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Cálculo I - ����� �� � �� �� �� � Capítulo 4 - Derivadas 1. Problemas Relacionados com Derivadas Problema I: Coeficiente Angular de Reta tangente. Problema II: Taxas de variação. Problema I) Coeficiente Angular de Reta tangente I.1) Inclinação da Reta A Inclinação de uma reta ��� é o ângulo � formado entre o eixo das abscissas ��� e a reta, considerado positivo se medido no sentido anti- horário. I.2) Coeficiente angular da Reta O Coeficiente Angular ou declividade de uma reta não perpendicular ao eixo das abscissas é o valor real ��� obtido no cálculo da tangente trigonométrica do ângulo �. � � ������ ��� �� � � � ����� Na trigonometria, define-se tangente de um ângulo � �������� como sendo o quociente entre o cateto oposto a � e o cateto adjacente a �. �� � � � � �!�" �� � #$ � � Como � � ������% tem-se: Se �� & � & '�� então � ( � (função crescente). Se '�� & � & ���� então � & � (função decrescente). Se � � �� ou � � ���� então � � � (função constante). Se � � '�� então � � ) (não é função). �� � � � ����� �� �� *� �� Cálculo I - ����� �� � �� �� �� � Muitas vezes a inclinação � da reta é desconhecida, mas podemos determinar o valor o coeficiente angular ��� se forem conhecidas as coordenadas de dois pontos sobre ela. Seja � uma função linear de equação * � ���� cujo gráfico é uma reta no plano � . Considere dois pontos �+��+%*+� e �,��,% *,� sobre a reta e denote por -� a diferença entre as coordenadas � destes pontos (-� � �, . �+� e por -* a diferença entre as coordenadas * destes pontos �-* � *, . *+�. Sabendo que a tangente trigonométrica da inclinação � da reta é igual ao coeficiente angular � tem-se: � � ������ � -*-� � -� -� � *, . *+�, . �+� Observe que, por semelhança de triângulos, qualquer que seja o valor de -�% encontraremos por correspondência da função linear � valores para -* tais que a relação � � -/-0 não se altera. Fazendo -� � � tem-se � � -*, assim, o coeficiente angular ou declividade da reta pode ser representado geometricamente por um triângulo retângulo de cateto adjacente unitário e cateto oposto igual a �. I.3) Equação da Reta na forma reduzida: A equação da reta na forma reduzida é uma equação linear do tipo: * � ���� 1 2 Onde � é o coeficiente angular e 2 é o coeficiente linear. A equação de uma reta pode ser estabelecida se forem conhecidos: • Um ponto sobre a reta e o valor de seu coeficiente angular • Dois pontos sobre a reta �+��+% *+� �,��,% *,�� *+ � ���+� *, � ���,�� � � * � ����� �+� �, � �� �� *� �� -�� -*� �+� �,� *+� *, � �� �� *� * � ����� �� Cálculo I - ����� �� � �� �� �� � a) Equação da reta dados um ponto sobre ela e o seu coeficiente angular Considere conhecidas as coordenadas de um ponto �+��+%*+� sobre uma reta. Imagine outro ponto qualquer ���% *�, também sobre a reta, de forma que a coordenada � de � difere da coordenada � de �+ por uma quantidade -� e que a coordenada * de � difere da coordenada * de �+ por uma quantidade -* . Então a coordenada � de � é �+ 1 -� e a coordenada * de � é *+ 1 -*. Considere conhecida a inclinação � da reta ou o seu coeficiente angular � � ��� ���. Então, � � 3*3� � * . *+� . �+ * . *+ � � � � . �+� 4 * � � � 1 �*+ .