MecanicaQuantica

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A Mecânica Quântica Ondulatória 
Prof. Émerson F. Cruz 
 
1 - A equação de Schrödinger 
 
Em artigo intitulado “Sobre a Teoria da lei da Distribuição de Energia 
do Espectro Normal”, o renomado cientista Max Planck deu início em 14 
de dezembro de 1900 a uma das maiores , senão a maior, revoluções na 
história da Física.Basicamente, o artigo resolvia um problema que a 
Mecânica Clássica não dava conta de explicar : a distribuição espectral da 
radiação de um corpo negro. Para solucionar o problema , Planck valeu-se 
da Mecânica Estatística e de um artifício (assim se imaginava no início) muito engenhoso: 
dividir a energia em “pacotes” ou quantas de energia. “Pacotes de energia” de intensidade: 
 
 0,1, 2,3....E nhf n= = 
 
Onde h é a famosa constante de Planck e f é a freqüencia da radiação. 
Em 1905 Albert Einstein, explicou o efeito fotoelétrico 
interpretando a luz como um feixe de partículas: os fótons. Ainda em 1905 o 
mesmo brilhante cientista postulou as leis da Teoria da Relatividade 
Restrita culminando na famosa expressão E=mc2. 
 
No ano de 1924 o francês Louis De Broglie, especulando sobre o fato 
de que ondas, como a luz, em determinados fenômenos podem se 
comportar como partículas, propôs uma interpretação para fenômenos 
onde partículas se comportavam como ondas, como o fenômeno da 
difração de elétrons. Combinado a expressão para a energia dada por Max Planck com a 
proposta por Einstein, De Broglie sugeriu que toda partícula possui um comprimento de 
onda associado ao seu momentum linear de acordo com a relação: 
 
hp λ= 
 
Assim, se elementos como partículas estão associados de alguma 
forma a uma onda, surge imediatamente à pergunta: qual a função de 
onda que representa este vínculo? 
 Em 1926 o Físico austríaco Erwin Schrödinger propôs uma 
equação diferencial cuja solução proporciona a tal função de onda. Para 
uma dimensão esta equação é dada por: 
 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 , ,, ,2
x t x t
V x t x t i
m tx
∂ Ψ ∂Ψ− + Ψ = ∂∂
= = 
 
 
2 – Operadores, valores esperados e Princípio da Incerteza 
 
Com o postulado de sua equação diferencial Schrödinger cria uma teoria 
ondulatória para a Mecânica Quântica. Sob a luz dessa teoria, toda grandeza física é 
representada por um tal operador aplicado à função de onda determinada pela solução da 
equação de Schrödinger. 
 A tabela abaixo reúne as grandezas físicas básicas na Mecânica e seus respectivos 
operadores: 
 
Grandeza 
Física Operador 
Posição 
(x) x 
Momentum linear 
(p) 
i
x
∂− ∂= 
Energia 
(E) 
i
t
∂
∂= 
 
 
A Mecânica Quântica já dava seus primeiros passos como uma teoria 
físico-matemática consistente, mas ainda existiam alguns “cabos 
soltos”, como, por exemplo, a interpretação física da função de onda. 
Em 1926 Max Born propõe uma interpretação para a função de 
onda: uma densidade de probabilidade. 
 
 Na verdade, por ser de natureza complexa, a função de onda não poderia representar 
uma densidade de probabilidade, mas o produto dela por seu complexo conjugado sim! 
Logo, dada uma distribuição da probabilidade “P” em função da variável “x”, temos: 
 
( )P P x= 
então: 
( ) ( )dPx dP x dx
dx
ρ ρ= ⇒ = 
logo: 
b
a
P dxρ= ∫ 
 
utilizando a interpretação probabilística de Max Born, temos: 
 
( ) 2 *xρ ≡ Ψ = Ψ Ψ 
 
 
 
o que resulta em: 
*
b
a
P dx= Ψ Ψ∫ 
 
 
 A partir deste momento não faz mais sentido pensarmos em valores determinados 
das grandezas físicas. Mas sim em valores médios ou esperados. 
 Para uma dada grandeza física “A”, representada pelo seu correspondente operador, 
o valor esperado desta grandeza em dado intervalo [a,b] é dado por: 
 
*
b
a
A A dx= Ψ Ψ∫ 
 
Um operador importante, como veremos adiante, é: 
 
A A AΔ ≡ − 
 
É fácil demonstrar que o valor esperado de ( )2AΔ é dado por: 
 
( )2 2`2`A A AΔ = − 
 
Assim, a Mecânica Quântica Ondulatória emerge como uma teoria física matematicamente 
consistente, mas com uma proposta física revolucionária: a interpretação probabilística da 
natureza! 
Mas as surpresas não pararam por aí. Em 1927 o físico alemão Werner 
Heisenberg conclui que a interpretação probabilista leva ao que hoje conhecemos 
como Princípio da Incerteza: 
 
