Limites_03

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Escola de Ciências e Tecnologia (EC&T) Cálculo I 2014.2 1 
1. Limites e continuidade 
 
1.1 Definição informal de Limites de uma função 
 
1.2 Limites de uma função e leis do limite 
 
1.3 Limites laterais. 
 
1.4 Limites que envolvem infinidade: assíntotas 
de gráficos 
 
1.5 Continuidade 
 
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NOTAÇÃO SIGNIFICAÇÃO 
INTUITIVA 
INTERPRETAÇÃO 
GRÁFICA 
Seja 𝑓(𝑥) definida em (ao 
menos) um intervalo da 
forma (𝑎, 𝑐), para algum 
𝑎 ∈ ℝ). 
 
lim
𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = 𝑀 
 
Podemos tornar 𝑓(𝑥) tão 
próximo de 𝑀 quanto 
quisermos, escolhendo 𝑥 
suficientemente próximo 
de 𝑐, e 𝑥 < 𝑐 . 
Seja 𝑓(𝑥) definida em (ao 
menos) um intervalo da 
forma (𝑐, 𝑎), para algum 
𝑎 ∈ ℝ). 
 
lim
𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = 𝐿 
 
Podemos tornar 𝑓(𝑥) tão 
próximo de 𝐿 quanto 
quisermos, escolhendo 𝑥 
suficientemente próximo 
de 𝑐 , e 𝑥 > 𝑐 . 
Limites laterais – Definição informal 
(limite à esquerda) 
(limite à direita) 
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EXEMPLO Se 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2, esboce o gráfico de 𝑓 e ache, se 
possível, 
 
a) b) c) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) 
SOLUÇÃO A figura abaixo é um esboço do gráfico de 𝑓. 
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 
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a) Se 𝑥 ≥ 2, então 𝑥 − 2 ≥ 0 e, daí, 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 ∈ ℝ; isto é, 
𝑓(𝑥) é definida. Assim 
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 2 − 2 = 0 
b) O limite , pois 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 ∉ ℝ quando 𝑥 < 2 . 
 
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) ∄ 
c) O limite , pois 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 não é definida em 
 
um intervalo aberto contendo 2. 
 
lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) ∄ 
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TEOREMA 1.3 O limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 se 
aproxima de 𝑐, existe se, e somente se, ambos os 
limites laterais direito e esquerdo existem e são 
iguais. 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) = 𝑳 𝑠𝑒, 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒, 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄−
𝒇(𝒙) = 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒄+
𝒇(𝒙) 
 A expressão é, por vezes, 
 
chamada de limite bilateral. 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) = 𝑳 
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EXEMPLO Se 𝑓 𝑥 = 
|𝑥|
𝑥
, esboce o gráfico de 𝑓 e ache, se 
possível, 
 
a) b) c) lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) 
SOLUÇÃO A figura abaixo é um esboço do gráfico de 𝑓. 
𝑓 𝑥 = 
|𝑥|
𝑥
 
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = −1 a) 
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = 1 b) 
c) Como os limites laterais são 
diferentes, decorre que 
lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒. 
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EXEMPLO Esboce o gráfico da função 𝑓 definida por 
 
𝑓 𝑥 = 
3 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 1
 4, 𝑠𝑒 𝑥 = 1
𝑥2 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 > 1
, 
 
Encontre e lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) , lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) . 
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𝑓 𝑥 = 
3 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 1
 4, 𝑠𝑒 𝑥 = 1
𝑥2 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 > 1
 
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
(3 − 𝑥) = 2 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
(𝑥2 + 1) = 2 
lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 = 2 . 
OBS.: Note que o valor da função 
𝑓(1) = 4 é irrelevante para a 
determinação do limite. 
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EXEMPLO Para a função 𝑓(𝑡) representada graficamente 
abaixo, determine os seguintes limites ou explique por que 
eles não existem. 
𝒅. lim
𝑡→0,5
𝑓(𝑡) 
a) Cálculo dos limites laterais 
lim
𝑡→−2−
𝑓(𝑡) = 0 
lim
𝑡→−2+
𝑓(𝑡) = 0 
Portanto, como os limites laterais 
são iguais, temos então que 
lim
𝑡→−2
𝑓(𝑡) = 0 
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𝒅. lim
𝑡→0,5
𝑓(𝑡) 
b) Cálculo dos limites laterais 
lim
𝑡→−1−
𝑓(𝑡) = −1 
lim
𝑡→−1+
𝑓(𝑡) = −1 
Portanto, como os limites laterais 
são iguais, temos então que 
lim
𝑡→−1
𝑓(𝑡) = −1 
EXEMPLO Para a função 𝑓(𝑡) representada graficamente 
abaixo, determine os seguintes limites ou explique por que 
eles não existem. 
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𝒅. lim
𝑡→0,5
𝑓(𝑡) 
c) Cálculo dos limites laterais 
lim
𝑡→0−
𝑓(𝑡) = −1 
lim
𝑡→0+
𝑓(𝑡) = 1 
Como os limites laterais são 
diferentes, então não existe um 
único número L na qual 𝑓(𝑡) se 
aproxima quando 𝑡 → 0. Portanto, 
lim
𝑡→0
𝑓(𝑡) 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 . 
EXEMPLO Para a função 𝑓(𝑡) representada graficamente 
abaixo, determine os seguintes limites ou explique por que 
eles não existem. 
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𝒅. lim
𝑡→0,5
𝑓(𝑡) 
d) Cálculo dos limites laterais 
lim
𝑡→0,5−
𝑓(𝑡) = 1 
lim
𝑡→0,5+
𝑓(𝑡) = 1 
Portanto, como os limites laterais 
são iguais, temos então que 
lim
𝑡→0,5
𝑓(𝑡) = 1 
0,5 
EXEMPLO Para a função 𝑓(𝑡) representada graficamente 
abaixo, determine os seguintes limites ou explique por que 
eles não existem. 
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EXEMPLO Resolva o limite: 
 