� �+� b) Equação da reta dados dois pontos sobre ela Se as coordenadas de dois pontos �+��+%*+� e �,��,% *,� sobre uma reta são conhecidas, podemos facilmente encontrar o seu coeficiente angular ���. Uma vez conhecido o coeficiente angular e a coordenada de um ponto sobre a reta, podemos determinar a equação da reta utilizando o procedimento descrito anteriormente. Assim, � � 3*3� � *, . *+�, . �+ * . *+ � � � � . �+� 4 * � � � 1 �*+ . � �+� �+��+%*+�� ���% *� � ���+ 1 -� % *+ 1 -*� � � �+ 1 -� 4 -� � � . �+� * � *+ 1 -* 4 -* � * . *+� �+� �� �� �� *� �� -�� -*� �+� �+ 1 -�� *+� *+ 1 -*� Cálculo I - ����� �� � �� �� �� � I. 4) Retas Secantes e Reta Tangente Seja � uma função cujo gráfico * � ���� encontra-se representado na figura abaixo. Considere ���+ %*+� e 5��,% *,� dois pontos sobre o gráfico da função, de forma que a coordenada � de 5 difere da coordenada � de � por uma quantidade -�. Assim, �, � �+ 1 -� 4 -� � �, . �+ Como os pontos � e 5 pertencem ao gráfico da função �.tem-se: *+ � ���+� *, � ���,� � ���+ 1 -�� Assim as coordenadas de � e 5 são dadas por: ���+%*+� � ���+% ���+�� 5��, % *,� � 5��+ 1 3� % ���+ 1 6���7 O segmento de reta �58888 que liga dois pontos de uma curva é chamado secante e a linha reta 9 contendo � e 5 é chamada de reta secante. O coeficiente angular da reta secante ��:� é igual ao coeficiente do segmento secante, portanto pode ser calculado por: �: � 3*3� � *, . *+�, . �+ � ���+ 1 -�� . ���+�-� Considere que o ponto � esteja fixo e o que ponto 5 move-se, ao longo da curva da função �, na direção de �. Observe na figura que, à medida que o ponto 5 se aproxima do ponto � (pontos 5; e Q’’), a reta secante 9 se aproxima da reta < (retas 9= e 9==). A reta < é uma reta que tangencia o gráfico da função no ponto � e é chamada de reta tangente ao gráfico da função no ponto �. �� 5� �� �� -*� �+� �, � �+ 1 -�� *+ � ���+�� *, � ���+ 1 -��� >����������� �� �*� -�� �:� Cálculo I - ����� �� � �� �� �� � À medida que o ponto 5 se aproxima de � a diferença -� entre as coordenadas � destes pontos tende a zero �-� ? ��. Nestas condições, a reta secante tende a coincidir com a reta tangente ao gráfico da função no ponto �. Portanto, o coeficiente angular da reta secante tende a se igualar com o coeficiente angular da reta tangente, quando -� ? �. Assim, o coeficiente angular ��@� da reta tangente ao gráfico da função no ponto � pode ser calculado como sendo o limite do coeficiente angular ��:� da reta secante quando 6�→� . Então, �@ � ABC-0?+ �: � ABC -0?+ 3* 3� �@ � ABC-0?+ ���+ 1 -�� . ���+�-� Observe que o valor do coeficiente angular da reta secante que contém dois pontos � e 5 do gráfico da função depende da posição destes pontos. O valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto � depende da posição do ponto �. Exemplos: 1) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função � dada pela equação * � �D quando � � �. A equação de uma reta no plano é completamente determinada quando sabemos o seu coeficiente angular e as coordenadas de um ponto sobre ela. Precisamos, então, determinar as coordenadas do ponto ���% ����� quando � � � e a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa � � �7 Quando � � � tem-se que * � ���� � �. Assim a reta desejada tangencia o gráfico da função no ponto ���%��. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função num ponto genérico ���% ����� é dado por: �@��� � ABC-0?+ ��� 1 -�� . ���� -� ��� * � ���� � �D �� 5� �� -�� �+� *+ � ���+�� >�� >=�� >==��E�� 5=�5==� *� �+ 1 -�� Cálculo I - ����� �� � �� �� �� � �@��� � ABC-0?+ �� 1 -��D. �D -� �@��� � ABC-0?+ �D 1 F�-� 1 -�D. �D -� � ABC-0?+ F�-� 1 -�D -� �@��� � ABC-0?+F� 1 -� � ABC-0?