido que as integrais triplas 
são de grande importância para calcular a massa 
de um sólido, desde que se conheça a função 
de densidade, além disso, as integrais triplas 
podem ser utilizadas para determinar um volume, 
bastando, para isso, integrar o elemento de volume. 
Você deve ter aprendido que a integral tripla mais 
simples é calculada quando a função está limitada 
por uma caixa retangular, mas também é possível 
calcular integrais triplas de funções limitadas por 
outras funções. Você deve ter aprendido que 
em algumas situações a integral tripla pode ser 
complicada demais de resolver em coordenadas 
cartesianas e que, dependendo da simetria do 
problema, podemos realizar uma mudança de 
coordenada para coordenadas cilíndricas ou 
esféricas, o que torna nosso problema bem mais 
fácil de ser resolvido.
56 CÁLCULO VETORIAL
U
ni
da
de
 1
RE
FE
RÊ
N
CI
A
S GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2002.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São 
Paulo: Harbra, 1994.
REIS, G. L. dos; SILVA, V. V. da. Geometria analítica. 2. ed. Rio de 
Janeiro: LTC,1996.
STEWART, J. Cálculo. 6. ed. Boston: Cengage Learning, 
2010.
THOMAS, G. B. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2012.
	Sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas
	Coordenadas cartesianas
	Coordenadas polares
	Coordenadas cilíndricas
	Coordenadas esféricas
	Relação entre as coordenadas polares, cilíndricas e esféricas 
	Trigonometria
	Funções trigonométricas
	Relação entre coordenadas cartesianas e coordenadas polares
	Relação entre coordenadas cartesianas e coordenadas cilíndricas
	Relação entre coordenadas cartesianas e coordenadas esféricas
	Integrais duplas
	Integral
	Integrais duplas em regiões retangulares
	Integrais duplas em regiões não retangulares
	Integrais duplas em coordenadas polares
	Integrais triplas
	Introdução
	Extensão da integral tripla
	Integrais triplas em coordenadas cilíndricas
	Integrais triplas em coordenadas esféricas
	Mudança de variável