Mec_Sol_Revisão AV3

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Mecânica dos Sólidos
Prof. MSc. Paulo Henrique Gomes da Rocha
Revisão AV3
Matéria da Prova
Unidade 3 – Geometria das masssas
- Momento de inércia (Ix e Iy)
- Raio de giração
- Produto de inércia
- Inércia para eixos rotacionados
- Inércias e ângulos principais
Unidade 4 – Tensão
- Diagrama tensão x deformação
- Fator de segurança
- Verificação de segurança e dimensionamento de 
peças submetidas à forças axiais
k
x
=
I
x
A
k
y
=
I
y
A
k
z
=
I
z
A
ou
I
x
= k
x
2
A I
y
= k
y
2
A I
z
= k
z
2
A
O raio de giração de uma área plana possui a unidade do 
comprimento sendo um valor muito usado para o projeto 
de pilares:
Raio de Giração de uma Área
Sabe-se que uma coluna costuma sofrer flambagem
em torno de seu eixo de menor momento de inércia
(menor raio de giração). Para a peça abaixo,
verifique se a tendência de flambagem deverá
ocorrer em torno do eixo x ou eixo y centroidal.
Caso 1 – Eixo x
𝐼𝑥 = 𝐼1𝑥 + 𝐼2𝑥 + 𝐼3𝑥
𝐼1𝑥 = 𝐼3𝑥
𝐼𝑥 = 2 · 𝐼1𝑥 + 𝐼2𝑥
𝐼𝑥 = 2 ·
200 · 103
12
+ 200 · 10 · 85 − 5 2 +
10 · 1503
12
𝐼𝑥 =25633333,33 + 2812500
𝐼𝑥 = 28445833,33 𝑚𝑚4 𝑜𝑢 2,844.10−5 𝑚4
Caso 2 – Eixo y
𝐼𝑦 = 𝐼1𝑦 + 𝐼2𝑦 + 𝐼3𝑦
𝐼1𝑦 = 𝐼3𝑦
𝐼𝑦 = 2 · 𝐼1𝑦 + 𝐼2𝑦
𝐼𝑦 = 2.
10 · 200³
12
+
150 · 10³
12
𝐼𝑦 =13333333,33 + 12500
𝐼𝑦 = 13345833,33 𝑚𝑚4 𝑜𝑢 1,334 .10−5 𝑚4
A coluna apresenta uma maior tendência de flambagem
em torno do eixo y, visto que este apresenta um menor
valor de momento de inércia e logo um menor valor de
raio de giração.
Determine o produto de inércia da área mostrada em
relação aos eixos x e y que passam pelo centroide.
𝐼𝑥𝑦 = 100.20. (−60). (−410) + 20.840.0.0 + 100.20.60.410
𝐼𝑥𝑦 = 49200000 + 0 + 49200000 = 98400000
𝐼𝑥𝑦 = 98,4 . 106 𝑚𝑚4𝑜𝑢 98,4 . 10−6𝑚4
Determine os momentos de inércia e o produto de
inércia da área mostrada em relação aos eixos u e v.
Além disso, prove que os eixos principais de inércia são
os eixos x e y.
Cálculo das Inércias Ix e Iy
𝐼𝑥 =
300.6003
12
= 5,4.10−3 𝑚4
𝐼𝑦 =
600. 3003
12
= 1,35.10−3𝑚4
I
u
=
I
x
+ I
y
2
+
I
x
- I
y
2
cos2q - I
xy
sen2q
I
v
=
I
x
+ I
y
2
-
I
x
- I
y
2
cos2q + I
xy
sen2q
I
uv
=
I
x
- I
y
2
sen 2q + I
xy
cos2q
Cálculo das Inércias Iu e Iv
𝐼𝑢 = 3,375.10−3 + 2,025.10−3. 𝑐𝑜𝑠60° − 0. 𝑠𝑒𝑛60°
𝐼𝑢 = 4,39 . 10−3 𝑚4
𝐼𝑣 = 3,375.10−3 − 2,025.10−3. 𝑐𝑜𝑠60° + 0. 𝑠𝑒𝑛60°
𝐼𝑣 = 2,36 . 10−3 𝑚4
𝐼𝑥 + 𝐼𝑦
2
= 3,375.10−3𝑚4
𝐼𝑥 − 𝐼𝑦
2
= 2,025.10−3𝑚4
Produto de Inércias Iuv
𝐼𝑢𝑣 = 2,025.10−3. 𝑠𝑒𝑛60° − 0. 𝑐𝑜𝑠60°
𝐼𝑢𝑣 = 1,75 .10−3 𝑚4
Ângulo principal
𝑇𝑔 2θ𝑝 =
−𝐼𝑥𝑦
𝐼𝑥 − 𝐼𝑦
2
= 0 ; 2θ𝑝 = 0
θ𝑝1 = 0° 𝑒 θ𝑝2 = 90°
A coluna está submetida a uma força axial de 8KN no seu
topo. Supondo que a seção transversal tenha as dimensões
mostrada na figura, determinar a tensão normal média que
atua sobre a seção a-a. Mostre essa distribuição de tensão
atuando sobre a área da seção transversal.
Avisos
• AV3 se aproxima, estude e não deixe a matéria
acumular. A prova terá 1:40 horas de duração.
Use o tempo com sabedoria.
Obrigado pela presença e até a 
próxima aula!