2
x pΔ Δ ≥ = 
 
2
E tΔ Δ ≥ = 
 
 
 
 
 
3 - A equação de Schrödinger independente do tempo 
 
 Para nos habituarmos com a Mecânica Quântica de Schrödinger é necessário o 
exercício dos procedimentos matemáticos através de situações clássicas em que a função de 
onda pode ser obtida sem maiores problemas. As dificuldades geralmente estão associadas 
ao tipo de potencial que a partícula está submetida. Ou seja, quanto mais elaborado for o 
potencial, maior a dificuldade matemática em se encontrar a função de onda. 
 Um bom alívio no trabalho matemático acontece quando o potencial é independente 
do tempo. Outra situação favorável ocorre quando a função de onda pode ser fatorada em 
dois termos: um dependente exclusivamente da posição e outro exclusivamente dependente 
do tempo. Nessas situações a equação original de Schrödinger se transforma em duas 
equações diferenciais independentes. 
Vejamos, seja a equação de Scrödinger para uma dimensão: 
 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 , ,, ,2
x t x t
V x t x t i
m tx
∂ Ψ ∂Ψ− + Ψ = ∂∂
= = 
 
em muitas situações de interesse podemos fatorar ( ),x tΨ de forma que: 
 
( ) ( ) ( ), .x t x T tϕΨ = 
 
então, retornando à equação de Schrödinger, temos: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
. .
, .
2
x T t x T t
V x t x T t i
m tx
ϕ ϕϕ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ Ψ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦− + = ∂∂
= = 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 , .2
d x dT t
T t V x t x T t i x
m dtdx
ϕ ϕ ϕ− + == = 
 
( ) ( )2
22
d x dT tiV
m T dtdx
ϕ
ϕ− + =
= = 
 
( ) ( ) ( )ln i Et CdT ti dTE i E dt T i Et C T e
T dt T
− += ⇒ = − ⇒ = − + ⇒ =∫ ∫ == = = 
 
assim obtemos duas equações diferenciais independentes: 
 
i EtT Ae−= = 
 
( )22
22
d x
V E
m dx
ϕ ϕ ϕ− + == 
 
onde esta última é conhecida como equação de Schrödinger independente do tempo. 
 
 
4 – Soluções da equação de Schrödinger independente do tempo 
 
Primeiramente vamos nos exercitar solucionando a equação independente do tempo 
em situações clássicas e, assim, gradativamente, nos acostumando com o formalismo da 
Mecânica Quântica. 
Para resolvermos tais exercícios é interessante termos um roteiro, isto é, uma 
seqüência de etapas a serem seguidas, como ilustra a tabela abaixo: 
 
 
 Etapas O que fazer? 
1 
 
Cálculo da função de onda 
Resolver a equação de Schrödinger 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 , ,, ,2
x t x t
V x t x t i
m tx
∂ Ψ ∂Ψ− + Ψ = ∂∂
= =
2 
 
Normalização e cálculo da 
distribuição 
de probabilidades 
* 1dx
∞
−∞
Ψ Ψ =∫ 
3 
Cálculo dos valores esperados e 
 verificação da consistência com o 
Princípio da Incerteza de Heisenberg 
 
*
b
a
A A dx= Ψ Ψ∫ 
 
 Antes de prosseguirmos, vamos considerar mais de perto a equação de Schrödinger 
independente do tempo: 
 
( ) ( ) ( )2 22 2 2 222
d x d x mV E E V
m dx dx
ϕ ϕ ϕϕ− + = ⇒ = − −
=
= 
 
( ) ( )2 2 22 22 onde d x m E Vdx
ϕ α ϕ α= − ≡ −= 
 
vamos admitir que a solução da equação diferencial seja da forma: 
 
xAeβϕ = 
 
então: 
 
2
2
2, 
x xd dA e A e
dx dx
β βϕ ϕβ β= = 
 
retornando à equação diferencial, obtemos: 
 
2 2x xA e Ae iβ ββ α β α= − ⇒ = ± 
ou seja: 
 
i xAe αϕ ±= 
 
( )1 2i m E V x
Aeϕ ± −= = 
 
Isso nos permite duas possibilidades: Se ( ) 0E V− ≥ temos soluções oscilatórias do tipo: 
 
1
2i m E V x
Aeϕ ± −= = 
 
No entanto, se ( ) 0E V− < temos soluções exponenciais do tipo: 
 
1
2m E V x
Aeϕ ± −= = 
 
A solução geral da solução oscilatória pode ser obtidacom uma combinação linear 
das soluções particulares. Ou seja: 
 
i x i xAe Beα αϕ −= + 
 
utilizando a relação de De Moivre: 
 
cos senie iθ θ θ± = ± 
 
temos: 
 