+F� � F� �@��� � F � O coeficiente angularda reta tangente ao gráfico da função quando � � � é: �@��� � F7� � F A reta desejada passa pelo ponto ���%��, �+ � � *+ � �, e possui coeficiente angular � � F e sua equação é dada por: * . *+ � � � � . �+� * � *+ 1 � � � . �+� � � 1 F�� . �� * � F� . � Problema II) Taxas de Variação: Seja � uma função de equação * � ���� cujo gráfico encontra-se representado na figura abaixo. Considere ���+ % *+� e 5��,% *,� dois pontos sobre o gráfico da função de forma que a coordenada � de 5 difere da coordenada � de � por uma quantidade -�. �� 5� �� �� -*� �+� �, � �+ 1 -�� *+ � ���+�� *, � ���+ 1 -��� >����������� �� �*� -�� �:� Cálculo I - ����� �� � �� �� �� � Quando a coordenada � sofre uma variação ∆� de �+ para �, , * sofre uma variação ∆* de *+ � � ��+� para *, � ���,� � ���+ 1 ∆��. A taxa de variação em * para a variação em � que é formada é chamada de taxa de variação média de * por unidade de variação em � ou taxa de variação média de * em relação a � e é definida por: <GH � 6* 6� � ���,� . ���+� �, . �+ Alternativamente, fazendo �, � �+ 1 ∆� , tem-se: <GH � 6* 6� � ���+ 1 ∆�� . ���+� ∆� Se a taxa de variação média de * em relação a � tende a um valor limitado quando ∆� → 0, parece razoável nos referirmos a este valor como taxa de variação instantânea de * em relação a � no instante em que � � �+, a qual é calculada como: <GI�0J� � lim∆0→+ Δ* Δ� � lim ∆0→+ ���+ 1 ∆�� . ���+� ∆� Exemplos: 1) Um móvel desloca-se numa estrada reta a partir de uma cidade A tendo como destino final uma cidade C situada a 504 km. Após 2 horas de viagem o veículo passa pela cidade B, situada a 148 km da cidade A, e atinge o destino final 6 horas após sua partida. Neste problema, estamos relacionando a distância percorrida �"� com o tempo � �, ou seja, " e uma função de , " � "� � � 0 � � 2 � � 6 � "�0� � 0 L� "�2� � 148 L� "�6� � 504 L� Com base nestas informações responda os itens abaixo: a) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades A e B? Sabe-se que velocidade é a taxa de variação da distância �∆"� em relação à variação do tempo �∆ �, então: GOPQ � ∆" ∆ � 148. 0 2 . 0 � 148 2 � 74 L�/� � � �� Cálculo I - ����� �� � �� �� �� � b) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades B e C? GOQT � ∆" ∆ � 504. 148 6 . 2 � 356 4 � 89 L�/� c) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades A e C? GOPT � ∆" ∆ � 504. 0 6 . 0 � 504 6 � 84 L�/� d) O motorista percebeu que com 3 h e com 5 h de viagem sua velocidade foi anotada pela polícia rodoviária. Sabendo que a velocidade máxima da estrada é de 90 km/h, deseja-se saber se motorista corre o risco de ter sido multado. � 0 � � 2 � � 3� � 5� � 6 � As velocidades médias calculadas não ultrapassam o limite de velocidade média permitida na estrada. Porém, não interessa saber as velocidades médias. Desejamos estimar as velocidades nos instantes que o móvel passou pela polícia rodoviária, ou seja, desejamos saber as velocidades nos instantes em que � 3 � � 5 � (velocidade instantânea). Construindo um gráfico de dispersão distância ( " ) versus tempo ( ) e utilizando um método numérico de aproximação, podemos estimar uma equação para a função "� �. "� � � 2,5 D1 69 GI� � � lim ∆@→+ ∆" ∆ A velocidade instantânea é a taxa de variação instantânea da distância em relação ao tempo, assim para um tempo genérico temos: GI� � � lim ∆@→+ ∆" ∆ � lim ∆@→+ "� 1 ∆ � . "� � ∆ ��� "� � � 2,5 D1 69 Cálculo I - ����� �� � �� �� � � GI� � � ABC-@?+ F%N� 1 - �D 1 K'� 1 - � . �F%N D1 K' � - � � ABC-@?+ F%N� D1 F - 1 �- �D� 1 K' 1 K' - . F%N D. K' - � � ABC-@?+ F%N D1 N - 1 F%N�- �D 1 K' - . F%N D - � ABC-@?+ N - 1 F%N�- �D 1 K'- - � � ABC-@?+ - �N 1 F%N - 1 K'� - � ABC-@?+� N 1 F%N - 1 K'� � N 1 K' GI� � � N 1 K' Desejamos saber o valor da velocidade instantânea nos instantes que o automóvel passou pela polícia rodoviária � U � e � N �. GI�U� � N7 �U� 1 K' � �N1 K' � �M L�S�, pode não ter sido multado GI�N� � N7 �N� 1 K' � FN1 K' � 'M L�S�, pode ter sido multado. 