(a) 
 
 
(b) 
lim
𝑥→1+
2𝑥(𝑥 − 1)
|𝑥 − 1|
 
lim
𝑥→1−
2𝑥(𝑥 − 1)
|𝑥 − 1|
 
Ref. Thomas, seção 2.4, questão 18 
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Sugestão de exercícios 
 
Thomas, Seção 2.4 
 
Questões 11-18. 
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O gráfico de 𝑓 𝜃 = (𝑠𝑒𝑛 𝜃)/𝜃 (𝜃 em radianos) mostra que os limites laterais se 
aproximam de 1 quando 𝜃 → 0 . 
15 
Limites que envolvem 
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜃
 
lim
𝜃→0
sin 𝜃
𝜃
= 1 
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EXEMPLOS Determine os limites. 
22. 
 
 
24. 
 
 
26. 
 
 
28. 
 
30. 
Ref. Thomas, seção 2.4 
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Sugestão de exercícios 
 
Thomas, Seção 2.4 
 
Questões 21-36. 
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Limites que envolvem infinidades 
O símbolo ∞ não representa um 
número real; 
 
Por outro lado, o símbolo ∞ é útil para 
descrevermos o comportamento de 
uma função quando os valores em seu 
domínio ou imagem extrapolam todos 
os limites finitos. 
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 Desse modo, temos que 
 
 e 
 
 
 
Limites finitos quando 𝒙 → ±∞ 
Estratégia: 
(i) Primeiramente, determina-se os limites de constantes (𝑦 = 𝑘) e 
identidades (𝑦 = 1/𝑥); 
(ii) Em seguida, estendem-se esses resultados para outras funções, 
aplicando, para isso, as leis de limites e suas combinações 
algébricas. 
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EXEMPLO As propriedades do Teorema 12 são utilizadas para 
calcular limites da mesma maneiraque ocorre quando 𝑥 se 
aproxima de um número finito 𝑐 . 
𝑎 lim
𝑥→∞
𝜋 −
2
𝑥2
= lim
𝑥→∞
𝜋 − lim
𝑥→∞
2
𝑥2
= 𝜋 − 0 = 𝜋 
𝑏 lim
𝑥→−∞
𝜋 −
2
𝑥2
= lim
𝑥→−∞
𝜋 − lim
𝑥→−∞
2
𝑥2
= 𝜋 − 0 = 𝜋 
Ref. Thomas, seção 2.4, Questão 38 
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EXEMPLO As propriedades do Teorema 12 são utilizadas para 
calcular limites da mesma maneira que ocorre quando 𝑥 se 
aproxima de um número finito 𝑐 . 
𝑐 lim
𝑥→∞
3 −
2
𝑥
4 +
2
𝑥2
=
lim
𝑥→∞
 3 −
2
𝑥
lim
𝑥→∞
 4 +
2
𝑥2
=
lim
𝑥→∞
 3 − lim
𝑥→∞
2
𝑥
lim
𝑥→∞
 4 + lim
𝑥→∞
2
𝑥2
=
3 − 0
4 + 0
=
3
4
 
 
 
Ref. Thomas, seção 2.4, Questão 40 
𝑑 lim
𝑥→−∞
3 −
2
𝑥
4 +
2
𝑥2
=
lim
𝑥→−∞
 3 −
2
𝑥
lim
𝑥→−∞
 4 +
2
𝑥2
=
lim
𝑥→−∞
 3 − lim
𝑥→−∞
2
𝑥
lim
𝑥→−∞
 4 + lim
𝑥→−∞
2
𝑥2
=
3 − 0
4 + 0
=
3
4
 
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Sugestão de exercícios 
 
Thomas, Seção 2.4 
 
Questões 37-42. 
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Limites no infinito 
de funções racionais 
 Determinamos o limite de uma função racional 
quando 𝑥 → ±∞, dividindo o numerado e o denominador 
pela potência de 𝒙 mais alta no denominador, de modo 
que o resultado, então, depende dos graus dos polinômios 
envolvidos. 
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EXEMPLO: Numerador e denominador de mesmo grau 
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EXEMPLO: Grau do numerador menor que o grau do denominador 
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Limites com expoentes fracionário ou negativos 
OBS.: O processo de resolução é similar ao de funções racionais . 
EXEMPLO: Encontre o limite lim
𝑥→∞
2 + 𝑥
2 − 𝑥
 . 
EXEMPLO: Encontre o limite lim
𝑥→∞
𝑥−1 + 𝑥−4
𝑥−2 − 𝑥−3
 . 
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Sugestão de exercícios 
 
Thomas, Seção 2.4 
 
Questões 51-66.