( ) ( ) cos seni x i xAe Be C x D xα αϕ ϕ α α−= + ⇒ = + 
 
assim, resumindo: 
 
1 2
0 1 (solução exponencial)
0 (solução oscilatória)
1 1 cos 2 sen 2
k m E V x
E V k
Ae E V k i
C mE x D mE x
ϕ
ϕ
± −
⎧ ⎫− ≤ → =⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= − > → =⎨ ⎬⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
=
= =
 
 
Note que ϕ (x) foi determinada a menos de sua amplitude “A” que poderá ser 
determinada no processo de normalização. 
 
4.1 - Poço Quadrado Infinito – O problema da partícula em uma caixa 
 
 Seja uma partícula de massa m que pode se mover livremente (V=0) no interior de 
uma caixa de largura a e de paredes infinitas (V∞). 
 
 
 Nossos objetivos são: 
a) Obter a função de onda que obedeça as condições de contorno 
b) Calcular o valor esperado da posição e do momentum linear 
c) Obter a incerteza da posição e do momentum linear e verificar a concordância com 
o princípio da Incerteza de Heisenberg 
Ao trabalho! 
 
a)Obtenção da função de onda 
 
Nas regiões externas ao poço: 
 
( ) 0xϕ = 
 
Na região interna do poço V=0 , ou seja , E>V, assim temos soluções oscilatórias no 
interior do poço. 
 
1 1cos 2 sen 2A mE x B mE xϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = 
 
impondo a condição de contorno de que nas paredes e regiões externas da caixa a 
probabilidade de se encontrar a partícula é nula, podemos determinar A e B. Assim: 
 
i) ( )0 0ϕ = 
 
( ) ( ) ( ) ( )1 10 cos 2 0 sen 2 0 0A mE B mE Aϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = 
 
0A = 
 
ii) ( ) 0aϕ = 
 
( ) ( )1sen 2 0a B mE aϕ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠= 
 
( ) ( )1en 2 0 2 1, 2,3,.. .as mE a mE n nπ⎛ ⎞ = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠= = 
 
Observe que esta segunda condição de contorno, ( ) 0aϕ = , nos oferece um importante 
resultado com relação a energia da partícula: ela é quantizada! 
 
2 2 2
2 .2n
nE
ma
π= = 
 
Assim finalmente obtemos a forma da função de onda que obedece todas as condições de 
contorno, exceto uma ... 
 
( ) 1sen 2x B mE xϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠= 
 
Para determinarmos B, devemos invocar a interpretação probabilística proposta por Max 
Born: 
 
*
b
a
P dxϕϕ= ∫ 
Logo se integrarmos *ϕ ϕ em toda região no interior da caixa, obtemos a probabilidade se 
de encontrar a partícula no interior da caixa que é, obviamente, 100%. Ou seja: 
 
2 2
0
1 2 1
a
B sen mE x dx⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ = 
 
realizando a integral, obtemos: 
 
1 12 2
2
0 0
2
u mE x du mEdx dx du
mE
x u
ax a u mE
= ⇒ = ⇒ =
= → =
= → =
=
= =
=
 
 
( )
2
2
2
0
1
2
a mE
B sen u du
mE
=∫== = 
 
utilizando a relação trigonométrica: 
 
( )2 1 cos 2
2
a
sen a
−= 
temos: 
 
( )
2 22
2
00
2 2 21 cos 2 1
22 2
a amE mEB sen u mEu du B u
mE
⎡ ⎤− = ⇒ − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫
= ==
= 
 
2
2 2
2 22
2
asen mE
a mEB mE
⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=
= = 
 
( )2 2 2 0asen mE sen nπ⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠= 
 
2 2 22a mEB mE == = 
 
Desta forma, a amplitude B é determinada: 
 
2B
a
= ± 
 
tomando o valor positivo para B ( )xϕ pode ser escrita de forma completa: 
 
( ) 2 1sen 2x mE x
a
ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠= 
ou 
( ) 2senn nx xa a
πϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
Tomando o número de onda 2k πλ= , podemos calcular os comprimentos de onda 
permitidos para ( )xϕ : 
2 2n a
a n
π π λλ = ⇒ = 
 
 
 
b)Cálculo do valor esperado da posição e do momentum linear 
 
 Agora que possuímos a função de onda podemos calcular o valor esperado de 
qualquer observável físico. Nessa oportunidade calcularemos o valor esperado da posição e 
do momentum linear. Vejamos: 
 