2) Uma partícula se move de modo que no final de segundos, sua distância ", em metros, do ponto de partida é dada por "� � � U D 1 . Calcule a velocidade da partícula no instante � F ". A velocidade é a taxa de variação da distância (") em relação ao tempo ( ). A velocidade da partícula no instante = 2 " � é a taxa de variação " em relação a no instante em que � F " � , ou seja, é a taxa de variação instantânea. GI� � � ABC-@?+ ∆V ∆� � ABC-@?+ "� 1 - � . "� � - � � ABC-@?+ U� 1 - �D 1 � 1 - � . �U D1 � - � � ABC-@?+ U� D1 F - 1 �- �D� 1 - . U D - � ABC-@?+ K - 1 U�- �D 1 - - � � ABC-@?+ K 1 U- 1 � � K 1 � GI� � � K 1 � No instante � F " GI�F� � K �F� 1 � � �F 1 � � �U �S" � No instante � F ", a velocidade da partícula é �U �S", ou seja, para cada 1 segundo de acréscimo no tempo, a partícula percorre 13 m no sentido positivo do percurso. Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 2. Definição A derivada de uma função �, denotada por �W, é uma função tal que seu valor em qualquer número � de seu domínio é dado por: � ;��� � ABC-0?+ ��� 1 -�� . ���� -� % XYVXY Z[Y YV�Y ABCB�Y Y\BV�� OBS: Quando o limite existe dizemos que � é diferenciável ou derivável em �, ou que � tem derivada em �. Seja � uma função definida em um intervalo aberto que contém �+, então a derivada da função � no ponto em que � � �+% denota-se � ;��+�% é dada por: � ;��+� � ABC-0?+ ���+ 1 -�� . ���+�-� �] � ;��+� � ABC0?0J ���� . ���+�� . �+ � � ;��� é uma função � �W��+� é o valor da derivada de � quando � � �+. *;^ � ;���^_0�*�^ _0���^ #*#� ^ #� #� Outras Notações: Seja * � ���� uma função com derivada, denotaremos tal derivada por: ABC-0?+ 3* 3� � ABC-0?+ ���+ 1 -�� . ���+�-� Relação entre Taxa de Variação Instantânea e Coeficiente Angular de Reta Tangente O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico * � ���� num ponto ���+%���+�� e a taxa de variação instantânea de * em relação a � no instante em que � � �+ são problemas resolvidos pelo cálculo do mesmo limite. Limites nesta forma aparecem com tanta frequência que é necessário uma terminologia especial que é a DERIVADA. A operação de calcular a derivada ( � =� de uma função � chama-se derivação ou diferenciação. Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Exemplo: Seja � uma função dada pela equação * � �D/2. Na figura abaixo foram representados os valores do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função em alguns pontos de seu domínio. Os valores �`���, juntamente com os valores da função ������, encontram-se indicados na tabela. Encontre a equação da função � ; que é a derivada de � e trace seu gráfico. Sabe-se que o valor da derivada deuma função em um determinado ponto de seu domínio � � �+ é igual ao valor do coeficiente angular da reta tangente ��`� ao gráfico da função no ponto ���+,���+��, então � ;��� � �`���. Assim, podemos construir uma tabela relacionando os valores de � e �′���. O gráfico da função �′ é uma reta de coeficiente angular igual a 1 que passa pela origem �+�0,0�. A equação desta reta é *; � �, então � ;��� � �. � ;��� � �`��� Interpretação Geométrica da Derivada Seja * � ���� uma função derivável. O valor da derivada da função � em um determinado ponto de seu domínio � � �+, denota-se �′��+�, é igual ao valor do coeficiente angular ��`� da reta tangente ao gráfico da função no ponto ���+, ���+��. Genericamente, para um ponto � qualquer do domínio tem-se: � * � ���� � �D 2 �`��� -4 8 -4 -2 2 -2 0 0 0 1 0,5 1 3 4,5 3 � � *; � � ;��� � �`��� -4 -4 -2 -2 0 0 1 1 3 3 � Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Outra forma de encontrar a equação da função � ; é calcular o limite: � ;��� � ABC-0?+ ��� 1 -�� . ���� -� ��� ���� � �D F � ;��� � ABC-0?+ a�� 1 -��DF b. a� D F b-� � ABC-0?+ ��D1 F � -� 1 �-��D� . �D F -� � � ABC-0?