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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
DISCIPLINA: VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA
DOCENTE: PIERRE NIAU
PRIMEIRA AVALIAÇÃO
2015.4
Não é permitido o uso de celular, calculadora ou qualquer coisa que não seja:
lápis, borracha e/ou caneta.
Questões com resultados JOGADOS não serão corrigidas.
1. (2,5 pontos) Dados os vetores ~u = (3;�4) e ~v = (2; 1), encontrar
(a) um vetor ~w com sentido contrário a ~u e de módulo 2, e
(Solução) Ao dividir um vetor pelo seu módulo ele se torna unitário; ao multiplicar
um vetor por �1 ele inverte o sentido; ao multiplicar um vetor por um número
qualquer o módulo do vetor é multiplicado pelo módulo do número. Assim,
~w = �2 ~uj~uj ;
= �2 (3;�4)p
32 + 42
;
=
��6
5
;
8
5
�
:
(b) desenhe um sistema de coordenadas, desenhe o vetor encontrado no item a), o
vetor ~v e a soma deles.
(Solução) A soma ~v + ~w = (2; 1) +
��6
5
; 8
5
�
=
�
4
5
; 13
5
�
.
2. (2,5 pontos) Seja o vetor ~v = (2;�1; 1). Obter
(a) um vetor ortogonal a ~v (Dica: qualquer um serve),
(Solução) Para dois vetores serem ortogonais têm que satisfazer a relação ~a �~v = 0.
Assim, o vetor que iremos encontrar, ~a = (ax; ay; az) tem que satisfazer
~a � ~v = 2ax � ay + az;
2ax � ay + az = 0:
Se ax = 0 então
ay = az:
Assim, ~a = (0; 1; 1) é ortogonal a ~v.
1
(b) um vetor unitário ortogonal a ~v, e
(Solução) Para tornar um vetor unitário basta dividí-lo pelo seu comprimento.
Como ~a é ortogonal, então
a^ =
~a
j~aj ;
=
(0; 1; 1)p
2
;
=
 
0;
p
2
2
;
p
2
2
!
:
(c) um vetor de módulo 4 ortogonal a ~v.
(Solução) No ítem anterior temos um vetor ortogonal e unitário a ~v, se o multi-
plicamos por 4 teremos um vetor ortogonal a ~v e de módulo 4,
~b = 4~a;
=
�
0; 2
p
2; 2
p
2
�
:
3. (2,5 pontos) Dados os vetores ~u = (3;�1; 2) e ~v = (�2; 2; 1), calcular
(a) a área do paralelogramo determinado por ~u e ~v, e
(Solução) A área de um paralelogramo formado por dois vetores ~u e ~v é dado pelo
módulo do produto vetorial entre eles. Assim,
Ap = j~u� ~vj ;
=
������
������
{^ |^ k^
3 �1 2
�2 2 1
������
������ ;
=
����5{^� 7|^+ 4k^��� ;
=
q
(�5)2 + (�7)2 + 42;
=
p
90;
= 3
p
10:
(b) a altura do paralelogramo relativa à base de…nida pelo vetor ~v.
(Solução) A área de um paralelogramo cuja base tem comprimento j~vj e altura h
é Ap = j~vjh. Como Ap = 3
p
10 e j~vj = 3, temos que
Ap = j~vjh;
3
p
10 = 3h;
h =
p
10:
4. (2,5 pontos) Sendo j~uj = 3, j~vj = 4 e 120 � o ângulo entre os vetores ~u e ~v, calcular
2
(a) j~u+ ~vj,
(Solução) Sabemos que o módulo de um vetor qualquer é dado por j~aj = p~a � ~a,
fazendo ~a = ~u+ ~v temos que
j~u+ ~vj =
p
(~u+ ~v) � (~u+ ~v);
=
q
j~uj2 + j~vj2 + 2~u � ~v;
=
q
j~uj2 + j~vj2 + 2 j~uj j~vj cos (�~u;~v);
=
s
9 + 16 + 2� 3� 4�
��1
2
�
;
=
p
13:
(b) j~u� (~v � ~u)j
(Solução) Podemos usar as propriedades de produto vetorial para simpli…car a
relação. Usando a propriedade distributiva e o fato que o produto vetorial entre
dois vetores paralelos é zero, respectivamente temos
j~u� (~v � ~u)j = j~u� ~v � ~u� ~uj ;
= j~u� ~vj ;
usando a de…nição geométrica do módulo do produto vetorial temos
j~u� (~v � ~u)j = j~u� ~vj ;
= j~uj j~vj sin �120�� ;
= 3� 4�
p
3
2
;
= 6
p
3:
3