( ) *b
a
x x dxϕ ϕ= ∫ 
 
 
2
0
2 a nx xsen x dx
a a
π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 
 
para n=1 
 
2
0
2 ax xsen x dx
a a
π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 
 
resolvendo a integral através do método por partes 
 
2
0
2
2
1 2 1 21 cos
2 2 2
2
2 4
a
x xsen x dx
a a
u x du dx
x a xdv sen x dx v dx x sen
a a a
x a xv sen
a
π
π π π
π
π
π
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
= → =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫ 
 
2
00
2 2 2
2 4 2 4
a ax ax x x a xx sen sen dx
a a a
π π
π π
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎨ ⎬⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∫ 
 
 
2
00
2 2 2
2
2 2 2
2 4 2 4
2 2 2cos
2 4 4 4
2
4
a ax ax x x a xx sen sen dx
a a a
a a a a a ax sen
a a a
ax
a
π π
π π
π π
π π
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎨ ⎬⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − +⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
 
ou seja: 
2
ax = 
 
Assim, o valor médio das posições ocupadas pela partícula ou equivalentemente o 
valor esperado da posição é o centro da caixa. Claro, intuitivamente, já esperávamos este 
resultado mas o objetivo maior desta empreitada matemática é nos familiarizarmos com as 
etapas e operações físico-matemáticas característica s da Mecânica Quântica. 
Mais adiante vamos calcular a incerteza da posição, assim é útil, já calcularmos o 
valor esperado do quadrado da posição, assim: 
 
2 2 2
0
2
2
2
2
1 2 1 21 cos
2 2 2
2
2 4
a
x x sen x dx
a a
u x du xdx
x a xdv sen x dx v dx x sen
a a a
x a xv sen
a
π
π π π
π
π
π
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
= → =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫ 
 
3 2
2
00
2 2 2 2
2 4 2 4
a ax ax x x a xx sen sen xdx
a a a
π π
π π
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎨ ⎬⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∫ 
 
3 3
2
0
2 2
2 3 2
aa a a xx xsen dx
a a
π
π
⎡ ⎤⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦∫ 
 
3 3
2
0
2 2 2cos cos
2 3 2 2 2
aa a a a x a xx x dx
a a a
π π
π π π
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − +⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∫ 
 
 
3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2
2
2 2 2
2 2 6 4 3 2 3
2 3 4 12 6
a a a a a a a ax
a a
π π π
π π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −= − − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
2 2 2
2
2
2 3
6
a ax π π
−= 
 
 
 
 
 
Com relação ao momento linear: 
 
*
b
a
p i dx
x
ϕ ϕ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ = 
 
2 sen sen
b
a
i x d xp dx
a a dx a
π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫
= 
 
sen senx d xu du dx
a dx a
π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 
 
2
2
0
2 2
2
aa
o
i i u i xp udu sen
a a a a
π⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠∫
= = = 
 
0p = 
 
Com relação ao quadrado do momentum linear: 
 
2
2 2
2 *
b
a
p dx
x
ϕ ϕ⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ = 
 
2 2
2 2
2 2
0
2 a xp sen dx
aa a
π π⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫
= 
 
2 2
2
2p a
π= = 
 
c) Cálculo das incertezas e verificação do Princípio da Incerteza de Heisenberg 
 
Agora já estamos em condições de calcular as incertezas. Relembrando que, para 
qualquer observável A, a incerteza é obtida por: 
 
2 22A A AΔ = − 
 
 
 
temos, para a posição: 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 22
2 2
2 3 8 12 6
46 24
a a a a a ax x x x xπ π ππ π
− − −Δ = − ⇒ Δ = − ⇒ Δ = 
 
( )2 22
2
2 12
24
a
x
π
π
−Δ = 
 
para o momentum linear: 
 
2 22p p pΔ = − 
 
2 2
2 2
2p p a
πΔ = = = 
 
tomando o produto das incertezas, temos: 
 
( ) ( )2 2 22 2
2 2
2 12 2 12
2424
a
x p
a
π ππ
π
⎛ ⎞− −⎛ ⎞⎜ ⎟Δ Δ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= = 
 
o que resulta em: 
 
0,57x pΔ Δ ≅ = 
 
De onde concluímos a concordância com o Princípio da Incerteza de Heisenberg. 
 
5 – Bibliografia 
 
[1] Tipler, P., “Física”, volume 3, Editora LTC (2000) 
[2] Griffiths, D., “Introduction to Quantum Mechanics”, Prentice Hall (1995) 
[3] Eisberg, R., Resnick, R. “Física Quântica”,Editora Campus(1994) 
[4] Sakurai, J.J., “Modern Quantum Mechanics”, Addison-Wesley (1995) 
[5] Merzbacher, E., “Quantum Mechanics”, John Wiley & Sons (1970) 
[6] Tannoudji, C.C., Diu, B., Laloë, F., “Quantum Mechanics”, John Wiley & Sons (1977)