+ F � -� 1 �-��D F -� � ABC-0?+� 1 -� F � ABC-0?+� 1 ABC-0?+ -� F � � � ;��� � � 3. Diferenciabilidade Exemplo: Verificar se ���� � |� 1 �| é derivável em � � .�. A função � pode ser descrita por duas equações equivalentes: ���� � |� 1 �| � d � 1 � % " � 1 � e � % �] " $ % " � e .�.�� 1 ��% " � 1 � & � % �] " $ % " � & .� Se � é uma função diferenciável num ponto � � �+ de seu domínio, então � é contínua em � � �+ �f′ ��+� � ABC0?0Jg ���� . ���+�� . �+ �h′��+� � ABC0?0Ji ���� . ���+�� . �+ Se � é uma função contínua num ponto de seu domínio � � �+, então � ;��+� existe, se e somente se, as derivadas à direita e à esquerda de � � �+ existirem e forem iguais. Se �f′ ��+� � �h′��+� então � ;��+� existe. Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Para ser derivável em � � �+, uma função � tem que ser contínua em � � �+ e as derivadas à direita j�f;��+�k e à esquerda j�h;��+�k de �+ devem ser iguais, isto é, �f;��+� � �h;��+�. A função l�m� é contínua em m � mn se: lim 0→0J ���� � ���+� a) Verificação da existência do limite da função quando � → .1 lim 0→h,g ���� � lim 0→h,g � 1 1 � lim 0→h,g � 1 lim 0→h,g 1 � .1 1 1 � 0 lim 0→h,i ���� � lim 0→h,i . �� 1 1� � lim 0→h,i . � 1 lim 0→h,i . 1 � 1 . 1 � 0 lim 0→h,g ���� � lim 0→h,i ���� � 0 ∴ lim 0→, ���� � 0 b) Cálculo do valor da função em � � .1 ���� � |� 1 1 | ∴ ��.1� � |.1 1 1| � 0 Como lim 0→h, ���� � ��.1� a função é contínua em � � .1 Se função l�m� é contínua em m � mn, l�m� será derivável em m � mn se: �f′ ��+� � �h′��+� �f′ ��+� � lim 0→0Jg ���� . ���+� � . �+ � lim 0→h,g �� 1 1� . 0 � . �.1� � lim 0→h,g �� 1 1� �� 1 1� � lim 0→h,g 1 � 1 �h′�.1� � lim0→0Ji ���� . ���+� � . �+ � lim 0→h,i .�� 1 1� . 0 � . �.1� � � lim 0→h,i .�� 1 1� �� 1 1� � lim 0→h,i .1 � .1 Como �f;��+� o �h;��+� a função � não é derivável em � � .1, apesar de ser contínua em � � .1. Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 4. Técnicas de Diferenciação 1) Regra da Constante: Derivada de uma constante é zero Exemplos: ����� � p ? � ;��� � #�#� � � 2� * � U ? *; � � 2) Regra da Função Potência: Derivada da função potência Exemplos: � ���� � � ? � ;��� � �7 �,h, � � 2� q� � � r ? q;��� � U7 rh, � U D �� * � �sD � shD ? #* #s � .F shDh, � .Fshr � . F sr #� s � √ � ,SD ? #s# � � F ,D h, � �F h ,D � �F ,SD � � F√ 3) Regra da Homogeneidade: Derivada do produto de uma constante por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função 9 $ � � ]� ���" � ���� ]� �]�uv� # ���w� " ���� � � ���� Y��vx �;��� � �7 � ;��� " * � ���� Y��vx ##� ��7 *� � �7 #* #� 9 � y ]� �z� �� � �� o �� ���� � �{ � v� � ;��� � � �{h,^ ##� ��{� � � �{h, OBS: � pode ser um número inteiro, racional, positivo ou negativo � 9 � y ]� ���" � ���� � � Y��vx �=��� � � # #� ��� � � Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Exemplos: ����� � p � ? � ; � ##� � p�� � p # #� � �� � p 2�s � √U|D � √U |hD s ; � #s#| � # #| j √U |hDk � √U # #| � |hD� � √U�.F�|hr � . F √U |r �� * � �F √� � � F �h ,D #* #� � # #� a � F �h ,Db � �F # #� a�h ,Db � �F a. � Fb �h ,Dh, � .�M�h rD � . �M√�r 4) Regra da Soma: Derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) das derivadas das funções Exemplos: ����� � M�r1 U�D . � 1 N �;��� � ##� � M�r� 1 # #� � U�D� . # #� � �� 1 # #� � N� �;��� � M ##� ��r� 1 U # #� � �D� . � 1 � � �F�D1 K� . � 2� * � √F ]}1 ]~p 1 pD. √U √]r � √F ] }1 ]~p 1 pD. √U ]h ,r *; � #*#] � # #] j√F ]}k 1 # #] ]~ p 1 # #] �pD� . # #] a√U ]h ,rb *; � √F ##] �]}� 1 � p # #] �]~� 1 � . √U # #] a]h ,rb *; � √F �N ]~� 1 �p �M ]r� . √U a. � U]h ~rb *; � N√F ]~ 1 M]rp 1 √U U � ]~Sr � N√F ]~ 1 M]r p 1 √U U √]~r 9 $ � ] � ���� � � ���� �]�u " # ���w� �" " ���� � ���� 1 ���� Y��vx �=��� � � ;��� 1 �;��� # #� �] �� � #] #� #� #� Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 5) Regra do Produto: Derivada do produto de duas funções é a primeira multiplicada pela derivada da segunda mais a segunda multiplicada pela derivada da primeira Exemplos: � * � ��r . ���F. �� *; � #*#� � ��r . �� # #� �F . �� 1 �F . �� # #� ��r. �� *; � ��r . �� ##� �F� . # #� ��� 1 �F . ��7 # #� ��r� . # #� ��� *; � ��r . ��7 �.��1 �F . ��7 �U�D. �� *; � .�r1 � 1 K�D. F. U�r1 � � .M�r1 K�D1 F� . F 2� | � �UsD 1 ���Rsr 1s� |; � #|#s � �UsD 1 �� Rsr1s; 1 �Rsr 1 s� 7 UsD1 �= |; � �UsD 1 ��7 �F�sD1 ��1 �Rsr 1s�7 �Ks� |; � KUs~1 UsD1 F�sD 1 � 1 MFs~1 KsD � ��Ns~ 1 U�sD1 � 6) Regra do Quociente: Derivada da divisão de duas funções é a função do denominador multiplicada pela derivada da função do numerador menos a função do numerador multiplicada pela derivada da função do denominador dividido pela função do denominador elevada ao quadrado 9 $ � ] � ���� � � ���� �]�u " # ���w� �" " ���� � �������� ��� ���� o � Y��vx �;��� � ����7 � ;��� . ����7 �;���7 ����D # #� ] � � �7 #]#� . ]7 #�#��D 9 $ � ] � ���� Y � � ���� �]�u " # ���w� �" " ���� � ����7 ���� Y��vx �=��� � ����7 �;��� 1 ����7 � ;��� # #� �]7 �� � ]7 #� #� 1 �7 #] #� � Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Exemplos: � * � �D �r 1 R *; � #*#� � ��r 1 R�7 ##� ��D� . ��D�7 ##� ��r 1 R���r1 R�D *; � ��r 1 R�7 �F�� . ��D�7 �U�D���r1 R�D � F�~1 �M� . U�~ ��r1 R�D � �M� . �~ ��r1 R�D 2� q� � � F D1 � q;� � � � D1 ��7 F ;. �F �7 D1 �;� D1 ��D � � D 1 ��7 �F� . F 7 �F � � D1 ��D q;� � � F D1 F . M D� D1 ��D � F. F D � D1 ��D 5. Aplicação das Derivadas: Taxas de Variação Instantânea e Coeficiente Angular 1) De acordo com a Lei de Ohm, a voltagem G (em volts), a corrente I (em amperes) e a resistência � (em ohms, ) deum circuito elétrico estão relacionadas pela equação: I � G� Considere um circuito de voltagem G � ��� �� " e determine: a) A taxa de variação da corrente em relação à resistência. Desejamos calcular , então estamos considerando a corrente elétrica (I) com uma função da resistência do circuito (�), ou seja, I��� � G� � ��� � � ��� �h, #I #� ��� � # #� ���� �h,� � ��� # #� ��h,� � .��� �hD � . ��� �D S b) A taxa de variação da corrente em relação à resistência, quando a resistência é de 20 #I #� D+ � . ��� F�D � . � M � .�%FN S c) Qual o significado da taxa encontrada? Significa que num circuito elétrico de voltagem ��� �� ", se a resistência for de F� , a corrente decrescerá de �%FN para cada � de acréscimo na resistência. Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 2) Sabe-se que a tensão circunferencial ( YC � ) de um duto de parede fina, fechado nas extremidades e submetido à pressão interna uniforme (� em MPa) é: � � � onde � e � � ��� são o raio externo e a espessura do duto, respectivamente. a) Qual a taxa de variação da tensão em relação à pressão � de um duto de raio � FN� �� e � �� �� ? O que esta taxa significa? Desejamos calcular , então estamos considerando a tensão ( ) com uma função da pressão interna (�), ou seja, ��� � � � � � FN� �� � FN � ;��� � ##� � # #� �FN �� � FN # #� ��� � �FN���� � FN O� O� ⁄ Significa que para uma duto de � � FN� �� e � �� �� a tensão circunferencial aumenta de FN O� para cada � O� de aumento na pressão interna. b) Qual a taxa de variação da pressão � em relação ao raio de um duto de espessura � � �� cuja tensão circunferencial é de K��O� ? O que esta taxa significa? Desejamos calcular , então estamos considerando a pressão interna (�) com uma função do raio do duto (�), ou seja, ���� � �� � �K�� 7 �� �h, � M��� �h, �;��� � #�#� � # #� �M��� �h,� � M��� # #� ��h,� � .M��� �hD �;��� � .M�����D O� ��⁄ Neste caso, a taxa de variação instantânea também depende do valor do raio. Por exemplo, 9 � � ��� �� � v� �;���� � .M������D � .�%M� O� S�� Isto significa que para uma duto de � � ��� ��, � � �� e � K�� O� a pressão diminui de �%M� O� para cada � �� de aumento no seu raio. 9 � � F�� �� � v� �;���� � .M���F��D � .�%�F O� S�� Isto significa que para uma duto de � � F�� ��, � � �� e � K�� O� a pressão diminui de �%�F O� para cada � �� de aumento no seu raio. Cálculo I - ����� �� � �� �� � � � 3) Uma flecha é atirada do nível do solo da lua para cima, com uma velocidade inicial �+ � N� �S" . A equação da altura � (em metros) atingida pela flecha, após segundos de seu lançamento é dada pela equação: �� � � �+ . �%�U D a) Encontre a equação da velocidade da flecha em função do tempo t. Sabe-se que a velocidade é a variação da distância percorrida em relação ao tempo. �� � � #�# ��# �� � � N� . �%�U D �� � � #�# � # # �N� . �%�U D� � N� . �%KK �� � � N� . �%KK b) Encontre a velocidade da flecha após 1 segundo de seu lançamento. Queremos saber o valor da velocidade quando � �, ou seja, ���� ���� � N�. �%KK ��� � NK%UM �S" c) Determine o tempo após o lançamento necessário para a flecha atingir o solo. Quando a flecha atinge o solo, a função altura �� � deve ser nula. A altura da flecha em relação ao solo também é nula no momento do seu lançamento � �, mas este momento não nos interessa. Devemos ter: �� � � � o � �� � � N� . �%�U D � � N� . �%�U D � � 4 �N�. �%�U � � � � � �] N� . �%�U � � % ���� o �% �. " N�. �%�U � � 4 � N��%�U 4 K'%�� " Levará aproximadamente K'%�� " para a flecha atingir novamente o solo. d) Com que velocidade a flecha atinge o solo? A flecha atinge o solo no instante � K'%�� ". Então queremos saber o valor de ��K'%��� ��K'%��� � N� . �%KK �K'%��� .N� �S" Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 4) Seja ���� � U�D . �F� 1 �: a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto ��U%.�� Cálculo do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função: ���� � � ;��� � ##� �U�D. �F� 1 �� � K� . �F � ��� � �% � � U ? ��U� � � ;�U� � K�U� . �F � K A equação da reta que passa por um ponto ���+%*+� de coeficiente angular � conhecido pode ser dada como: * . *+ � ��� . �+� ��U%.�� 4 �+ � U *+ � .� � � K quando �+ � U portanto * � *+ 1��� . �+� � �.�� 1 K�� . U� � .� 1 K� . �� � K� . �' * � K� . �' b) Determine a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto ��U%.�� A reta normal ao gráfico de � no ponto � é a reta perpendicular à reta tangente. Se o valor do coeficiente angular de uma determinada reta é �,então o valor do coeficiente angular da reta normal a ela é . ,. Como coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto ��U%.�� é �` � K, o coeficiente angular da reta normal ��� ao gráfico da função no ponto ��U%.�� é: � � . ��` � . � K A equação da reta é: * . *+ � � �� . �+� A reta desejada passa pelo ponto ��U%.�� e seu coeficiente angular � � . , . Então, * � *+ 1��� . �+� � �.�� . �K�� . U� � .� . � K 1 � F � . � K . � F * � .�K . � F c) Determine o ponto do gráfico no qual reta tangente ao gráfico é horizontal. Se a reta tangente é horizontal então ���� � � � �, logo, � ;��+� � � � ;��+� � K�+ . �F � � 4 �+ � F ���+� � U7FD. �F7F 1 � � .M Portanto, o ponto do gráfico onde a reta tangente é horizontal é ��F%.M�. Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 6. Derivadas das Funções Exponencial e Logarítmica Função Exponencial: A função exponencial é uma função do tipo * � 0 ��� ( 0 o 1 0 & & 1 ( 1 Função Logarítmica: A função logarítmica é uma função do tipo * � log�� �� ��� ( 0 , o 1 � ( 0 0 & & 1 ( 1 As funções exponencial e logarítmica são funções inversas: " * � log���� então / � � " * � 0 então log��*� � � Das propriedades das funções inversas tem-se 1� �0� � � 2� log�� 0� � � Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Lei dos Expoentes Lei dos Logaritmos �� 0f/ � 07 / F� 0h/ � 0 / U� � 0�/ � 07/ M� � 7 2�0 � 07 20 �� Ax���7 *� � Ax���� 1 Ax��*� F� Ax���S*� � Ax���� . Ax��*� U� Ax���¡� � ! Ax���� M� Ax� � � Ax¢ �Ax¢ Logaritmos Naturais: Os logaritmos na base e (e = 2,71828..., número de Euler) são chamados de logaritmos naturais e recebem uma notação especial. Ax£��� � A���� �� " * � A���� Y����x / � � ^ " * � 0 � �� A��*� � � F� ���!�� # # " # �]�çã� ��� �" ¤ ¥�0� � � ^ A�� 0� � � U� O]# �ç # 2 " ¦ Ax���� � Ax£���Ax£� � � A�� �� A�� � 9 ( �% o �% � ( � ���� � Ax���� � v� � ;��� � ��7 A�� � # #� �Ax����� � � �7 A�� � §� ! � ��] �% ���� � A���� � v� �;��� � �� # #� �A����� � � � Derivada da Função Logarítmica 9 ( �% o � ���� � 0 � ã� � ′��� � 07 A�� � # #� � 0� � 07 A�� � §� ! � ��] �% ���� � 0 � ã� � ′��� � 0 # #� � 0� � 0 Derivada da Função Exponencial Cálculo I - ����� ��� �� �� ��� � Exemplos: Calcule a derivada das funções �� ���� � 0. �r1 AxD��� � ;��� � ##� � 0� . # #� ��r� 1 # #� �AxD �� � 0 . U�D1 � � A��F� F� s � U0 A���� 1 p�r1 p0 1 pD #s #� � # #� �U0 A����� 1 # #� �p�r� 1 # #� �p0� 1 # #� �pD� #s #� � U0 7 # #� � A����� 1 A���� 7 # #� �U0� 1 p7 # #� ��r� 1 p07 A��p� 1 � #s #� � U0 7 � � 1 A���� 7 U07 A��U� 1 p7 �U�D� 1 p07 A��p� #s #� � U0 � 1 U0 A��U� A���� 1 Up �D1 p0 A��p� U� ] � AxD� � @ #] # � # # a AxD� � @ b � @7 ## �AxD� �� . AxD� � 7 ## � @�� @�D #] # � @7 � 7 A��F� . AxD� � 7 @ � @�D � @ 7 A��F� . @ A�� �A��F� � @�D #] # � @ . @ A�� � A��F� � @�D � @ . @ A�� � A��F�� @�D � @�� . A�� �� A��F�� @�D #] # � � � . A�� � A��F� @ Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 7. Derivadas de Funções Trigonométricas Uma vez conhecida as derivadas das funções seno e co-seno, podemos deduzir a derivada de outras funções trigonométricas. a) Derivada da Função Tangente * � ������ #* #� � # #� �������� � # #� a VY���� ¨xV���b # #� �������� � ¨xV��� 7 ##� j" ����k . VY����7 ##� �¨xV���� ¨xV���D # #� �������� � ¨xV��� 7 ¨xV��� . " ����7 �.VY����� ¨xV���D � ¨xVD��� 1 VY�D��� ¨xVD��� # #� �������� � � ¨xVD��� � VY¨D��� b) Derivada da Função Co-Tangente * � ¨x���� #* #� � # #� �¨x����� � # #� a ¨xV��� VY����b # #� �¨x����� � VY���� 7 ##� j¨xV���k . ¨xV���7 ##� �VY����� VY����D # #� �¨x����� � VY���� 7 j.VY����k . ¨xV��� 7 �¨xV���� VY����D � .VY�D��� . ¨xVD��� VY�D��� # #� �¨x����� � .� VY�D��� � .��" �D��� 9 ���� � ¨xV��� � v� � ;��� � .VY���� # #� j¨xV���k � .VY���� Derivada da Função Co-Seno 9 ���� � VY���� � v� � ;��� � ¨xV��� # #� jVY����k � ¨xV��� Derivada da Função Seno Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � c) Derivada da Função Secante * � VY¨��� #* #� � # #� �VY¨���� � # #� a � ¨xV���b # #� �VY¨���� � ¨xV��� 7 ##� ��� . ���7 ##� �¨xV���� ¨xV���D ##� �VY¨���� � ¨xV�\� 7 ��� . �.VY����� ¨xV���D � VY���� ¨xV��� 7 ¨xV��� � a VY���� ¨xV���b 7 a � ¨xV���b ##� �VY¨���� � ������ 7 VY¨��� d) Derivada da Função Co-Secante * � ¨xVY¨��� #* #� � # #� �¨xVY¨���� � # #� a � VY����b # #� �¨xVY¨���� � VY���� 7 ##� ��� . ���7 ##� �VY����� VY����D # #� �¨xVY¨���� � .¨xV��� VY����D � .a ¨xV��� VY�D���b 7 a � VY����b # #� �¨xVY¨���� � . ¨x���� 7 ¨xVY¨��� Exemplo Calcule a derivada da função s � " �� �7 �� 1 U ¨xV���� #s # � # # VY�� �7 �� 1 U ¨xV���� #s # � VY�� �7 # # �� 1 U ¨xV� �� 1 �� 1 U ¨xV� ��7 # # �VY�� �� #s # � VY�� �7 # # ��� 1 # # �U ¨xV� �� 1 �� 1 U ¨xV� ��7 ¨xV� � #s # � VY�� �7 �� . U VY�� �� 1 �� 1 U ¨xV� ��7 ¨xV� � #s # � .U" �D� � 1 �� 1 U ¨xV� ��7 ¨xV� �
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